NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN Biên soạn: Gv Nguyễn Trung Kiên 0988844088 (Dành cho học sinh lớp 11 và LTĐH) Trong khai triển nhị thức Niu tơn ta thường gặp hai cách khai triển sau nn n n n n n knk n k k n n aCabCbCbaCba +++==+ −− = ∑ )( 110 0 (1) )2( )( 110 0 nn n n n n n kkn n k k n n bCbaCaCbaCba +++==+ −− = ∑ Ngoài ra học sinh cần nắm chắc các hệ thức sau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k n k n n k k k n n n k k n n k k n n k k n n C C C C C n k C C k C C k n kC nC − − − − − + + − − = = + − + = = + + = ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 ! 1 1 ( 2) ( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! ! k m k k m k m m k m k m m k k C m k m m k m m k m k + +   + − + − − + − + − = = + − + = −   + − + − − + +     1 2 1 1 1 1 2 k k m k m k m m C C + + − + +   − = −   −   Các hệ quả cần nắm n n n n n n n nn nnnn n CxCxCx xCxCxCCx +++=+ ++++=+ − )1( )1( 110 2210 n n n n n n n n n nn nnnnn n CxCxCxCx xCxCxCxCCx ++−=− ++−+−=− −− )1( )1( 22110 332210 Dạng 1: Tính tổng các số hạng trong khai triển Ví dụ 1: Tính các tổng sau 12 12 3 12 1 123 2 2 2 2 0 22 10 1 3 2 1 + +++ +++= +++= ++= n nnn n nnn n nnn CCCS CCCS CCCS Giải: 1. Xét khai triển nn nnnn n xCxCxCCx ++++=+ )1( 2210 cho x=1 ta có ngay S 1 =2 n 2. Xét khai triển n nnnn n CxCxCCx 2 2 22 2 1 2 0 2 2 )1( ++++=+ Cho x=1 ta có n nnnn n CCCC 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 ++++= 1 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Xét khai triển n nnnn n CxCxCCx 2 2 22 2 1 2 0 2 2 )1( +−+−=− (1) Cho x= 1 ta có 0= n nnnn CCCC 2 2 2 2 1 2 0 2 +−+− (2) Cộng 2 vế (1) và (2) ta có S 2 = 2 2n-1 Hs tự tính câu S 3 tương tự như tính S 2 Dạng 2: Tìm số hạng thứ k trong khai triển Phương pháp: Viết khai triển ở dạng tổng quát Tách riêng phần số và chữ trong khai triển Giải điều kiện tìm hệ số Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển a. (1+x 2 ) 8 c. 103 ) 1 1( x x ++ b. 4 6 (1 )x x+ + d. 12 )21)(23( xx ++ Giải: a.Ta có ∑ = =+ 8 0 2 8 82 )1( k kk xCx X 10 ứng với 2k=10 ⇔ k= 5 hệ số đó là 5 8 C b.Ta có 4 6 (1 )x x+ + = k k kk xxC − = + ∑ 6 6 0 4 6 )1( = ++++ 541 6 60 6 )1()1( xxCxC 482 6 )1( xxC + +… + 246 6 xC Ta thấy x 10 chỉ tồn tại trong khai triển 482 6 )1( xxC + và nó ứng với phần hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển (1+x) 4 nhân với 2 6 C ⇒ hệ số chứa x 10 trong khai triển là 2 4 2 6 CC . c.Ta có 103 ) 1 1( x x ++ = 10 104 )1( x xx ++ số hạng chứa x 10 trong khai triển ứng với số hạng chứa x 20 trong khai triển 1042 )1( xx ++ Cách tìm số hạng chứa x 20 như trong câu b d. 12 )21)(23( xx ++ = 1212 )21(2)21(3 xxx +++ Từ đó tìm số hạng chứa x 10 trong 2 khai triển và cộng lại Dạng 3:Chứng minhh một hệ thức tổ hợp 1) Dùng các khai triển để tính tổng Ví dụ 1):Chứng minh các hệ thức sau a. k nm mk n m m k nm k nm k nm CCCCCCCCC + −−− =++++ 22110 b. n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )( )()()( =++++ Giải Theo kt niu tơn ta có: mm mmmm m nn nnnn n xCxCxCCx xCxCxCCx +++=+ ++++=+ )1( )1( 2210 2210 Từ đó suy ra =+ +nm x)1( ) )( ( 22102210 mm mmmm nn nnnn xCxCxCCxCxCxCC +++++++= (1) 2 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Mặt khác theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có nmnm nm kk nmnmnmnm nm xCxCxCxCCx ++ +++++ + ++++++=+ )1( 2210 (2) Phần hệ số chứa x k trong (1) là mk n m m k nm k nm k nm CCCCCCCC −−− ++++ 22110 Phần hệ số chứa x k trong (2) là C k m+k Từ đó suy ra điều phải cm. Câu b chỉ là một kết quả của câu a. Ví dụ 2: Đặt S= 223222120 )()1( )()()()( n n nn nnnn CCCCC −++−+− Chứng minh rằng S=0 nếu n lẻ S= n nnn n 4.2 )2) (4)(2( )1( 2 ++ − nếu n chẵn. 0 1 2 2 (1 ) ( 1) (1) n n n n n n n n x C C x C x C x − = − + − + − )2( 1 111 ) 1 1( 3 3 2 210 n n nnnnn n x C x C x C x CC x +++++=+ Nhân từng vế (1) và (2) ta có ) 1 11 )()1( ( )1( 2 2102210 2 n n nnnn nn n n nnn n n x C x C x CCxCxCxCC x x ++++−+−+−= − Số hạng không chứa x ở vế phải của đẳng thức là 223222120 )()1( )()()()( n n nn nnnn CCCCC −++−+− Khi n lẻ mọi số hạng trong khai triển đều chứa lũy thừa bậc chẳn của x từ đó suy ra số hạng không chứa x bằng 0 Khi n chẳn dễ thấy số hạng không chứa x ở vế trái ứng với số hạng chứa x n trong khai triển (1 – x 2 ) n và số hạng đó là 22 )1( n n n C − đó là điều phải cm. 2) Dùng đạo hàm để tính tổng Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số C k n mà có chứa các số hoặc tích các số thì thông thường ta phải dùng một khai triển sau đó xét đạo hàm của nó để suy rs tổng cần tính Ví dụ 1) Tính tổng sau a) 0 1 2 2 3 ( 1) n n n n n S C C C n C= + + + + b) ( ) 0 1 2 2 3 4 2 n n n n n S C C C n C= − + − + + Với n là số tự nhiên chẵn GIẢI: a) Xét khai triển ( ) 0 1 0 1 n n k k n n n n n n k x C x C C x C x = + = = + + + ∑ Nhân hai vế của đẳng thức với x ta có ( ) 0 1 2 1 0 1 n n k k n n n n n n k x x C x C x C x C x + = + = = + + + ∑ Lấy đạo hàm cả hai vế ta có ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 2 3 ( 1) n n n n n n n x nx x C C C n C − + + + = + + + + Cho x=1 ta có S=2 n +n.2 n-1 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC b) Xét khai triển ( ) 0 1 0 1 n n k k n n n n n n k x C x C C x C x = + = = + + + ∑ nhân hai vế của đẳng thức với x 2 ta có ( ) 2 0 2 1 3 2 0 1 n n k k n n n n n n k x x C x C x C x C x + = + = = + + + ∑ lấy đạo hàm hai vế ta có ( ) ( ) 1 2 0 1 2 2 3 1 2 1 1 2 3 4 ( 2) n n n n n n n n x x nx x C x C x C x n C x − + + + + = + + + + + Cho x=-1 ta có S=0 3) Dùng tích phân để tính tổng Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số tổ hợp có chứa các phân số hoặc tích các phân số thì ta phải xét một tổng thích hợp sau đó dùng phép tính tích phân để tính tổng. Việc lấy cận tính tích phân là tuỳ thuộc vào tổng cần tính Ví dụ) Tính các tổng sau a) 0 1 2 1 1 1 2 3 1 n n n n n S C C C C n = + + + + + b) 0 1 2 1 1 1 1 2 4 6 2 2 n n n n n S C C C C n = + + + + + c) 2 4 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 n n n n n S C C C n + − − − = + + + + Giải a) Ta có ( ) 0 1 0 1 n n k k n n n n n n k x C x C C x C x = + = = + + + ∑ . Lấy tích phân trên [ ] 0;1 cả 2 vế ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 n n n n n n n n n n n n x x dx C C x C x dx C x C x C x n n + + + + = + + + ⇔ = + + + + + ∫ ∫ 1 2 1 1 n S n + − ⇒ = + b) Xét ( ) 2 2 0 1 2 2 4 2 0 1 n n k k n n n n n n n k x C x C C x C x C x = + = = + + + + ∑ . Nhân x vào 2 vế ta có ( ) ( ) 2 0 1 3 2 5 2 1 1 n n n n n n n x x C x C x C x C x + + = + + + + Lấy tích phân trên [ ] 0;1 cả hai vế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 3 2 5 2 1 0 0 1 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 1 0 0 1 2 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 4 6 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 2 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx C x C x C x C x dx x d x C x C x C x C x n x C C C C n n S n + + + + + = + + + +   ⇔ + + = + + + +  ÷ +   ⇔ + = + + + + + + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ c) Xét ( ) 2 2 0 1 2 2 4 2 0 1 n n k k n n n n n n n k x C x C C x C x C x = + = = + + + + ∑ . Nhân x vào 2 vế ta có 4 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ( ) ( ) 2 0 1 3 2 5 2 1 1 n n n n n n n x x C x C x C x C x + + = + + + + Lấy tích phân trên [ ] 1;2 cả hai vế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 3 2 5 2 1 1 1 2 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 2 1 1 2 4 6 2 2 1 2 2 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 4 6 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 6 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx C x C x C x C x dx x d x C x C x C x C x n x C C C C n n + + + + + = + + + +   ⇔ + + = + + + +  ÷ +   − − − − ⇔ + = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ( ) 1 1 5 2 2 1 n n n n S n + + − ⇒ = + 4) Ứng dụng số phức để tính tổng Để giải quyết các bài toán dạng này học sinh cần nắm chắc dạng đại số và dạng lượng giác của số phức từ đó áp dụng nhị thức Niu tơn Chú ý: Nếu số phức có dạng lượng giác là n ( os isin ) z ( osn isinn ) n z r c r c α α α α = + ⇒ = + Ta hãy xét ví dụ sau: Tính các tổng sau: a) 2 4 6 1 1 n n n S C C C= − + − + b) 1 3 5 7 2 n n n n S C C C C= − + − + Ta có ( ) 1 2 2 2 4 6 1 3 5 7 1 1 (1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n i C i C i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + + − + − + Mặt khác ta có ( ) n n 1 2( os isin ) 1 2 ( os isin ) 4 4 4 4 n n i c i c π π π π + = + ⇒ + = + Từ dó suy ra 1 2 n 2 os 4 n 2 sin 4 n n S c S π π = = Ta có kết quả sau ( 2 4 6 1 n n n C C C− + − + ) 2 +( 1 3 5 7 n n n n C C C C− + − + ) 2 =2 n Các em học sinh hãy vận dụng để tính giá trị biểu thức sau: 0 2 4 2010 1 2010 2010 2010 2010 1 3 5 2009 2 2010 2010 2010 2010 S C C C C S C C C C = − + − − = − + − + 5) Một số bài tập khác Ví dụ 1) Tính tổng sau 5 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 2 2 0 1 1 2 1 n n n n C C C S n       = + + +  ÷  ÷  ÷ +       Giải: Ta có 1 1 1 ! 1 ( 1)! . . 1 1 !( )! 1 ( 1)!( )! 1 k k n n C C n n k k k n k n k n k n + + + = = = + + − + + − + Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 n n n n S C C C n + + + +   = + +     + Phần tiếp theo Hs tự tính Ví dụ 2) Chứng minh rằng 1 0 2002 1 1 2000 n k k k C + = + < ∑ Ta có ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 ! 1 1 ( 2) ( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! ! k m k k m k m m k m k m m k k C m k m m k m m k m k + +   + − + − − + − + − = = + − + = −   + − + − − + +     1 2 1 1 1 1 2 k k m k m k m m C C + + − + +   − = −   −   Từ đó ta có 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n k n k m k m m n m m m C m C C m C m + + = + + −   − − = − < =   − − −   ∑ Thay m=2002 ta có kết quả cần tìm Thay m=2010 ta có kết quả sau 1 2 3 1 2010 2010 1 2010 2 2010 1 1 1 1 1 2008 n n C C C C + + + + + + + + < Ví dụ 3) Tính tổng sau 0 1 2 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) n n n n n S C C C C n n = + + + + + + Ta có 1 1 1 1 ! 1 1 ( 1)! 1 1 . . . ( 1)( 2) ( 1)( 2) !( )! ( 1) ( 2) ( 1)!( )! ( 1) ( 2) k k n n n n C C k k k k k n k n k k n k n k + + + = = = + + + + − + + + − + + 6 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 2 1 ( 1)( 2) k n C n n + + = + + Từ đó ta có ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 0 1 2 3 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) 1 2 3 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C n n C C C C C C C n n n C C n n n n + + + + + + + + + + + + + + + +   = + + + =   + +   + + + + + − + =   + + − −   − + =   + + + + Dạng 4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Phương pháp Viết khai triển niutơn ở dạng tổng quát Tách riêng phần hệ số và phần biển trong khai triển Kí hiệu các hệ số tương ứng là A 0 , A 1, … A k , …A n A k là hệ số lớn nhất khi nó thỏa mản điều kiện A k ≥ A k-1 và A k ≥ A k+1 giải hệ hai bpt ta suy ra giá trị của k Ví dụ: Xét khai triển 12 12 2 210 12 )21( xAxAxAAx ++++=+ Tìm max { A 1 , A 2 ,……A n } Giải Ta có kk k k xCx 2)21( 12 0 12 12 ∑ = =+ từ đó suy ra A k = kk C 2 12 giả sử A k là hệ số max Ta có A k ≥ A k-1 A k ≥ A k+1 ⇔ kk C 2 12 ≥ 11 12 2 ++ kk C ⇔ 12! 2 k /(12-k)! k! ≥12! 2 k+1 /(12-k-1)! (k+1)! kk C 2 12 ≥ 11 12 2 −− kk C 12! 2 k /(12-k)! k! ≥ 12! 2 k-1 / (12- k +1)! (k -1)! ⇔ 112 12 1 2 12 1 +− ≥ + ≥ − kk kk ⇔ 253 233 ≤ ≥ k k ⇔ 3,86,7 ≤≤ k vì k là số nguyên nên k=8 Hệ số max là A 8 = 88 12 2C CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HƠP Thi chung năm 2008 Khối A: Cho khai triển ( ) 2 0 1 2 1 2 n n n x a a x a x a x+ = + + + + . Biết 1 2 0 4096 2 4 2 n n a a a a + + + + = . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 ; ; ; n a a a Khối B: Chứng minh rằng 7 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 1 1 1 1 1 1 2 k k k n n n n n C C C + + +   + + =  ÷ +   (Với n,k là các số nguyên dương và k n ≤ ) Khối D: Tìm số nguyên dương n thoả mãn 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2048 n n n n n C C C C − + + + + = Thi chung năm 2007 Khối A Chứng minh rằng: 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 2 5 2 3 2 1 2 + − =++++ − n C n CCC n n nnnn Khối B. Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị thức newton của ( ) n x+2 biết ( ) 20481 3333 3322110 =−++−+− −−− n n n n n n n n n n n CCCCC Khối D Tìm hệ số 5 x trong khai triển đa thức của ( ) ( ) 10 2 5 3121 xxxx ++− Thi chung năm 2006 Khối A Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhị thức newton của n x x       + 7 4 1 . Biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC Khối B Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm { } nk , 3,2,1∈ sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. Khối D Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy Thi chung năm 2005 Khối A Tìm số nguyên dương n sao cho ( ) 200512 2.42.32.2 12 12 4 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n nnnnn CnCCCC Khối B Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Khối D Tính giá trị của biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn .Biết 8 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC Thi chung năm 2004 Khối A Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành đa thức ( ) [ ] 8 2 11 xx −+ Khối B Một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi dó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhât thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi không ít hơn 2. Khối D Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton 7 4 3 1         + x x với x > 0 Thi chung năm 2003 Khối A Tìm hệ số chứa 8 x trong khai triển nhị thức newton của n x x       + 5 3 1 biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n Khối B Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + + Khối D Với n là số nguyên dương, gọi 33 −n a là hệ số của 33 −n x trong khai triển đa thức của ( ) ( ) n n xx 21 2 ++ . Tìm n để 26 33 = −n a Thi chung năm 2002 Khối A Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x x CCC         +                 ++                 =         + − − − − − − − − − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 0 3 2 1 222 2222 Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm x và n. Khối B Cho đa giác đều n AAA 221 ; ( ) 2≥n n nguyên. nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm n AAA 221 , nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm n AAA 221 , tìm n. Khối D Tìm số dương n sao cho 2432 42 21 0 =++++ n n n nn n CCCC QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN A.Lý thuyết 9 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC B.Cách giải Bài 1: Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi. a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B? b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B? c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần. Bài 2: Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc. Bài 3: Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu: a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần? b) Không đến thăm bạn quá một lần. Bài 4: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi cso bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở một nhà ga và chấm dứt ở một nhà ga khác, biết từ ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ một nhà ga khác. Bài 5: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một bàn ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho. a) Nam, nữ ngồi xen kẽ. b) Nam, nữ ngoài xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi cạnh nhau. Bài 6: (Đại học Quốc Gia TPHCM 99) Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các trường hợp sau? a) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau huặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Bài 7: Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác nhau và. a) Gồm 3 chữ số? b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400. c) Gồ 3 chữ số chẵn? d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5? Bài 8: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1997G). Có 10.000 vé được đánh số 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau. Bài 9: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997). Xé dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn trong dãy số tự nhiên) thoả mãn chữ số vị trí thứ 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, cá chữ số 4,5,6 đôi một khác nhau hỏi có bao nhiêu cách? Bài 10: (Đại học Y Hà Nội 1997). Cho chữ số 0, 1, 2, 3, …., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ các chữ số trên. Bài 11. Cho { } ,5,4,3,2,1,0=X . Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. Bài 12: (Đại học Huế 1999). 10 [...]... nhiêu tổng số tiền khác nhau? Bài 109: (Đại học Kinh Tế TPHCM 2001) Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình Người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau? a) Trong tổ phải có mặt cả nam và nữ? b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? Bài 110 Số 210 có bao nhiêu ước CÁC BÀI TOÁN HỖN HỢP... Một chi đoàn có 200 đoàn viên trong đó có 10 nữ Muốn chọn một tổ công tác có 5 người Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ Bài 80: (Đại học Kiến Trúc 1998) Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư Để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ sư là tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác? Bài 81: (Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội 1999) Một đội... giống nhau Bài 46 Có 30 học sinh dự thi học sinh toán toàn quốc Có 6 giải thường xếp hạng từ 1 đến 6 và không ai được nhiều hơn 1 giải Hỏi? 13 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) b) a) b) a) b) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có? Nếu đã biết học sinh A chắc chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có? Bài 47: Một lớp có 40 học sinh... chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0) Trong đó có một chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 Bài 59: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 - 2001) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8 TỔ HỢP A.Lý thuyết B.Cách giải 14 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 60: 1 1 1 − x = x x C 4 C5 C6 Bài 61: (Đại học Hàng Hải 1999) n− C n −13 1 Tìm... Bài 17: (Đại học Nông Lâm 1999) Cho X = { 0,1,2,3,4,5} Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3 HOÁN VỊ A.Lý thuyết B.Cách giải Bài 18: Giải phương trình x!−( x − 1)! 1 = ( x + 1)! 6 Bài 19: Giải bất phương trình Pn + 4 15 < Pn Pn + 2 Pn −1 Bài 20: Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử Chứng minh: a) Pn − Pn −1 = ( n − 1) Pn −1 b) 1 + P1 + 2 P2 + 3P3 + + ( n... nhiệm vụ tại địa điểm A, 2 người làm tại B còn lại 4 người trục đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài 83: (Đại học Y Hà Nội 2000) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam Muốn lập một đoàn công tác có 3 người gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lý Hỏi có bao nhiêu cách chọn Bài 84: (Học viện Chính Trị 2001) 16 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC... học Huế 1997D) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau Tính tổng các số trên Bài 34: (Đại học An Ninh 2000D) Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần? CHỈNH HỢP A.Lý thuyết B.Cách giải Bài 35: 12 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chứng minh rằng với... nam và nữ bằng nhau Bài 75: Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn Bài 76: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997) Có 12 học sinh ưu tú củ môộ trường trung học Muốn chon một đoàn đại biểu gồm 5 người (một trưởng đoàn, một thư ký và 3 thành viên ) đi dự trại quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn? (hãy giải thích) Bài 77: (Đại học Luật... dự đại hội của trường sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp Bài 89: (Học viện Quân Sự 2001) Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá và 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người , đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá Bài 90: (Trường Hàng Không 2000) Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi Người ta muốn chọn 6 cây giống... nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 106: Lớp học có 4 nữ, 10 nam Cần chia là hai tổ, mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam Hỏi có mấy cách? Bài 107: A, B, C đến nhà D mượn sách D có 1 cuốn tiểu thuyết và 8 cuốn sách giáo khoa khác nhau A mượn 2 cuốn trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết B mượn 2 cuốn giáo khoa . để tính tổng Trong quá trình tính tổng nếu trước các hệ số tổ hợp có chứa các phân số hoặc tích các phân số thì ta phải xét một tổng thích hợp sau đó dùng phép tính tích phân để tính tổng. Việc. cách chọn trong mỗi trường hợp sau? a) Trong tổ phải có mặt cả nam và nữ? b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? Bài 110. Số 210 có. Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8. TỔ HỢP - A.Lý thuyết B.Cách giải 14 NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 60: Giải