Bài tập toán giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại Bài tập tổng hợp khảo sát hàm số I. Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d, a 0 (1) Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 +3(2m - 1)x - 2 có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C o ) của hàm số khi m = 0. 2) Dựa vào đồ thị (C o ) biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x 3 - 3x = m 2 + m 3) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) tại điểm có hoành độ x = 1 4) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x - 6 5) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 10 3 1 = xy . 6) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0). 7) Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C o ) thì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệp của phơng trình y = 0 có hệ số góc nhỏ nhất. 8) Từ góc tọa độ O kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C o ). 9) Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị (C o ) 10) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên R. 11) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên (1; +). 12) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên (-; 2) 13) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên (-2; 3). 14) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4. 15) Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 1. 16) Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 0. 17) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cùng với O tạo thành một tam giác cân tại O. 18) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cùng với O tạo thành một tam giác vuông tại O. 19) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu. Viết phơng trình đ- ờng thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu này. 20) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x + 1. 21) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu song song với đờng thẳng y = 2x + 1. 22) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời trung điểm đoạn nối hai điểm cực đại và cực tiểu thuộc đờng thẳng 2x - 3y + 10 = 0. 23) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. 24) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt. 25) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dơng. Trang 1 Bài tập toán giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại 26) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành x 1 , x 2 , x 3 sao cho: 2 3 2 2 2 1 xxx ++ > 13. 27) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 28) Tìm trên đồ thị (C o ) các cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. 29) Tìm m để trên (C m ) có có cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 30) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với trục hoành. 31) Tìm k để đờng thẳng y = kx - 2k cắt đồ thị (C o ) tại ba điểm M(2; 0), N và P sao M là trung điểm của đoạn NP. 32) Tìm k để đờng thẳng y = kx - 2k cắt đồ thị (C o ) tại ba điểm M(2; 0), N và P sao cho tiếp tuyến tại N và P vuông góc. 33) Từ đồ thị (C o ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = x 2 |x| - 3|x| - 2. Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận theo k số nghiệm của phơng trình x 2 |x| - 3|x| + 3k - 3 = 0. 34) Từ đồ thị (C o ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = |x 3 - 3x - 2|. Dựa vào đồ thị hàm số (C) xác định t sao cho phơng trình |x 3 - 3x - 2| = 3t - 2 có 6 nghiệm phân biệt. 35) Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ x = -2. Xác định m sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại M song song với đờng thẳng 2x + 5y - 3 = 0. II. Hàm số bậc bốn trùng ph ơng y = ax 4 + bx 2 + c, a 0 (1) Cho hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C o ) của hàm số khi m = 0. 2) Dựa vào đồ thị (C o ) biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: mx 2 22 log)1( = 3) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) tại điểm có hoành độ x = -2 4) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 8x - 6 5) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 5 16 1 = xy . 6) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 1). Trang 2 Bài tập toán giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại 7) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 8) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên (3; +). 9) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên (-; -2) 10) Xác định m để hàm số (1) đạt cực trị tại x = 1. 11) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân. 12) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. 13) Xác định b để parabol y = 2x 2 + b tiếp xúc với (C 0 ). Viết phơng trình tiếp tuyến tại tiếp điểm. 14) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt. 15) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 16) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với hoành. 17) Tìm trên trục tung những điểm mà không thể kẻ đợc tiếp tuyến nào đến (C 0 ). III. Hàm số 0,0, + + = bcadc dcx bax y Cho hàm số: mx mxm y + ++ = )1( có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số khi m = 1. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) tại điểm có hoành độ x = -3 3) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 4 1 x - 6 4) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 54 = xy . 5) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) biết tiếp tuyến đi qua A(1; 6). 6) Từ đồ thị (C 1 ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = 1|| 1||2 + + x x . 7) Từ đồ thị (C 1 ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = 1 |1|2 + + x x . 8) Từ đồ thị (C 1 ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = |1| 12 + + x x . 9) Từ đồ thị (C 1 ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = 1 12 + + x x . Trang 3 Bài tập toán giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại 10) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của nó là nhỏ nhất. 11) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. 12) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm cách đều hai tiệm cận của nó. 13) Tìm trên đồ thị (C 1 ) hai điểm M, N thuộc hai nhánh của nó sao cho MN nhỏ nhất 14) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm có tọa độ là những số nguyên. 15) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C 1 ) sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến tiếp tuyến này là lớn nhất. 16) Tìm a để đờng thẳng y = -2ax - 3 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt. 17) Tìm a để đờng thẳng y = 2x - a - 2 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của nó. 18) Tìm a để đờng thẳng y = 2x - a - 2 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N song song với nhau. 19) Tìm a để đờng thẳng y = 2x - a - 2 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 4. 20) Tìm a để đờng thẳng y = x + a cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất. 21) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị (C 1 ) đến hai tiệm cận của nó là một hằng số. 22) Gọi d là đờng thẳng đi qua A(-2, 3) và có hệ số góc k. Xác định k sao cho d cắt (C 1 ) tại hai điểm P, Q sao A là trung điểm của PQ. 23) Tìm k để đờng thẳng y = kx - 2 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O (O là gốc tọa độ). 24) Xác định k để đờng thẳng y = kx + 2k + 3 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN cân tại O (O là gốc tọa độ). 25) Tìm M thuộc đồ thị (C 1 ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) tại M cắt Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 4. 26) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C 1 ). Xác định M trên đồ thị (C 1 ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với đờng thẳng IM. 27) Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Trang 4 Bài tập toán giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại IV. Hàm số 0, 2 + ++ = ad edx cbxax y Cho hàm số: mx mxmmx y ++ = 1)1( 422 (1) có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số khi m = 1. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) tại điểm có hoành độ x = 2 3) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 2x - 6. 4) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 5 2 1 = xy . 5) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C 1 ) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 8). 6) Từ đồ thị (C 1 ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = 1|| 2 x x . 7) Từ đồ thị (C 1 ) suy ra đồ thị hàm số (C): y = |1| 2 x x . 8) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của nó là nhỏ nhất. 9) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. 10) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm cách đều hai tiệm cận của nó. 11) Tìm trên đồ thị (C 1 ) hai điểm M, N thuộc hai nhánh của nó sao cho MN nhỏ nhất 12) Tìm trên đồ thị (C 1 ) các điểm có tọa độ là những số nguyên. 13) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên từng khảng xác định. 14) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên (1; +). 15) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên (-; 2) 16) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên (-2; 3). 17) Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 1. 18) Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 0. 19) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cùng với O tạo thành một tam giác cân tại O. 20) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 4. 21) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cùng với O tạo thành một tam giác vuông tại O. 22) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu. Viết phơng trình đ- ờng thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu này. Trang 5 Bài tập toán giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Tại 23) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x + 1. 24) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu song song với đờng thẳng y = 2x + 1. 25) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời trung điểm đoạn nối hai điểm cực đại và cực tiểu thuộc đờng thẳng 2x - 3y + 10 = 0. 26) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. 27) Xác định m để hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng (-3; 2). 28) Xác định m để hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu nằm ngoài khoảng (-3; 2). 29) Tìm a để đờng thẳng y = -ax - 1 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt. 30) Tìm a để đờng thẳng y = -ax - 1 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của nó. 31) Tìm a để đờng thẳng y = -ax - 1 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tiếp của đồ thị (C 1 ) tại M và N song song. 32) Tìm m để trên đồ thị (C m ) có cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 33) Tìm a để đờng thẳng y = -ax - 1 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của nó. 34) Tìm a để đờng thẳng y = -ax - 1 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của nó. 35) Tìm a để đờng thẳng y = -ax - 1 cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 4. 36) Tìm a để đờng thẳng y = a cắt đồ thị (C 1 ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất. 37) Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị (C m ) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Trang 6 . song song với đờng thẳng 2x + 5y - 3 = 0. II. Hàm số bậc bốn trùng ph ơng y = ax 4 + bx 2 + c, a 0 (1) Cho hàm số y = x 4 - 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 có đồ thị (C m ). 1) Khảo sát sự biến thi n. số (1) có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu song song với đờng thẳng y = 2x + 1. 22) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu. tại điểm có hoành độ x = 1 4) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x - 6 5) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C o ) biết tiếp tuyến