Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. A _ Đặt Vấn Đề. Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS . Nhằm phát huy trí lực , kĩ năng giải toán , khả năng t duy sáng tạo , độc lập , có óc khái quát và tổng hợp . Đặc biệt là cung cấp cho học sinh phơng pháp suy nghĩ , cách nhìn nhận một vấn đề , một bài toán với phẩm chất toán học của nó. Với khả năng có hạn , bằng vốn kinh nghiệm , qua đọc và nghiên cứu sách , cộng với sự học hỏi ở các đồng nghiệp , tôi mạnh dạn viết vài dòng trình bày một vấn đề có thể không còn mới mẻ. Nay tôi đem đến cho các bạn cùng nhìn nhận và tham khảo . B . Nội dung Bình phơng của một biểu thức thì không âm cách nhìn và ứng dụng Khởi đầu ( a- b) 2 0 với a, b Dấu = xảy ra khi a= b 1 . Từ a 2 2ab + b 2 0 a 2 +b 2 (a +b) 2 (1) 2 2 2 a b+ ab với a, b 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2 2. Với a, b 0 . Chia 2 vế của (1) cho ab ta có 2 a b b a + (2) 3. Cộng 2 vế của (1) và 2ab ta có (a+b) 2 4ab (3) 2 2 a b + ữ ab Với a,b 0 . Khai phơng 2 vế ta có 2 a b+ ab ( Bđt cụ si vi 2 số không âm ) 4. Chia 2 vế của (3) cho ab(a+b)>0 .Ta có 4a b ab a b + + (4) Hay 1 1 4 a b a b + + 1 1 1 4 4a b a b + + 5. Chia hai vế của (4) cho a>0 ta có 2 2 a b a b + b>0 (5) a + 2 2 b b a 6. a, b>0 . Lấy nghịch đảo và đổi chiều 2 vế của (5) ta có: 2 2 1 1 2ab a b + (6) 2 2 1 1 2 2 a b a b a b + + + ( nhân 2 vế với a+b ) 1 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. 2 2 1 1 1 2 a b a b a b + + ữ + 7. Bớt mỗi vế của (6) cho ab ta có a 2 ab +b 2 ab(a+b) (7) 8. a 2 +b 2 2ab 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2 (cộng mỗi vế với a 2 +b 2 ) 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ (chia mỗi vế cho 4) 9. (a- b) 2 0 (a- c) 2 0 2 2 2 2( )a b c + + 2ab +2ac +2ca (b- c) 2 0 (a,b,c>0) 3(a 2 +b 2 + c 2 ) (a+b+c) 2 . Bài tập áp dụng Bài 1: a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác ( p là nửa chu vi) CMR : 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + + + ữ Giải Từ (4) ta có 1 1 4 a b a b + + Tơng tự : 1 1 4 4 2p a p b p a b c + = 1 1 4 4 2p b p c p b c a + = 1 1 4 4 2p c p a p a c b + = 2VT 1 1 1 4 a b c + + ữ VT 1 1 1 2 a b c + + ữ Bài 2. Cho a,b ,c >0 CMR 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a c a b + + + + + a+b+c Giải Từ công thức (5) ta có : 2 2 2 2 2 2 a c a c b a b a c b c b + + + 2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. Tơng tự : 2 2 2 a b c a b c c a b + + + + (1) 2 2 2 a b c b c b c a + + + + (2) Cộng (1) với (2) ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c c a b + + + + + + + Bài 3. Cho a, b ,c >0 CMR : 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + Giải Từ (5) ta có : + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 .2 4 2 ( ) 2 .2 4 2 ( ) 2 .2 4 a b c a a b c b a c b b a c c a b c c b c + + = + + + = + + + = + 2 2 2 4 4 4 2( ) a b c a b c b c a c a b + + + + + + + Chia 2 vế cho 4 ta có đpcm Bài 4. Cho x>0 Q * . CMR ( ) 2 2 1 2 1 1 16x x x + + + ữ Giải Từ (3) ta có (1+x) 2 4x 2 1 2 1 1 1 1 4 x x x x + + = + ữ đpcm. Bài 5. Cho a, b, c >0 CMR : 2 1 1 1 1 1 1 3 4 ab ac bc a b a c b c + + + + ữ ữ + + + Giải Từ (3) có (a+b) 2 4ab Chia 2vế cho ab(a+b) 2 > 0 . Ta có . Tơng tự : + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 1 4 1 4 ab a b ac a c bc b c + + + 3 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 ab ac bc a b b c a c ữ + + + ữ + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 4.3 ab ac bc a b a c b c + + + + ữ + + + 2 1 1 1 4 a b a c b c + + ữ + + + Theo (9) Bài 6 . CMR: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 ( )a b c ab a b bc b c ac a c+ + + + + + + Giải Từ (7) ta có : + ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 ( ) a b ab a b b c bc b c c a ac a c + + + + + + ( ) 3 3 3 2 ( ) ( ) ( )a b c ab a b bc b c a c+ + + + + + + Bài 7. Cho (x,y)là nghiệm của hpt : ax-by=0 x +y =1 Tìm Max :xy. Giải. Tính x, y . ax=by (có thể sd t/cdãy tỉ số băng nhau : a b y x = ax+ay = ay+by a(x+y) = y(a+b) a =y(a+b) a y a b = + Khi đó ( ) 2 1 4 ab xy a b = + Max 1 4 xy a b= = Khi đó 1 2 x y= = Bài 8 . Cho a, b, c >0 . CMR : 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 4a b c b a c c a b a b c + + + + + + + + + + Giải. Từ(4) có 4 1 1 1 1 1 4 4 16 16a b a b a b a b + + + + 4 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. ( ) 4 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 8 4( ) 8 4 4 8 16 16 a b c a b c a b c a b c a b c a b c + + + + + = + + + + + + + Tơng tự : 1 1 1 1 2 ( ) 8 16 16 1 1 1 1 2 ( ) 8 16 16 b a c b a c c a b c a b + + + + + + + + Cộng vế với vế 3 bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm. Bài 9 . a, b,c >0 Thoả mãn 2 1 1 b a c = + CMR : 4 2 2 a b c b a b c b + + + Giải. Từ (gt) 2 a c b ac + = b = a c ac + 2 a b a b + = 2 2 2 ac a a c ac a a c + + + = 2 2 3 3 2 2 a ac a c a a + + = Tơng tự : 3 2 2 c b c b c b c + + = Vế trái = 2 2 3 3 3 3 2 2 2 a c c a ac c ca a a c ac + + + + + + = = 2 2 3( ) 2 3.2 2 8 4 2 2 2 a c ac ac ac ac ac ac ac + + + = = Bài10. a, b,c 0 , a+b+c =1 CMR : a+b+c 4(1-a)(1-b)(1-c) Giải Từ a+b+c=1 b+c=1-a 0 1c 2 2 1 1 1 0c c Vế phải = 4(b+c)(1-b)(1-c) [ ] 2 ( ) (1 ) (1 )b c b c + + = 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2c c c c a b c+ = + = + + Bài 11. a,b,c là 3 cạnh của tam giác CMR 3 a b c b c a c a b a b c + + + + + Giải Đặt x= b+c-a y= c+a-b x+y+z=a+b+c z= a+b-c 5 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. a+b+ c = x+y+z - - a+b+b = x 2a =y+z 2 y z a + = Tơng tự 2 x z b + = , 2 x y c + = 1 2 2 2 2 1 (2 2 2) 3 2 x z x z x y y z x y x x VT x y x x x y z z y + + + = + + = + + + + + ữ + + = Dấu = xảy ra khi x=y=z a=b=c Tức ABC đều. Bài 12 a,b,c la 3cạnh của tam giác . CM abc (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) Giải Tơng tự bài 11 ta có x y + 2 xy 2 2 y z yz z x zx + + . . 2 2 2 x y y z z x xyz abc + + + = Bài 13 Cho a,b,c >0 CM : 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c a b b c c a + + + + + + + + + + Giải. Theo (8) ta có : 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2 2 2 2 a b a b a b + + + đpcm. Bài 14. Cho a,b,c > 0 . CM : 2 2 2 2 2 2 1 1 1a b b c c a a b b c c a a b c + + + + + + + + + + Giải. Theo (6) ta có : 2 2 1 1 1 2 a b a b a b + + ữ + đpcm. Bài 15. Cho a,b >0 và a+b=1 CMR : 2 2 1 1 25 5 a b a b + + + ữ ữ Giải . Từ (8) có 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2 2 2 2 2 a b a b + + ữ 6 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. 2 2 2 2 1 1 2 1 3 5 a b a b VT a b a b a b a b b a + + + + + = + + ữ ữ = + + ữ đpcm. Bài 16 . Cho a,b,c >0 . CMR 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b b c c a + + + + + + + Giải. Từ(4) 1 1 4 a b a b + + ( ) 1 1 1 1 4 a b a b + + Tơng tự cộng vế với vế ta có đpcm. Bài 17 a,b,c >0 CMR: 15 2 a b c b c c a a b b c a c a b a b c + + + + + + + + + + + Giải . Cách 1. Theo (2) 2 a b b a + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 b c c a a b b c c a a b M a b c a a b b c c a b c a b c N b c c a a b b c c a a b a b c b c c a a b a b b c c a b c c a a b x y z x y z + + + = + + = + + + + + + + = ữ = + + = + + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + = + + + + ữ + + + = + + + + + + + + + + = + + + + ữ 3 7 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. 1 3 3 2 1 3 .9 3 2 2 3 15 6 2 2 x y y z z x y x z y x z M N = + + + + + + ữ ữ ữ = + + = Cách2.(Rất ngắn) Xét 2 VT biến đổi. Bài 18. Cho 2số dơng a,b có a+b=1 . CMR 2 2 2 2 1 1 ) 6 2 3 ) 14 a ab a b b ab a b + + + + Giải. a, Từ (3) có 2 4 ( ) 4 1 ab a b ab + 1 4 ab (vì a,b >0) Từ (4) có 2 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 1 1 2 2 1 4 .4 6. 2 ( ) a b a b ab a b ab ab a b a b + + + = + + ữ + + + = + Dấu =xảy ra khi a=b= 1 2 b, Tơng tự nh trên ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 1 1 1 3 2 2 2 1 4 .4 3. 2 12 14 2 ab a b ab a b ab ab a b a b + = + = + + ữ + + + + = + = + Bài19 Cho a,b ,c,d >0 . CMR: 4 a c b d c a d b a b b c c d d a + + + + + + + + + + + Giải. Sử dụng công thức (4) Bài 20. Cho a +b=2 . CMR : a 4 +b 4 2 8 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. Giải . Từ (8) 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2 = 4 Lại có : 2(a 4 +b 4 ) (a 2 +b 2 ) 2 =4 a 4 +b 4 2 Bài 21 Giải hpt 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z = + = + = + Bài 22 Cho 2số x,y khác 0 .CMR 2 2 2 2 3 4 0 x y x y A y x y x = + + + ữ Bài 23. Cho |a| 1 , |b| 1 và|a+b|= 3 Tìm giá trị lớn nhất của 2 1 a + 2 1 b (Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dơng) Giải. Ta có : A= 2 1 a + 2 1 b 0 Xét A 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 (1 )(1 ) 2 ( ) 1 1 4 2( 4 ( ) 1 | | 1 a b a b a b a b a b a b A + + + + + = + + = 1 1A GTLN của A là 1 khi a=b 2 2 | | 3 4 3 3 4 3 | | 2 3 2 a a a a a = = = = = 3 2 a b= = 3 2 a b= = 9 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh. Bài25. Cho x, y, z là số nguyên dơng thoả mãn. 1 1 1 x y z + + (1) CMR 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + ( thi i hc khi A nm 2005 ) Giải. Cách 1: Ap dng bđt (a-b) 2 0 (a-b) 2 4ab 1 4 a b a b ab + + 1 1 1 1 4a b a b + ữ + Đẳng thức xảy ra khi a=b Ta có : ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y x z = + + + + ữ ữ + + + + + + + Đẳng thức xảy ra x=y=z (x+y =x+z , x=y, x=z ) Tơng tự : 1 1 1 1 1 1 2 16 1 1 1 1 1 1 2 16 y x z y z y x z x y z x z y + + + ữ + + + + + ữ + + Cộng 3 vế với bđt ta đợc đpcm Cách 2. Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 4 2 8 16 1 1 1 8 16 16 1 1 1 1 2 8 16 16 1 1 1 1 2 8 16 16 x y z x z y x y z x y z x y z y z x y z x z x y z y x = + + + + ữ ữ + + + + + = + + + + + + + + + + Cộng vế với 3 bđt trên ta có đpcm. Kết luận . Trên đây tôi đã trình bày vài bài tập sử dụng công cụ rất đơn giản mà học sinh đã đợc trang bị ở lớp dới . Từ đó phát triển và hình thành cho học sinh ph- ơng pháp t duy và suy nghĩ cực kỳ sáng tạo. Tôi đã áp dụng trong việc bồi d- ỡng học sinh khá giỏi đợc các em phấn khởi và đem lại hiệu quả rất rõ rệt . Kính mong các bạn đọc và bổ sung ; phát triển thêm . 10 . áp dụng Bài 1: a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác ( p là nửa chu vi) CMR : 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + + + ữ Giải Từ (4) ta có 1 1 4 a b a b + + Tơng tự : 1 1 4 4 2p. (1) với (2) ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c c a b + + + + + + + Bài 3. Cho a, b ,c >0 CMR : 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + Giải Từ (5) ta có : + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (. + + + + + Bài 7. Cho (x,y)là nghiệm của hpt : ax-by=0 x +y =1 Tìm Max :xy. Giải. Tính x, y . ax=by (có thể sd t/cdãy tỉ số băng nhau : a b y x = ax+ay = ay+by a(x+y) = y(a+b) a