QUAN H VUễNG GểC A. Các vấn đề chính: 1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng. 2. Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc. 3. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng. 4. Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đờng thẳng, đến 1 mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau. 5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện. B. Bài tập: Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng: 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a) Chứng minh BC (SAB) b) Gọi AH là đờng cao của SAB. Chứng minh: AH (SBC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO (ABCD) b) IJ (SBD) 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC) b) Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) c) Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC (AID) b) Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH (BCD) 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chứng minh rằng: a) BC (OAH) b) H là trực tâm của ABC c) 2222 1111 OCOBOAOH ++= 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh: SH (ABCD) b) Chứng minh: AC SK và CK SD 7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R). CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I. Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông ở S b) SD CE c) Tam giác SCD vuông. Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: 8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD a) Chứng minh: AB (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH (ADC) 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60 0 , SA (ABCD) và SA = 6a . Chứng minh: a) (SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD) b) (SBC) (SDC) 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD) b) Một mặt phẳng ( ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D. Chứng minh AC BD và 2 tam giác ABC và ADC đối xứng với nhau qua mặt phẳng (SAC) 11.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn SD = 6 2 a vuông góc với (ABC). Chứng minh: a) Mặt phẳng (SAB) (SAC) b) Mặt phẳng (SBC) (SAD) 12.Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 2 3 a . Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a. a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) (ABC) (BCD) b) (ABC) (ACD) 14.Cho ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với (ABC) Giỏo viờn : Phm Hi 2 a) (ABB) (ACC) b) Gọi AH, AK là các đờng cao của các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với (AHK) Loại 3: Góc của 2 đ ờng thẳng: 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với AB và AD, SA = 2 3 3 a . Tính góc của 2 đờng thẳng: a) SB và DC (30 0 ) b) SD và BC (cos = 42 14 ) 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa AB và CI (cos = 3 6 ) 17.Cho hình lập phơng ABCD.ABCD a) Tính góc giữa: AB và BC; AC và CD (60 0 và 90 0 ) b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CD. Hãy tính góc giữa: MN và CD; BD và AD; MN và ; AP và DN. (60 0 , 45 0 , 90 0 ) Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng: 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 6a vuông góc với đáy. Tính góc của: a) SC với (ABCD) (60 0 ) b) SC với (SAB) 7 tan 7 = ữ c) SB với (SAC) 14 sin 14 = ữ 19.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB. a) Chứng minh SI (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) 15 tan 5 = ữ b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) 3 6 ;sin 2 4 a = ữ c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC) 2 tan 3 = ữ 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lợt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60 0 a) Tính MN, SO 10 30 ; 2 2 a a MN SO = = ữ b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD) 2 sin 5 = ữ Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng: Giỏo viờn : Phm Hi 3 21.Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (60 0 ) 22.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (30 0 ) b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy 2 tan 3 = ữ 23.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2) b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan = 3) c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy ( ) tan 2 3 = 24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = 3a vuông góc với (ABCD). Tính góc: a) (SAB) và (ABC) (90 0 ) b) (SBD) và (ABD) ( ) tan 6 = c) (SAB) và (SCD) (30 0 ) 25.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 60 0 (SA = a) 26. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = 3 a , vẽ SO (ABCD) và SO = 6 3 a a) Chứng minh: góc ASC = 90 0 b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 27. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, DBC vuông cân tại D. Biết AB = 2a, AD = 7a . Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (30 0 ) Loại 6: Các bài toán về khoảng cách: 28. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD) và AB = a. Tính k/c: a) Từ D đến (ABC) ( 3 2 a ) b) Từ B đến (ACD) ( 21 7 a ) 29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b. Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) ( 2 2 1 4 2 b a ) b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB ( 5 5 a ) c) Từ AD đến (SBC) ( 2 2 4 2 a b a b ) 30. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SC = SA = SB = AD = a 2 . Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC a) Chứng minh (SIJ) (SBC) Giỏo viờn : Phm Hi 4 b) Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB ( 42 7 a ) 31. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng(BCCB) ( 3 2 a ) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( 21 7 a ) c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACCA) và tính khoảng cách từ A đến (ABC) ( 2 2 a ) 32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng SA = a và SA (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a) SB à AD b) AB và SC ( 2 2 a ; 2 2 a ) 33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng: a) SC và BD b) AC và SD ( 6 6 a ; 3 3 a ) Giỏo viờn : Phm Hi 5 . QUAN H VUễNG GểC A. Các vấn đề chính: 1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng. 2. Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng vuông góc. diện. B. Bài tập: Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng: 1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a) Chứng minh BC (SAB) b) Gọi. SB = a. a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng minh: (SAB) (SAD) 13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) (ABC)