PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC • Phương pháp 1 d 2 ' d 2 d 1 ' d 1 Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 o • Phương pháp 2 . 0a b u v ⊥ ⇔ = r r Với ,u v r r lần lượt là hai VTCP của a và b • Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa) P a c b Nếu đường thẳng ( )a P ⊥ thì đường thẳng a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) ( ) ( ) a (P) a b, a c b P , c P ⊥   ⇒ ⊥ ⊥  ⊂ ⊂   • Phương pháp 4 ( tính chất 5 - tr 99) b a P Nếu đường thẳng ( )a PP thì mọi đường thẳng ( )b P⊥ đều vuông góc với a. ( ) } a / /(P), b P b a⊥ ⇒ ⊥ • Phương pháp 5( HĐ 2 - tr 97 ) a A C B Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh còn lại. } a AC, a BC a AB ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ • Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk) c b a Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. } b / /c , a b a c ⊥ ⇒ ⊥ • Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk) a a ' b B ' A B A ' Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho đường thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). ( ) } a (P),b P ,a ' la hinh chieu cua a tren (P) a b a' b ⊥ ⊂ ⇒ ⊥ ⇔ ⊥ - 1 - PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó. • Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97) P c b a I Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp (P) ( ) ( ) ( ) a b,a c a P b P ,c P ,b c I ⊥ ⊥   ⇒ ⊥  ⊂ ⊂ ∩ =   • Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk) P b a Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. ( ) } ( ) a / /b ; P a P b⊥ ⇒ ⊥ • Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk) P a Q Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. ( ) ( ) ( ) } P / / Q ; a P a (Q)⊥ ⇒ ⊥ • Phương pháp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk) d A C B O M N Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt cách đều ba đỉnh của ABCV thì d vuông góc với mp (ABC). ( ) MA MB MC d ABC NA NB NC ; M, N d = =  ⇒ ⊥  = = ∈  Chú ý : Khái niệm trục ∆ của tam giác ABC : là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. • Phương pháp 5 (ĐL 3 - tr 106 - sgk) c a Q P c a b H Q P Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P (Q), P Q c a Q a P ,a c ⊥ ∩ =   ⇒ ⊥  ⊂ ⊥   • Phương pháp 6 (Hệ quả 2 - tr 107) - 2 - a Q R P Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) P Q a ; P (R) ; (Q) R a R∩ = ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC • Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 o • Phương pháp 2 (ĐL 2 - tr 105) c a Q P c a b H Q P Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ( ) ( ) } ( ) ( ) a P ,a Q P Q⊂ ⊥ ⇒ ⊥ • Phương pháp 3 P Q R Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại. ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) P / / Q ; R P R Q⊥ ⇒ ⊥ KHÁI NIỆM GÓC 1) Góc giữa hai đường thẳng :Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1’ và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2 d 2 ' d 2 d 1 ' d 1 2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 0 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . a a ' a P 3) Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. - 3 - a b P Q d p q Q R P Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q. Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q B B ' C ' C D ' E ' A ' A E D QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: (VD – tr 101 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD a/ Chứng minh rằng MN BDP và ( ) SC AMN⊥ b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc 2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi 2SA a= , AB = a Giải K N M O D A B C S 1.a/ * CMR: MN BDP +) Ta có: SAB SAD AM AN= ⇒ =V V (2 đường cao tương ứng) BM ND⇒ = (do MAB NAD=V V ) +) Xét SBDV có SB SD MN BD BM DN =  ⇒  =  P * CMR: ( ) SC mp AMN⊥ • Cách 1: +) Vì ( ) ( ) ( ) ABCD BC AB gt BC SA do SA ⊥   ⊥ ⊥   ( ) BC SAB BC MA⇒ ⊥ ⇒ ⊥ - 4 - +) Có ( ) MA BC MA SB gt ⊥    ⊥   MA SC ⇒ ⊥ (1đường thẳng ⊥ với 2 cạnh của 1 tam giác thì ⊥ với cạnh còn lại) CM tương tự ta có: NA SC⊥ Vậy ( ) SC mp AMN⊥ • Cách 2: +) Vì ( ) BC SAB⊥ ⇒ SB là hình chiếu của SC trên (SAB) Lại có: ( ) 1MA SB MA SC⊥ ⇒ ⊥ +) ( ) CD SAD⊥ ⇒ SD là hình chiếu của SC trên (SAD) Lại có ( ) 2AN SD AN SC⊥ ⇒ ⊥ Vậy từ (1) và (2) ta có: ( ) SC mp AMN⊥ • Cách 3: +) MN BDP Mà BD AC⊥ với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) MN SC⇒ ⊥ +) ( )AM SC SC AMN⊥ ⇒ ⊥ b/ CMR: AK MN⊥ Có ( ) BD AC BD SAC BD SA ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Mặt khác: BD // MN ( )MN SAC MN AK⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi 2SA a= , AB = a +) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC +) Vì ASCV có AS = AC = a 2 0 45goc SCA⇒ = ⇒ góc cần tìm là 0 45 +) SBCV vuông tại B có 3,SB a BC a= = · · 0 1 tanCSB CSB 30 3 3 BC a SB a = = = ⇒ = Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK) Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c a/ Tính độ dài AD b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp (ABC) Giải O B C D A - 5 - a/ Vì AB BC ⊥ và AB CD ⊥ nên ( ) AB mp BCD⊥ Mặt khác BC CD⊥ nên AC CD⊥ (định lý ba đường vuông góc) Vậy 2 2 2 2 2 2 AD AC CD AB BC CD= + = + + tức là: 2 2 2 AD a b c= + + b/ Vì · · 0 90ABD ACD= = nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK) Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC c/ Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Giải A B C O A' H a/ Ta có: 2 2 2 AB OA OB= + 2 2 2 BC OB OC= + 2 2 2 AC OA OC= + Vậy 2 2 2 BC AB AC< + , tức là góc BAC của tam giác ABC là góc nhọn. Tương tự như trên, ta chứng minh được tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. b/ * Cách 1: Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp (ABC) nên ( ) OH ABC⊥ Mặt khác ( ) OBCOA ⊥ nên OA BC ⊥ Vậy AH BC⊥ (định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC. Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. * Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì AK BC⊥ , mặt khác OA BC⊥ nên ( ) BC AOK⊥ , suy ra BC OK ⊥ . Tương tự như trên ta cũng có: AB OK ⊥ . Vậy ( ) OK ABC⊥ , tức là K trùng với H. c/ Nếu AH BC⊥ tại A ′ thì BC OA ′ ⊥ Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA ′ (vuông tại O) và OA ′ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ; OH OA OA OA OB OC = + = + ′ ′ Vậy 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Bài 4: (BT 18 – tr 103 – SGK) - 6 - Cho hình chóp S.ABC có ( ) ABCSA mp⊥ , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy b/ ( ) BHKSC mp⊥ c/ ( ) SBCHK mp⊥ Giải K H A B C S A' a/ Gọi AA ′ là đường cao của tam giác ABC, do ( ) SA ABC⊥ nên SA BC ′ ⊥ (định lý ba đường vuông góc) Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc AA ′ , K thuộc SA ′ Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A ′ b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC⊥ , mà BH SA⊥ nên BH SC⊥ Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên BK SC⊥ Vậy ( ) SC BHK⊥ c/ Từ câu b ta suy ra HK SC ⊥ . Mặt khác HK BC ⊥ do ( ) BC SAA ′ ⊥ Vậy ( ) HK mp SBC⊥ Bài 5: (BT 19 – tr 103 – SGK) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC a/ Chứng minh rằng: ( ) ABCSG mp⊥ . Tính SG b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm 1 C nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P) Giải a/ A B C S H - 7 - Kẻ ( ) SH mp ABC⊥ , do SA SB SC = = nên ta có HA HB HC = = Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó. Vậy ( ) SG ABC⊥ 2 2 2 2 2 3 3 a SG SA AG b   = − = −  ÷  ÷   Từ đó: 2 2 3 a SG b= − (Với 2 2 3b a> ) b/ G C' A B C S C1 Dễ thấy AB SC⊥ . Vì (P) đi qua A và vuông góc với SC nên AB nằm trong (P). Kẻ đường cao 1 AC của tam giác SAC thì (P) chính là mp ( ) 1 ABC Do tam giác SAC cân tại S nên điểm 1 C nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi · 0 90ASC < Điều này tương đương với 2 2 2 AC SA SC< + hay 2 2 2a b< Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác 1 ABC 1 1 1 1 1 . . . . 2 2 ABC S AB C C a C C ′ ′ = = (Với C ′ là trung điểm của AB) Mặt khác 1 . .C C SC SG CC ′ ′ = 1 .SG CC C C SC ′ ′ ⇒ = Tức là: 2 2 2 2 1 3 . 3 3 2 2 a a b a b a C C b b − − ′ = = Vậy 1 2 2 2 3 4 ABC a b a S b − = Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. Giải - 8 - P Q R S N M D C A C' A' B' D' B a/ Ta có AC AB AD AA ′ ′ = + + uuuur uuur uuur uuur và BD AD AB= − uuur uuur uuur Vậy ( ) ( ) . . 0AC BD AB AD AA AD AB ′ ′ = + + − = uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Tương tự ta có . 0AC BA ′ ′ = uuuur uuur Vậy ( ) AC A BD ′ ′ ⊥ Do ( ) ( ) //A BD B CD ′ ′ ′ nên ( ) AC B CD ′ ′ ′ ⊥ b/ Gọi M là trung điểm của BC thì MA MC ′ = (vì cùng bằng 5 2 a ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực ( ) α của AC ′ Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, , , ,DD D A A B B B ′ ′ ′ ′ ′ ′ ) Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp ( ) α là MNPQRS. Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh bằng 2 2 a Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là: 2 2 2 3 3 3 6. . 2 4 4 a S a   = =  ÷  ÷   Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và ( ) ABCDSA mp⊥ , SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60 o Giải O D A B C S O 1 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ 1 OO vuông góc với SC, dễ thấy mp ( ) 1 BO D vuông góc với SC. - 9 - Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng 1 BO và 1 DO Mặt khác 1 1 ,OO BD OO OC⊥ < mà OC = OB nên · 0 1 45BO O > Tương tự · 0 1 45DO O > , tức là · 0 1 90BO D > Như vậy, hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 0 60 khi và chỉ khi · · 0 0 1 1 120 60BO D BO O= ⇔ = (Vì 1 BO DV cân tại 1 O ) 0 1 1 .tan 60 . 3 BO OO BO OO ⇔ = ⇔ = Ta lại có: · · 1 1 .sin .sin . SA OO OC OCO OC ACS OC SC = = = Như vậy 1 3 3. . 3 SA BO OO BO OC SC SA SC = ⇔ = ⇔ = 2 2 2 3x a x x a⇔ + = ⇔ = Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 0 60 Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK) Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a/ Tính AB, IJ theo a và x b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc? Giải I J C B D A a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ CD ⊥ Do ( ) ( ) mp ACD mp BCD⊥ nên ( ) AJ mp BCD⊥ Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra 2 2 2 2,AB AJ AJ a x= = − hay 2 2 AJ a x= − Vậy ( ) 2 2 2AB a x= − với a > x Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên 1 2 JI AB= , tức là ( ) 2 2 1 2 2 IJ a x= − b/ Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy ( ) ( ) mp ABC mp ABD⊥ · 0 1 90 2 CID IJ CD⇔ = ⇔ = ( ) 2 2 1 1 3 2 .2 2 2 3 a a x x x⇔ − = ⇔ = Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT) - 10 - [...]... ( Đề CĐ SP – HD - 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường cao SH = a 3 Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD Bài 28( Đề CĐ HV – 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Bài 29( Đề ĐH Khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều... 22 ( Đề CĐ sư phạm VP K D-B - 2007) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N là trung điểm BC và C’D’ mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ ở P Tính tỉ số PC ' B 'C ' Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông... Đề CĐ khối -D - 2007) (Đề số 41 – tr 53- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và SA = a 3 Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD Bài 25( Đề CĐ Công nghiệp Tp HCM 2007) (Đề số 42 – tr 54- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Các mặt bên (SAB) và (SCD) tạo với nhau một góc... Tính diện tích thiết diện ABMN Bài 26 ( Đề CĐ KTKT- 2007) (Đề số 44 – tr 57- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho tứ diện ABCD có : AB = CD = a; AC = BD = b; BC = AD = c Chứng minh rằng bốn mặt của tứ diện là các tam giác có 3 góc nhọn Bài 27 ( Đề CĐ SP – HD - 2006) (Đề số 54 – tr 67- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường cao SH = a... phẳng (BCD) theo a Bài 33( Đề ĐH Khối D – 2007) (Đề số 6 – tr 11 - stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, gocABC = gocBAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 34( Đề ĐH Khối B – 2007) (Đề số 5 – tr 10 - stt ĐTTS... (AB’I) Bài 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng α Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007) Cho hình lăng trụ đứng... đến 2008-2009) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, M và N là trung điểm BC và C’D’ mặt phẳng (AMN) cắt đường thẳng B’C’ ở P Tính tỉ số PC ' B 'C ' Bài 23 ( Đề CĐ khối -B - 2007) (Đề số 40 – tr 52- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Bài 24 ( Đề CĐ khối -D - 2007) (Đề số 41 – tr 53-... Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng α Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ Bài19 ( Đề CĐ... hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P) Bài 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều Tính diện tích thiết diện đó Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ mp ( ABCD... diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P) - 20 - Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều Tính diện tích thiết diện đó Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông . ' A E D QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: (VD – tr 101 – SGK) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên. 0 45 b/ Do ABCD là hình thoi nên AC BD⊥ Mặt khác IJ // BD nên AC IJ⊥ tức là góc giữa IJ và AC bằng 0 90 không đổi. Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,. DBCA có các cạnh bằng nhau Bài 13: (BT 42 – tr 122 – SBT) Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) a/ Chứng minh rằng (