a) Tính các tổng sau: 1) S = 1 + 2 + 3 + + n + 2) S = 1 1 1 1 1 2 4 8 2 n   − + − + + − +  ÷   3) S = 1 1 1 1 3 9 27 3 n   + + + + +  ÷   b) Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: 1) 0.111 2)0.1212 3)0.321321 4) 1.222 5) 2.2323 6)2.012012 26) n n n 4 lim 2.3 4+ 27) n n 3 1 lim 2 1 + − 28) n n n 3 2.5 lim 7 3.5 − + 29) n n n n 4 5 lim 2 3.5 − + 30) n n n 1 n 1 ( 3) 5 lim ( 3) 5 + + − + − + 31) ( ) lim 3n 1 2n 1− − − 32) ( ) lim n 1 n+ − 33) ( ) 2 lim n n 1 n+ + − 37) ( ) 2 lim n n 1− + 34) ( ) 2 lim n n 2 n 1 + + − + 35) ( ) lim n 3 n 5 + − − 36) ( ) 2 lim n n 3 n− + − 37) 1 lim n 2 n 1 + − + II.GIỚI HẠN HÀM SỐ. Bài 1. Tính các giới hạn sau. ( ) 32Lim 2 + → x x b. ( ) 432Lim 3 2 ++ −→ xx x d.       ++− ++ −→ 24 132 Lim 2 2 1 xx xx x e.       − − → 9 3 Lim 2 3 x x x f.       − + −→ 9 3 Lim 2 3 x x x g.         −+ → x x x 2 121 Lim 0 Bài 2. Tính các giới hạn sau:       −+ → 39 4 Lim 0 x x x b.         − − → 2 22 Lim 2 x x x Bài 3. Tính các giới hạn sau.       − −+ → 3 152 Lim 2 3 x xx x b.       − ++ −→ 1 132 Lim 2 2 1 x xx x Bài 4. Tính các giới hạn sau. a.       + −∞→ 12x 1-3x Lim x b.         −+ ++ +∞→ xx2x 3x2x Lim 2 2 x c.         ++ + +∞→ 1xx 3x2x Lim 2 x d. ( )( ) ( )( ) 323 121 Lim ++ ++ −∞→ xx xx x . e.       + −∞→ 2x 3-7x Lim 2 2 x x f.       +− + −∞→ 12x 12x-6x Lim 3 3 x x Bài 1. Tính các giới hạn sau. 1Lim 1 − − → x x ; b. 32 1 Lim 2 1 −+ − − → xx x x c.    < >+ = − → 1nêu x 1,-2x 1nêu x 3,x f(x) f(x),Lim 1x d.    < >+ = + → 1nêu x 1,-2x 1nêu x 3,x f(x) f(x),Lim 1x e.      < > ++ + = − → 3-nêu x 1,-2x -3nêu x , 2xx 3x f(x) f(x),Lim 2 -3x f.      < > ++ + = + → 3-nêu x 1,-2x -3nêu x , 2xx 3x f(x) f(x),Lim 2 -3x Bài 2. Cho các hàm số      ≤+ > − = 1nêu x 3,5x 1nêu x , x 1x2 )x(f b.      ≤++ > −+ = 1nêu x ,1xx 1nêu x , 1-x 2xx )x(f 2 2 Tính các giới hạn sau: + →1x Limf(x) ; − →1x Limf(x) ; 1x Limf(x) → ; f(1)? III) hàm số liên tục Bài 1 : xét tính liên tục của các hàm số sau a. f(x) = 3x2 + 2x -3 taïi x0 = 2 b. f(x) = 2 2 3 2 x x x + + − taïi x0 = 1 c. 3 2 , nêu x 1 ( ) x 2x - 1, nêu x < 1 x f x −  ≥  =    taïi x0 = 1 d. 2 3 2 nêu x 1 ( ) x 4x - 3 nêu x < 1 x x f x  + − ≥  =    taïi x0 = 1 e. 3 2 8 nêu x 2 ( ) x 4x - 6 nêu x < 2 x x f x  + − ≥  =    taïi x0 = 2 Bài 2. Xét tính lien tục của các hàm số sau lại x0=1      = ≠ − = 1nêu x 1, 1nêu x , x 1x2 )x(f b.      = ≠ −+ = 1nêu x ,3 1nêu x , 1-x 2xx )x(f 2 Bài 3. Cho hàm số      =+ ≠ − = 0nêu x , 1a2 0nêu x , x x2x )x(f 2 . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0 = 0 Bài 4. Cho hàm số      =+ ≠ − − = 4nêu x , 1a2 4nêu x , 4x 16x )x(f 2 . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0 = 4. Bài 5. Cho hàm số 2 2 nêu x 1 ( ) 1 1 nêu x 1 x x f x x  − − ≠ −  = +   =  . Xét tính liên tục của hàm số trên TXD Bài 6. Cho hàm số 2 2 nêu x 0 ( ) 1 nêu x 0 x x f x x  − ≠  =   =  . Xét tính liên tục của hàm số trên TXD Bài 7. Cho hàm số 2 2 nêu x 2 ( ) 2 3 nêu x 2 x x f x x  − − ≠  = −   =  . Xét tính liên tục của hàm số trên TXD Bai 8. Chứng minh phương trình sau x2cosx + xsinx + 1 = 0 Có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; π ) Baøi 9. Chứng minh phương trình sau x4 – 3x2 + 5x - 6 = 0 Có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1;2) Bài 1: Tính các giới hạn sau : 2 2 2 2 3 2 2 3 4 0 2 2 3 2 3 2 3 4 2 2 1 2 4 2 2 4 2 3 9 6 3 10 8 1) lim 2) lim 3) lim 4) lim 5 8 15 21 34 8 2 2 2 9 5 2 4 18 64 5) lim 6) lim 7) lim 1 8 16 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → →− → + − − + − + − − + − + − + − − − + + − + − − 3 2 4 2 1 3 2 10 3 2 2 3 1 1 8) lim 12 48 5 4 2 18 9 1 9)lim 10)lim 21 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − + − − + + − − − − + − − Bài 1: Tính các giới hạn sau : 2 2 2 7 1 3 2 3 2 7 8 1 3 2 6 1)lim 2) lim 3) lim 49 2 3 3 3 2 x x x x x x x x x x x x x → → → − + − + + − + − + − + − 4 ) x x x − − → 5 5 lim 5 5) xx x x 336 1 lim 2 1 ++ + −→ 6) x x x −− +− → 51 53 lim 4 7) 314 2 lim 2 −+ +− → x xx x 8) 3 2 1 7 1 6 2 lim 3 2 x x x x x → + − − − + Bài 1: Tính các giới hạn sau : a) 3 2 2 1 1 lim 4 x x x + + b) 2 24 lim 3 2 x x x c) x x x 3 11 lim 3 0 + d) 2 3 7 4 21 49 lim 4 1 3 x x x x + + + Baứi 4: Tớnh caực giụựi haùn sau : 4 5 2 3 2 4 3 6 2 2 2 3 2 3 6 7 3 2 12 1 a) lim b) lim c) lim d) lim 5 1 2 5 1 2 19 23 9 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + f) 2 x x x 1 lim x x 1 + + + + g) 2 2 x 3x(2x 1) lim (5x 1)(x 2x) + h) 2 2 4 x (x 1) (7x 2) lim (2x 1) + + + k) 12 3 13 2 2 x (2x 3) (4x 7) lim (3x 4) (5x 1) + l) 2 x 4x 1 lim 3x 1 + l) 2 3 2 lim 3 1 x x x x x + + m) 2 3 2 lim 3 1 x x x x x + Bi 1: Tớnh cỏc gii hn sau : a) 3 lim (2 3 12) x x x + + b) 4 lim ( 2 3 1) x x x + c) 2 lim 3 4 x x x + + d) 2 x lim ( x x x) + e) 2 x lim ( x x x) + + i) 3 3 2 lim ( 2 2) x x x x + + Bi 1: Tớnh cỏc gii hn sau : 2 3 4 3 5 3 1 2 1 3 1 ) lim (1 2 ). ) lim . ) lim ( 3). 7 5 7 9 8 2 x x x x x x a x b x c x x x x x + + + + + + + + + !!!!!!!!!1) 3 3 6n 2n 1 lim n 2n + 2) 2 2 1 n 2n lim 5n n + + 3) 3 2 3 2n 4n 3n 3 lim n 5n 7 + + + 4) 2 4 2n n 2 lim 3n 5 + + + 5) 2 3 2 n 4n 5 lim 3n n 7 + + + 6) 5 4 3 2 n n n 2 lim 4n 6n 9 + + + 7) 2 2 7n 3n 2 lim n 5 + + 8) 3 2 3n 2n 1 lim 2n n + 9) 3 2 2 2n 1 5n lim 5n 1 2n 3 + ữ ữ + + 10) 5 3 5 4 3n 7n 11 lim n n 3n + + 11) 2 6 5 2n 3 lim n 5n + 12) 2 2 2n n lim 1 3n 13) 3 3 n n lim n 2 + + 14) 4 2 2n 3n 2 lim 2n n 3 + + 15) 3 6 3 n 7n 5n 8 lim n 12 + + 16) 2 n 1 n 1 lim 3n 2 + + + 17) ( ) 3 lim 3n 7n 11 + 18) 4 2 lim 2n n n 2 + + 19) 3 3 lim 1 2n n+ 20) 2 1 2 n lim n + + + 21) 2 n 2 4 2n lim 3n n 2 + + + + 22) 3 3 3 4 3 1 2 n lim n n 3n 2 + + + + + + 23) 2 n. 1 3 (2n 1) lim 2n n 1 + + + + + 24) 3 3 3 2 1 2 n lim 11n n 2 + + + + + , ( ) 2 2 3 3 3 n n 1 1 2 n 4 + + + + = 25) 2 n 2 n 2 2 2 1 3 3 3 lim 1 1 1 1 5 5 5 + + + + ữ ữ + + + + ữ ữ 26) n n n 4 lim 2.3 4+ 27) n n 3 1 lim 2 1 + 28) n n n 3 2.5 lim 7 3.5 + 29) n n n n 4 5 lim 2 3.5 + 30) n n n 1 n 1 ( 3) 5 lim ( 3) 5 + + + + 31) ( ) lim 3n 1 2n 1 32) ( ) lim n 1 n n+ 33) ( ) 2 lim n n 1 n+ + 37) ( ) 2 2 limn n n 1 + 34) ( ) 2 lim n n 2 n 1 + + + 35) ( ) lim n 3 n 5 + 36) ( ) 2 lim n n 3 n + 37) 1 lim n 2 n 1 + + 1. ( ) 2 2 lim 3x 7x 11 x + + 2. ( ) 2 1 7x 11 lim 4 2 x x x + + 3. ( ) ( ) x 2 3x 1 2 3x lim x 1 + + 4. 0 7x 11 lim 2 1 x x x + ữ 5. 2 3 lim 4 x x 6. 2 x 9 x 3 lim 9x x 7. 2 3 x 3x x 5 lim x 2 + 8. 4 4 2 x 2x 3x 5 lim x 2x + 9. 6 5 3 x 3x 2x 5 lim 3x 2 →+∞ − + − 10. 6 3 x x 5x 1 lim 5x 2 →−∞ − + − 11. 2 3 2 x x 5 lim 6x 3x 2 →−∞ + − + 12. x 3 3 x lim 3 x + → − − 13. x 3 3 x lim 3 x − → − − 14. x 3 3 x lim 3 x → − − 15. x 0 x 2 x lim x x + → + − 16. 2 x 2 4 x lim 2 x − → − − 17. 3 2 x 2 x 2 2 lim x 2 →− + − 18. 4 2 x 3 x 27x lim 2x 3x 9 → − − − 19. 4 2 x 2 x 16 lim x 6x 8 →− − + + 20. ( ) ( ) 5 3 3 2 3 x 2x x 1 lim 2x 1 x x →+∞ + − − + 21. 2 x x x 2x lim 2x 3 →−∞ + + + 22. ( ) 4 2 x x lim x 1 2x x 1 →+∞ + + + 23. ( ) 3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 24. 4 2 x lim 2x 5x 1 →+∞ − + 25. x 2 2x 1 lim x 2 + → + − 26. x 2 2x 1 lim x 2 − → + − 27. ( ) 3 2 x lim 2x 5x 3x 1 →+∞ − + − 28. 3 2 x x 5 lim x 1 →+∞ − + 29. 3 2 x 2 x 8 lim x 4 → − − 31. ( ) ( ) 2 2 x 3 2x 5x 3 lim x 3 − → − + − + 32. 3 2 x 0 x 1 1 lim x x → + − + 33. 2 3 x 2x x 10 lim 9 3x →+∞ + + − 34. 3 2 x 3 x 3 3 lim x 3 →− + − 35. 2 x 4 x 2 lim x 4x → − − 36. 2 x 1 x 1 lim x x + → − − 37. 2 x 0 x x 1 1 lim 3x → + + − 38. 3 x 3 3 x lim 27 x − → − − 39. 3 2 x 2 x 8 lim x 2x + → − − 40) 2 2 x 2 x 3x 10 lim 3x 5x 2 → + − − − 41) 2 x 2 x 4 lim x 2 → − − 42) 2 2 x 1 x 4x 3 lim (x 1) → − + − 43) x 1 x 1 lim 1 x → − − 44) 2 x 3 x 2x 15 lim x 3 → + − − 45) 2 x 5 x 2x 15 lim x 5 →− + − + 46) 3 x 1 x 1 lim x(x 5) 6 → − + − 47) 2 2 x 4 x 3x 4 lim x 4x →− + − + 48) 2 2 x 4 x 5x 6 lim x 12x 20 →− − + − + 49) 3 2 2 x 2 x 3x 2x lim x x 6 →− + + − − 50) 4 2 x 1 x 1 lim x 2x 3 → − + − 51) 3 2 2 x 2 x 4x 4x lim x x 6 →− + + − − 52) 2 x 2 x 5 3 lim . x 2 → + − − 53) 4 x 7 x 9 2 lim x 7 → + − − 54) x 5 5 x lim 5 x → − − 55) x 2 3x 5 1 lim x 2 → − − − 56) x 0 x lim 1 x 1 → + − 57) 2 x 1 x 1 lim 6x 3 3x →− + + + 58) 2 x 0 1 x x 1 lim x → + + − 59) 2 x 5 x 4 3 lim x 25 → + − − 60) ( ) 2 x 0 1 2x x 1 x lim x → − + − + 61) x 3 x 3 lim 2x 10 4 → − + − 62) x 6 x 2 2 lim x 6 → − − − 63) 2 x 1 2x 3x 1 lim x 1 → − + − 64) 2 x 1 x 1 lim x 2x 3 → − + − 65) x 0 5 x 5 x lim x → + − − 66) x 0 1 x 1 x lim x → + − − 67) x 1 2x 1 x lim x 1 → − − − 68) 2 x 0 1 x x x 1 lim x → + − + + 69) 2 2 x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2 → − − − − − + 70) 2 x 0 1 3x x 1 x lim x → − + − + 71) x 4 3 5 x lim 1 5 x → − + − − 72) x 2 x x 2 lim 4x 1 3 → − + + − 73) 2 x 1 x x lim x 1 → − − 74) 3 2 x 1 x 1 lim x 3 2 →− + + − 75) 2 2 x 0 4 x 2 lim 9 x 3 → − − − − 76) x 9 7 2x 5 lim x 3 → + − − 77) 2 2 x x 3x 10 lim 3x 5x 2 →+∞ + − − − 78) 2 3 x x 4 lim x 2 →−∞ − − 79) 2 2 x x 4x 3 lim (x 1) →+∞ − + − 80) 2 x x 2x 15 lim x 5 →−∞ + − + 81) 2 1 lim ( 5) 6 x x x x →+∞ − + − 82) 2 4 x x 3x 4 lim x 4x →−∞ + − + 83) 4 3 2 x x 5x 6 lim x 12x 20 →+∞ − + − + 84) 3 2 5 x x 3x 2x lim x x 6 →−∞ + + − − 85) 2 1 lim 2 3 x x x x →−∞ − + − 86) 3 6 4 2 x x 4x 4 lim x x 6 →−∞ − + − − 87) x 2 8 2x 2 lim x 2 + →− + − + 88) x 0 2 x 3x lim 3 x 2x + → − − 89) ( ) 2 3x 1 ; x 1 f x x 1 ; x 1 − ≤   =  + >   tìm. x 1 lim f (x) → 90) 2 mx ; x 2 f (x) 3 ; x 2  ≤  =  >   Tìm x 2 lim f(x) → 91) 2 x 5x 6 ; x 2 f (x) mx 4 ; x 2  − + >  =   + ≤  . Tìm m để hàm số có giới hạn khi x 2 → 92) ( ) 2 2 x lim x x 1 x 2 →+∞ + − − 93) ( ) 2 2 x lim x 7x 1 x 3x 2 →+∞ − + − − + 94) ( ) 2 2 x lim x 4x 1 x 9x →+∞ − + − − 95) ( ) 2 2 x lim x 2x 1 x 6x 3 →+∞ − + − − + 96) ( ) 2 lim 4 7 2 x x x x →+∞ − − − + 1.Giới hạn tại một điểm : Ví dụ: Cho hàm số f(x) = = 3 2 5 4 x x − + và dãy số (Xn ) biết 2 1+ = n n x n a) Tính f( Xn) . b) Tính lim Xn và limf(Xn ) a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a;b ) , cĩ thể trừ điểm (a;b) .Hàm số f(x) cĩ giới hạn L khi x dần tới , nếu mọi dãy số (Xn ) ( 0 ( ; ), ,∈ ≠ ∀ ∈ n n x a b x x n N ) sao cho lim Xn=Xo thì lim f(Xn ) = L . Ta viết : 0 lim ( ) x x f x L → = . b) Giới hạn vơ cực : Đ.n : : 0 0n n lim ( ) ( hay - ) (x ), limx lim ( ) ( hay - ) n x x f x x f x → = +∞ ∞ ⇔ ∀ = ⇒ = +∞ ∞ 2. Giới hạn tại vơ cực : Đ.n: n n n n lim ( ) (x ), limx lim ( ) lim ( ) (x ), limx lim ( ) n x n x f x L f x L f x L f x L →+∞ →−∞ = ⇔ ∀ = +∞ ⇒ = = ⇔ ∀ = −∞ ⇒ = 3. Định lý về giới hạn : Định lý 1 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) đều cĩ giới hạn khi x dần tới a thì : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ). lim[ ( ). ( )] lim ( ). lim ( ). lim ( ) ( ) lim (lim ( ) 0). ( ) lim ( ) → → → → → → → → → → ± = ± = = ≠ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x 0 0 0 0 3 3 lim ( ) lim ( ). lim ( ) lim ( ) ( f(x) 0 ) → → → → = = ≥ x x x x x x x x f x f x f x f x Bài tập Vấn đề 1: Tìm Giới Hạn Của Hàm Số Tại Điểm a Phương pháp : Sử dụng các giới hạn cơ bản sau : CC ax = → lim . Với C là hằng số . Bài 1 : Tính các giới hạn sau : a) )3(lim 2 + → x x , b) )523(lim 34 1 +−+ → xxx x , c) 63 23 lim 3 2 0 + ++ → x xx x , 65 23 lim 3 1 + + −→ x x x . Bài 2: Tính các giới hạn sau : 3 2 2 2 2 2 2 2 3x - x x - 8x -3x+7 (x -5x+7)(4x-1) 2x -1 - x a) lim b) lim c) lim 3x + x + 2 (3x + 2) 27x + x - 3 x → ∞ →+∞ → ∞ − Bài 2: Giới Hạn Một Bên 1.Định nghĩa : a) Giới hạn bên phải : cho hàm số f(x) xác định trên (Xo ; b) . 0 0 0n n lim ( ) x ( ; ), limx lim ( ) n x x f x L x b x f x L + → = ⇔ ∀ ∈ = ⇒ = b) Giới hạn bên trái : cho hàm số f(x) xác định trên (a; Xo) . Ta cĩ : 0 0 0n n lim ( ) x ( ; ), limx lim ( ) n x x f x L a x x f x L − → = ⇔ ∀ ∈ = ⇒ = 2. Định lý : Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có giới hạn bằng L là giới hạn bên phải bằng giới hạn bên trái và bằng L . Ta có : Lxf ax = → )(lim ⇔ = + → )(lim xf ax Lxf ax = − → )(lim . . 3. Một số kết quả : 2 2 1 0 0 0 1 1 1 lim (k Z) , lim , lim k k k x x x x x x = − − + → → → = +∞ ∈ = +∞ = −∞ Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau 2 2 6 3 6 2 3 2 6 1 5 9 + - + - x 1 x x x 1 | | 1.lim x - 1 2. lim 3. lim 4. lim x x x x x x x x x → → → → − − + − − + − Ví dụ 2: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau : f(x)=      > − + ≤− 1, 7 5 1,13 2 x x x xx Bài tập 1. Tìm giới hạn của hàm số sau 2 2 2 2 2 2 5 1 2 1 5 4 3 1 6 8 6 5 5 1 1 6 5 5 5 6 - - - x x x x x . lim 2. lim 3. lim 4. lim 5. lim | | x x x x x x x x x x x x x x x x − − → → → → → + − − − + − + − − − + − − + − 2. Tìm giới hạn của hàm số sau 2 2 2 4 5 5 5 5 4 3 3 1 1 1 3 2 3 - - - 2 2 x x x 1 .lim b. lim c. lim | | x x x x x x a x x x x → → → − + −   −  ÷ − − − +   − 3. Cho hàm số : f(x) =      > − + ≤++ 1, 7 1,52 2 x x mx xxx Tìm m để hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó . Bài 3: Khử Các Dạng Vơ Định 3.Các dạng vơ định : Khi tính giới hạn của hàm số ta gặp các giới hạn sau : : ∞×∞−∞ ∞ ∞ 0,,, 0 0 gọi là dạng vơ định . Khi đó ta khơng sử dụng được các định lý về giới hạn và cũng khơng biết giới hạn này là bao nhiêu .Để tính được các giới hạn ta phải khử các dạng vơ định trên . Vấn đề 1 : Khử Dạng Vơ Định 0 0 Phương pháp : Giả sử )( )( lim xg xf ax→ có dạng 0 0 . . Ta khử dạng này như sau : Phân tích f(x) = (x-a)f (x) và g(x) = (x-a)g (x) . Khi đĩ : )( )( lim xg xf ax→ = )( )( lim 1 1 xg xf ax→ , sau đĩ tính bình thường . Bài Tập Bài 1 : Tìm các giới hạn sau : a) 2 4 lim 2 2 − − → x x x b) 8 4 lim 3 2 2 − − → x x x c) 752 34 lim 2 2 1 −− ++ −→ xx xx x d) 372 156 lim 2 2 2 1 +− +− → xx xx x Bài 2 : Tìm các giới hạn sau : a) xx xx x 2 42 lim 2 3 2 + +− −→ b) 6 293 lim 3 23 2 −− −−+ → xx xxx x c) 98 935 lim 24 23 3 −− ++− → xx xxx x Bài 3: Tìm các giới hạn sau a) 1 23 lim 2 1 − −+ → x x x b) 314 2 lim 2 −+ +− → x xx x c) 1 26 lim 2 3 2 − −+ → x x x d) 23 7118 lim 2 3 3 +− +−+ → xx xx x e) x xx x 341 lim 0 −+++ → Vấn đề 2: Khử Dạng Vơ Định ∞ ∞ Phương pháp : Giả sử )( )( lim xg xf ax→ có dạng ∞ ∞ . Ta khử dạng này như sau : Chia cả tử và mẫu cho x là số hạng cósố mũ lớn nhất của tử và mẫu. Bài tập Bài 4 : Tính các giới hạn sau : a) 24 32 lim 3 ++ + ∞→ xx x x b) 24 632 lim 3 4 ++ ++ ∞→ xx xx x c) 25 310 lim + + ∞→ x x x d) 247 1032 lim 2 2 ++ ++ ∞→ xx xx x e) 24 )53)(32( lim 3 2 ++ ++ ∞→ xx xx x Vấn đề 3: Khử Dạng Vơ Định ∞−∞ Giả sử lim f(x) = +∞ và limg(x) = +∞ thì lim[f(x) – g(x)] có dạng ∞−∞ Phương pháp : Đưa dạng ∞−∞ về dạng ∞ ∞ Bài Tập Bài 5 : Tính các giới hạn sau a) )1(lim 2 xx x −+ +∞→ , b) )1(lim 2 xx x −+ −∞→ , c) )4(lim 2 xxx x −− ∞→ d) ) 1 2 1 1 (lim 2 1 − − − → x x x e) ) 1 3 1 1 (lim 3 1 x x x − − − → , f) ) 1 3 2 1 (lim 32 1 − − −+ → xxx x Vấn đề 4: Giới Hạn Hàm Số Lượng Giác Phương pháp : Sử dụng định lý sau : Định lý : . 1 sin lim 0 = → x x x Hệ quả: Nếu 0)(lim = → xu ax thì . 1 )( )(sin lim = → xu xu ax Bài Tập Bài 6 . Tính các giới hạn : a) x x x 2sin lim 0→ b) x x x 2 5sin lim 0→ c) x x x 5sin 2sin lim 0→ d) 2 0 2cos1 lim x x x − → e) 22 2 1 )1( )1(sin )1(lim − − + → x x x x , f) x xx x 3sin cos3sin lim 3 − → π g) 1 sin lim 0 − → x x x π . để hàm số liên tục tại x0 = 0 Bài 4. Cho hàm số      =+ ≠ − − = 4nêu x , 1a2 4nêu x , 4x 16x )x(f 2 . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0 = 4. Bài 5. Cho hàm số 2 2 . −  = +   =  . Xét tính liên tục của hàm số trên TXD Bài 6. Cho hàm số 2 2 nêu x 0 ( ) 1 nêu x 0 x x f x x  − ≠  =   =  . Xét tính liên tục của hàm số trên TXD Bài 7. Cho hàm số 2 2 nêu x 2 ( ) 2 3. điểm : Ví dụ: Cho hàm số f(x) = = 3 2 5 4 x x − + và dãy số (Xn ) biết 2 1+ = n n x n a) Tính f( Xn) . b) Tính lim Xn và limf(Xn ) a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f(x) xác định trên một