Ch ng II. Lý thuy t đ thươ ế ồ ị I. Các khái niệm cơ bản II. Biểu diễn đồ thị III. Tính liên thông IV. Chu trình Euler V. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất VI. Đồ thị phẳng VII.Tô màu đồ thị I. Các khái ni m c b nệ ơ ả  1. ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ (GRAPH)  Là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Được mô tả hình thức: G = (V, E)  V gọi là tập các đỉnh (Vertices) và E gọi là tập các cạnh (Edges). Có thể coi E là tập các cặp (u, v) với u và v là hai đỉnh thuộc V.  Ví dụ: Đường phố Mạng máy tính 2. Phân lo i đ thạ ồ ị  G được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh phân biệt u, v của V có nhiều nhất là 1 cạnh trong E nối từ u tới v.  G được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh phân biệt u, v của V có thể có nhiều hơn 1 cạnh trong E nối từ u tới v  G được gọi là giả đồ thị nếu G là đa đồ thị và có thể có cạnh nối từ một đỉnh đến chính nó. Cạnh đó được gọi là khuyên  G được gọi là đồ thị vô hướng nếu các cạnh trong E không có sự phân biệt đỉnh nào là đỉnh đầu, đỉnh nào là đỉnh cuối.  G được gọi là đồ thị có hướng nếu các cạnh trong E có sự phân biệt đỉnh nào là đỉnh đầu, đỉnh nào là đỉnh cuối. Ví dụ Đơn đồ thị vô hướng Đơn đồ thị có hướng Đa đồ thị vô hướng Đa đồ thị có hướng 3. C nh liên thu c, đ nh k , b cạ ộ ỉ ề ậ  Đối với đồ thị vô hướng G = (V, E). Xét một cạnh e ∈ E, nếu e = (u, v) thì ta nói hai đỉnh u và v là kề nhau (adjacent) và cạnh e này liên thuộc (incident) với đỉnh u và đỉnh v.  Với một đỉnh v trong đồ thị, ta định nghĩa bậc (degree) của v, ký hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với v.  Định lý: Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng với m cạnh, khi đó tổng tất cả các bậc đỉnh trong V sẽ bằng 2m:  Chứng minh: Khi lấy tổng tất cả các bậc đỉnh tức là mỗi cạnh e = (u, v) bất kỳ sẽ được tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v). Từ đó suy ra kết quả.  Hệ quả: Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ là số chẵn ∑ ⊂ 2= Vv m deg(v)  Đối với đồ thị có hướng G = (V, E). Xét một cung e ∈ E, nếu e = (u, v) thì đỉnh u khi đó được gọi là đỉnh đầu,đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung e.  Với mỗi đỉnh v trong đồ thị có hướng, ta định nghĩa: bậc ra của v ký hiệu deg + (v) là số cung đi ra khỏi nó; bậc vào ký hiệu deg - (v) là số cung đi vào đỉnh đó.  Định lý: Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng với m cung, khi đó tổng tất cả các bậc ra bằng tổng tất cả các bậc vào và bằng m: ∑∑ ⊂ − ⊂ + == VvVv mvv )(deg)(deg 4. M t s d ng đ th đ c bi tộ ố ạ ồ ị ặ ệ  a. Đồ thị đầy đủ K n (n≥1) có n đỉnh và mỗi cặp đỉnh đều có đúng một cạnh nối.  b. Chu trình C n (n≥3) có n đỉnh v 1 ,v 2 , v n và các cạnh (v 1 ,v 2 ); (v 2 ,v 3 ) (v n-1 ,v n ) và (v n ,v 1 )  c. Đồ thị hình bánh xe  Khi thêm một đỉnh vào giữa chu trình C n và nối đỉnh này với các đỉnh của đồ thị C n ta thu được đồ thị hình bánh xe.  d. Đồ thị hình khối Q n có 2 n đỉnh, mỗi đỉnh được biểu diễn bằng xâu nhị phân độ dài n. Hai đỉnh là liền kề nếu các xâu nhị phân biểu diễn chúng khác nhau đúng một bit. Q 2 110 111 010 011 001 000 101 100 Q 3 [...]... định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị Các định nghĩa  Đường đi Euler (Eulerian path, Eulerian trail hoặc Euler walk) trong đồ thị vô hướng là đường đi của đồ thị đi qua tất cả các cạnh của đồ thị mỗi cạnh đúng một lần  Chu trình Euler (Eulerian cycle, Eulerian circuit hoặc Euler tour) trong đồ thị vô hướng là một chu trình đi qua tất cả các cạnh của đồ thị mỗi cạnh đúng một lần  Đồ thị gọi là đồ thị. .. khi nó không đi qua cùng 1 cạnh quá một lần Một đồ thị được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị Định lý: Giữa mọi cặp đỉnh của một đồ thị vô hướng liên thông luôn có đường đi đơn       Một đồ thị không liên thông là hợp của 1 hay nhiều đồ thị con liên thông Các đồ thị này được gọi là các thành phần liên thông Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh nếu có đường... e Đồ thị phân đôi là đồ thị có tập các đỉnh V có thể phân làm hai tập con không rỗng, rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị nối 1 đỉnh của V1 với 1 đỉnh của V2  Đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n là đồ thị có tập các đỉnh được phân thành hai tập con tương ứng có m đỉnh và n đỉnh và có cạnh giữa hai đỉnh nếu đỉnh thứ nhất thuộc tập con này, đỉnh thứ hai thuộc tập con kia II Biểu diễn đồ thị 1 Ma... sách kề có phần dài dòng hơn 2,3,5 2 Ưu điểm Đỉnh kề 1, 3 3 1, 2,4 4 3,5 5 1, 4 III Tính liên thông  Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v trong đồ thị là một dãy các cạnh e1, e2, en với (u,x1) = e1; (x1,x2) = e2; (xn -1 , v) = en  Độ dài đường đi bằng với số cạnh mà nó đi qua Chu trình là đường đi mà nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh Chu trình (đường đi) gọi là đơn khi nó không đi qua cùng 1 cạnh... = (A ,1, B,3,C,4,B,2,A,6,D,7,C,5,A) Đây là chu trình Euler V Bài toán tìm đường đi ngắn nhất   Bài toán Cho một đồ thị G = (V,E) có trọng số và một đỉnh khởi đầu s Cần tìm được đường đi ngắn nhất từ đỉnh khởi đầu s đến một đỉnh khác của đồ thị B 4 C 5 10 9 A 12 D Một số thuật toán     Thuật toán Dijkstra: áp dụng với đơn đồ thị có trọng số dương Thuật toán Bellman-Ford: áp dụng với đơn đồ thị có... (u, v) của đồ thị có kề nhau hay không, ta chỉ việc kiểm tra bằng một phép so sánh: auv≠ 0  Nhược điểm của ma trận liền kề:  Tiêu tốn bộ nhớ: bất kể số cạnh của đồ thị là nhiều hay ít, ma trận liền kề luôn luôn đòi hỏi n2 ô nhớ để lưu các phần tử ma trận  Khó làm việc với đồ thị có số lượng đỉnh lớn 2 Danh sách cạnh   Trong trường hợp đồ thị có n đỉnh, m cạnh, ta có thể biểu diễn đồ thị dưới dạng... trình Euler     Input: Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng, liên thông , tất cả các đỉnh đều có bậc chẵn Output: Chu trình Euler Giải thuật xây dựng chu trình Euler Bước 1: Xây dựng một chu trình đơn Xuất phát từ đỉnh bất kỳ, chẳng hạn x0, vì bậc x0 lớn hơn 1, nên chọn được cạnh u0 = (xo,x1) Đến lượt x1, vì x1 có bậc lớn hơn 1, nên chọn được cạnh u1 = (x1,x2) khác với u0 Tiếp tục như vậy, vì số đỉnh... sách cạnh, trong cách biểu diễn này, người ta liệt kê tất cả các cạnh của đồ thị trong một danh sách, mỗi phần tử của danh sách là một cặp (u, v) tương ứng với một cạnh của đồ thị Danh sách được lưu trong bộ nhớ dưới dạng mảng hoặc danh sách móc nối Ví dụ với đồ thị dưới đây:  Ưu điểm của danh sách cạnh:  Trong trường hợp đồ thị có số cạnh tương đối nhỏ: chẳng hạn m < 6n cách biểu diễn bằng danh sách... (A ,1, B,2,A), xóa các cạnh trong C0 khỏi G, phần còn lại là G0 Xuất phát từ B, xây dựng chu trình đơn C1 = (B,3,C,4,B), xóa các cạnh trong C1 khỏi G0, phần còn lại là G1 Ghép thêm chu trình đơn C1 = (B,3,C,4,B) vào chu trình đơn C0 thành C=(A ,1, B,4,C,3,B,2,A) Xuất phát từ A, xây dựng chu trình đơn C2 = (A,6,D,7,C,5,A), xóa các cạnh trong C2 khỏi G1 Lúc này các cạnh của G1 đã xóa hết Ghép thêm chu trình đơn... Giả sử G = (V, E) là một đơn đồ thị có số đỉnh là n, không mất tính tổng quát có thể coi các đỉnh được đánh số 1, 2, , n Khi đó ta có thể biểu diễn đồ thị bằng một ma trận vuông cấp n A = [aij] Trong đó:    aij= 1 nếu (i, j) ∈ E aij = 0 nếu (i, j) ∉ E Đối với đa đồ thị thì việc biểu diễn cũng tương tự trên, chỉ có điều nếu như (i, j) là cạnh thì không phải ta ghi số 1 vào vị trí aij mà là ghi số . bit. Q 2 11 0 11 1 010 011 0 01 000 10 1 10 0 Q 3  e. Đồ thị phân đôi là đồ thị có tập các đỉnh V có thể phân làm hai tập con không rỗng, rời nhau V 1 và V 2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị nối 1 đỉnh. gọi là đồ thị có hướng nếu các cạnh trong E có sự phân biệt đỉnh nào là đỉnh đầu, đỉnh nào là đỉnh cuối. Ví dụ Đơn đồ thị vô hướng Đơn đồ thị có hướng Đa đồ thị vô hướng Đa đồ thị có. luôn có đường đi đơn  Một đồ thị không liên thông là hợp của 1 hay nhiều đồ thị con liên thông. Các đồ thị này được gọi là các thành phần liên thông  Đồ thị có hướng gọi là liên thông