GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN ÔN TẬP TOÁN 9. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1)HẰNG ĐẲNG THỨC: ( A ± B ) 2 = A 2 ± 2AB + B 2 (A ± B) 3 = A 3 ± 3A 2 B +3AB 2 ± B 3 A 2 – B 2 = (A – B) (A + B) A 3 ± B 3 = (A ± B)(A 2 m AB +B 2 Chú ý: Với X ≥ 0 ta có : 3 X X 1 X 1 ( X 1)(X X 1)± = ± = ± +m ( ) ( ) ( ) 2 X 1 X 1 X 1 X 1 − = − = − + 2)CÁC QUI TẮC VỀ LUỸ THỪA : .A m .A n = A m + n ; A m : A n =A m – n ; (A m ) n = A m.n .(A.B.C) m = A m .B m .C m ; A A B B m m m   =  ÷   3) CÁC QUI TẮC VỀ CĂN BẬC HAI: . A có nghĩa (xác định) ⇔ A ≥ 0 .Qui ước: A 0 ≥ . 2 A A A A  = =  −  -Với các điều kiện có nghĩa thì: . A. B AB = ; ( ) A A n n = ; ( ) A. B. C A . B . C m m m m = . A A : B ;(A 0;B 0) B = ≥ > ; 2 A B A B = (B ≥ 0) ; 2 2 A B;(A 0;B 0) A B A B;(A 0;B 0)  ≥ ≥  =  − < ≥  . ( ) 2 AB AB ;; AB 0;B 0 B B = ≥ ≠ . ( ) A A B ;; B 0 B B = > . ( ) 2 2 1 A B ;; A 0;A B A B A B = ≥ ≠ − ± m . ( ) ( ) A B C A ;; B 0;C 0;B C B C B C = ≥ ≥ ≠ − ± m ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 1 Nếu A ≥ 0 Nếu A < 0 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN BÀI TẬP: PHẦN I : BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ: Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : 1) ( ) 28 2 14 7 . 7 7 8− + + 2) ( ) ( ) 8 3 2 10 . 2 3 0,4− + − 3) ( ) 15 50 5 200 3 450 : 10+ − 4) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3− − + 5) 8 2 15 8 2 15− − + 6) 1 1 4 3 2 4 3 2 − − + 7) 2 3 3 2 + 8) 2 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 9) 4 2 3. 4 2 3+ − 10) 4 2 3 4 2 3+ − − 11) ( ) 10 6 . 4 15− + 12) ( ) 2 6 . 2 3− + 13) 7 2 10 7 2 10− − + 14) 14 6 5 14 6 5+ + − 15) 7 4 3 7 4 3− − + 16) 2 80 3 2 5 3 3 5 48− − 17) 2 5 125 80 605− − + ; 18) ( ) 2 3 6 2− + ; 19) 15 216 33 12 6− + − ; 20) 10 2 10 8 5 2 1 5 + + + − ; 21) 2 8 12 5 27 18 48 30 162 − + − − + ; 22) 16 1 4 2 3 6 3 27 75 − − ; 23) 4 3 2 27 6 75 3 5 − + ; 24) ( ) 3 5. 3 5 10 2 − + + 25) 8 3 2 25 12 4 192− + ; 26) 3 5 3 5− + + ; 27) 4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + ; 28) ( ) ( ) 5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − − ; 29) 1 1 2 2 3 2 2 3 + + + − − ; 30) 6 4 2 6 4 2 2 6 4 2 2 6 4 2 + − + + + − − ; 31) ( ) 2 5 2 8 5 2 5 4 + − − ; 32) 14 8 3 24 12 3− − − ; 33) 4 1 6 3 1 3 2 3 3 + + + − − ; 34) ( ) ( ) 3 3 2 1 2 1+ − − 35) 3 3 1 3 1 1 3 1 + − + + + . Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau: A = 14 7 15 5 1 : 1 2 1 3 7 5   − − +  ÷  ÷ − − −   B = 2 3 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 + − + + + − − C = ( ) 15 4 12 . 6 11 6 1 6 2 3 6   + − +  ÷ + − −   D = ( ) 3 2 3 2 2 2 3 3 2 + + + − + E = 5,5 3 2 5,5 3 2 6 2 + − − F = 4 4 9 4 5 9 4 5 − − + G = 2 1 3 8 2 15 5 2 6 7 2 10 − − − − + H = ( ) ( ) 4 15 . 4 15. 10 6+ − − P = 216 2 3 6 1 . 3 8 2 6   − −  ÷  ÷ −   Q = 5 2 6 8 2 15 7 2 10 + + − + Bài 3 : 1) Cho hai số: A = 36 10 11+ B = 36 10 11− Tính : A . B và A + B Rút gọn các biểu thức A và B . ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 2 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 2) Cho hai số : U = 10 6− và V = 4 15+ Chứng tỏ rằng : V = ( ) 1 5 3 2 + Tính giá trị của biểu thức : U.V Bài 4 : Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau: A = 2 2x x 6x 9+ − + với x = – 5 B = 2 1 6a 9a 3a− + − với a = 2 3 C = ( ) 2 2 2 4x 4x 1 x 8x 16 x 16 + + − + − với x = 8 D = 2 9x 6x 1 5x 1 3x − + − − với x = – 3 Bài 5 : Cho biểu thức : B = x y y x xy − 1) Rút gọn biểu thức B . Nêu điều kiện để biểu thức B có nghĩa . 2) Tính giá trị của biểu thức B với x = 2 3+ ; y = 2 3− Bài 6 : Cho biểu thức : N = x 4 x 4 x 4 x 4+ − + − − 1) Rút gọn biểu thức trên. 2) Tìm x để N = 4 Bài 7 : Cho biểu thức : A = a a a a 1 1 a 1 a 1    + − + −  ÷ ÷  ÷ ÷ + −    ( với a 0≥ và a 1≠ ) 1) Rút gọn biểu thức A . ( KQ: A = a – 1 ) 2) Tìm a 0≥ và a 1≠ thoả mãn đẳng thức : A = – a 2 (KQ: a = 1 5 2 − + ) Bài 8 : Cho biểu thức : S = y y 2 xy : x y x xy x xy   +  ÷  ÷ − + −   ( với x > 0 ; y > 0 và x ≠ y) 1) Rút gọn biểu thức trên. (KQ : S = 1 x ) 2) Tìm giá trị của x và y để S = 1 (KQ : x = 1 ; y > 0 thì S = 1) Bài 9 : Cho biểu thức : P = 1 x x 1 x x + + − (với x > 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn P. (KQ: x 1 1 x + − ) 2) Tính giá trị của P khi x = 1 2 ( P = 3 + 2 ) Bài 10 :Cho biểu thức : Q = x 2 x 2 x 1 . x 1 x 2 x 1 x   + − + −  ÷  ÷ − + +   ( với x > 0 và x ≠ 1) 1) Chứng minh Q = 2 x 1− 2) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên. Bài 11 : Cho biểu thức : M = 1 x 1 x x 1 x 1 x x − − − − + + ( với x ≥ 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức trên . 2) Tìm x để M ≥ 2. Bài 12 : Cho biểu thức : A = 1 1 x 2 x 1 : x x 1 x 1 x 2   + +   − −  ÷  ÷  ÷ − − −     ; (với x > 0 ; x ≠ 1và x ≠ 4) 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm x để A = 0 . ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 3 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN (KQ: 1. A = x 2 3 x − ; 2 . x = 4 loại ) Bài 13 : Cho biểu thức : Q = 1 x 1 x 1 x . x x 1 x 1   + −   − +  ÷  ÷  ÷ − +     ; ( với x > 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức trên 2) Tìm x để Q = 8 (KQ: Q = 2(x 1) x + ; Q = 8 ⇔ x = 7 ± 4 3 ) Bài 14 : Cho biểu thức : P = 5 x 2 x 4 1 . x x 2 x 3   + +   + −  ÷  ÷  ÷ − −     ; ( với x ≥ 0 và x ≠ 4) 1) Rút gọn biểu thức P . 3) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. 2) Tìm x để P > 1 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 15 : Cho biểu thức : P = 2 1 1 x x x x x x. x 1 x 1 x x 1 x 1 − −   + + +  ÷ − + + + −   1) Rút gọn biểu thức P . ( Với x ≥ 0 và x ≠ 1) 2)Tìm x là số nguyên để P nhận giá trị nguyên thoả mãn biểu thức đã cho . ( KQ: P = 2 2x x 1− ) Bài 16 : Cho biểu thức : P = x x 2 x 1 1 : x x 1 x x 1 + +   −  ÷ − + +   (với x ≥ 0) 1) Rút gọn biểu thức P . 3) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. 2) Tìm x để P < 0 . 4) Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 17 : Cho biểu thức : B = 2 x x 1 x 2 : 1 x x 1 x 1 x x 1     + + − −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − + +     ; ( với x ≥ 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức B 2) Tính B khi x = 5 + 2 3 (KQ: B = 1 x 1− ) Bài 18 : Cho biểu thức : P = 2x 1 x 1 x x . x x x 1 x x 1 1 x     + + − −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + +     ; (với x ≥ 0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Xét dấu của biểu thức : P. 1 x− ( KQ: P = x 1− ; P. 1 x− = ( x 1− ). 1 x− , ĐK để có 1 x− là x ≤ 1 Kết hợp với ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 1 ⇒ x < 1 hay x - 1 < 0 mà 1 x− > 0 nên P. 1 x− < 0 ) Bài 19 : Cho biểu thức : Q = 1 1 x 1 : x x x 1 x 2 x 1 +   +  ÷ − − − +   (với x > 0 ; x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tính giá trị của Q với x = 1 4 . 3)So sánh Q với 1 . ( Q = x 1 x − ; Q = 1 – 1 x < 1 vì x > 0.) Bài 20 : Cho biểu thức : K = a 1 1 2 : a 1 a 1 a a a 1     − +  ÷  ÷  ÷ − − − +     ; (với a > 0 ; a ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức K . ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 4 (KQ: P = x 4 x 2 − − ) ( KQ: P = x 1 x 1 − + + ) GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 2) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2 3) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0. ( K = a 1 a − ; K < 0 ⇔ a 1 a − < 0 ⇔ a 1 0 a 0 − <   >  ⇔ a 1 a 0 <   >  ⇔ 0 < a < 1 ) Bài 21 : Cho biểu thức : A = 4 x 8x x 1 2 : 4 x 2 x x 2 x x     − + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     ; ( với x > 0 ; x ≠ 4) 1) Rút gọn A . 2)Tìm giá trị của x để A = – 1 2) Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có : ( ) m. x 3 .A x 1− > + ( A = 4x x 3− ; * Bất phương trình đưa về dạng 4mx > x + 1 ⇔ (4m – 1)x > 1 * Nếu 4m – 1 ≤ 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m – 1 > 0 thì nghiệm bất phương trình là x > 1 4m 1− . Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi x > 9 ⇔ 9 ≥ 1 4m 1− và 4m – 1 > 0. Ta có m ≥ 5 18 ) BÀI 22 : Cho biểu thức : B = x 2 x 1 x 1 : 2 x x 1 x x 1 1 x   + − + +  ÷  ÷ − + + −   với x > 0 ; x ≠ 1 1) Rút gọn B . 2) Chứng minh rằng 0 < B < 2 ( B = 2 x x 1+ + ; vì x > 0 nên x + x + 1> 1 suy ra 0 < B = 2 x x 1+ + < 2) Bài 23 : Cho biểu thức : C = 2 x 2 x 2 1 x . x 1 x 2 x 1 2   − + −   −  ÷  ÷  ÷ − + +     ; (với x ≥ 0 ; x ≠ 1) 1) Rút gọn C . 2) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C > 0 3)Tìm giá trị lớn nhất của C . ( C = x .(1 – x ) ; 2) Với 0 < x < 1 thì x > 0 và x < 1 hay 1 – x > 0 do đó C = x .(1 – x ) > 0 ; 3) C = x – x = – ( x – 1 2 ) 2 + 1 4 ≤ 1 4 …0 Bài 24 : Cho biểu thức : D = ( ) 2 2 x 1 x x 2x x x x 1 x x 1 − − + − + + + − ; (với x > 0 ;x ≠ 1) 1) Rút gọn D . 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của D. 3) Tìm x để biểu thức Q = 2 x D nhận giá trị là số nguyên . ( D = x – x + 1 ; D = ( x – 1 2 ) 2 + 3 4 ≥ 3 4 … ; Q = 2 x D = 2 2 1 M x 1 x = + − Với x > 0 và x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: M = 1 x 1 x + − > 1, suy ra 0 < Q < 2. Do đó Q nguyên ⇔ Q = 1 ⇔ x = 7 3 5 2 ± ) Bài 25 : Cho biểu thức : M = 2 x 1 x 1 x 1 . 2 2 x x 1 x 1     − + − −  ÷  ÷  ÷  ÷ + −     ; (với x > 0 ; x ≠ 1) 1) Rút gọn M . 2) Tìm các giá trị của x để M > 0 . ( M = 1 x x − ; vì x > 0 nên M > 0 ⇔ 0 < x < 1.) ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 5 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN Bài 26 : Cho biểu thức : N = 15 x 11 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 1 x x 3 − − + + − + − − + ; (với x ≥ 0 ; x ≠ 1) 1) Rút gọn N . 2) Tìm giá trị của x để N = 1 2 . 3) Chứng minh N ≤ 2 3 (N = 2 5 x x 3 − + ; x = 1 121 ; N = 2 5 x x 3 − + = 17 5( x 3) x 3 − + + = 17 x 3+ – 5 ≤ 17 3 – 5 = 2 3 …) Bài 27 : Cho biểu thức : A = 6 x x x 3 − − + (với x ≥ 0) 1) Rút gọn A . 2) Tìm x để A ≤ 1 . 3) Tìm giá trị lớn nhất của A . ( A = 2 – x ; A 1≤ ⇔ 2 x 1− ≤ ⇔ – 1 ≤ 2 – x ≤ 1  1 ≤ x ≤ 3 1 ≤ x ≤ 3) Bài 28 : Cho biểu thức : B = 3 1 1 x x x 1 x x 1 x x 1 − + + − − − + − (với x ≥ 0 ; x ≠ 1) a) Rút gọn B . b) Tìm x để B > 0 . c) Tìm giá trị của B nếu x = 53 9 2 7− ( B = x – 2 x 1− ; ( x 1− – 1) 2 ≥ 0 ) Bài 29 : Cho biểu thức : C = x 2 x 1 1 x x 1 x x 1 1 x + + + + − + + − (với x ≥ 0 ; x ≠ 1) a) Rút gọn C . b) Chứng minh rằng C luôn luôn bé hơn 1 3 . ( C = x x x 1+ + ; Ta có ( x – 1) 2 ≥ 0 hay x – 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x + x + 1 ≥ 3 x (1) Vì x + x + 1 luôn luôn dương với mọi x ≥ 0 nên chia 2 vế của (1) cho 3(x + x + 1) được x x x 1+ + ≤ 1 3 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Nhưng điều kiện đã nêu không xảy ra P = 1 3 . P luôn luôn bé hơn 1 3 ) Bài 30 : Cho biểu thức : D = x 1 1 8 x 3 x 2 : 1 9x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1     − − − + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − + +     với x ≥ 0 ; x ≠ 1 9 a) Rút gọn D . b) Tìm các giá trị của x để D = 6 5 ( D = x x 3 x 1 + − ) Bài 31 : Cho biểu thức : P = 3x 9x 3 x 1 x 2 x x 2 x 2 1 x + − + − − + + − + − với x ≥ 0 ; x ≠ 1 a) Rút gọn P . b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên c) Tìm các giá trị của x để P > 1 . ( P = x 1 x 1 + − ) Bài 32: Cho biểu thức : M = 2 3 3 1 a : 1 1 a 1 a     + − +  ÷  ÷ +   −   với – 1< a < 1 a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M khi a = 3 2 3 + (M = 1 a− ) ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 6 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN Bài 33: Cho biểu thức: N = a 1 2 a 1 : a 1 a 1 a a a a 1     + −  ÷  ÷  ÷  ÷ + − + − −     với a ≥ 0 và a ≠ 1 a)Rút gọn N. b)Tìm các giá trị của a để N < 1 (N = a a 1 a 1 + + − ) c)Tính giá trị của N nếu a 19 8 3= − Bài 34: Cho biểu thức: P = x 2 x x 4 x : 1 x x 1 x 1   + −   − −  ÷  ÷  ÷ − + +     a)Tìm đ/kiện của x để P x/định. Rút gọn P. b) Tìm x để P = 1/2 c)Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x. ( P = x 1 x 2 − + ; …= x 2 3 x 2 + − + = 1– 3 x 2+ có x ≥ 0 với mọi x …, x + 2 ≥ 2 1 1 3 3 1 3 1 1 1 P 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 − − ≤ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≥ − + + + Bài 35 : Cho biểu thức: R = ( ) 3 x 3 2 x x 2 x 2 : 1 x 9 x 3 x 3 x 3   +   −  ÷ + − −  ÷  ÷  ÷ − + − −     với x ≥ 0 và x ≠ 9 a) Rút gọn R . b) Tìm các giá trị của x để R > – 1 c) Tìm các giá trị của x để giá trị của biểu thức R nhỏ nhất , tìm GTNN đó. (R = 3( x 3) x 3 − + ; … = 3( x 3) 18 18 3 x 3 x 3 + − = − + + , R nhỏ nhất 18 x 3 +  18 x 3 + lớn nhất  x + 3 nhỏ nhất  x + 3 = 3  x = 0  x = 0 …R min = – 3  x = 0) Bài 36: Cho biểu thức: Q = 2 x 9 x 3 2 x 1 x 5 x 6 x 2 3 x − + + − − − + − − a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa. b) Rút gọn Q . c) Tìm các trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên . Bài 37 : Cho biểu thức: P = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a 1 3 2 a 1 2 a a 1 a 1 3 a a 1 − − − − + − − + − với a ≥ 0 và a ≠ 1 a) Rút gọn P. b) So sánh P với Q = 2 a 1 a 1 − − c) Tìm các giá trị của a để P > 1 ( P = a a 1 − ; P – Q = … = – 1 < 0… Bài 38: Cho biểu thức: 2x 2 x x 1 x x 1 P = x x x x x + − + + − − + với x > 0 và x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức P. b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8 P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 7 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN PHẦN II : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH. Giải các phương trình sau : 1) x 12 x+ = 2) x 1 x 1+ = − 3) 3 2x 3 2+ − = 4) x x 1 13+ − = 5) x 1 5x 1 3x 2− − − = − 6) 6 x x 2 2− + − = 7) x 3 x 4 1+ − − = 8) 15 x 3 x 6− + − = 9) 10 x x 3 5− + + = 10) x 1 x 1 2− − + = 11) 4x 1 3x 4 1+ − + = 12) ( ) ( ) 2 2 8 x x 1 3 x x 1+ = − + 13) 2x 5 3x 5 2+ − − = 14) 2 9x 16 2 2x 4 4 2 x+ = + + − 15) 2 2 x 2x 3 x 2 x 3x 2 x 3− − + + = + + + − 16) 2 x x 12 x 1 36+ + + = 17) 2 2 2x 3x 2x 3x 9 33+ + + + = 18) 2 2 x 5 x 5 7− + − = 19) 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 20) 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − 21) 2 x 7 9 x x 16x 66− + − = − + 22) x 2 x 1 x 1 1− − − − = 23) x 2x 1 x 2x 1 2+ − + − − = 24) x 6x 9 x 6x 9 6+ − + − − = 25) 2 2 x 4x 4 x 6x 9 1− + + − + = 26) x 4 4 x x 9 6 x 1+ − + + − = 27) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1+ − − + + − − = 28) x x 1 x 1+ + − = 29) 2 1 x x x 1− − = − 30) 2 2 x 6 x 2 x 1+ = − − 31) 2x 1 x 2 x 1− + − = + 32) 2 2 2x 8x 6 x 1 2x 2+ + + − = + 33) 3x 15 4x 17 x 2+ − + = + 34) 4 4 x 3.x 2 2008x 2008v+ = − + 35) 2 7 x x 5 x 12x 38− + − = − + PHẦN III: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC . Chứng minh các đẳng thức sau: 1) a b 2 ab 1 : a b a b a b + − = − − + với a > 0 ; b > 0 và a ≠ b 2) a a a a 2 . 2 4 a a 1 1 a     − + + − = −  ÷  ÷  ÷  ÷ − +     với a > 0 và a ≠ 1 3) a 2 a 2 a 1 2 . a 1 a 1 a 2 a 1 a   + − + − =  ÷  ÷ − − + +   với a > 0 và a ≠ 1 4) ( ) 2 1 a a 1 a a a . a 1 a 1 a 1 a     − + + − = −  ÷  ÷  ÷  ÷ − +     với a ≥ 0 và a ≠ 1 5) a b a b 2b 2 b b a 2 a 2 b 2 a 2 b a b + − − − = − − + − với a ≥ 0 ; b ≥ 0 và a ≠ b 6) 2 a a b b a b ab 1 a b a b    + + − =  ÷ ÷  ÷ ÷ − +    với a ≥ 0 ; b ≥ 0 và a ≠ b 7) 5 3 5 3 8 5 3 5 3 + − + = − + 8) 3 3 2 3 1 1 3 1 1 − = + − + + 9) 3 2 6 54 2 . 1 3 12 2 6   + − = −  ÷  ÷ +   10) 3 2 3 2 2 1 : 1: 1 3 2 2 1 2 3   + +   + =  ÷  ÷  ÷ + + +     ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 8 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN PHẦN IV: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Bài 1: a) Cho x , y là các số không âm . Chứng minh rằng: x y xy 2 + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Cho x > 0 , y > 0 , chứng minh: y x 2 y x + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 2: Cho a > 0 , b > 0 , chứng minh : 4ab a b 1 ab + ≥ + Bài 3: Cho a > 0, b > 0, c > o, chứng minh : a b c 3 b c a + + ≥ Bài 4: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh: a b c ab ac bc+ + ≥ + + Bài 5: Chứng minh : a b a b 2 2 + + 〈 với a > 0 , b > 0 , a ≠ b . Bài 6: Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + ≥ + + + Bài 7: Chứng minh : 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 + + + + ≥ + + + với a , b , c là các số dương. Bài 8: Chứng minh: 1 1 1 2 3 2 2 2 3 n n n − < + + + < − với ; 2n N n∈ ≥ Bài 9: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 3 2 4 2 2008 2007 + + + + < Bài 10: Chứng minh: ( ) ( ) a b c d+ + ≥ ac bd+ với a , b ,c , d là các số dương. HÀM SỐ BẬC NHẤT – PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1). Hàm số bậc nhất : y = a.x + b (a ≠ 0). Y y a) Tập xác định: R. b) Chiều biến thiên: A(0;b) A(0;b) a > 0 : Hàm số đồng biến a < 0 : Hàm số nghịch biến c) Đồ thị là đường thẳng cắt trục tung B( ;0 b a − ) 0 x 0 B( ;0 b a − ) x và trục hoành tại A(0;b) ; B( ;0 b a − ) . a gọi là hệ số góc và a = tg α ( α là góc nhọn tạo bởi đường thẳng và trục hoành ) . Nếu a = 0 thì y = b , đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành. d) Xét hai đường thẳng: y = a 1 .x + b (d 1 ) y y = a 2 .x + b (d 2 ) . d 1 cắt d 2 1 2 a a⇔ ≠ b y = b . d 1 // d 2 1 2 1 2 a a b b =  ⇔  ≠  0 x . 1 2 1 2 1 2 a a d d b b =  ≡ ⇔  =  . d 1 ⊥ d 2 ⇔ a 1 .a 2 = – 1 ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 9 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN 2).Phương trình a.x + b = 0 (1), (a; b ∈ R). . Nếu a ≠ 0. Phương trình(1) là bậc nhất có nghiệm duy nhất b x a = − . . Nếu a = 0 và b ≠ 0 . Phương trình (1) vô nghiệm. . Nếu a = 0 và b = 0 . Phương trình (1) nghiệm đúng x R∀ ∈ 3).Phương trìnhbậc nhất hai ẩn: a.x + b.y = c (2) ; ( 2 2 a b 0+ ≠ ) Phương trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là: (x ∈ R; c a.x y b − = ) hoặc c by y R; x a −   ∈ =  ÷   4). Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Dạng tổng quát: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; 1 ; 2 a x b y c a x b y c + =   + =   . 1 1 2 2 a b a b ≠ . Hệ có nghiệm duy nhất (đ/t 1 cắt đ/t 2) . 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = ≠ . Hệ vô nghiệm (đ/t 1 // đ/t 2) . 1 1 1 2 2 2 a b c a b c = = . Hệ vô số nghiệm (đ/t 1 trùng với đ/t 2) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(x A ; y A ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y A = f(x A ). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax 2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4). Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2 2 a = 1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(–2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = – 2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy – 2.( – 2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng : (d 1 ) : y = a 1 x + b 1 . (d 2 ) : y = a 2 x + b 2 . a) (d 1 ) cắt (d 2 ) a 1 a 2 . b) d 1 ) // (d 2 ) c) d 1 ) (d 2 ) ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 10 [...]... 5x – 9 = 0 2x2 – x – 21 = 0 6x2 + 13x – 5 = 0 56x2 + 9x – 2 = 0 10x2 + 17x + 3 = 0 ƠN TẬP TỐN 9 TT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ∆ ' x2 – 4x + 2 = 0 9x2 – 6x + 1 = 0 – 3x2 + 2x + 8 = 0 x2 – 6x + 5 = 0 3x2 – 6x + 5 = 0 3x2 – 12x + 1 = 0 5x2 – 6x – 1 = 0 3x2 + 14x + 8 = 0 – 7x2 + 6x = – 6 x2 – 12x + 32 = 0 x2 – 6x + 8 = 0 9x2 – 38x – 35 = 0 x2 – 2 3 x + 2 = 0 19 BÀI TẬP CƠ... ƠN TẬP TỐN 9 29 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN m −3 4(m − 1)2 ⇒ 8(m2 – 2m + 1) = 9( m2 – 3m + m – 3) Từ đó dẫn đến: 2 = 2(m + 1) 9( m + 1) 2 2 ⇒ 8m – 16m + 8 = 9m – 27m + 9m – 27 ⇒ m2 – 2m – 35 = 0 ⇒ m = 7 hoặc m = – 5 Thử lại, ta thấy cả hai giá trị của m đều thỏa mãn bài tốn Bài 51: Cho phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 3m2 + 6m = 0 (m là tham số) ... 3(x1 + x2) + 2m2 = 9 + 2m2 (1) y1.y2 = x12 x 2 = (x1.x2)2 = (– m2)2 = m4 (2) Từ 1 và 2 ta có : y1 + y2 = 11 y1.y2 2 32 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT ƠN TẬP TỐN 9 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN ⇔ 9 + 2m2 = 11 m4 ⇔ 11 m4 – 2m2 – 9 = 0 (3) Đặt t = m2 (ĐK : t ≥ 0) phương trình (3) trở thành : 11t2 – 2t – 9 = 0 , có a + b + c = 11 – 2 – 9 = 0 ⇒ t1 = 1(t/m ) , t2 = – 9/ 11 (loại) Với t... khơng chứa tham số để tìm (x;y) Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số BÀI TẬP: I/ HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 1: Cho hàm số y = f(x) =(m – 1).x + 2m – 3 a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? nghịch biến? b) Biết f(1) = 1, tính f(2) ; c) Biết f(-3) = 0 ,hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến Bài 2 : Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = – 5.x + (m... đó vng góc với nhau Bài 12 : Xác định h /số y = ax + b trong các trường hợp sau : a) Khi a = 3 , đồ thị h /số cắt trục tung tại điểm có tung độ = – 3 b) Khi a= – 5, đồ thị h /số đi qua điểm A(– 2 ;3) c) Đồ thị h /số đi qua 2 điểm M(1 ; 3) và N(– 2 ; 6) ƠN TẬP TỐN 9 11 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN d) Đồ thị h /số song song với đường thẳng y= 7 x và đi... HPT:  2 1 5 ( x + 2 y ) = 2( x + y )  Bµi 8 Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 HS nÕu chun 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau TÝnh sè HS mçi líp Bµi 9 Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tun TÝnh riªng tØ lƯ ®ç th× trêng A ®¹t 80%, trêng B ®¹t 90 % Hái mçi trêng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10 Bµi 10 Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét... thẳng y = ax + b biết 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc tìm hệ số a Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào cơng thức y = ax + b để tìm b 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) ƠN TẬP TỐN 9 30 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên... +5) ≤ 0 ⇔ – 5 ≤ m ≤ – 1 22 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT ƠN TẬP TỐN 9 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN m 2 + 4m + 3 Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = – m – 1 ; x1x2 = 2 2 m + 8m + 7 (m + 1)(m + 7) Do đó: A = = với – 5 ≤ m ≤ – 1 thì (m + 1)(m + 7) ≤ 0 2 2 9 − m 2 − 8m − 7 9 − (m + 4) 2 9 = ≤ với mọi m Vậy max A = khi m = – 4… 2 2 2 2 Bµi tËp 29: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiƯm cđa... xy nhỏ nhất mx − y = 1  Bài 19: Cho hệ phương trình:  x y với m là tham số  2 − 3 = 334  a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ nghiệm  x + ay = 1 Bài 20: Cho hệ phương trình:  với a là tham số ax + y = 2 a) Giải hệ phương trình khi a = 2 b) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ƠN TẬP TỐN 9 16 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT GIÁO... – 9 1 2 2) ∆’ = m2 + m + 5 = (m + )2 + 19 > 0 với mọi m 4 3) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ⇔ m – 4 < 0 ⇔ m < 4 4)Theo chứng minh trên phương trình ln có hai nghiệm với mọi m Theo đ/lí Vi-ét: x1 + x2 = 2(m + 1) ; x1.x2 = m – 4 Ta có: x1 − x 2 2 = (x1 + x2)2 – 4 x1.x2 = [2(m + 1)]2 – 4(m – 4) = (2m + 1)2 + 19 Do (2m + 1)2 ≥ 0 với mọi m, nên (2m + 1)2 + 19 ≥ 19 với mọi m ⇒ x1 − x 2 2 ≥ 19 . + Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp. Bài 9. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10,. ≠ − ± m ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 1 Nếu A ≥ 0 Nếu A < 0 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN BÀI TẬP: PHẦN I : BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ: Bài. điểm có tung độ = – 3 b) Khi a= – 5, đồ thị h /số đi qua điểm A(– 2 ;3) c) Đồ thị h /số đi qua 2 điểm M(1 ; 3) và N(– 2 ; 6) ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT. 11 GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC