T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM I MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Hàm số Tập xác định Hàm số Tập xác định y = A(x ) A (x ) ≥ y = tgx x≠ B(x ) ≠ y = cot gx x ≠ kπ A(x ) ≥ ⎡ arcsin x y=⎢ ⎣arccos x −1 ≤ x ≤ y = [A(x )] A (x ) > y= A (x ) B(x ) y = n A(x ) (n ∈ Z ) + ∀x ∈ D y = n +1 A(x ) II B( x ) (n ∈ Z ) + π + kπ f (D ) = (− ∞, a] ⎧ B(x ) > ⎨ ⎩0 < A(x ) ≠ ⎡a x y=⎢ x ⎣e ⎡log x y=⎢ ⎣ ln x ∀x(a > 0) ∀x > ⎡f (x ) ± g(x ) y=⎢ ⎣ f (x ) g(x ) D = D f ∩ Dg f(D): MGT f (D ) = [a, b] a ≤ f (x ) ≤ b f (D ) = [b,+∞ ) f (x ) ≥ b Tập xác định y = log A (x ) B(x ) MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} Sự tồn nghiệm phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Hàm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f (x ) ≤ a a < f (x ) < b f (D ) = (a, b ) Đánh giá biểu thức BÑT: * [A(x )] + a ≥ a ∀a, ∀x làm A(x ) xác định (a * BĐT Côsi : a + b ≥ ab Bunhiacoâp sky : ac + bd ≤ III Hàm số HÀM HP gof g o f hàm hợp hai hàm f : D f * Tf ∩ D f = φ ⇒ ∃g o f : Dg o f Tf vaø g : D f )( + b c2 + d ) Z Z * ∀x ∈ D g o f : [g o f ](x ) = g[f (x )] vaø fog ≠ g o f ; ⎡{x | x ∈ D f ∧ f (x ) ∈ Dg } Tf ∩ D g * Dg o f = ⎢ ⎣ D f , {(Tf ≠ ) ∧ (Tf ⊂ Dg )} IV HÀM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: V GIỚI HẠN HÀM SỐ: f (− x ) = f (x ) ∀x ∈ D : f chaün ⎤ ⇒ f (− x ) ≠ ± f (x ) : Hàm không chẵn không lẽ ∀x ∈ D f (- x ) = −f (x ) ∀x ∈ D : f leõ ⎥ ⎦ Phương pháp 1: Khử dạng vô định 0 Cơ sở phương pháp làm xuất dạng biểu thức hàm thừa số (x - x0), để giản ước thừa số tử số mẫu số • • lim x→ x f (x ) g(x ) với ý: Nếu tử mẫu đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử mẫu cho (x - x0) Riêng ta dùng thủ thuật chia Hormer Nếu tử mẫu có chứa thức, ta nhân cho tử mẫu lượng liên hợp thức llh A + B ←⎯ → A− B llh A ± B ←⎯ A ± AB + B2 → Nếu tử mẫu có chứa thức, ta nhân vào tử mẫu hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng • Không loại trừ khả sử dụng nhanh đẳng thức: Trích từ http://www.toanthpt.net - T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Laït LHQ a3 ± b = ( a ± b ) ( a2 ± ab + b ) a2 − b = ( a − b )( a + b ) an − b n = ( a − b ) ( an −1 + an − b + an − b + + ab n − + b n −1 ) a4 − b = ( a2 + b ) ( a − b )( a + b ) • Để ý việc biến đổi sơ cấp làm dạng vô định trở thành dạng vô định khác Chẳng hạn: lim f (x )g(x ) (dạng × ∞ theo thứ tự đó) x →0 • • Phương pháp 2: Khử dạng vô định ∞ ∞ PP1: Đặt số mũ lớn đa thức thành phần tử mẫu làm nhân tử chung để khử vô định PP2: Dùng định lý giới hạn tương đương: 1/ x → ∞ ⇒ Pn (x ) ~ an x n ⎧ ⎪ x → +∞ ⇒ ax + bx + c ~ x a ; (a > 0) 2/ ⎨ ⎪x → −∞ ⇒ ax + bx + c ~ −x a ; (a > 0) ⎩ b + ε(x ); ⎛ với a > lim ε(x ) = ⎞ / ax + bx + c ~ a x + ⎜ ⎟ 2a x →∞ ⎝ ⎠ Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞ − ∞ Cơ sở phương pháp tìm giới hạn là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp 2/ 3/ 4/ • Sử dụng biểu thức tiệm cận: ax + bx + c ~ a x + Sử dụng đẳng thức Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng Phương pháp 4: Giới hạn hàm lượng giác TH1: Khi x → (x tính radian) sin u ( x ) lim u ( x) u( x )→ lim = hay sinu ( x ) ~ u ( x ) − cos u ( x ) u( x )→ ⎡u ( x)⎤ ⎣ ⎦ = llh ( + sin u ) ←⎯→ ( − sin u ) TH2: Khi * Đặt: * Khi: tgu ( x ) u ( x) u( x ) → = hay tgu ( x ) ~ u ( x ) 1 hay 1-cos u ( x ) ~ ⎡ u ( x ) ⎤ ⎣ ⎦ 2 Không loại trừ nhân lượng liên hợp lượng giác • lim b + ε(x ) đó: a > vaø lim ε(x ) = 2a x →∞ llh ( + cos u ) ←⎯→ ( − cos u ) x → x hàm lượng giác có dạng vô định (x tính rian) ⎧ x = x0 + t t = x − x0 ⇔ ⎨ ⎩x → x ⇒ t → x → x ⇒ t ' = x − x, t ' → Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số ⎧f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ), ∀x ∈ Vx | {x } ⎪ ⇒ lim g(x ) = L ⎨ lim f (x ) = lim h (x ) = L x→x ⎪ x→x x→x ⎩ ⎧ lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x → x0 ⎪ x→ x0 Hàm chứa giá trị tuyệt đối: ⎨ lim lim ⎪ x→ x f ( x ) = ⇒ x→x f ( x ) = 0 ⎩ ⎧f (x ) ∈ R, ∀x ∈ D ⎪ hay lim Δ y = Hàm liên tục: * ⎨ Δx → ⎪ xlim0 f (x ) = f (x ) ⎩ →x Hàm kẹp: Trích từ http://www.toanthpt.net - T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt * Liên tục x0: ⎡ lim+ f (x ) = f (x ) : liên tục phải x→x lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x ) ⇒ ⎢ x→x x→x0 ⎢ lim− f (x ) = f (x ) : liên tục trái ⎣ x→x Công thức giới hạn: lim x→ sin x x lim a x→+∞ =1 lim =1 x→ x ( ) lim U x = x→ ( ) =1 U ( x) tgU ( x ) lim =1 x→ U ( x ) lim x→ sin U x − cos x = 2 x * Quy taéc Lopitan: VI x lim log a x = +∞ ⎫ x →+∞ ⎪ = +∞ ⎫ ⎪ x + lim a = ⎪ x→−∞ ⎪ x lim e = +∞ ⎪ x→+∞ ⎪ + x lim e = ⎬ x→−∞ ⎪ x ⎪ e = +∞ ⎪ lim x→+∞ x ⎪ x lim x.e = ⎪ ⎭ x→−∞ + x lim a = ⎫ ⎪ x→+∞ ⎬ x lim a = +∞ ⎪ ⎭ x →−∞ tgx lim x→ LHQ lim log a x = −∞ ⎪ x → 0+ ⎪ ⎪ ⎪ lim ln x = −∞ ⎬ + x→ ⎪ ln x + ⎪ =0 lim ⎪ x →+∞ x − ⎪ lim x ln x = ⎪ ⎭ x → 0+ lim log a x = −∞ ⎫ ⎪ x →+∞ ⎬ lim log a x = +∞ ⎪ − ⎭ x→ lim ln x = +∞ x →+∞ a>1 00 a x0 (h.9) (C):y=f(x) f'(x0)>0 B A f'(x0)=0 f'(x0)