1 Chương 18: ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG C ỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN 6.4.1. Quan sát biến dạng: Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 6.7a). Tác d ụng mô men xoắn vào đầu thanh, sau khi thanh bị biến dạng ta thấy các đường thẳng song song với trục trở thành những đường xoắn ốc, các đường tròn vẫn tròn và vuông góc trục thanh (hình 6.7b). M ạng lưới chữ nhật gần như mạng lưới hình bình hành. 2 M z z z x x y y a) b) Hình 6.7:Bi n d ng khi xo n 6.4.2. Các giả thuyết. Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán cho một thanh tròn chịu xoắn: a) Giả thuyết 1 (về mặt cắt ngang). Tr ước và sau biến dạng các mặc cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh và khoảng cách giữa chúng không thay đổi. b) Giả thuyết 2 (về các bán kính). Tr ước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và có chi ều dài không đổi. c) Giả thuyết 3 (về các thớ dọc). Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau. Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu tuân theo định luật HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất. 6.4.3. Thiết lập công thức tính ứng suất. Tưởng tượng tách một phân tố ABCDEFGH trên thanh tròn ch ịu xoắn thuần tuý giới hạn bởi: * Hai mặt cắt 1-1, 2-2 cách nhau dz. * Hai m ặt trụ đồng trục có bán kính  và  + d. * Hai m ặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc d. - Theo gi ả thuyết a), c)   x =  y =  z = 0. - Theo b)  Không có thành phần ứng suất tiếp dọc theo ph ương bán kính. - V ậy chỉ có một thành phần ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến   . Nghĩa là phân tố trên ở trạng thái trượt thuần tuý. 3 Sau khi thanh bị biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ bị xoay đi một góc  và mặt cắt 2-2 ở đầu mút phải có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc +d so với đầu cố định bên trái.Ta có thể giả thuyết 1-1 đứng yên, còn 2-2 xoay m ột góc d; A, B, C, D lần lượt trượt đến A’, B’, C’, D’ (trên hình 6.8 ). Góc t ạo giữa hai mặt phẳng A ’ D ’ HE và ADHE là   , đó là góc trượt tương đối giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 do   gây ra. Theo hình v ẽ có: tg     AA'   E A  d   dz d  Vì biến dạng bé, nên tg      , suy ra     dz 1 (a) Theo định luật HooKe về trượt:        G (b) 4 d       d     Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng lo ại vật liệu;   - ứng suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một đoạn . T ừ (a) và (b) , 1 2 suy ra   G d      dz  A Trong đó: d - hằng số đối E dz H với từng mặt cắt. 1 F Thứ nguyên của G là: l ực/ (chiều dài ) 2 . Do đó   phân b ố bậc nhất G theo . Bây gi ờ để xác định công A D  d D B ’ 2 C  B C dz thức tính ứng suất tiếp ta còn ph ải xem mối quan hệ của nó với mô men xoắn nội lực M z tại điểm A ta sẽ có    Hình 6.8: Bi n d ng c a phân t tác dụng.   phân bố trên diện tích dF quanh điểm A (cách tâm một đoạn ) hình 6.9. H ợp lực   và dF, gây ra một mô men xoắn đối với trục z: dM z =   dF M z Hợp lực các mô men vi phân dM z , chính là mô men dF xoắn nội lực M z .  A M   dM     d  dF   .G  d F Z F z F   F dz  G d   dz  2 dF  G d  J F dz P  G d   dz  M z J p Hình 6.9: Xác nh ng su t ti p Cuối cùng ta có công thức tính ứng suất tiếp tại một điểm cách  bằng: M z      J p 5 m ax  m ax Trong đó:   - Ứng suất tiếp tại điểm đang xét;  - Khoảng cách từ điểm tính ứng suất tiếp đến tâm O của mặt cắt ngang; M z - Mô men xo ắn nội lực của mặt cắt ngang đang xét; J p - Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét. Trong công th ức trên  và J p đều dương, nên chiều của   cùng chiều quay của M z trên m ặt cắt ngang đó. 6.5. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG. - Qui luật phân bố của ứng suất tiếp đọc theo bán kính của mặt cắt là bật 1. - Nh ững điểm nằm trên cùng một đường tròn thì có cùng ứng su ất tiếp. - Khi  = 0, tại tâm mặt cắt ngang:   = 0.  =  =R ; thì  =  = M z   J p m ax  M z R J p 6 J    Trong đó R: bán kính mặt cắt ngang tròn. Có th ể viết lại:  ma x  M z p R  M z W p (6-4) J p Trong đó w p  R  J p  ma x g ọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang. Th ứ nguyên W P =(chiều dài) 3  * Đối với mặt cắt tròn đặc: w p Trong đó: D - Đường kính.  J p   D 2 D 3 16  0,2D 3 (6-5) * Đối với mặt cắt vành khăn. J p J w P p    max D 2 3  ma x  p M z    M z max p   D  1   4     16  0,2D 3 O O  1   4   với d D   d = 2r: đường kính nh ỏ D = 2R: đường kính a) b) Hình 6.10: Bi ung su t ti p lớn. Đồ thị phân bố của   theo bán kính của mặt cắt ngang được biểu diễn như hình vẽ 6.10a,b. Ví dụ 3 :Trên mặt cắt ngang của một thanh tròn đặc chịu M z = 2.10 4 Nm. Tính ứng suất tiếp   t ại điểm A ứng với  = 0,03m và  max ? Cho D = 0,1m. 7   D=0, 1m M z   = A M z   J p ma J p 4  0,1D 4  10 5 m 4 O     2.10 10 5 2.10 4 . 0,03  6.10 7 8 N / m 2 2 Hình 6.11: Tính ng su t ti p  max    10 5 . 0,05  10 N / m XOẮ N. 6.6.BI ẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng xoắn của thanh được thể hiện bằng sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục của nó. Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó. Ta hãy thiết lập công thức tính góc xo ắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài là l. 8  Đã có : d    dz M z GJ p  d   M z dz GJ p l M   z dz 0 GJ p (6-6) - Trên su ốt chiều dài l, n ếu M z GJ p  const    M z l GJ p (6-7) - N ếu M zi GJ pi thay đổi dọc theo chiều dài thanh thì ta chia thanh ra nhi ều đoạn l i M n M l sao cho: zi  const     zi i (6-8) GJ pi n l i i 1 G i J pi M -T ổng hợp :     zi dz (6-9) (  có đơn vị Radian ). i 1 0 G i J pi t ỉ đối. * Tỷ số d gọi là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và được gọi là góc xoắn dz Ký hiêụ:  = d    dz M z G J p (6-10) Đơn vị của  là: Rad ; m Rad ; cm 1 ; 1 m c m * Tích s ố GJ p được gọi là độ cứng chống xoắn, ý nghĩa vật lý của nó là: Khi độ cứng GJ p t ăng thì góc xoắn tỉ đối  giảm và ngược lại. Ví dụ 4: Một trục bậc chịu tác dụng của mô 9 G z D 2 D 1  1 men phân bố có cường dộ m = 2 KNm/m và mô men t ập trung M = 2,5KNm. Tính :1. Góc xo ắn tuyệt đối tại A (  AE ). 2. Góc xo ắn của đoạn BD ( BD ). Bi ết D 1 = 2cm, D 2 = 3cm, G = 8.10 3 KN 0,4 m E 0,2 m D 0,4 m C 0,2 m m B A /cm 2 . Bài giải: Trước hết vẽ biểu đồ M z (xem hình 6.12). 0,4KNm 1)  A   AE 20 mz M z 2 l 2 1,8KNm  AE   0 1 J pl dz    G 1 J p Hình 6.12:Bi u mô men xo n  M z 2 l 3 G 2 J p 2  20 2 z M  3 G 2 J p 2 dz       0,4 10 2  40  0,4  10 2  20  1,8  10 2 40  0  A   AE 8,10 3  0,12 4  0,057 (Rad) 8 10 3  0,1 2 4   8 10 3 0,1  3 4   8 10 3  0,1  3 4 10 z 1 3 2 2)  BD M z l 2  2   G 1 J p 2 M l 3 G 2 J p 2   0,4 10 40   0,4 10  20  0,137  Rad   BD 8 10 3  0,1 2 4 8 10 3  0,1.3 4 . 1 Chương 18: ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG C ỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN 6.4.1. Quan sát biến dạng: Trước khi. dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau. Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu tuân theo định luật HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất. 6.4.3        G (b) 4 d       d     Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng lo ại vật liệu;   - ứng suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một đoạn . T ừ (a) và (b) , 1 2 suy