Th viƯn SKKN cđa Quang HiƯu http://quanghieu030778.violet.vn/ PhÇn I - Đặt vấn đề Lí chọn đề tài: a) Cơ sở lí luận: Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh nhằm bồi dỡng phát triển trí tuệ lực hoạt động học sinh nhiệm vụ trọng tâm trình dạy học nội dung việc đổi phơng pháp dạy học theo chơng trình cải tiến Dạy học toán dạy cho học sinh phơng pháp học toán giải toán để vận dụng kiến thức đà häc vµo thùc tÕ cuéc sèng Néi dung kiÕn thøc toán học đợc trang bị cho học sinh THCS việc dạy lí thuyết phải trọng tới việc dạy học sinh phơng pháp giải số toán, nhng để nắm vững cách giải dạng toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đà học cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với khéo léo kinh nghiệm đà tích luỹ đợc để giải tập có liên quan Thông qua việc giải tập chống t tởng hình thức hoá, t tởng ngại khó đặc biệt việc xác định vấn đề thiếu Do nâng cao lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy ln cđa häc sinh b) C¬ së thùc tiƠn: hƯ thức Vi - ét vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai ẩn số - Nắm đợc ứng dụng hệ thức Vi - ét nh : + Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai trờng hợp a + b + c = ; a - b + c = , trờng hợp mà tổng, tích hai nghiệm số nguyên với giá trị tuyệt đối không lớn + Tìm đợc hai số biết tổng tÝch cđa chóng + BiÕt c¸ch biĨu diƠn tỉng bình phơng, lập phơng hai nghiệm qua hệ số phơng trình Trong chơng trình giảng dạy môn toán lớp nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc vËn dơng hƯ thøc Vi - Ðt vµ vËn dơng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai ẩn số t việc việc làm mẻ đề toán đà cho Một đặc điểm quan träng cđa hƯ thøc Vi - Ðt vµ vËn dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai ẩn số Đặc biệt mang nội dung sâu sắc việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối u cho công việc cụ thể sống sau Chính toán thờng xuyên có mặt kiểm tra, thi tuyển sinh vào lớp 10 Qua số năm giảng dạy Toán trờng THCS đợc giao công tác båi dìng häc sinh giái líp 8, líp t«i quan tâm vấn đề mạnh dạn nghiên cứu hoàn thành đề tài Với thời gian hạn chế mong muốn nghiên cứu sâu nên đề tài tập trung vào vấn đề: Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình dạng toán chuyển động 2) Đối tợng phơng pháp nghiên cứu: a) Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp b) Phơng pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT toán đại số lớp 8; lớp Đề thi vào trờng THPT, Toán nâng cao chuyên đề đại số 8, Toán bồi dỡng học sinh Đại Số Rèn luyện kĩ giải Toán THCS Tuyển chọn đề toán thi vào lớp 10 - Nghiên cứu tài liệu Bồi duõng thờng xuyên chu kì III 1, 2 PHần II - giải vấn đề A Một số vấn đề lí thuyết : 1) Công thức nghiệm phơng trình bậc hai ẩn số: Đối với phơng trình bậc hai: Biệt thức = b − 4ac ax + bx + c = (a 0) (1) (Kí hiệu : đọc đen ta) +) Nếu > phơng trình cã hai nghiÖm: x1 = −b + ∆ ; 2a +) Nếu = phơng trình có nghiệm kép lµ: x1 = x2 = − x2 = −b − ∆ 2a b 2a +) NÕu ∆ < ⇒ phơng trình vô nghiệm 2) Các phơng pháp giải phơng trình Hệ phơng trình: a) Giải phơng trình: +) Phơng trình bậc ẩn ax + b = ( a ≠ ) cã nghiÖm x = b a +) Phơng trình bậc hai mét Èn sè ax + bx + c = ( a ≠ ) dïng c«ng thøc nghiƯm b) Giải hệ phơng trình: +) Giải hệ phơng trình phơng pháp +) Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng +) Giải hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ 3) Cách giải toán cách giải phơng trình hệ phơng trình: gồm bớc: Bớc 1: Lập phơng trình Hệ phơng trình - Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị) đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu thị số liệu cha biết qua ẩn số số liệu cha biết - Lập phơng trình, hệ phơng trình biểu thị tơng quan đại lợng Bớc 2: Giải phơng trình Hệ phơng trình Tuỳ thuộc vào dạng phơng trình hay hệ phơng trình mà có phơng pháp giải thích hợp Bớc 3: Chọn kết qua thích hợp trả lời toán Chú ý so sánh điệu kiện đặt cho ẩn xem có thích hợp không trả lời kết toán Một số công thức chuyển ®éng +) C«ng thøc tÝnh qu·ng ®êng chun ®éng: S = v.t +) C«ng thøc tÝnh vËn tèc chuyển động: v= S t +) Công thức tính thời gian chun ®éng: t= S v +) VËn tèc xuôi dòng: +) Vận tốc ngợc dòng: vxuoi = vthuc + vnuoc vnguoc = vthuc − vnuoc B mét sè ví dụ giải toán cách lập ph ơng trình hệ phơng trình dạng toán chuyển động : Dạng I: Hai vật chuyển động chiều Phần I : Đặt vấn đề 1) lí chọn đề tài: Các toán tìm giá trị lớn nhất; giá trÞ nhá nhÊt cã mét vÞ trÝ quan träng chơng trình dạy học toán THCS toán phơng phú đa dạng đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t Dạng toán cực trị học sinh THCS khó em thờng gặp khó khăn việc tìm lời giải toán cực trị ; có toán em đâu? Vận dụng kiến thức chơng trình đà học? Làm để tìm đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ngắn nhất, dài v.v toán ấy? Toán cực trị loại toán có nhiều ứng dụng sống hàng ngày chẳng hạn: Hai nhà máy đợc xây dựng bên bờ sông hai địa điểm A; B HÃy tìm cạnh bờ sông địa điểm C để xây dựng trạm bơm đa nớc hai nhà máy cho độ dài đờng ống dẫn nớc ngắn ? v.v Đặc biệt mang nội dung sâu sắc việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tèi u cho mét c«ng viƯc thĨ cc sống sau Chính toán thờng xuyên có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Qua số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp quan tâm vấn đề mạnh dạn nghiên cứu hoàn thành đề tài Với thời gian hạn chế mong muốn nghiên cứu sâu nên đề tài tập trung vào vấn đề: số phơng phápgiải toán cực trị đại số 2) Đối tợng phơng pháp nghiên cứu: a, Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp b, Phơng pháp nghiên cứu: * Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán (7), sách nâng cao, đề thi vào trờng THPT, chuyên đề đại số, Tạp chí Toán tuổi thơ Phần II: giải vấn ®Ò A Mét sè vÊn ®Ò lÝ thuyÕt : I Kh¸i niƯm : HƯ thuc Vi et ax + bx + c = ( a ≠ ) m đợc gọi giá trị lớn f(x) miền D thoả mÃn điều kiện sau đây: a, f(x) m với D b, ∃ x0 ∈ D cho f(x0) = m ; KÝ hiÖu m = max f(x), ∀x ∈ D m đợc gọi giá trị nhỏ f(x) miền D thoả mÃn điều kiện sau đây: a, f(x) m với x D b, ∃ x0 ∈ D cho f(x0) = m ; KÝ hiÖu m = f(x), ∀x ∈ D II Các kiến thức cần dùng: 2n 1) x2 ≥ ⇒ [ f ( x)] ≥ víi ∀x ∈ R, n ∈ Z ⇒ [ f (x)] 2n + M ≥ M Hc - [ f (x)] 2n + M ≤ M 2) a, x ≥ víi ∀x ∈ R b, x + y ≤ x + y DÊu “=” x¶y x,y cïng dÊu c, x − y ≥ x − y DÊu “=” x¶y x,y cïng dÊu Chøng minh: a, x với x R theo định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối b, Ta có xy xy ⇔ x y ≥ x y ⇔ x y ≥ 2.x y 2 2 suy x + x y + y ≥ x + 2.x y + y ⇔ ⇔ Hay: (x + y) ≥ ( x + y) = ( x + y ) x + y ≥ x+ y x + y ≤ x + y (®pcm) DÊu “=” x¶y x,y cïng dÊu Ta cã: x y ≤ x y ⇔ − x y ≥ − x y ⇔ c, − xy ≥ −2 x y ⇔ x − 2.xy + y ≥ x − x y + y ( x − y) ≥ ( x − y ) ⇔ ⇔ x− y ≥ x − y x y (đpcm) Dấu = xảy x, y cïng dÊu ( hay x.y ≥ ) 3) Bất đẳng thức Cô si: (chỉ áp dụng với số không âm ) a, Dạng công thức: a+b ≥ ab a+b+c ≥ abc a1 + a + + a n n ≥ a1 a a n n b, D¹ng luü thõa: a+b   ≥ ab   a+b+c   ≥ abc   n  a1 + a + + a n    ≥ a1 a .a n n   * HƯ qu¶: - NÕu x > 0, y > x.y = k2 (không đổi) x + y nhá nhÊt ⇔ x = y - NÕu x > 0, y > vµ x + y = k2 (không đổi) x.y lớn x = y 4) Bất đẳng thức Bunhiacospki: a, Dạng thức: * ax + by (a * ax + by + cz ≤ * )( + b2 x2 + y (a ) )( + b2 + c2 x2 + y2 + z a1 x1 + a x + + a n x n ≤ (a ) )( 2 2 + a + + a n x12 + x + + x n ) b, D¹ng luü thõa: ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) Dấu = xảy chØ x y = a b ( ax + by + cz ) ≤ ( a + b + c )( x + y + z ) DÊu “=” x¶y vµ chØ x y z = = a b c ( a1 x1 + a x2 + + a n x n ) ≤ ( a12 + a 22 + + a n2 )( x12 + x 22 + + x n2 ) DÊu = xảy x x1 x = = = n a1 a an III Một số phơng pháp giải toán cực trị: (tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏnhất) 1) Ph ơng pháp bất đẳng thức : Giả sử cho hàm số f(x) xác định miền D a, f(x) m f(x) ≥ n b, ChØ x = x0 ∈ D cho dấu đẳng thức xảy 2) Ph ơng pháp miền giá trị hàm số: Giả sử tìm cực trị hàm số f(x) với x D Gọi y0 giá trị tuỳ ý hàm số xét miền đà cho có nghĩa hệ phơng trình sau có nghiệm : f ( x) = y (1)   x D .(2) Tuỳ dạng phơng trình mà ta có điều kiện thích hợp sau rút gọn đa dạng: m y0 M Vì y0 giá trị f(x) nªn ta cã: f (x) = m ; max f (x) =M ∀x ∈ D ∀x ∈ D Bài 1: Cho phơng trình x + x + = ( 1) a) Giải phơng trình ( 1) b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình ( 1) HÃy tính giá trị biĨu thøc: 3 B = x1 + x2 (§Ị thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006) Giải: a) Xét phơng trình x + x + = ( 1) Ta cã: ∆ ' = 42 − 4.1.1 = 16 − = 12 > Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = −4 + = −2 + vµ x2 = −4 − = −2 − 2.1 2.1  x1 + x2 = −4 b) ¸p dơng ®inh lÝ Vi – Ðt ta cã:  x x =  2 2 Mµ: x13 + x2 = ( x1 + 3x1 x1 + 3x1 x2 + x2 ) − ( 3x1 x1 + 3x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = ( ) − 3.1.4 = 64 − 12 = 52 VËy x13 + x2 = 52 Bài 2: Cho phơng trình x − x + = gäi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biÓu thøc sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x13 + x2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhËn x12 − x2 vµ x22 − x1 lµ nghiệm (Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006) Giải: 1) Xét phơng trình x x + = Ta cã: ∆ = ( −7 ) − 4.2.4 = 49 − 32 = 17 > Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 áp dụng đinh lí Vi – Ðt ta cã:   x1 + x2 =   x1.x2 =  2 2 b) Ta cã: x13 + x2 = ( x1 + 3x1 x1 + 3x1 x2 + x2 ) − ( 3x1 x1 + 3x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 343 42 343 − 168 175 7 − = = =   − 3.2  ÷ =  ÷ 8 2 2 VËy x13 + x2 = 175 2) Đặt u = x12 x2 v = x22 − x1 2 2 Ta cã: u + v = ( x1 − x2 ) + ( x2 − x1 ) = x12 + x2 - ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 - ( x1 + x2 ) 49 − 16 + 14 47 7 49 −4+ = = =   − 2.2 + =  ÷ 4 2   ⇒ u+v = 47 2 3 3 Mµ: u v = ( x1 − x2 ) ( x2 − x1 ) = x12 x22 - ( x1 + x2 ) - x1.x2 = ( x1 x2 ) - ( x1 + x2 ) - x1.x2 = 22 ⇒ u.v = 175 175 16 − 175 −159 = = - = 2− 8 8 −159 V× sè u vµ v cã tỉng u + v = trình bậc hai: X2 47 159 tích u = Nên u ; v nghiệm ph¬ng 47 159 X− =0 10 y đạt giá trị nhỏ 5 => P đạt giá trị nhỏ 2 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: Q= 4x − x2 +1 Hớng dẫn cách giải : Ta giải tơng tự ví dụ Giải: Gọi Z giá trị tuỳ ý cđa biĨu thøc Q ta cã: Z= 4x − x2 +1 ⇔ Zx2 + Z = 4x - ⇔ Zx2 - 4x + Z + = (1) * Nếu Z = phơng trình (1) cã nghiÖm x = * NÕu Z ≠ phơng trình (1) có nghiệm ' Tøc lµ: ∆' = (−2) − Z ( Z + 4) = − Z − 4Z + ≥ ⇔ −2 − 2 ≤ Z ≤ + 2 Z đạt giá trị lớn 2 Hay Q đạt giá trÞ lín nhÊt b»ng − − 2 Z đạt giá trị nhỏ + 2 Hay Q đạt giá trị nhỏ + 2 Tóm lại: Khi tìm cực trị biểu thức dạng phân thức ta thay điều kiện để biểu thức cực trị điều kiện tơng đơng biểu thức khác đạt cực trị A max ( A ≠ ) ⇔ A B ( B > 0) ⇔ B2 max Bµi tËp: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất;giá trị lớn cđa c¸c biĨu thøc sau: A= 3x + x + Víi x ∈ R x + 2x + 39 2)Trong mặt phẳng toạ ®é Oxy cho ®êng th¼ng (d) : 2x- y –a2 = vµ Pa bol (P) : y = a x2 ( a tham số dơng) a, Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b, Gọi xA ; xB hoành độ điểm A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T = x +x + x x A B A B ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tr ờng THPT Chu Văn An - Hà Nội Amsterdam Năm học: 2005 - 2006) V Dạng 5: Tìm cực trị biểu thức có chứa thức : 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A= − 1− x2 Gi¶i: - x ≥ ⇔ x2 §iỊu kiƯn: Ta cã: Tõ 0≤ 0≤ 1− x2 ≤ 1− x2 ≤ ≤1 ⇔ -1 ≤ x ≤1 nªn - − x > ⇔ A > => −1 ≤ - − x ≤ => ≤ 3- − x ≤ => 1 ≤ ≤ 3 − 1− x2 1 ≤ A≤ Hay Vậy A đạt giá trị lớn 1 ; A đạt giá trị nhỏ 2)Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc sau: B = − x + 1+ x Hớng dẫn cách giải : - Em cã nhËn xÐt g× vỊ biĨu thøc B ? (B > 0) 40 B đạt giá trị lớn nào? (Ta có: B > nên B đạt giá trị lớn B2 đạt giá trị lớn nhất) ta có lời giải nh sau: Giải: − x ≥ 1 + x ≥ §iỊu kiÖn:  ⇔ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤   x ≥ −1 Ta cã: B > nên B đạt giá trị lớn Mà B2 đạt giá trị lớn B2 = ( − x + + x )2 = − x + + x + (2 − x)(1 + x) =3 + (2 − x)(1 + x) =3 + (2 + x − x =3 + 2 V× ( x − ) ≥ nªn − (x − )2 9 − ( x − ) ≤ => B2 ≤ + = + = + = 4 B2 đạt giá trị lớn =>B đạt giá trị lín nhÊt b»ng ⇔ ( x − ) = ⇔ x= 3) VÝ dô 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= ( x − 2007) + ( x − 2008) Hớng dẫn cách giải: Các em nhận thấy biểu thức dới dấu khai phơng đợc để đa dạng tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải: Ta có: M = ( x − 2007) + ( x − 2008) = x − 2007 + x − 2008 = x − 2007 + 2008 − x ¸p dơng bất đẳng thức: x + y x + y Dấu = xảy x; y dấu Thì M = x − 2007 + 2008 − x ≥ x − 2007 + 2008 − x = DÊu “ = ” x¶y khi: (x - 2007)( 2008 - x ) ≥ ⇔ 2007 ≤ x ≤ 2008 41 VËy M = 2007 ≤ x 2008 VI Dạng 6: Cực trị có điều kiƯn : 1) VÝ dơ 1: Cho hai sè d¬ng a, b có tổng Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: M = 1 −   1−   a b ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1998 1999 tỉnh Hải Dơng ) Hớng dẫn cách giải: b = a a − = −b - Cho hai sè d¬ng a, b cã tỉng b»ng ta suy ®iỊu g× ? => a + b = => - Hai số dơng có tổng không đổi (a + b = 2) th× tÝch cđa hai sè lín nào? Từ gợi ý ta có lêi gi¶i nh sau: Gi¶i: b − = − a a = b Vì hai số dơng a, b cã tæng b»ng => a + b = =>    Ta cã: M = 1 −   (a − 4).(b − 4) .1 −  = a2   b  a b = (a + 2).(a − 2).(b + 2).(b − 2) (a + 2).(−b).(b + 2).(−a ) (a + 2).(b + 2)a.b = = a b a b a b = (a + 2).(b + 2) ab + 2(a + b) + ab + 2.2 + ab + 8 = = = 1+ = a.b a.b a.b a.b ab Theo bµi a > 0; b > => a.b > 42 Do ®ã M có giá trị nhỏ có giá trị nhỏ hay a.b có giá trị lớn ab (Theo hệ bất đẳng thức Côsi : NÕu x > 0, y > vµ x + y = k2 (không đổi) x.y lớn ⇔ x = y ) Ta cã a + b = nên a.b có giá trị lớn khi: a = b =1 => M ≥ + = + = khi: a = b =1 1.1 Vậy Mđạt giá trị nhỏ a = b = 10 C¸ch 2:   Ta cã: M = 1 −   (a − 4).(b − 4) .1 −  = a2   b  a b b − = − a  a − = b Vì hai số dơng a, b có tæng b»ng => a + b = =>  => M = = (a + 2).(a − 2).(b + 2).(b − 2) (a + 2).(−b).(b + 2).(−a ) (a + 2).(b + 2)a.b = = a b a b a b (a + 2).(b + 2) ab + 2(a + b) + ab + 2.2 + ab + 8 = = = 1+ = a.b a.b a.b a.b ab Mặt khác: (a + b)2 4ab với a, b > suy ab ≥ (a + b) DÊu b»ng x¶y a = b =1 4 Tõ ®ã + ab ≥ + (a + b) = + 2 = + = VËy M đạt giá trị nhỏ khi: a = b =1 Ngoài cách làm em đa số cách giải khác ví dụ: 43 Vì a + b = => dặt a = + t ; b = - t vµo M = 1 −   1−   a  b  biến đổi tìm giá trị nhỏ biểu thøc M víi biÕn míi t 2)VÝ dơ 2: T×m giá trị nhỏ biểu thức: P= + x 1− x víi ®iỊu kiƯn: < x < Đối với tập học sinh cha có cách giải bớc hớng dẫn em cách biến đổi để áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai sè d¬ng ta cã : a+b ≥ ab Gi¶i: Ta cã: P = P= 1− x + x x + 2(1 − x) + = + x 1− x x 1− x 1− x 2x +1 + +2 x 1− x Do < x < nªn 1− x >0 x = 1− x x vµ + 2x + 1− x 2x >0 x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có : Khi đó: x + x a+b ≥ ab 2x − x 2x ≥ = 2 1− x x 1− x => P ≥ + 2 => P đạt giá trị nhỏ + 2 Khi: 1− x 2x = x 1− x  x = −1 +  ⇔ 2x2 = (1 - x)2 ⇔ x2 + 2x - = ⇔   x = −1 − 44 Vì x > nên x = −1 − lo¹i KÕt ln: víi x = −1 + P đạt giá trị nhỏ + 2 Bài tập áp dụng: 1) Cho biÓu thøc A = x3+ y3 + z3 + x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) Và x + y + z = Tìm giá trị nhỏ A 2) Tìm giá trị x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị nhá nhÊt: D = x + y2 + z biÕt x + y + z = 2008 3) Cho a > 0; b > vµ a + b = 1000 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P (a, b) = 1 + a b VII toán tổng hợp vận dụng toán cực trị : Ví dụ : Giải phơng trình x + − x = x2 - 6x +11 Híng dẫn cách giải: Biến đổi vế phải có bình phơng tổng? Và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức vế trái phơng trình Rồi so sánh vế phơng trình Ta có lời giải nh sau: Giải: Điều kiện để tồn thức là: x x ⇔  ⇔  4 − x ≥ x x4 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức vế trái phơng trình ta cã ( x − + − x )2 ≤ (12 + 12 )( x − + − x ) ⇔ ( x − + − x )2 45 ≤4 Hay VT ≤ (1) Ta cã VP = x2 - 6x +11 = x2 - 6x + + = (x - 3)2 + ≥ v× (x - 3)2 ≥ VP ≥ (2) Tõ (1) vµ(2) suy dÊu b»ng x¶y khi: VT = VP =   x − x + 11 = ⇔   x−2 + 4− x = x = 3(t/m) Vậy nghiệm phơng trình ®· cho lµ: x = Nh vËy trêng hợp ta sử dụng tính đối nghịch hai vế phơng trình để giải Bài tập áp dụng: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác hÃy xác định dạng tam giác ®ã cho biÓu thøc M = a b c + + đạt giá trị nhỏ b+ca c+ab a+bc Bài học kinh nghiệm : Qua trình giảng dạy: số phơng phápgiải toán cực trị đại số Nhìn chung em có kĩ vận dụng tơng đối thành thạo kiến thức bất đẳng thức đà học vào giải số tập tơng tự nâng cao nh ứng dụng thực tế đà tạo nên hứng thú học tập cho học sinh Đối với dạng tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu với phân tích để em hiểu nắm bắt đợc phơng pháp trình Từ tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác cách giải nh mở rộng kiến thức (khái quát hoá) 46 Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc xếp phân loại tập theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải dạng tập vận dụng linh hoạt phơng pháp dạy học nh hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho hiệu Kết nh sau: Líp sÜ sè 9A 46 Giái Kh¸ 15,2 13 28,2 % 9B 47 17% Trung b×nh 21 % 11 23,4 % 45,7 47 % 22 46,8 % Phần IIi: Kết luận kiến nghị 1)Kết luận: YÕu 10,9 % 12,8 % Sau mét thêi gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy nh công tác bồi dỡng học sinh giỏi với giúp đỡ bạn bè đồng nghiệp đà hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm : số phơng phápgiải toán cực trị đại số Tôi thấy ®a sè c¸c em ®Ịu tù gi¸c, tÝch cùc học tập vận dụng tơng đối linh hoạt bất đẳng thức; đẳng thức vào giải tập tơng tự nâng cao nh øng dơng thùc tÕ cđa to¸n häc cc sèng Tuy nhiên trình thực đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong đợc góp ý xây dựng thầy, cô bạn bè đồng nghiệp để đề tài ngày phong phú đầy đủ tạo đợc hứng thú học tập học sinh phát huy đợc tính tích cực chủ động em trình học tập Từ giúp em thêm yêu thích môn Toán 2) Kiến nghị: Đối với nhà trờng : Cần tạo điều kiện thuận lợi để giúp giáp viên giảng dạy tốt Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác trờng Đối với nghành : Mở buổi hội thảo chuyên đề môn Toán để nâng cao trình độ chuyên môn học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! 48 49 ... khó khăn vi? ??c vận dụng hệ thức Vi - ét vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai ẩn số t vi? ??c vi? ??c làm mẻ đề toán đà cho Một đặc điểm quan trọng hệ thức Vi - ét vận... =5− x  * NÕu x < Khi A = - x + - x = - 2x > x−2 = x−2  x−5 =5− x  * NÕu ≤ x < th×  Khi ®ã A = x - + - x = * NÕu ≤ x x−2 = x−2 x5 = x5 Khi A = x - + x - = 2x - > Nhận thấy khoảng xét... trị lớn c¸c biĨu thøc sau: 33 a, - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y + 15 b, - x2 - 26y2 + 10xy - 14x + 76y + 59 3) Tìm cặp (x, y) thoả mÃn phơng trình: x2 + y2 + 6x - 3y - 2xy + = cho y lín nhÊt II D¹ng