  Chương 2: Phương chính và ứng suất chính. Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp). Mặt cắt nghiêng () là mặt chính khi  uv = 0. (3- 6) G ọi  0 là góc nghiêng c ủa phương chính với trục x, từ (3- 6) và (3-3), ta có:  uv   x    y sin 2   2 0   xy cos 2  0  0 (3-7)  tg2 0      2 xy 2  xy x   y    Đặt tg      x   y   0  k 2 2 , k  z Ha y    01         2      02 2 2 nha u Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của  0 là  01 và  02 chênh l ệch xy     2 . Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay  01 ,  02 vào (3-2) ta s ẽ được các ứng suất chính cần tìm. Nh ững ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu. Th ực vậy d u d     2  x   y 2 sin 2   2 xy cos 2    2 uv d  u  uv = 0 , c ũng có nghĩa là  0 d Như vậy, khi thay cos 2  c1 , cos 2  c 2 , sin 2  c1 và sin 2  c 2 , suy t ừ (3-7) v ới sự biến đổi cos 2   tg2 1  tg 2 2    và sin 2   1 1  tg 2 2    , ta có được hai giá trị ứ ng suất chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là  max ,  min . Ta có :  max/ min  x y  1 2 2 (  x   y ) 2  4 2 (3-8) d ấu + ứng với  max , d ấu  ứng với  min . 3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr) Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng:  u và  uv đều là hàm của góc nghiêng . Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó. Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:  x  u     y 2   x    y cos 2     2 x y sin 2     x    y sin 2      cos 2  uv 2 xy 2 2   Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được:   x   y    2   x   y     u        uv    2   co2   xy sin 2     2  2 Sau khi thu g ọn ta đượ c:    x    2    y sin 2     2 x y 2   cos 2      x   y      2   x   y  2    u     2  uv  2    xy  (3-9) Trong hình h ọc giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R: (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 ; (a,b) t ọa độ tâm vòng tròn đó. Nếu lập hệ trục mà trục hoành là  u và tr ục tung  uv thì (3- 9) chính là ph ương trình của một vòng tròn trong đó:  u ,  uv - T ọa độ của những điểm trên vòng tròn. 2    x   y    ,0  - Tọa độ của tâm vòng tròn.  2      x   y  2     2     xy - Bán kính của vòng tròn. Ta có th ể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr). Cách d ựng vòng Mohr như sau: Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là b ất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất  x ,  y ,  xy = -  yx , v ới giả thiết  x >  y > 0;  xy > 0. Ta l ập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng v ới 1KN/cm 2 ). * Tr ục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp. * Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp. y y  yx  x  xy  x  x y  uv D  xy x  yx O A C B  u     y Hình 3.8:Phân t ố ứng suất ph ẳ ng y  x  y 2  x Hình 3.9: V ẽ vòng tròn Mohr Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn OA   y ; OB   x . Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:   xy OC  OA  OB   y   x * Tìm bán kính vòng Mohr: Ứng với điểm A ta lấy D có tung độ 2 AD   xy 2 nằm về phía dương của trục tung (vì gi ả thuyết  xy > 0). CD chính là bán kính c ủa vòng Mohr, vì: 2 CD 2  AC 2  AD 2   x =       y    2 2   Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr. D (  y ,  xy ): G ọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn toàn có th ể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9). Chúng ta chú ý đến điểm M o ( x ,  xy ), hình 3.11, t ức là tọa độ của nó thể hiện ứng xuất pháp  x , ứng suất tiếp  xy trên m ặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm M o gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr. Bây gi ờ ta hãy chứng minh tính chất sau: - N ếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và CM o là 2 , thì tọa độ điểm M đó sẽ là  u ,  uv trên m ặt cắt có pháp tuyến u xiên góc  với trục x (xem hình 3.11). y  xy   x  y  yx  u u      uv  xy  xy  uv D M  M O 2            xy x O x  yx  y O A C T B  u  y Hình 3.10: Ứ ng suất trên m ặt c ắ t xiên  x Hình 3.11: Cách d ự ng vòng tròn ứng su ấ t Theo hình ta tính được: OT  OC CT  OC CM cos(  2) = OC  CM cos . cos 2  CM sin .sin 2    Vì CM cos   CM 0     cos   CB  x y 2 Và CM sin   CM 0 sin   BM 0   xy OT   x   y 2   x   y 2 cos 2    xy sin 2  So sánh với (3-2) = > T ương tự OT   u TM   uv N ối DM => MDM 0 =  => DM // u * Chú ý: a) Khi bi ểu diễn các giá trị  x ,  y ,  xy trong h ệ trục (, ) cần lưu ý dấu. b)  > o, khi quay ngược chi ều kim đồng hồ kể từ trục x. Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng m ột góc  = 30 0 so với trục x. * Tính theo phương pháp đồ thị: L ập hệ trục  // x;  // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm 2 .  2,7 2 x Trên trục  lấy OA   y  4; OB   x  8 . Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo tọa độ , ta nhận được: 2 2  u = x (M) = 5,3 k/cm ;  uv - y (M) == 2,7k/cm  KN   y      cm 2   4 M 0 u 2 30 0 D 30  8 O M 2 A 4 C B M 1  kN      uv O 5,3 8  cm 2   Hình 3.12: Xác đị nh ứng su ấ t t ại mặt xiên * Tính theo phương pháp gi ải tích: Hình 3.13: Cách tìm ứ ng suất trên m ặt xiên b ằ ng vòng Mohr  u  8  4 2  8  4 2 cos 60 0  2 sin 60 0  5,268 KN cm 2  uv  8  4 2 sin 60 0  2c0s60 0  2,732 kN cm 2 chín h. * Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó để xác định phương 2 2 chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không. Đó là hai điểm M 1 , M 2 , các phương này hợp với phương ngang những góc  1 và  2 . Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc  là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá tr ị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (, ). Đó là các đoạn OM 1 và OM 2 ; OM 1   max ; OM 2   min , (xem hình 3.15) Nh ờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:  x   y   x   y  2  min  OC  M 2 C      2  2    xy    x   y   x   y  2  max  OC  CM 1      2  2    xy      2 xy 2    Viết gộp:  max/ min   x   y   2   x        y    2 2     (3- 10) d ấu + ứng với  ma x , d ấu ứng với  min .  1   2 y  y  y x    x    D  x   y M 2  1 M 1   y x x x y x  y x  y O  2   A C B  1 Hình 3.14:Phân t ố ứng su ấ t ph ẳ ng 2  x   y 2   x 1 Hình 3.15: Xác đị nh ứng suất chính b ằ ng vòng Mohr Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự :  1 =  max ,  2 =  min ,  3 = 0 G ọi:  1 - Góc gi ữa phương chính có  max v ới phương ngang.  2 - Góc gi ữa phương chính có  min v ới phương ngang. thì từ vòng Mohr ta rút ra: tg  1 tg  2    AD AM 1    A D    xy  max   y   xy [...]...  xy  y
 max AM 2  y
 min  xy tg 1 /2  (3-11) Viết gộp: y
 max / min Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất Dựa vào vòng Mohr, ta có:  
 x
2 y
2   xy   CM 
max 3

2
 2
x
y

  xy  min  CM 4 


 2
 2   Viết gộp:  max/ min   
x

 
 y
 2  . sin 2   2 0   xy cos 2  0  0 (3-7)  tg2 0      2 xy 2  xy x   y    Đặt tg      x   y   0  k 2 2 , k  z Ha y    01         2      02 2 2 nha u Như. vậy d u d     2  x   y 2 sin 2   2 xy cos 2    2 uv d  u  uv = 0 , c ũng có nghĩa là  0 d Như vậy, khi thay cos 2  c1 , cos 2  c 2 , sin 2  c1 và sin 2  c 2 , suy t ừ (3-7) v ới. đó. Thật vậy từ (3 -2) và (3-3) ta được:  x  u     y 2   x    y cos 2     2 x y sin 2     x    y sin 2      cos 2  uv 2 xy 2 2   Bình phương cả 2 vế của hai phương