h H c a c' b' b A B C Chương I: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG §1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG - Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền: + Đònh lý 1: trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền - Một số hệ thức liên quan đến đường cao: + Đònh lý 2: trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. + Đònh lý 3:trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. + Đònh lý 4:trong một tam giác vuông, nghòch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghòch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông 222 111 cbh += §2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN - Trong tam giác vuông ta có: - Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, ký hiệu sin α - Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, ký hiệu cos α - Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, ký hiệu tg α α - Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cô tang của góc α, ký hiệu cotg α Vậy: sin α = = ; cos α = = tg α = = ; cotg α = = - Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Nếu α + β = 90 0 thì : sin α = cos β ; sin β = cos α tg α = cotg β ; tg β = cotg α Đònh lí: nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia và tang góc này bằng cotang góc kia : Ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc đặt biệt α Tỉ số lượng giác 30 0 45 0 60 0 sinα 1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tgα 3 3 1 3 cotgα 3 1 3 3 C A B Cạnh đối Cạnh huyền AC BC Cạnh kề Cạnh huyền AB BC Cạnh đối Cạnh kề AC AB Cạnh kề Cạnh đối AB AC §2 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG Đònh lí: trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề. • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề b = a . sinB = a.CosC b = c. tgB = c. cotgC c = a. sinC = a. cosB c = b .tgC = b. cotgB CH ƯƠNG II: ĐƯỜNG TRỊN §1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN -Đường tròn tâm O bán kình R (với R>0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R. - Ký hiệu Đường tròn tâm O bán kình R (với R>0) là: (O;R) - Cách xác đònh đường tròn: - Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn - Tâm đối xứng: Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. - Trục đối xứng: Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. §2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN - So sánh độ dài của đường kính và dây: + Đònh lý 1: trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. - Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: + Đònh lý 2: trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. + Đònh lý 3: trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuôn góc với dây ấy. §3 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY - Đònh lý 1: trong một đường tròn. + Hai dây bằng nhau thì cách đểu tâm. + Hai dây cách đểu tâm thì bằng nhau. - Đònh lý 2: trong hai dây của một đường tròn. + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn . §4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN - Ba vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: - Đường thẳng và đường tròn cắt nhau: khi đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung A và B, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau. Đường thẳng a gọi là cát tuyến. - Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: khi đường thẳng a và đường tròn (O) có chỉ có một điểm chung là C, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau. Khi đó đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm C gọi là tiếp điểm. O R O B D C A I c A b B C a + Đònh lý: nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bàn kính đi qua tiếp điểm. - Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung, ta nói đường thẳng a và đường tròn không giao nhau - Hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn(O). Gọi d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng a, R là bán kính đường tròn. Khi đó ta có - Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d< R - Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau thì d= R - Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) khong giao nhau thì d> R §5 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: - Đònh lý : Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. §6 TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU - Đònh lí về hai tiếp tuyến cắt nhau: nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau thì: • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. • Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của gcó tạo bởi hai tiếp tuyến. • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của gcó tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm - Đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm cảu các đường phân giác các góc trong của tam giác. - Đường tròn bàn tiếp tam giác: Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C §6 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN - Ba vò trí tương đối của hai đường tròn: • Hai đường tròn có hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau. • Hai đường tròn chỉ có một điểm chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. • Hai đường tròn chỉ không có điểm chung gọi là hai đường tròn không giao nhau - Tính chất đường nối tâm: cho hai đường tròn (O) và (O’) có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO’ gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm. -Đònh lí: + Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung. + Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. - Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính: C O A B D F E K A C B _ a _ H _ A _ O _ B _ a _ C _ a + Xét hai đường tròn: (O;R) và (O’;r) trong đó R > r • Hai đường tròn tiếp xúc nhau: OO’=R+r (tiếp xúc ngoài) OO’=R-r (tiếp xúc trong) • Hai đường tròn không giao nhau: + Đường tròn (O) và (O’) nằm ngoài nhau thì: OO’> R+ r + Đường tròn(O’) nằm trong (O)thì : OO’< R+ r • Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì : R+ r > OO’> R-r - Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn CH ƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN §1 GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG - Góc ở tâm: góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm - cung nằm trên góc gọi là cung bò chắn. AmB gọi là cung nhỏ của cung AB, AnB gọi là cung lớn của cung AB - Số đo cung: số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 0 và số đo cung nhỏ. - So sánh hai cung: hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có sô đo bằng nhau. – Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn. - Khi nào sđAB = sđAC + sđBC : Đònh lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì : sđAB = sđAC + sđBC §2 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Đònh lí 1: với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau • Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. • Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau Đònh lí 2: với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau • Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. • Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. §3 GÓC NỘI TIẾP - Đònh nghóa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. • Cung nằm bên trong góc gọi là cung bò chắn - Đònh lí: trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bò chắn - Hệ quả: trong một đường tròn. • Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. • Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. • Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 )có số đo bằng nữa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. • Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. §4 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG - Khái niệm: xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại tiếp điểm A. B nằm trên (O). Ta có góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - Đònh lí: số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo Của cung bò chắn: BÂx =1/2 AOB - Hệ quả: trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau m B O A α n O B A C O A B D C B O A C x B O A y §5 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN - Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Góc BEC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn. - Đònh lí: số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bò chắn: Ta có BÊC = {Sđ(BnC) + Sđ(BmC)]:2 - Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn: Góc BEC là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn - Đònh lí: số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bò chắn: BÊC = {Sđ(BnC) - Sđ(BmC)]:2 §6 CUNG CHỨA GÓC - Cách vẽ cung chứa góc: • Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB • Vẽ tia Ax tạo với AB góc α. • Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d • Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. - Cách giải bài toán quỹ tích: muốn chứng minh quỹ tích ( tập hợp) các điểm M thõa mãn tính chất ξ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần. • Phần thuận: mọi điểm có tính chất ξ đều thuộc hình H. • Phần đảo: mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất ξ . • Kết luận: quỹ tích ( tập hợp) các điểm M thõa mãn tính chất ξ là hình H §7 TỨ GIÁC NỘI TIẾP - Đònh nghóa: một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn - Đònh lí: trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 0 - Đònh lí đảo: nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. §8 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP – ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP - Đònh nghóa: m E O A B D C n c 2 C D O A E B m x d O H M A B α α y O B A D C • Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. • Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. - Đònh lí: bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. §9 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN CUNG TRÒN - Công thức tính độ dài đường tròn: độ dài C của một đường tròn bán kính R được tính theo cong thức : C= 2 πR hay C= πd ( trong đó d là đường kính) - Công thức tính độ dài cung tròn: trên đường tròn bán kính R, độ dài cung n 0 được tính theo công thức. l = 180 Rn π §9 DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN. - Công thức tính diện tích hình tròn: S = πR 2 - Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n 0 : S = 360 2 nR π hay S = 2 lR ( l là độ dài cung n 0 của hình quạt tròn.) CH ƯƠNG III: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU §1 HÌNH TRỤ-DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ - Diện tích xung quanh: S xq = 2πRh. - Diện tích toàn phần: S tp = 2πRh + 2πR 2 - Thể tích hình trụ: V= Sh = πR 2 h Trong đó : h là chiều cao, R là bán kính đáy §2 HÌNH NÓN-HÌNH NÓN CỤT DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT - Hình nón: • Mặt đáy: đường tròn tâm (O) • AC là đường sinh. • A là đỉnh của hình nón • AO là đường cao hình nón - Diện tích xung quanh: S xq = πRl - Diện tích toàn phần : S tp = πRl + πR 2 - Thể tích : V = 3 1 πR 2 h Trong đó : R là bán kính đáy, l độ dài đường sinh, h đường cao hình nón - Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: S xq = π(R 1 + R 2 )l - Thể tích: V = 3 1 πh (R 1 2 + R 2 2 + R 1 R 2 ) §3 HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU - Diện tích mặt cầu: S = 4 πR 2 - Thể tích: V = 3 4 πR 3 l R O A Đ ườn g sinh Đ ường cao D C C O A ®¸y . HÌNH NÓN – HÌNH CẦU §1 HÌNH TRỤ-DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ - Diện tích xung quanh: S xq = 2πRh. - Diện tích toàn phần: S tp = 2πRh + 2πR 2 - Thể tích hình trụ: V= Sh = πR 2 h. nón - Diện tích xung quanh: S xq = πRl - Diện tích toàn phần : S tp = πRl + πR 2 - Thể tích : V = 3 1 πR 2 h Trong đó : R là bán kính đáy, l độ dài đường sinh, h đường cao hình nón - Hình. không chứa tia Ax. - Cách giải bài toán quỹ tích: muốn chứng minh quỹ tích ( tập hợp) các điểm M thõa mãn tính chất ξ là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần. • Phần thuận: mọi điểm