Bồi dưỡng HS giỏi Toán 8 * * * * * • BÀI 15: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh AE = AB. b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM. Giải a) Kẻ EF ⊥ AH. Ta có: µ F = 90 0 , µ H = 90 0 , µ D = 90 0  Tứ giác EFHD là HCN  EF = AH Xét ∆ AHB và ∆ EFA có: µ µ µ 1 1 A E C= = EF = AH µ µ 0 90F H= = => ∆ AHB = ∆ EFA ( g.c.g) => AB = AE b) Nối MA, MH, MD. Xét ∆ AMH và ∆ DMH có: AH = HD (gt) MH cạnh chung DM = AM = 2 BE ( đường TT ứng với cạnh huyền) => ∆ AMH = ∆ DMH (c.c.c) => · · AHM DHM= => · AHM = 45 0 * BÀI 16: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18. Trong đó BC là cạnh lớn nhất. Đường phân giác góc B cắt AC ở M sao cho 1 2 MA MC = . Đường phân giác góc C cắt AB ở N sao cho 3 4 NA NB = . Tính các cạnh của tam giác ABC. Giải Ta có: BM là phân giác µ B => 1 2 AM AB MC BC = =  AB = 2 BC (1) CN là phân giác µ C => 3 4 NA AC NB BC = = GV: Nguyễn Văn Thanh Trường THCS Tân Xuân 1 1 M D H F C B A M C N B A  AC = 3 4 BC (2) Mà : AB + BC + AC = 18 (3) Từ (1), (2) và (3) => 2 BC + BC + 3 4 BC = 18  BC = 8 ; AB = 4; AC = 6 • BÀI 17: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 + 6x + 5 b) x 4 + 2007x 2 + 2006x + 2007. c) (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1. • BÀI 18: Cho biểu thức: A = 2 2 2 2 4 3 1 3 : 3 1 1 3 x x x x x x x x + − + −   + − −  ÷ + +   (x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1 2 ) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trò của A với x = 6022. c) Tìm x để A < 0. d) Tìm giá trò nguyên của x để A nhận giá trò nguyên. Giải a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1 2 A = 2 2 1 2 3 1 1 3 3 3 3 x x x x x x x x x + + − − − − = = b) Thay x = 6022 vào A ta có: A = 6022 1 3 − = 2007 c) A nhận giá trò nguyên khi x nguyên và x – 1 chia hết cho 3. Ta có: x – 1 = 3k => x = 3k + 1 (với k nguyên) Vậy với x = 3k + 1 (k nguyên) thì A nhận giá trò nguyên. • BÀI 19: Giải phương trình: 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x− − − − + + + = Giải  148 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x− − − −         − + − + − + − =  ÷  ÷  ÷  ÷          (123 – x) 1 1 1 1 0 25 23 21 19   + + + =  ÷    123 – x = 0 Vì 1 1 1 1 0 25 23 21 19   + + + ≠  ÷    x = 123 Vậy nghiệm của p.t là x = 123 • BÀI 20: Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 60 0 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. CM: a) BD.CE = 2 4 BC b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Giải a) Trong ∆ BDM ta có: ¶ ¶ 0 1 1 120D M= − Vì ¶ 2 M = 60 0 nên ta có: ¶ ¶ 0 3 1 120M M= − => ¶ ¶ 1 3 D M= ∆ BMD ~ ∆ CEM (g.g) (1) => BD BM CM CE = => BD.CE = BM.CM Vì : BM = CM = 2 BC => BD.CE = 2 4 BC b) Từ (1) => BD MD CM EM = mà BM = CM nên ta có: BD MD BM EM = => BD BM MD EM = µ ¶ 2 B M= = 60 0 => ∆ BMD ~ ∆ MED (c.g.c) => ¶ ¶ 1 2 D D= => DM là phân giác · BDE CM tương tự ta có: EM là phân giác · CED c) Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ DE; MK ⊥ AC ∆ vuông DHM = ∆ vuông DIM ( CH- GN)  DH = DI ∆ vuông MEI = ∆ vuông MEK (CH – GN)  EI = EK CV ADE = AD + DI + IE + AE = AD + DH + EK + AE = AH + AK Mà: ∆ vuông AHM = ∆ vuông AKM (CH – GN)  AH = AK  CV ADE = 2AH ( không đổi) • BÀI 21: Cho x + 1 x = a. Tính: a) x 2 + 2 1 x K H I E D C y M x B A b) x 3 + 3 1 x c) x 4 + 4 1 x d) x 5 + 5 1 x Giải a) x 2 + 2 1 x = 2 1 2x x   + −  ÷   = a 2 – 2 b) x 3 + 3 1 x = 2 2 1 1 1x x x x    + − +  ÷ ÷    = 2 1 1 1x x x x    + + −  ÷ ÷    = a(a 2 – 2 – 1) = a(a 2 – 3) c) x 4 + 4 1 x = (x 2 ) 2 + 2 2 1 x    ÷   = 2 2 2 1 x x   +  ÷   - 2 = (a 2 – 2) 2 – 2 = a 4 – 4a 2 – 4 – 2 = a 4 – 4a 2 + 2 d) x 5 + 5 1 x = 4 3 2 2 3 4 1 1 1 1 1 . . .x x x x x x x x x x    + − + − +  ÷ ÷    = 4 2 4 2 1 1 1 1x x x x x x    + + − + −  ÷ ÷    = 4 2 4 2 1 1 1 1x x x x x x         + + − + +  ÷  ÷  ÷           = a ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 1a a a   − + − − +   = a(a 4 – 4a 2 + 2 – a 2 + 2 + 1) = a(a 4 – 5a 2 + 5) = a 5 – 5a 3 + 5 • BÀI 22: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 3 2 2 1 1 13 16 0x x x x     + − + + =  ÷  ÷     Đặt y = 1 x x   +  ÷   => x 2 + 2 1 x = 2 1 2x x   + −  ÷   = y 2 – 2 Ta có phương trình: 3(y 2 – 2) – 13y + 16 = 0  3(y 2 – 2) – 13y + 16 = 0  3y 2 – 6 – 13y + 16 = 0  3y 2 – 13y + 10 = 0  3y 2 – 10y – 3y + 10 = 0  3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0  (y – 1)(3y – 10) = 0  y = 1 và y = 10 3 * y = 1  x + 1 x = 1 => x 2 – x + 1 = 0  2 1 3 2 4 x   − +  ÷   > 0 ∀ x Vậy p.t VN. *y = 10 3  x + 1 10 3x =  3x 2 – 10x + 3 = 0  (3x – 1)(x – 3) = 0 P.t có 2 nghiệm là x = 1 3 và x = 3. * BÀI 23: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp thêm bớt cùng 1 hạng tử) a) a 4 + 4b 4 = a 4 + 4a 2 b 2 – 4a 2 b 2 + 4b 4 = (a 2 ) 2 + 2.2a 2 b 2 + 4b 2 – 4a 2 b 2 = (a 2 + 2b 2 ) 2 – (2ab) 2 = (a 2 + 2b 2 – 2ab)(a 2 + 2b 2 + 2ab) b) a 4 + a 2 + 1 = a 4 + a 2 + a 2 – a 2 + 1 = (a 2 ) 2 + 2a 2 + 1 – a 2 = (a 2 + 1) 2 – a 2 = (a 2 – a + 1)(a 2 + a + 1) • BÀI 24: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp đặt biến phụ) a) Q = (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12 Đặt: Y = x 2 + x + 1 ta có: Q = Y(Y + 1) – 12 = Y 2 + Y – 12 = Y 2 – 3Y + 4Y – 12 = (Y – 3)(Y + 4) Trở về biến x ta được: Q = (x 2 + x + 1 – 3)(x 2 + x + 1 + 4) = (x 2 + x – 2)(x 2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x 2 + x + 5) b) P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) – 24 = (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 4 + 2) – 24 Đặt Y = x 2 + 5x + 4 ta được: P = Y(Y + 2) – 24 = Y 2 + 2Y – 24 = Y 2 + 6Y – 4Y – 24 = (Y + 6)(Y – 4) Trở về biến x ta được: P = (x 2 + 5x + 4 + 6)(x 2 + 5x + 4 – 4) P = (x 2 + 5x + 10)(x 2 + 5x ) = x(x + 5)(x 2 + 5x + 10) *BÀI 25: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp phối hợp nhiều pp) a) x 10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 1 = (x 10 + x 8 + x 6 ) + x 4 + x 2 + 1) = x 6 (x 4 + x 2 + 1) + (x 4 + x 2 + 1) = (x 4 + x 2 + 1)(x 6 + 1) = (x 4 + x 3 – x 3 + x 2 + x 2 – x 2 + x – x + 1)[(x 2 ) 3 + 1 3 ] = [(x 4 + x 3 + x 2 ) – (x 3 + x 2 + x) + (x 2 + x + 1)][(x 2 ) 3 + 1] = [(x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1)][(x 2 + 1)(x 4 – x 2 + 1)] b) a(b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ) + 2abc = ab 2 + ac 2 + bc 2 + ba 2 + (ca 2 + cb 2 + 2abc) = ab(b + a) + c 2 (a + b) + c(a 2 + b 2 + 2ab) = (a + b)[(ab + c 2 ) + c(a + b)] = (a + b)(ab + c 2 + ac + bc) = (a + b)(b + c)(c + a) *BÀI 26: Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tia MN cắt tia AD ở E và cắt tia BC ở F. CM: · · AEM BFM= . Giải Gọi I là trung điểm của BD, ta có: BF // IN => · · BFN INM= AE // MI => · · AEM EMI= Xét ∆ MNI có: IM = IN (2 đường trung bình) => ∆ MNI cân tại I => · · EMI INM= => · · BFM AEM= * BÀI 27: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đoạn thẳng cắt nhau tại I. CM: IA = AD. Giải Từ A kẻ AP ⊥ DN cắt DC tại K, cắt DN tại I. Xét ∆ MCB và ∆ NDC có: DC = BC NC = BM µ µ B C= = 90 0 => ∆ MCB = ∆ NDC (c.g.c) => · · BMC DNC= Mà: · · BCM BMC+ = 90 0 => · · MCN DNC+ = 90 0 => MC ⊥ DN Ta lại có: AK ⊥ DN => AK // MC Xét ∆ ADK và ∆ CBM có: AD = BC · · DAK MCB= · · ADC MBC= = 90 0 => ∆ ADK = ∆ CBM (g.c.g) => DK = BM Mà M là trung điểm của AB => K là trung điểm của CD  DP = IP ( PK là đường TB ∆ DIC)  ∆ DAI cân tại A  AD = AI *BÀI 28: B I C M N F E D A K P I N M C B D A Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn có độ dài 9 cm và 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC. Giải Xét ∆ ABH và ∆ CBA có: µ B chung  = µ H = 90 0 => ∆ ABH ~ ∆ CBA (g.g) => AB BH CB BA = => AB 2 = CB.BH = 25. 9 = 225  AB = 15 (cm) p dụng ĐL Pitago trong ∆ vuông ABC ta có: AC 2 = BC 2 – AB 2 = 25 2 – 15 2 = 625 – 225 = 400  AC = 20 (cm) Chu vi ∆ ABC: AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 (cm) • BÀI 29: Giải phương trình: 3x 4 – 13x 3 + 16x 2 – 13x + 3 = 0 Giải Chia 2 vế cho x 2 ta có: 3x 2 – 13x + 16 2 13 3 x x + = 0  3 2 2 1 1 13x x x x     + − +  ÷  ÷     + 16 = 0 Đặt: x + 1 x = y => x 2 + 2 1 x = y 2 – 2 3(y 2 – 2) – 13y + 16 = 0  (y – 1)(3y – 10) = 0  1 10 3 y y =    =   * y = 1 => x + 1 x = 1 PT này VN. Vì: x 2 – x + 1 = 2 1 3 2 4 x   − +  ÷   > 0 • y = 10 3 => (3x – 1)(x – 3) = 0  1 3 3 x x  =    =  Vậy p.t đã cho có 2 nghiệm là x = 1 3 và x = 3. 16cm 9cm C H B A *BÀI 30: Chứng minh rằng: a) 2 a b b a + ≥ (với a, b > 0) b) 6 a b b c c a c a b + + + + + ≥ (với a, b, c > 0) c) (a 2 + b 2 )c + (b 2 + c 2 )a + (c 2 + a 2 )b ≥ 6abc (với a, b, c > 0) Giải c)Ta có: (a – b) 2 ≥ 0 => a 2 + b 2 ≥ 2ab  (a 2 + b 2 )c ≥ 2abc Tương tự ta có: (b 2 + c 2 )a ≥ 2abc (c 2 + a 2 )b ≥ 2abc  (a 2 + b 2 )c + (b 2 + c 2 )a + (c 2 + a 2 )b ≥ 6abc Xảy ra đẳng thức  a = b = c a) Ta có: (a - b) 2 ≥ 0 <=> a 2 + b 2 -2ab ≥ 0  a 2 + b 2 ≥ 2ab  2 2 2 a b ab + ≥  2 a b b a + ≥ b) Ta có: VT = a b b c c a c c a a b b       + + + + +  ÷  ÷  ÷       = a c b a b c c a a b c b       + + + + +  ÷  ÷  ÷       Theo KQ câu a, ta có: 2; 2; 2 a c b a b c c a a b c b + ≥ + ≥ + ≥  VT ≥ 6 *BÀI 31: Giải bất phương trình sau: 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5)x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + < 0  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5x x x x x x x x x x − + − + − + − + − + + + + + + + + + < 0  1 1 5x x − + < 0  5 ( 5)x x + < 0 ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ -5 • Nếu x > 0 thì x(x + 5) > 0  5 ( 5)x x + > 0 Vậy BPT vô nghiệm. • Nếu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0  5 ( 5)x x + < 0 Vậy BPT có nghiệm là -5 < x < 0 *Nếu x < - 5 thì x(x + 5) > 0  5 ( 5)x x + > 0 Vậy BPT vô nghiệm. Vậy BPT đã cho có nghiệm -5 < x < 0 *BÀI 32: Giải phương trình: 4 1x x− + + = 9 1)Nếu x < -1 thì x – 4 < 0 và x + 1 < 0 => 4x − = -x + 4 và 1x + = -x – 1 P.t trở thành: -x + 4 – x – 1 = 9 (ĐK: x < -1) <=> x = -3 (TMĐK) 2) Nếu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 và x + 1 ≥ 0 => 4x − = -x + 4 và 1x + = x + 1 P.t trở thành: -x + 4 + x + 1 = 9 (ĐK: -1 ≤ x ≤ 4)  0x = 4 VN 3) Nếu x > 4 thì x – 4 > 0 và x + 1 > 0 => 4x − = x – 4 và 1x + = x + 1 P.t trở thành: x – 4 + x + 1 = 9 (ĐK: x > 4)  x = 6 (TMĐK) Vậy p.t đã cho có tập nghiệm là S = { } 3;6− • BÀI 33: Rút gọn các biểu thức: (n là số nguyên dương) a) A = 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1)n n + + + + − + Ta có: 1 1 2 2 1 2 1 (2 1)(2 1)n n n n − = − + − + Do đó: 2A = 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 2 1 2 1n n − + − + + − − + = 1 - 1 2 2 1 2 1 n n n = + +  A = 2 1 n n + b) B = 1 1 1 1 1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1)n n + + + + − + Kết quả: B = 3 1 n n + *BÀI 34: Giải và biện luận phương trình: m(x + 3) – 2(m + 1) = 3m – 4x  mx + 3m – 2m – 2 = 3m - 4x  (m + 4)x = 2(m + 1) Biện luận: [...]... = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b) b) Nếu a, b, c là các cạnh của tam giác thì: a+b+c>0 ;a+b–c>0 ; c+a–b>0 ;c–a+b>0 => A > 0 * BÀI 36: Tính giá trò của đa thức: a) P(x) = x7 – 80 x6 + 80 x5 – 80 x4 +……….+ 80 x + 15 tại x = 79 b) Q(x) = x14 -10x13 + 10x12 – 10x11 +……… + 10x2 – 10x + 10 tại x = 9 Giải a) Ta có: P(x) = x7 – 79x6 – x6 + 79x5 + x5 – 79x4 – x4 +……… +79x + x + 15 = x6(x – 79) – x5(x... OB MB OC = => OB = CN OB CN => ∆ MBO ~ ∆ OCN (c.g.c) (1) M N 1 1 B 2 O 1 3 C * Xét ∆ OCN và ∆ MON có: OM OB = ( do ∆ MBO ~ ∆ OCN) ON CN OM OC => ON = CN Ta lại có: µ ¶ ¶ O1 + O2 + O3 = 180 0 ¶ ¶ µ Và: N1 + O3 + C = 180 0 µ ¶ Mà : O1 = N1 ¶ µ => O = C 2 => ∆ OCN ~ ∆ MON (c.g.c) (2) Từ (1) và (2) => ∆ MBO ~ ∆ OCN ~ ∆ MON • BÀI 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)... AM (2 đường chéo HCN) b) Ta có MB = MC (gt) MD // AC (2 cạnh đối HCN)  D là trung điểm của AB CM tương tự ta có: E là trung điểm của AC => DE là đường TB của ∆ ABC => DE // BC => ∆ ADE ~ ∆ ABC * BÀI 38: Cho tam giác ABC có AB = AC = 9cm Tia phân giác góc B cắt đường cao AH ở AI 3 I Biết IH = 2 Tính chu vi tam giác ABC Giải µ Ta có: BI là phân giác B p dụng t/c đường phân giác trong ∆ ABH ta có: IA... Với giá trò nào của x thì B < 0 d) Với giá trò nào của x thì B = 2 Giải a) ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ 2 ; x ≠ -2 1 KQ: B = 2 − x 1 1 b) |x| = 2 => x = ± 2 2 2 KQ: B = 3 và B = 5 c) KQ: x > 2 3 d) KQ: x = 2 *BÀI 48: Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120 2  (x – 5x +4)(x2 – 5x + 6) = 120 Đặt: t = x2 – 5x + 5 ta có: (t – 1)(t + 1)- 120 = 0  t2 – 121 = 0  t = 11 và t = - 11 * t = 11  x2 – 5x + . nguyên) thì A nhận giá trò nguyên. • BÀI 19: Giải phương trình: 1 48 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x− − − − + + + = Giải  1 48 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x− − − −         −. + b > 0 => A > 0 * BÀI 36: Tính giá trò của đa thức: a) P(x) = x 7 – 80 x 6 + 80 x 5 – 80 x 4 +……….+ 80 x + 15 tại x = 79 b) Q(x) = x 14 -10x 13 + 10x 12 – 10x 11 +……… + 10x 2 –. Xuân 1 1 M D H F C B A M C N B A  AC = 3 4 BC (2) Mà : AB + BC + AC = 18 (3) Từ (1), (2) và (3) => 2 BC + BC + 3 4 BC = 18  BC = 8 ; AB = 4; AC = 6 • BÀI 17: Phân tích các đa thức sau thành nhân