HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TOÁN KINH TẾ (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2007 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TOÁN KINH TẾ Biên soạn : PGS.TS. NGUYỄN QUẢNG TS. NGUYỄN THƯỢNG THÁI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn học Toán kinh tế dành cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông (Học viện) tổ chức biên soạn tập Sách hướng dẫn học tập (Sách HDHT) môn học Toán kinh tế theo đúng chương trình đào tạo Cử nhân ngành Quản trị kinh doanh của Học viện. Tập sách được biên so ạn trên cơ sở kế thừa, chọn lọc bổ sung tập giáo trình Toán chuyên ngành đã được Nhà xuất bản Bưu điện ấn hành vào tháng 9 năm 2003 và các bài giảng Toán kinh tế đã được sử dụng, giảng dạy cho chương trình đào tạo đại học chính quy ngành Quản trị Kinh doanh tại Học viện. Nội dung tập sách được cấu trúc gồm 7 chương: Chương 1. Các kiến thức mở đầ u về phương pháp tối ưu Chương 2. Mô hình tối ưu tuyến tính Chương 3. Một số mô hình tối ưu tuyến tính khác Chương 4. Các bài toán tối ưu trên mạng. Chương 5. Phương pháp mô hình hoá và mô hình toán kinh tế. Chương 6. Lý thuyết Phục vụ đám đông Chương 7. Lý thuyết quản lý dự trữ. Để tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên có khả năng tự học, tự nghiên cứu, các tác giả không đ i sâu vào các vấn đề lý luận và kỹ thuật toán học phức tạp, mà chỉ tập trung trình bày, giới thiệu những kiến thức cơ bản chủ yếu thiết thực và cập nhật, làm cơ sở cho việc học tập nghiên cứu phân tích kinh tế nói chung và học tập các môn chuyên ngành Quản trị kinh doanh. Ở cuối mỗi chương, sau phần khái quát và tóm tắt các vấn đề cơ bản, chủ yếu của lý thuyết, các tác giả đưa ra các bài tập mẫu và phân tích cách giải để người học có thể tự giải được những bài toán liên quan đến lý luận đã học. Phần bài tập cuối mỗi chương cũng sẽ giúp người học tự nghiên cứu, vận dụng các lý luận đã học vào phân tích, lý giải các nội dung thực tiễn liên quan. Mặc dù các tác giả đã đầu tư nghiên cứu chọn lọc biên soạn nghiêm túc để đáp ứng yêu cầ u giảng dạy và học tập của môn học, nhưng chắc tập sách sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Các tác giả rất mong nhận được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp, bạn đọc và các bạn sinh viên để lần xuất bản sau được hoàn thiện hơn. CÁC TÁC GIẢ [...]... lồi, như vậy ∃ x1∈ C sao cho f (x*) ) f(x1) Xét tổ hợp lồi của hai điểm x* và x1: X = α x* + (1 - α) x1, 0 ≤ α ≤ 1 Nếu α = 0 thì x ≡ x1 Khi đó ∃ αo ≤ (0 , 1) sao cho x≤ B ε , với ε ∈ [0, αo) lấy δ1∈ (0 , αo) 1 ta có: x( 1)= (1 - 1) x* + δ1 x ∈ B ε Do f lồi nên có f (( 1- 1) x*+δ1x1) ≤ (1 - 1) f (x*) +δ1 f(x1) (( 1- 1) f (x*) +δ1 f(x*) = f (x*), điều này mâu thuẫn với hàm f (x*) đạt cực tiểu địa phương tại... aij xj ( , =, ≥ ) bi j = 1 xi ≥ 0 ( i = 1, m ) ( j = 1, n ) (2 .5) (2 .6) Bổ đề: Nếu bài toán (2 .4) ÷ (2 .6) có xopt = x*, thì bài toán (2 .1) ÷ (2 .3) với f (x) → min cũng có xopt = x* và fmin = - f max Thật vậy, theo giả thiết (2 .4) ÷ (2 .6) có xopt = x* với hàm mục tiêu n f (x) = Σ j = 1 (- cj ) xj→ max , thì: f (x) ≤ f (x*) ( ∀x∈D - tập các phương án ) n n ⇔ Σ n (- cj ) xj ≤ Σ j = 1 j = 1 ⇔ f (x) ≥ f (x*)... hàm f(x) gọi là hàm lõm chặt f(x) f(x2) λf(x1) + (1 -λ) f(x2) f(λx1 + (1 - λx2)) f(x1) 0 x' x x2 x Chú ý Nếu hàm f (x) lồi trên tập C ⊂ IRn thì hàm - f (x) lõm trên tập C, ngược lại nếu f (x) lõm trên tập lồi C ⊂ IRn thì hàm - f (x) lồi trên tập hợp C - Ta nói hàm f(x) xác định trên tập lồi C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x*∈ C nếu f(x*) ≤ f(x), ∀x∈C, đạt cực đại tuyệt đối tại x* ∈c nếu f(x*) ≥ f(x),... bài toán Qui hoạch tuyến tính 2.2 MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Tìm x = (x1, x2 xi, xn) ∈IRn n Sao cho: f(x) = Σ j = 1 Cj xj → max (min) (2 .1) Thỏa mãn điều kiện: n Σ j = 1 aij xj ( , = ≥ ) bi xj≥ 0 16 ( i= 1, m ) (2 .2) (j = 1, n ) (2 .3) Chương II: Quy hoạch tuyến tính Để xây dựng cơ sở lý luận giải bài toán, chỉ cấn xét một trong hai dạng bài toán, ... án cực biên X()), cơ sở J0 thoả mãn dấu hiệu tối ưu mà ∃Δk = 0 (k ∉ J0) thì bài toán có thể có phương án tối ưu khác ngoài X(0) d Định lý cơ bản Đối với phương án cực biên X(0), cơ sở J0 của bài toán (2 .13) - (2 .15) mà ∃Δk > 0 ( 0 ( 0 ( 0, (j ∉ J0) thì chuyển sang được phương án cực biên mới X (1 ) tốt hơn X(0); f [X (1 )] < f [X(0)] ([ X (1 )] > f[X(0)]) 2.6.2 Thuật toán của phương pháp đơn hình Toàn bộ quá trình tính toán được sắp xếp theo một trình tự chặt chẽ đảm bảo hiệu quả của việc tìm lời giả của bài toán QHTT Trình tự đó được gọi là thuật toán Không mất tính tổng quát ta xét bài toán QHTT dạng chuẩn n f (x) = ∑c x j =1... hạn bài toán tìm giá trị lớn nhất (f → max ) của hàm mục tiêu, còn bài toán tìm giá trị bé nhất (f → min ) của hàm mục tiêu có thể chuyển đổi như sau: * Giữ nguyên hệ ràng buộc ( 2.2 ) và ( 2.3 ) n * Đưa hàm mục tiêu: ∑ f(x) = j =1 n về f (x) = - f (x) = Σ j = 1 Cj xj → min ( - Cj ) xj → max, ta có mô hình bài toán: Tìm x = ( x1 , x2 , , xj , xn ) ∈IRn n Σ Sao cho: f (x) = j = 1 (- Cj ) xj → max (2 .4)... (x) ≥ f (x*) n fmin = Σ j = 1 ( - cj ) x * ⇔ Σ j j = 1 n cj x * ≤ Σ j j = 1 cj xj ( x ∈ D) ⇔ x* = xopt của (2 .1) (2 .3) với f(x) → min n cj x * = - Σ j j = 1 (- cj) x * = - f j max ( đpcm ) Như vậy mọi bài toán (2 .1) - (2 .3) với f(x) → min có thể chuyển f (x) → max 2.2.2 Dạng chuẩn tắc a- Dạng đầy đủ Tìm x= (x1 , , xj , xn ) ∈ IRn Sao cho: f(x) = c1x1 + +ci xi + + cn xn → max (2 .7) 17 Chương II: Quy hoạch... pháp a Đường lối chung Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc n f(X) = ∑c x j =1 j j → min (max) _ ⎧n ∑ a ¹i x j = b i (i = 1, m) ⎪ ⎪ j= ⎨ _ ⎪ ⎪x j ≥ 0( j = 1.n ) ⎩ Với giả thiết m < n; b1 ≥ 0 (i = 1, m) và bài toán không suy biến Dạng véctơ của bài toán: f(X) = < C, X> → min (max) ⎧n ⎛=⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪∑ A 1 x j ⎜ ≥ ⎟B ⎜≤⎟ ⎨ j =1 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ x j ≥ 0( j = 1, n ) ⎩ 32 (2 .13) (2 .14) Chương II: Quy hoạch... trị đường mức α (tức f (x)) sẽ tăng Ngược lại, khi dịch chuyển theo hướng ngược lại của c , (hay cùng hướng với véc tơ đối của → → c là - c ), thì giá trị đường mức α (hay f(x) sẽ giảm ) * * Vậy để giải bài toán trên ta tìm x* = ( x1 , x 2 ) ∈ D mà αmax = f (x*) Từ đó, ta có thể nêu các bước giải bài toán trên bằng phương pháp hình học như sau: b Các bước giải bài toán Để giải bài toán trên ta tiến . với bài toán max) hay f (x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D, ( ối với bài toán min). Giá trị f(x*) gọi là giá trị tối ưu (tốt nhất) của hàm mục tiêu, hay là giá trị tối ưu của bài toán (1 .1) - (1 .2) - (1 .3) thức, đẳng thức trong (1 .2) gọi là một ràng buộc của bài toán (1 .1) - (1 .2) - (1 .3) - Điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ D gọi là một phương án của bài toán (1 .1) - (1 .2) - (1 .3) hay là một giải. các bài toán tối ưu. a - Nếu hàm mục tiêu f(x) và các ràng buộc g i (x) là hàm tuyến tính (bậc 1) thì bài toán (1 .1) - (1 .2) - (1 .3) gọi là một Qui hoạch tuyến tính . (trường hợp riêng là bài