Công thức lượng giác, phương trình lượng giác luyện thi đại học

15 896 0
Công thức lượng giác, phương trình lượng giác luyện thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Chuyên đề 6 ƠN TẬP LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC TĨM TẮT GIÁO KHOA A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Độ: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian: (rad) rad 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radia n 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Đònh nghóa: 2. Đường tròn lượng giác: 1 x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) πα 2kAB += Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: ¼ AM k2= +a p M π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k III. Đònh nghóa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác: a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tan cot OP OQ AT BU α α α α = = = = b. Các tính chất : 2 + − x y O C A B D + − x y O C A B D 1 1 1 = R 1 − 1 − 'x 'u u t 't 'y y t 'u 't t x u 'y 'x O t 1 − Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 α α − ≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 α α − ≤ ≤ ≤ • tan xác đinh 2 k π α α π ∀ ≠ + • cot xác đinh k α α π ∀ ≠ c. Tính tuần hoàn α π α α π α α π α α π α + = + = + = + = sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( ) tan cot( ) cot k k k k )( Zk ∈ IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt - 3 -1 - 3 /3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' - 3 -1 - 3 /3 1 1 -1 -1 - π /2 π 5 π /6 3 π /4 2 π /3 - π /6 - π /4 - π /3 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 -1/2 - 2 /2 - 3 /2 3 /2 2 /2 1/2 3 /2 2 /2 1/2 A π /3 π /4 π /6 3 /3 3 B π /2 3 /3 1 3 O 3 + − Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tan α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cot α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : và - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : và - α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 ππ ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 ππ ,…) 5. Cung hơn kém π : và α π α + (Vd: 6 7 & 6 ππ ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : sin( ) sin tan( ) cos( ) c tan cot o ( ) s cot α α α α α α α α − = − − = − − = − − = cos( ) cos t sin( ) s an( ) tan cot( ) i ot n c π α α π α α α π α α α π − = − = − − = − − = − 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π 4 Đối cos Bù sin Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 tan( ) cot 2 cot( ) tan 2 π α α π α α π α α π α α − = − = − = − = tan cos( ) sin 2 sin( ) ( ) cot 2 cot( ) ta s 2 co 2 n π α α π α π α α α α π α + = − + + − + = − = = 5. Cung hơn kém π : tan( cos( ) cos sin( ) s ) tan co in t( ) cot π α π α α π α α α α α π + + = − + = + − = = VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 2 2 cos sin 1 sin tan = cos cos cot = sin α α α α α α α α + = 2 2 2 2 1 1 tan = cos 1 1 cot = sin tan . cot = 1 α α α α α α + + Ví dụ: Chứng minh rằng: 1. 4 4 2 2 cos x sin x 1 2 sin x cos x+ = - 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ Chứng minh ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 sin x cos x 1 2 sin x cos x + = + = + - = - ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 6 6 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2) cos x sin x cos x sin x cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x 1 3 sin x cos x + = + = + - + = - 2. Công thức cộng : 5 Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang Chuyờn LTH THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu- ng Thỏp cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tan +tan tan( + ) = 1 tan .tan tan tan tan( ) = 1 tan .tan + = = + + = + = + Vớ duù: Chửựng minh raống: + = = + 1.cos sin 2 cos( ) 4 2.cos sin 2 cos( ) 4 Chng minh 2 2 1) cos sin 2 cos sin 2 2 2 cos cos sin sin 4 4 2 cos 4 2 2 2) cos sin 2 cos sin 2 2 2 cos cos si 4 ổ ử ữ ỗ ữ + = +a a a a ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ p p ổ ử ữ ỗ = +a a ữ ỗ ữ ố ứ p ổ ử ữ ỗ = -a ữ ỗ ữ ố ứ ổ ử ữ ỗ ữ - = -a a a a ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ p = -a n sin 4 2 cos 4 p ổ ử ữ ỗ a ữ ỗ ữ ố ứ p ổ ử ữ ỗ = +a ữ ỗ ữ ố ứ 3. Coõng thửực nhaõn ủoõi: 2 2 2 2 4 4 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin .cos 2tan tan2 1 tan = = = = = = 4 Coõng thửực nhaõn ba: 6 2 1 cos 2 2 cos + a =a 2 1 cos 2 sin 2 - a =a 2sin 2 1 cossin = 4 cos33cos cos 3 + = Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin α α α α α α = − = − 5. Công thức hạ bậc: 2 2 2 1 cos 2 1 cos2 1 cos2 cos ; sin ; t an 2 2 1 cos 2 -a a a = = =a a a + + - a 6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo tan 2 α =t 2 2 2 2 2t 1 t 2t sin ; cos ; tan 1 t 1 t 1 t - = = =a a a + + - 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − − + = + + − 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 sin( ) tan tan cos cos sin( ) tan tan cos cos α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − + = + − − = − + − + = + − − = + + = − − = 9. Các công thức thường dùng khác: 7 4 3sinsin3 sin 3 αα α − = Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 π π α α α α π π α α α α + = − = + − = + = − − 4 4 6 6 cos 4 cos sin cos 4 c 3 os sin 4 5 3 8 + a + =a a + a + =a a B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) Bước 4: Kết luận I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng ) u = v+k2 sinu=sinv u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv u = v + k2 u = -v+k2 tanu=tanv u = v+k (u;v ) 2 cotu=cogv u = v+k (u;v k ) k π π π π π π π π π π π  ⇔    ⇔ ⇔ ±   ⇔ ≠ + ⇔ ≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) Ví dụ : Giải phương trình: 1. sin3 sin( 2 ) 4 x x π = − 2. 4 3 cos) 4 cos( ππ =−x 3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1 sin cos (3 cos6 ) 4 x x x+ = − Bài tập rèn luyện 3 1 8cos sin cos x x x = + ( , 12 2 3 k x x k π π π π = + = + ) II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 8 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( Rm ∈∀ ) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sin α và ta có x = +k2 (1) sinx=sin x = ( - )+k2 α π α π α π  ⇔ ⇔   * Gpt : cosx = m (2) • Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có x = +k2 (2) cosx=cos x = +k2 β π β β π  ⇔ ⇔  −  * Gpt: tanx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈∀ ) • Đặt m = tan γ thì (3) tanx = tan x = +k γ γ π ⇔ ⇔ * Gpt: cotx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈∀ ) • Đặt m = cot δ thì (4) cotx = cot x = +k δ δ π ⇔ ⇔ Các trường hợp đặc biệt: sin 1 x = 2 2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2 2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k 2 cos 1 x = 2 x k x k x k x k π π π π π π π π π π = − ⇔ − + ⇔ = ⇔ + = − ⇔ + ⇔ = ⇔ Ví dụ: Giải các phương trình : 1) = 1 sin2 2 x 2) 2 cos( ) 4 2 x π − = − 3) 12cos2sin =+ xx 4) xxx 2cossincos 44 =+ Ví dụ: 9 + − x y O C A B D Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Giải các phương trình: 1) 4 4 1 cos sin 2cos2x x x+ − = 3) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx 2) 6 6 sin cos cos4x x x+ = 4) 3 3 1 sin .cos cos .sin 4 x x x x− = Bài tập rèn luyện 1) 2 3 cos10 2cos 4 6cos3 .cos cos 8cos .cos 3x x x x x x x+ + = + ( 2x k π = ) 1) 3 3 2 cos3 .cos sin3 .sin 4 x x x x+ = ( 8 x k π π = ± + ) 2) 3 2 2 tan cot 3 sin2 x x x + = + ( 6 x k π π = + ) 3) 2 tan sin 3 4cos tan sin 2 x x x x x + = − ( 2 2 3 x k π π = ± + ) 4) 3 2 cos 2 3 sin4 cos 4 x x x π = +   +  ÷   ( 12 x k π π = ± + ) 5) sin3 cos3 3cos sin 1 2sin 2 x x x x x + = + + ( 4 x k π π = − + ) 2. Dạng 2: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0 a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c + + = + + = + + = + + = ( 0a ≠ ) Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : 1) 2 2cos 5sin 4 0x x+ − = 2) 5 cos2 4cos 0 2 x x− + = 3) ( ) 2 3 4cos sin 2sin 1x x x− = + 4) 0)2 2 cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π 5) 1 3cos cos 2 cos3 2sin sin 2x x x x x + + = + 6) 0 sin22 cos.sin)sin(cos2 66 = − −+ x xxxx Bài tập rèn luyện 1) sin3 cos3 5 sin cos2 3 1 2sin 2 x x x x x +   + = +  ÷ +   ( 2 3 x k π π = ± + ) 2 5 5 2 4cos sin 4sin cos sin 4x x x x x− = ( , 4 8 2 k k x x π π π = = + ) 10 [...]... (1) ta được phương trình : t2 − 1 at + b + c = 0 (2) 2 • • Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: π 2 cos( x − ) = t tìm x 4 Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0 Chú ý : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường...  Ví dụ : Giải các phương trình : a sin 2 x + sin 2 2 x + sin2 3 x = 2 b 2sin3 x + cos2 x − cos x = 0 c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : • Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải các phương trình : a cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 • Phương trình có chứa (cos... Ví dụ : Giải phương trình : 3 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 14 Chun đề LTĐH 1 1 ỉp 7 ư + = 4 sin ç - x ÷ ÷ ç4 ÷ ỉ 3p ư è ø 1) sin x ÷ sin çx ÷ ç è 2ø 2) 2 sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x 3) sin 3 x - 3 cos 3 x = sin x cos2 x - THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 3 sin 2 x cos x Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 2... các phương trình lượng giác sau 2 ( cos6 x + sin 6 x ) - sin x cos x 1) =0 2 - 2 sin x xư ỉ 1 2) cot x + sin x ç + t an x t an ÷= 4 ÷ ç è 2ø 3) cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0 Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau 1) cos2 3x cos 2x - cos2 x = 0 2) 1 + sin x + cos x + s in2x+ cos2x= 0 p ư ỉ pư 3 ỉ 4 4 cos =0 3) cos x + sin x + sin ç3x - ÷ çx - ÷ ÷ ç ÷ ç è 4ø è 4ø 2 Bài 5: Giải các phương trình lượng. .. phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết 13 Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Ví dụ: Giải phương trình: 3 =0 2 3 cos 3x = 2 s in2x 1 3= cos x 4 4 1) sin x + cos x + sin 2 x − 2) sin 3x 3) t an x - b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây:... Đồng Tháp π π kπ ( x = + kπ ; x = − + ) 6 12 2 π 7π + kπ ) ( x = + kπ ; x = 4 12 (a;c ≠ 0) (1) (Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos) Cách giải 1: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x và cos2 x = 2 2 1 và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 2 2 p dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) Chia hai vế của pt (1) cho... tan 2 x + b tan x + c = 0 Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x = π + kπ có phải là nghiệm của (1) không? 2 Ví dụ : Giải phương trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0 Nói thêm: Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba: a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos3 x = 0 hoặc các đẳng cấp cao hơn sẽ thực hiện theo cách giải 2 d Dạng 5: a(cos... THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp π 7π + kπ ) ( x = − + kπ , x = 12 12 x −1 1 + sin 2 x 3 Dạng 3: (x= =1 a cos x + b sin x = c (1) π + k 2π ) 4 ( a;b ≠ 0) (Phương trình bậc nhất đối với cosx và sinx) Cách giải: • • Chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b 2 a2 + b2 a2 + b2 Đặt a 2 a +b 2 = cos α và b 2 a +b = sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì : 2 (2) ⇔ cosx.cosα... + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a + b2 Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x Chú ý : 2 c a2 + b 2 (3) Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Ví dụ : Giải các phương trình : 1) cos x + 3 sin x = −1 1 3) 3 sin x + cos x = cos x Bài tập rèn luyện 2) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 4) 4sin 3 x cos 3 x + 4 cos3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3 ( ) 4 2 4 2 2) 3 cos x + 3 sin x = sin x + 4 cos x + cos x... lượng giác sau 1) cos2 3x cos 2x - cos2 x = 0 2) 1 + sin x + cos x + s in2x+ cos2x= 0 p ư ỉ pư 3 ỉ 4 4 cos =0 3) cos x + sin x + sin ç3x - ÷ çx - ÷ ÷ ç ÷ ç è 4ø è 4ø 2 Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau cos 2x 1 + sin 2 x - s in2x 1) cot x - 1 = 1 + t an x 2 2 2) 5 sin x - 2 = 3 ( 1 - sin x ) t an x 3) ( 2cosx - 1) ( 2 sin x + cos x ) = s in2x - sin x Hết 15 . Giải phương trình : sin2 4(cos sin ) 4x x x+ − = 4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác. THPT Chun Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Chuyên đề 6 ƠN TẬP LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC TĨM TẮT GIÁO KHOA A. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Độ: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = . 6 cos 4 cos sin cos 4 c 3 os sin 4 5 3 8 + a + =a a + a + =a a B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có

Ngày đăng: 02/07/2014, 17:35

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan