ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. Kiến thức cơ bản I. Các tính chất quan trọng Định lí Giả thiết – Kết luận Ý nghĩa 1. Nếu đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong ( ) α thì d vuông góc với ( ) α . ( ) ( ) , d a d b d a b M a b α α ⊥   ⊥  ⇒ ⊥  ∩ =   ⊂  c/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Cm cho đt ấy vuông góc với 2 đt cắt nhau, cùng nằm trong mp đã cho 2. Nếu d vuông góc với mặt phẳng ( ) α thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( ) α ( ) ( ) d d a a α α ⊥  ⇒ ⊥  ⊂   C/m đường thẳng vuông góc với đường thẳng. 3. Cho hai mặt phẳng song song, nếu 1 đường thẳng vuông góc với mặt phăng này thì cũng vuông góc với mp kia. ( ) ( ) ( ) ( ) / / d d α β β α   ⇒ ⊥  ⊥   c/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhờ quan hệ song song. 4. Cho đường thẳng b không nằm trong ( ) α , không vuông góc với ( ) α , gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b lên ( ) α , a là đường thẳng nằm trong ( ) α . Khi đó 'a b a b⊥ ⇔ ⊥ (Định lí 3 đường vuông góc) gt ( ) ,b α ⊄ b không ( ) α ⊥ , ( ) a α ⊂ , b’ là hình chiếu của b lên ( ) α kl 'a b a b ⊥ ⇔ ⊥ c/m đường thẳng vuông góc với đường thẳng: Cho hình chiếu b’của đt b và đt a cùng nằm trong mp: + Nếu a b ⊥ thì 'a b⊥ + Nếu 'a b⊥ thì a b⊥ 5. Cho hai đường thẳng song song, nếu một mp vuông góc với đt này thì cũng vuông góc với đt kia ( ) ( ) a b b a α α   ⇒ ⊥  ⊥   P c/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhờ quan hệ song song 6. Cho hai đường thẳng song song, nếu 1 đường thẳng vuông góc với đt này thì cũng vuông góc với đt kia. a b c b c a  ⇒ ⊥  ⊥  P C/m đường thẳng vuông góc với đường thẳng nhờ quan hệ song song. II. Một số kĩ năng giải toán:  Trong 1 tam giác cân: đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời cũng là đường cao.  Trong 1 tam giác đều : đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực.  Trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.  Trong một tam giác, một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những tỉ lệ bằng nhau thì đường thẳng ấy sẽ song song với cạnh thứ 3.  Cách xác định góc giứa đường thẳng va mặt phẳng: Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) α - Nếu ( ) 0 90d α ϕ ⊥ ⇒ = - Nếu ( ) ( ) 0 , 0d d α α ϕ ⊂ ⇒ =P - Nếu d không vuông góc, không song song, không nằm trong với ( ) α : + Xác định giao điểm A của d và ( ) α + Lấy B thuộc d ( B khác A). Tìm hình chiếu B’ của B lên ( ) α + Kết luận · 'BAB ϕ = Chú ý: Sử dụng tỉ số lượng giác để tính ϕ sin ;cos ,tan ,cot doi ke doi ke huyen huyen ke doi ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = d a P A B' B B. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông ABCD tâm O, SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC, SD. Chứng minh rằng: a. ( ) ( ) ( ) , ,BC SAB CD SAD BD SAC ⊥ ⊥ ⊥ . b. ( ) SC AHK ⊥ . c. Chứng minh A, H, I, K đồng phẳng. Bài 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình bình hành, tam giác DAB vuông tại A, tam giác SCD vuông tại D. Chứng minh rằng AB vuông góc với mp(SAD). Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi, SA = SC. Chứng minh rằng AC vuông góc với mp(SBD). Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, tam giác SBC vuông tại B, tam giác SCD vuông tại D. Chứng minh rằng SA vuông góc với mp(ABCD). Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SA = SB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB ⊥ (SIJ). Bài 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mp(ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác vuông. Bài 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, ( ) SA ABCD ⊥ , M là trung điểm của cạnh SC. CMR: ( ) MO ABCD⊥ Bài 8. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD: a) ( ) SO BCD⊥ b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA, BC. CMR: ( ) ,IK SBD IK SD⊥ ⊥ Bài 9. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ diên đều thì vuông góc. Bài 10.Cho tứ diện SABC, ( ) SA ABC⊥ , SA = a, 3AB a= , tam giác SBC cân tại S. Tính góc giữa: a) SB và mp(ABC). b) SC và mp(ABC). Bài 11.Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, 3AD a= , ( ) SA ABCD⊥ Tính góc giữa: a) SB và mp(ABCD). b) SD và mp(ABCD). c) SD và mp(SAB). Bài 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông ABCD tâm O cạnh a, ( ) SA ABCD⊥ , 6SA a= . Tính góc giữa SC và mp(ABCD).