Sáng kiến kinh nghiệm I. Lý do chän ®Ị tµi: - Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y bé m«n to¸n t«i thÊy phÇn kiÕn thøc vỊ tû lƯ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau lµ hÕt søc c¬ b¶n trong ch¬ng tr×nh §¹i sè líp 7. Tõ mét tû lƯ thøc ta cã thĨ chun thµnh mét ®¼ng thøc gi÷a 2 tÝch, trong mét tû lƯ thøc nÕu biÕt ®- ỵc 3 sè h¹ng ta cã thĨ tÝnh ®ỵc sè h¹ng thø t. Trong ch¬ng II, khi häc vỊ ®¹i lỵng tû lƯ thn, tû lƯ nghÞch ta thÊy tû lƯ thøc lµ mét ph¬ng tiƯn quan träng gióp ta gi¶i to¸n. Trong ph©n m«n H×nh häc, ®Ĩ häc ®ỵc ®Þnh lý Talet, tam gi¸c ®ång d¹ng (líp 8) th× kh«ng thĨ thiÕu kiÕn thøc vỊ tû lƯ thøc. MỈt kh¸c khi häc tû lƯ thøc vµ tÝnh chÊt cđa d·y tû sè b»ng nhau cßn rÌn t duy cho häc sinh rÊt tèt gióp c¸c em cã kh¶ n¨ng khai th¸c bµi to¸n, lËp ra bµi to¸n míi. Víi nh÷ng lý do trªn ®©y, trong ®Ị tµi nµy t«i ®a ra mét sè d¹ng bµi tËp vỊ tû lƯ thøc vµ d·y tû sè b»ng nhau trong §¹i sè líp 7. II- Néi dung ®Ị tµi 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC: 1.1§Þnh nghÜa, tÝnh chÊt c¶u tØ lƯ thøc a) §Þnh nghÜa: TØ lƯ thøc lµ ®¼ng thøc cđa hai tØ sè d c b a = C¸c sè h¹ng a vµ d gäi lµ ngo¹i tØ, b vµ d gäi lµ trung tØ. b) TÝnh chÊt TÝnh chÊt 1( tÝnh chÊt c¬ b¶n) NÕu a c b d = th× ad = bc TÝnh chÊt 2( tÝnh chÊt ho¸n vÞ) NÕu ad = bc vµ a, b, c, d kh¸c 0 th× ta cã c¸c tØ lƯ thøc a b c d a c b d d b c a d c b a ==== ;;; 1.2 TÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau: + Tõ tØ lƯ thøc d c b a = ta suy ra ( ) db db ca db ca d c b a ±≠ − − = + + == +Më réng: tõ d·y tØ sè b»ng nhau f e d c b a == ta suy ra = +− +− = ++ ++ === fdb eca fdb eca f e d c b a ( gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Ịu cã nghÜa) 1.3.Chó ý: 1 Saựng kieỏn kinh nghieọm + Khi có dãy tỉ số 532 cba == ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5. + Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức d c b a = suy ra ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 . ; . . 0 ; ( , 0) k a k ca c a c a c k k k k k b d b d b d k b k d = = = = ữ ữ từ f e d c b a == suy ra 3 3 3 2 ; a c e a c e a c e b d f b d f b d f = = = ì ì = ì ữ ữ ữ ữ 2. Một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau Dạng 1. Tìm số hạng ch a biết Tìm một số hạng cha biết a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức Nếu . . . . . ; ; a c b c a d a d a d b c a b c b d d c b = = = = = Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết. b) Bài tập: Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 SGK 26 b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 ( ) . 9,36 0.52.16,38 0,52.16,38 0,91 9,36 x x = = = Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn nh sau : a) 1 2 3 2 : 1 : 3 3 4 5 x = ữ b) ( ) 1 2 0,2 :1 : 6 7 5 3 x= + có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x. Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a) 60 15 x x = Giải : từ ( ) ( ) 2 2 2 60 15 . 15 . 60 900 30 x x x x x x = = = = Suy ra x = 30 hoặc -30 Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức 1 60 15 1 x x = ; 1 9 7 1 x x = + 2 Saựng kieỏn kinh nghieọm Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5 5 7 x x = Giải: Cách 1: từ ( ) ( ) 3 5 3 .7 5 .5 5 7 7 21 25 5 12 46 5 3 6 x x x x x x x x = = = = = Cách 2: từ 3 5 3 5 5 7 5 7 x x x x = = áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có ( ) 3 5 3 5 2 1 5 7 5 7 12 6 3 1 6 3 5 5 6 5 5 3 3 6 6 x x x x x x x x + = = = = + = = = = Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 1 7 2 7 4 1 7 2 14 4 4 5 14 3 4 5 3 4 14 2 10 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + + = + + = + = = + = = Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x 2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau .Tìm nhiều số hạng cha biết a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau: Tìm các số x, y, z thoả mãn x y z a b c = = (1) và x +y + z =d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc) Cách giải: - Cách 1: đặt . ; . ; . x y z k a b c x k a y k b z k c = = = = = = thay vào (2) Ta có k.a + k.b + k.c = d ( ) d k a b c d k a b c + + = = + + Từ đó tìm đợc . ; ; a d bd cd x y z a b c a b c a b c = = = + + + + + + - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 3 Saựng kieỏn kinh nghieọm . . . ; ; x y z x y z d a b c a b c a b c a d b d c d x y z a b c a b c a b c + + = = = = + + + + = = = + + + + + + b).Hớng khai thác từ bài trên nh sau. +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau: * 1 2 3 k x k y k z e+ + = * 2 2 2 1 2 3 k x k y k z f+ + = *x.y.z = g +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau: - 1 2 3 4 ; x y y z a a a a = = - 2 1 4 3 ;a x a y a y a z= = - 1 2 3 b x b y b z= = - 1 3 3 2 2 1 b x b z b z b y b y b x a b c = = - 3 3 1 2 2 1 2 3 z b x b y b a a a = = +Thay đổi cả hai điều kiện c).Bài tập Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 x y z = = và x +y + z = 27 Giải: Cách 1. Đặt 2 , 3 , 4 2 3 4 x y z k x k y k z k= = = = = = Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2 3 4 27 9 27 3k k k k k + + = = = Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12. - Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có. 27 3 2 3 4 2 3 4 9 2.3 6; 3.3 9; 4.3 12 x y z x y z x y z + + = = = = = + + = = = = = = Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau: Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết 2 3 4 x y z = = và 2x + 3y 5z = -21 Giải: - Cách 1: Đặt 2 3 4 x y z = = =k - Cách 2: Từ 2 3 4 x y z = = suy ra 2 3 5 4 9 20 x y z = = áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 3 5 2 3 5 21 3 4 9 20 4 9 20 7 6; 9; 12 x y z x y z x y z + = = = = = + = = = 4 Saựng kieỏn kinh nghieọm Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 x y z = = và 2 2 2 2 3 5 405x y z+ = Giải: - Cách 1: Đặt 2 3 4 x y z = = =k - Cách 2: từ 2 3 4 x y z = = suy ra 2 2 2 2 2 2 4 9 16 2 3 5 8 27 90 x y z x y z = = = = áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 3 5 405 9 8 27 90 8 27 90 45 x y z x y z+ = = = = = + Suy ra 2 2 2 2 2 2 9 36 6 4 9 81 9 9 9 144 12 16 x x x y y y z z z = = = = = = = = = Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12. Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 x y z = = và x.y.z = 648 Giải: - Cách 1: Đặt 2 3 4 x y z = = = k - Cách 2: Từ 2 3 4 x y z = = 3 3 3 648 27 2 2 3 4 24 24 27 216 6 8 x x y z xyz x x x = ì ì = = = ữ = = = Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12. Bài tập 5. Tìm x,y, z biết ; 6 9 2 x y z x= = và x +y +z = 27 Giải: từ 6 9 2 3 x y x y = = Từ 2 2 4 z x z x = = Suy ra 2 3 4 x y z = = Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1. 5 Saựng kieỏn kinh nghieọm Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27 Giải: Từ 3 2 2 3 x y x y= = Từ 4 2 2 4 x z x z= = Suy ra 2 3 4 x y z = = sau đó giải nh bài tập 1 Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21 Giải: từ 6x = 4y = 3z 6 4 3 12 12 12 2 3 4 x y z x y z = = = = Sau đó giải tiếp nh bài tập 2 Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4 5 7 9 x z y x z y = = và 2x +3y -5z = -21 Giải:áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6 0 5 7 9 5 7 9 6 3 ;4 3 ;3 6 x z y z z x x z y z z x x z y z z x + + = = = = + = = = Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh bài tập 6 Bài tập 9: Tìm x,y,z biết 4 6 8 2 3 4 x y z = = và x +y +z =27 Giải: - Cách 1: Đặt 4 6 8 2 3 4 x y z = = =k - Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có 4 6 8 2 3 4 x y z = = 4 6 8 18 27 18 1 2 3 4 9 9 4 1 6 2 6 1 9 3 8 1 12 4 x y z x y z x x y y z z + + + + = = = = + + = = = = = = Vậy x = 6; y= 9; z = 12 Dạng 2 : Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau 1)Các phơng pháp : Để Chứng minh tỷ lệ thức : a c b d = Ta có các phơng pháp sau : Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc . 6 Saựng kieỏn kinh nghieọm Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ; a c b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho tr- ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải. Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh. 2) Bài tập: Bài tập 1 ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: a c b d = hãy suy ra tỷ lệ thức: a b c d a c = . Giải: Cách 1: Xét tích ( ) ( ) (1) (2) a b c ac bc a c d ac ad = = Từ (3) a c ad bc b d = = Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d a c = - Cách 2: Đặt , a c k a bk c dk b d = = = = Ta có: ( ) ( ) 1 1 (1),( 0) 1 1 (2),( 0) b k a b bk b k b a bk bk k d k c d dk d k d c dk dk k = = = = = = Từ (1) và (2) suy ra: a b c d a c = - Cách 3: từ a c b d b d a c = = Ta có: 1 1 a b a b b d c d a a a a c c = = = = Do đó: a b c d a c = - Cách 4: Từ a c a b a b b d c d c d a a b a b c d c c d a c = = = = = - Cách 5: từ 7 Saựng kieỏn kinh nghieọm 1 1 a c b d b d b d a c a c a b c d a c = = = = Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức a c b d = ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau: ; a b c d a b c d b d a c + + = = (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ) Dạng 3: Toán chia tỉ lệ 1.Phơng pháp giải Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết Bớc 4:Kết luận. 2.Bài tập Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5 Lời giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (c/m,a,b,c 0 > ) Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có 542 cba == áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có 2 11 22 542542 == ++ ++ === cbacba Suy ra 102 5 42 4 42 2 == == == c c b b a a Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm Có thể thay điều kiện ( 2) nh sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có đợc c-a=3 Bài tập 2: Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc . Lời giải: Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng) Theo bài ra ta có 7 17 119 5166 42 516 4 6 2 542 == + + ====== cbacbacba Suy ra 8 Saựng kieỏn kinh nghieọm 357 5 287 4 217 3 == == == c c b b a a Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây,28cây,35cây Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là 3 2 ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là 9 4 .Tìm ba số đó. Gọi 3 số phải tìm là a,b,c Theo bài ra ta có 2 4 ; 3 9 a a b c = = và 3 3 3 1009a b c + + = Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9 Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 5 số thóc ở kho I, 1 6 số thóc ở kho II và 1 11 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc Lời giải: Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0) Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 4 5 5 a a a = Số thóc của kho II sau khi chuyển là 1 5 6 6 b b b = Số thóc của kho III sau khi chuyển là 1 10 11 11 c c c = theo bài ra ta có 4 5 10 5 6 11 a b c= = và a+b+c=710 từ 4 5 10 4 5 10 5 6 11 5.20 6.20 11.20 a b c a b c = = = = 710 10 25 24 22 25 24 22 71 a b c a b c + + = = = = = + + Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn. Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 3 m đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm đợc 3 3 3 1,2 ;1, 4 ;1,6m m m Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối . Lời giải: Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng) Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c 9 Saựng kieỏn kinh nghieọm Theo bài rat a có ; 1 3 4 5 a b b c = = Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s Dạng 4: Một số sai lầm th ờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau 1) Sai lầm khi áp dụng tơng tự H/s áp dụng . . x y x y a b a b = = hay . . . . x y z x y z a b c a b c = = = Bài tập 1: tìm 2 số x,y biết rằng 2 5 x y = và x.y=10 H/s sai lầm nh sau : . 10 1 2 5 2.5 10 x y x y = = = = suy ra x=2,y=5 Bài làm đúng nh sau: Từ 2 2 . . 10 4 2 2 5 2 5 2 5 x y x x x y x x x = = = = = từ đó suy ra 5y = vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5 hoặc từ 2 2 2 2 10 . 1 4 2 2 5 4 2 5 4 10 x y x x y x x x = = = = = hoặc đặt 2 , 5 2 5 x y x x x y x = = = = vì xy=10 nên 2x.5x=10 2 1 1x x = = Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng 2 3 4 x y z = = và x.y.z= 648 H/s sai lầm nh sau . . 648 27 2 3 4 2.3.4 24 x y z x y z = = = = = Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1 2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0 Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm 2. ứng dụng vào công tác giảng dạy: a- Quá trình áp dụng của bản thân Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tợng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tợng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình có thể lập ra các bài toán. b. Hiệu quả khi áp dụng đề tài: Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu đợc nh sau Lớp sĩ số Giỏi Khá TB SL % SL % SL % 10 [...]... nghiªn cøu kü ®Ĩ vËn dơng phï hỵp víi ®èi tỵng häc sinh cđa m×nh, cã thĨ chia nhá bµi tËp ®Ĩ gỵi ý cho häc sinh III KÕt ln Khi nghiªn cøu ®Ị tµi mét sè d¹ng bµi tËp vỊ tØ lƯ thøc vµ d·y c¸c tû sè b»ng nhau trong m«n §¹i sè líp 7 t«i thÊy viƯc ¸p dơng vµo gi¶ng d¹y rÊt cã hiƯu qu¶, häc sinh dƠ hiĨu vµ høng thó trong qu¸ tr×nh tiÕp thu kiÕn thøc, c¸c em ®· biÕt khai th¸c s©u bµi to¸n, biÕt tù ®Ỉt ra c¸c . ữ ữ ữ 2. Một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau Dạng 1. Tìm số hạng ch a biết Tìm một số hạng cha biết a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức Nếu . Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x 2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau .Tìm. ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết. b) Bài tập: Bài tập 1: tìm x trong tỉ