Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 Dạng toán rút gọn biểu thức Có chứa căn thức bậc hai **********&********* Bài 1: Thực hiện phép tính: 1) 2 5 125 80 605 + ; 2) 15 216 33 12 6 + ; 3) 10 2 10 8 5 2 1 5 + + + 4) 2 8 12 5 27 18 48 30 162 + + ; 5) 16 1 4 2 3 6 3 27 75 6) 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + 7) 4 3 2 27 6 75 3 5 + ; 8) 1 1 2 2 3 2 2 3 + + + 9) ( ) 3 5. 3 5 10 2 + + 10) ( ) 2 3 5 2 + ; 11) 14 8 3 24 12 3 12) 4 9 4 2 + 13) 5 9 4 5+ 14) 8 3 2 25 12 4 192 + 15) 3 5 3 5 + + 16) ( ) 2 5 2 8 5 2 5 4 + 17) 6 4 2 6 4 2 2 6 4 2 2 6 4 2 + + + + 18) 2 2 3 5 3 5 + + 19) 4 1 6 3 1 3 2 3 3 + + + 20) 3 3 1 3 1 1 3 1 + + + + 21) ( ) ( ) 3 3 2 1 2 1+ 22) 25 1 25 1 + + 23) 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + + + + 24) 18 12 2 3 25) ( ) ( ) 2 2 5 1 5 1 + + 26) 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + + 27) 3 2 2 28) 1 175 2 2 8 7 + + 29) ( ) ( ) 5 2 6 49 20 6 5 2 6 + 30) 9 1 2 1 5 : 16 16 16 ữ 31) 18 12 2 3 32) 2 5 24 12 + 33) 3 2 3 6 3 3 3 + + 34) ( ) ( ) ( ) 5 3 50 5 24 75 5 2 + 35) 1 2 6 4 3 5 2 8 .3 6 4 + ữ 36) 2 8 12 5 27 18 48 30 162 + + 37) 15 5 1 3 1 3 38) 16 1 4 2 3 6 3 27 75 39) 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + 40) 40 2 57 40 2 57 + 41) ( ) 2 1 1 15 6 5 120 2 4 2 + 42) 7 4 3 7 4 3 + + 43) 14 6 5 14 6 5 + + 44) ( ) 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 + + + + 45) 6 2 5 2 20 46) ( ) 2 3 2 3 3 2 3 2 24 8 6 3 2 4 2 2 3 2 3 2 3 + + + + ữ ữ ữ + + 47) 10 2 10 8 5 2 1 5 + + + 48) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 3 + 49) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2+ + 1 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 50) 2 5 125 80 605 + 51) 8 3 2 25 12 4 192 + 52) 15 216 33 12 6 + 53) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 1999 2000 + + + + + + + + + + + + 54) ( ) 2 3 5 2 + Bài 2: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau : 232 12 + + =A ; 222 1 + = B ; 123 1 + =C Bài 3: So sánh x; y trong mỗi trờng hợp sau: a) 27 2x = và 3y = ; b) 5 6x = và 6 5y = ; c) x = 2m và y = m+2 Bài 4 1. Tính giá trị của biểu thức: A = 2 2 4 2 2 4 4 4 4 12 9a ab b a ab b+ + + vi 2a = ; 1b = . 2. Đặt 24057;24057 =+= NM . Tính giá trị của các biểu thức sau: a. M-N b. M 3 -N 3 3. Chứng minh: 3 3 3 2 1 3 3 3 x x x x x x x + + = ữ ữ ữ ữ + (với 0x và 3x ). 4. ( ) 0,0; 4 2 >>= + + baba ab abba ba abba 5. Chứng minh 9 4 2 2 2 1+ = + ; 13 30 2 9 4 2 5 3 2 + + + = + ; ( ) 2 3 2 2 1 2 = 6. ( ) ( ) 2 2 1 1 3 2 17 2 2 17 2 2 7 2 2 17 + = + 7. Chứng minh đẳng thức: 3 2 6 150 1 4 3 3 27 3 6 ì = ữ ữ 8. Chứng minh 2002 2003 2002 2003 2003 2002 + > + 9. Chứng minh rằng 2000 2 2001 2002 0 + < 10. ( ) 2 1 1 23 1 2 1 < + +++ nn ; 20 29 322 32 322 32 5 7 < + ++ + < 11. Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của n, kuôn có: ( ) 1 11 11 1 + = +++ nnnnnn . Từ đó tính tổng: 1009999100 1 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + =S 12. 9303030306666 <+++++++ 13. ( ) a 2 a 1; a 0 14. 18161443 2 +=++ xxxx b) 21443 ++ xx với mọi x t/mãn: 4 3 4 1 x . 15.(*) Cho a, b l hai số d ơng, chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a a b b 2 + + + + = Bài 5 Cho biểu thức : ( ) ( ) n n n S 5 4 5 4 = + + 2 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 a) Tính S 2 b) Chứng minh rằng S 2n = 2 n S - 2 ( n N ; n 2 ) Bài 6: Rút gọn các bt sau: .0;0;:.2 .;0,; 2 .1 22 >> + = + ++ + = ba ba ba ab abba Q nmnm nm mnnm nm nm P 3) 3 ; 2 3 1 1 x x x = + + 4) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 2 3 3 x x x + + + 5) 1,0; 1 1 1 1 + + = aa a a a aa M 6) 2 2 ; 0, 1 1 1 x x x x x x x x + + ì ữ ữ ữ ữ + 7) 1; 11 1 1 1 3 22 > + + + + + = a a aa aa aaa a A 8) 2 1 4 2 1 x x x + + + với 1 2 x 9) : a a b b a b b a a b a b a b a b + ữ ữ ữ ữ + + (với a; b 0 và a b) 10) 2 4m 4m 1 4m 2 + 11) 2 2 4 9 6 1 1 1 ( ; ) 1 49 3 7 x x x x x x + < 11) ( ) 2 2 4 4 2 4 4 x x x + với x 2. 13) 3 3 2 2 : ab b ab a a b a b a b a b + + ữ ữ + + với , 0;a b a b Bài 7: Cho 129216 22 =++ xxxx Tính 22 29216 xxxxA +++= . Bài 8: Cho biểu thức 2x 2 x x 1 x x 1 P = x x x x x + + + + a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8 P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. Bài 9: Cho biểu thức 3x 9x 3 1 1 1 P = : x 1 x x 2 x 1 x 2 + + + ữ ữ + + a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; b) Tìm các số tự nhiên x để 1 P là số tự nhiên; c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 . Bài 10: Cho biểu thức : x 2 x 3 x 2 x P = : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1 + + + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để 1 5 P 2 . Bài 11. Cho biểu thức 2 2 (2 3)( 1) 4(2 3) ( 1) ( 3) x x x A x x = + a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 3 3 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 Bài 12. Cho 3 1 1 1 1 1 x x A x x x x x = + + + a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x = 53 9 2 7 b) Tìm x để A > 0 Bài 13: Cho biểu thức 2 2 1 1 1 . 1 1 1 x K x x x x = ữ + + a)Tìm đ/k của x để biểu thức K xác định. b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt GTLN Bài 14: Cho biểu thức 2 2 1 1 4 1 2003 . 1 1 1 x x x x x K x x x x + + = + ữ + a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định b) Rút gọn K c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên? b) Chứng minh Bất đẳng thức: Bài 15: Cho biểu thức 3 2 2( 1) 10 3 1 1 1 x x x M x x x x + + = + + + + a) Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức c) Tìm x để biểu thức có GTLN Bài 16: Cho biêủ thức A = a(2 a 1) a 4 a 2 A 8 2 a a a 2 4 a + + + = + + + a) Rút gọn A b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên Bài 17: Cho biểu thức: 2 10 2 1 6 3 2 x x x Q x x x x + = Với x 0 và x 1 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị của x để 1 3 Q = Bài 18: Cho biểu thức A = 2 3 1 2 2 x x x x x + a/ Rút gon A b/ Tính giá trị của A khi x = 841 Bài 19: Cho biểu thức 3 2 1 1 : 1 ( 2)( 1) 1 1 a a a a P a a a a a + + + = + ữ + + 1/Rút gọn biểu thức P. 2/Tìm a để 1 1 1 8 a P + Bài 20: Cho biểu thức : 2 2 2 1 2 1 .) 1 1 1 1 ( x x xx A + + = a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . c) Giải phơng trình theo x khi A = -2 . Bài 21: Cho biểu thức: 2 3 3 1 1 1 x x x x x x A x x x x x + + = ì ữ ữ + + . a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định. b) Rút gọn biểu thức A. Bài 22 . Cho biểu thức: A = a aab a b 2 . 1/. Tìm điều kiện đối với ba , để biểu thức A đợc xác định. 2/. Rút gọn biểu thức A. Bài 23: 4 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 a) Biến đổi 3 1x x + về dạng 2 A b+ với b là hằng số và A là một biểu thức. b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức 1 3 1x x + . Giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu ? Bài 25: Rút gọn các biểu thức: a) ( ) 2 2 3 4 9 6 1 3 1 A x x x x = + với 1 0 3 x< < . b) 4 7 4 7 4 7 4 7 B + = + + Bài 26: Rút gọn biểu thức ( ) = > ữ + + + + 1 1 1 : 0 và 1 1 2 1 x B x x x x x x x . Bài 27: Cho 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x P x x x x + + = + a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 1 c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên Bài 28: Cho a b a b N ab b ab a ab + = + + a) Rút gọn N b) Tính N khi 4 2 3; 4 2 3a b = + = c) C/m: Nếu 1 5 a a b b + = + thì N có giá trị ko đổi Bài 29: Cho 2 3 6 2 3 6 2 3 6 x y xy K xy x y xy x y + = + + + + a) Rút gọn K b) CMR: Nếu 81 81 y K y + = thì y x là số nguyên chia hết cho 3 Bài 30: Cho 1 2 1 : 1 1 1 x x K x x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn K b) Tính giá trị của K khi 4 2 3x = + c) Tìm giá trị của x để K >1 Bài 31 : Cho 2 3 3 2 2 : 1 9 3 3 3 x x x x P x x x x + = + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn P b) Tìm x để P < -1/2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 32: Cho biểu thức x 1 x x x x A = 2 2 x x 1 x 1 + ữ ữ ữ ữ + a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của x để A > - 6. Bài 33: Cho biểu thức x 2 1 10 x B = : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 + + + ữ ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị của x để A > 0. Bài 34: Cho biểu thức 1 3 1 C = x 1 x x 1 x x 1 + + + a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị của x để C < 1. Bài 35: Rút gọn biểu thức : 5 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 a) 2 2 2 2 x 2 x 4 x 2 x 4 D = x 2 x 4 x 2 x 4 + + + + + + + ; b) x x x x P = 1 1 x 1 x 1 + + ữ ữ ữ ữ + ; c) 2 1 x 1 Q = : x x x x x x + + + ; d) x 1 2 x 2 H = x 2 1 Bài 36: Cho biểu thức : ++ + + = 1 2 :) 1 1 1 2 ( xx x xxx xx A a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của A khi 324 += x Bài 37: Cho biểu thức : xxxxxx x A ++ + = 2 1 : 1 a) Rút gọn biểu thức A . b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A . Bài 38: Cho biểu thức : 1 1 1 1 1 A= : 1- x 1 1 1 1x x x x + + ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3 + c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 39: Cho biểu thức : A = 1 1 2 : 2 a a a a a a a a a a + + ữ ữ + a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . b) Rút gọn biểu thức A . c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên . Bài 40: Cho biểu thức : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a + + + + + + + + 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a . Bài 41: Cho biểu thức : P = ( ) 3 1 4 4 a > 0 ; a 4 4 2 2 a a a a a a + + + a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P với a = 9 . Bài 42: Cho biểu thức P = ( ) ( ) a 3 a 2 a a 1 1 : a 1 a 1 a 1 a 2 a 1 + + + + ữ + + a) Rút gọn P. b) Tìm a để 1 a 1 1 P 8 + Bài 43: Cho biểu thức x 1 2 x P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1 = + ữ ữ + + a) Tìm ĐK để P có nghĩa và rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên Bài 44:. Cho a a a a P 1 1 ; a 0, a 1 a 1 1 a + = + ữ ữ + + a) Rút gọn P. b) Tìm a biết P > 2 . c) Tìm a biết P = a . Bài 45. Cho ( ) 2 2 2 1 2x 16x 1 P ; x 1 4x 2 = 6 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 a) Chứng minh 2 P 1 2x = b) Tính P khi 3 x 2 = Bài 46. Cho a b x b a = + với a < 0, b < 0. a) Chứng minh 2 x 4 0 . b) Rút gọn 2 F x 4 = . Bài 47. Cho x 1 x 1 8 x x x 3 1 B : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + = ữ ữ + a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2= + . c) Chứng minh rằng B 1 với mọi giá trị của x thoả mãn x 0; x 1 . Bài 48: Cho 2 1 1 M 1 a : 1 1 a 1 a = + + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ của M. b) Rút gọn M. c) Tính giá trị của M tại a = 3 2 3+ Bài 49: Cho biểu thức: x xx A 24 44 2 + = 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa? 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999 Bài 50: Cho biểu thức: 1,0;1 1 1 1 + + + = aa a aa a aa A . 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm a 0 và a 1 thoả mãn đẳng thức: A= -a 2 Bài 51; Cho biểu thức: yxyx yx xy xyx y xyx y S >> + + = ,0,0; 2 : . 1. Rút gọn biểu thức trên 2. Tìm giá trị của x và y để S=1. Bài 52; Cho biểu thức 1,0; 1 1 > + + = xx xx x x A . 1. Rút gọn biểu thức A Tính giá trị của A khi 2 1 = x Bài 53: Cho biểu thức: 1,0; 1 1 2 12 2 > + ++ + = xx x x x x xx x Q . a. Chứng minh 1 2 = x Q b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên. Bài 54: Cho biểu thức: 4,1,0; 2 1 1 2 : 1 11 > + + = xxx x x x x xx A . 1. Rút gọn A. 2. Tìm x để A = 0. Bài 55: Cho biểu thức: 0; 1 1 + + = x xx xx A 1. Rút gọn biểu thức. 2. Giải phơng trình A=2x. 3. Tính giá trị của A khi 223 1 + =x . Bài 56: Cho biểu thức: F= 1212 ++ xxxx 1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa. 2. Tìm các giá trị x 2 để F = 2. Bài 57: Cho biểu thức: ab ba aab b bab a N + + + = với a, b là hai số dơng khác nhau 7 Bùi THị Hiền THCS Hải Triều năm học : 2009 -2010 1. Rút gọn biểu thức N. 2. Tính giá trị của N khi: 526;526 =+= ba . Bài 58: Cho biểu thức: 1,0; 1 1 1 1 1 2 > + ++ + + + = xx x x xx x xx x T . 1. Rút gọn biểu thức T. 2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x 1 luôn có T < 1/3. Bài 59: Lập pt bậc hai với hệ số nguyên có 2 n o là: 53 4 ; 53 4 21 = + = xx Từ đó tính P= 4 4 4 4 3 5 3 5 + ữ ữ + Bài 60: Cho biểu thức: ( ) .1;0; 1 1 1 1 3 ++ = xx xx x x x M 1. Rút gọn biểu thức M. 2. Tìm x để M 2. Bài 61: Cho A= 3 1 933 432 22 + ++ ++ xx xxxxx xx a) Chứng minh A<0. b) Tìm tất cả các giá trị x để A nguyên Bài 62: Cho 222224 222224 )9(9 )49(36 baxbax baxbax A ++ ++ = 1. Rút gọn A. 2. Tìm x để A=-1. Bài 63: Cho biểu thức 2 2 (2 3)( 1) 4(2 3) ( 1) ( 3) x x x A x x = + a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 3 Bài 64. + + = 1 2 1 1 : 1 1 x xxxx x P a) Tìm điều kiện của x để P xác định. b) Rút gọn P c) Tìm các giá trị của x để 0>P Bài 65: Cho 2 a a 2a a A 1 a a 1 a + + = + + a, Rút gọn A b, Khi a >1.Hãy so sánh A với A c, Tìm a để A = 2 d, Tìm min A ? Bài 66.Cho x 4x 1 2x 2 x A 1 : 1 1 4x 1 4x 2 x 1 + = a, Rút gọn A b, Tìm x để 2 A A < c, Tìm x để 1 A 4 Bài 67: Cho biểu thức 1 1 a 1 M = : a a a 1 a 2 a 1 + + ữ + a) Rút gọn biểu thức M; b) So sánh M với 1. Bài 68: Cho các biểu thức 2x 3 x 2 P = x 2 và 3 x x 2x 2 Q = x 2 + + a) Rút gọn biểu thức P và Q; b) Tìm giá trị của x để P = Q. **********&********* 8