Chương 8: BÁN KÍNH QUÁN TÍNH Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và th ường được sử dụng trong tính toán kết cấu, cũng như các đại l ượng cơ học khác nó được ký hiệu và định ngh ĩa theo biểu thức: J x r x   F J y và r y  F Trong đó: r x , r y là bán kính quán tính theo phương x và ph ương y. Tương tự đối với trục chính, ta c ũng có: r ma x   J m ax F vaì r min  J mi n . F x x x x S S x 5a 2,5a y C 3/5a a 4a a I o x o Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt cắt như hình 4.20. Bài giải: Trước tiên ta phân tích m ặt cắt thành 3 hình chữ nhật và được đánh dấu I, II, III (xem hình 4.20). V ới các trọng tâm từng hình là O 1 , O 2 , O 3 và kính th ước được xác định. 1. Xác định trọng tâm C của toàn hình: Chúng ta biết vì trục y là tr ục đối xứng nên trọng tâm cả hình chắc phải nằm trên trục y. Vì v ậy trước tiên ta chọn trục x o qua tr ọng tâm của hình III, nó cùng với trục y là hệ trục ban đầu. Gọi y c là tung độ của trọng tâm C trong h ệ x o O 3 y thì nó được xác định bởi: y 2a I O 1 a II O 2 x C III O 3 x o 6a y c  Sx o F Trong đó: Sx o - Mô men tĩnh toàn hình l ấy đối với trục x o ; F- Di ện tích toàn hình : F = F 1 + F 2 + F 3 = 2a   a + a  4a + 6a  a = 12a 2 Hình 4.20: Xác đị nh mô men quán tính chính và S o  S I o  S II o  S III o Trong đó: x  F 1 II  0 1 0 3  2a 2  5a  10a 3 3 S  F 2  0 2 0 3  a  4a  2,5a  10a III x o  F 3  0 3 0 3  6a  a  0  0 V ậy : S = 10a 3 + 10a 3 + 0 = 20a 3 o Cu ối c ù n g : S x y c   J o 3 y 3 4    20a   5 a F V ậy trọng tâm C đã được xác định. 12a 2 3 Chú ý : Trục x o ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất nhiên chọn qua trọng tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn. 2. Mô men quán tính chính trung tâm. a) Tính J y : Vì y là tr ục qua trọng tâm của mọi hình nên ta s ử dụng công thức tính mô men quán tính cho hình chữ nhật. I II III J y  J y  J y  J y mà I J II  a(2a) 12 4a.a 3  2 a 4 3 a 4 y III    12 3 a(6a) 3 J y   12 18a x x x x J  a x y o J y J ; J 4 4  Vậy J y = 19a 4 b. Tính J x : Vì tr ục x không đi qua trọng tâm của một hình ch ữ nhật nào nên phải dùng phép chuyển trục song song. J  J I 3  J II    J III 2  Mà J I  2a  a  (2a  a)  5a  5 a    403a x 12 3  3  18 2   J II  a(4a)  (4a  a)  2,5a  5 a    146a x 12 3  3  18 2 III x  6a.a 1 2  (6a  a)  5    3  4 4  309 a 4 18 4 4 V ậ y J  403a x 18  146a 1 8  309a 1 8  858a 1 8  143 a 4 3 Ví dụ 5: Xác định vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm và mô men quán tính chính trung tâm c ủa một mặt cắt ngang ghép bởi các thép định hình chữ số 22a và thép góc đều cạnh 100  100  10 nh ư trên hình 4.21a. Bài giải: Trước hết tra các số liệu cần thiết cho các thép định hình - Đối với thép chữ 22a (đánh dấu là hình I): h 1 = 22cm; Z = 2,47cm; F 1 = 28,6cm 2 ; J (1)  2320cm 4 ; J ( I )  186cm 4 0 1 x 1 y 1 Vì h ệ trục trung tâm (x 1 , y 1 ) của thép chữ có trục đối x ứng, nên J (1)  0 1 1 - Đối với thép góc đều cạnh 100  100  10 (đánh dấu là hình 2): b 2 = 10cm ; Z = 2,83cm ; F 2 = 19,20cm 2 2 ( 2) x 2  J ( 2) 2  179cm 4 ; ( 2 ) m a x  284cm 4 ( 2 ) m in  74,1cm 4 x y 1 J y 1 J J x y x y Gọi C 2 là trọng tâm của thép góc đều cạnh và hệ trục (x 2 , y 2 ) là h ệ trục trung tâm song song với các cạnh. Hệ trục này không ph ải là hệ trục chính trung tâm của thép góc đều cạnh nên ta phải tính mô men quán tính ly tâm J ( 2) 2 2 c ủa nó. Theo công thức (4- 10) (1) : tg  ( 2) ( 2)  x 2 y 2 J  2   J 2 max V ới vị trí của thép góc đều cạnh như trên hình 4.19, thì  ( 2)   45 0 nên: tg( 45 0 )   ( 2 ) x 2 y 2 179  284 Rút ra: ( 2) x 2 y 2   1  (179  284)  105cm 4 ( 1) Đặc bi ệ t đối với thép có góc đề u c ạ nh, ta có th ể tính J một cách đơn gi ả n.Vì 2 2 J  J 2 2 , nên theo vòng Mohr quán tính ta được : J x y J  J (max)  max min 2  284  74,1 2  105cm 4 S y y y J x c 2 Sau khi đã có đủ số liệu, ta sẽ tiến hành tính toán theo trình tự sau: 1. Xác định trọng tâm của mặt cắt ngang ghép (hình 4.18a) cho h ệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm (x 1 , y 1 ) của hình 1. Như vậy mô men tĩnh của thép chữ đối với các tr ục này đều bằng 0: ( 1 ) x 1  0 ; S (1)  0 1 Do đó mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với các trục x 1 và y 1 chính b ằng mô men tĩnh của thép góc đều cạnh cũng đối với các trục đó: ( 2)  h 1    22  3 S x  S x  F 2 . y 1 (c 2 )  F 2    z 0, 2   19,2     2,83   157cm 1 1  2   2    ( 2)     3 S  S 1 1  F 2 . x 1 (c 2 )  F 2 z 0,1  z 0, 2  19,2 . 2,47  2,83  102cm Di ện tích của mặt cắt ngang: F = F 1 + F 2 = 28,6 + 19,2 = 47,8m 2 Tr ọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x 1 , y 1 được tính theo công th ức (4-3) : S y x (c)  1 1 F  102 47, 8  2,13cm ; S x y (c)  1  157  3,28cm 1 F 47,8 2. Tính các mô men quán tính c ủa mặt cắt ngang đối với hệ trục trung tâm (x,y) c ủa nó (hình 4.18a) song song với hệ trục (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ). - Đối với thép chữ : x c 1   2,13cm ; y c 1   3,28cm (1) x  J (1) 1  y 2 1 F 1  2320  (3,28) y 1(c) . 28,6  2628cm 4 J (1)  J (1)  x 2 F  186  (2,13) 2 .28,6  316cm 4 y y 1 c 1 1 J (1)  J (1)  x y F  0  (2,13)(3,28).28,6  200cm 4 xy x 1 y 1 c 1 c 1 1 y y 1 x 1(c) z 0 2 J m in y 2 J uv (cm 4 ) 1 2 min  2 x 2 C 2 x C  1 100 0  2 =78 0 0 x 1 J y C 1  1 =1 2 C M 1 J u (c m 4 ) z 01 J m ax O 1000 2000 3000 J min =550cm 2 J ma x =3400 cm 4 max a) b) c 2 Hình 4.21: Xác định trọng tâm và mô men quán tính chính của hình ghép - Đối với thép góc đều cạnh (hình 4.22) x  z 01  z 02  x 1  C   2,47  2,83  2,13  3,17cm y c 2  h 1  z 2 0 2  y 1( c)  22  2,83  3,28  4,89cm 2 J ( 2)  J ( 2)  y 2 F  179  (4,89) 2 19,2  640cm 4 x x 22 c 2 2 J ( 2)  J ( 2)  x y F  105  (3,17)  (4,89) 19,2  402,5cm 4 xy x 2 y 2 c 2 c 2 2 s ẽ là : Như vậy mô men quán tính của mặt cắt ngang ghép đối với hệ trục trung tâm (x,y) J  J (1)  J ( 2)  2628  640  3268cm 4 x x x J  J (1)  J ( 2)  316  371  687cm 4 y y y J  J (1)  J ( 2)  200  402,5  602,5cm 4 y xy xy xy 2 3. Xác định vị trí của hệ trục quán tính chính trung tâm: - B ằng vòng Mohr quán tính, ta đo được (tỷ lệ xích 2cm ứng với 1000cm 4 ): J max = 3.400cm 4 ; J min =550cm 4 ;  1 = -12 0 ;  2 = 78 0 - Bằng giải tích: Theo công th ức (4-10) và (4-11) C z 0 2 x 2  1 (2) =-45 0 J max = Hình 4.22: Xác đị nh v ị trí của h ệ trục quán tính chính trung tâm 3268  687  1 (3268  687) 2  4  (602,5) 2  3407,5cm 4 2 2 J min = 3268  687  1 2 2 (3268  687) 2  4  (602,5) 2  547,5cm 4 tg  1 = J xy J y  J mx  602,5 687  3407,5  0,222  1 = -12 0 30' ;  2 = 90 0 - 12 0 30' = 77 0 30' .  18 2   J II  a(4a)  (4a  a)  2,5a  5 a    146a x 12 3  3  18 2 III x  6a.a 1 2  (6a  a)  5    3  4 4  309 a 4 18 4 4 V ậ y J  403a x 18  146a 1 8  309a 1 8  85 8a 1 8  143 a 4 3 Ví. (hình 4.18a) song song với hệ trục (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ). - Đối với thép chữ : x c 1   2,13cm ; y c 1   3,28cm (1) x  J (1) 1  y 2 1 F 1  2320  (3, 28) y 1(c) . 28, 6  2628cm 4 J (1). z 01  z 02  x 1  C   2,47  2 ,83  2,13  3,17cm y c 2  h 1  z 2 0 2  y 1( c)  22  2 ,83  3, 28  4 ,89 cm 2 J ( 2)  J ( 2)  y 2 F  179  (4 ,89 ) 2 19,2  640cm 4 x x 22 c 2 2 J (