TRƯỜNG THCS VINH THANH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) a) Cho x > y > 0 hãy so sánh A = yx yx + − và B = 22 22 yx yx + − b) Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức C = 2(a 3 + b 3 ) – 3(a 2 + b 2 ) Giải : a) Vì x > 0; y > 0 suy ra x+y ≠ 0 A = yx yx + − = 2 )( ))(( yx yxyx + +− x 2 +y 2 +2xy > x 2 +y 2 ; x 2 – y 2 > 0 A = 22 22 2 yxxy yx ++ − < 22 22 yx yx + − x Vậy A < B b) C = 2(a 3 + b 3 ) – 3(a 2 + b 2 ) = 2( a+b)(a 2 – ab + b 2 ) - 3(a 2 + b 2 ) = 2 (a 2 – ab + b 2 ) - 3(a 2 + b 2 ) = 2 (a 2 + b 2 ) – 2ab - 3(a 2 + b 2 ) = - (a 2 + b 2 ) – 2ab = - ( a+b) 2 = -1 Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12 b) 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx Giải : a) (x 2 + x ) 2 + 4(x 2 + x) = 12 đặt y = x 2 + x y 2 + 4y -12 = 0 ⇔ y 2 + 6y - 2y -12 = 0 ⇔ (y + 6)(y -2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 * x 2 + x = - 6 vô nghiệm vì x 2 + x +6 > 0 với mọi x * x 2 + x = 2 ⇔ x 2 + x -2 = 0 ⇔ x 2 +2x -x -2 = 0 ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = -2; x = 1 Vậy nghiệm của phương trình x = -2 ; x =1 GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST TRƯỜNG THCS VINH THANH b) 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx ⇔ )1 2003 6 ()1 2004 5 ()1 2005 4 ()1 2006 3 ()1 2007 2 ()1 2008 1 ( + + ++ + ++ + =+ + ++ + ++ + xxxxxx ⇔ 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 2009 2008 2009 + + + + + = + + + + + xxxxxx ⇔ 0 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 22009 2008 2009 = + − + − + − + + + + + xxxxxx ⇔ 0) 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 )(2009( =−−−+++ x Vì 2005 1 2008 1 < ; 2004 1 2007 1 < ; 2003 1 2006 1 < Do đó : 0 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 <−−−++ Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009 Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức : D = 25 2510 : 2 2 2 232 − +− − −− x xxx y yy a) Rút gọn biểu thức D. b) Tính giá trị của biểu thức D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức x 2 + 2−x + 4y 2 – 4xy = 0. Giải : a) Rút gọn D = 25 2510 : 2 2 2 232 − +− − −− x xxx y yy (y ≠ 2; x ≠ 0, x ≠ 5 ± ) = )5)(5( )2510( : 2 22 22 +− +− − −−+ xx xxx y yyy = )5)(5( )5( : 2 )1(2)1( 2 +− − − +−+ xx xx y yyy = 2 )5( )5)(5( . 2 )2)(1( − −+ − −+ xx xx y yy = 2 )5)(2( )5)(5)(2)(1( −− −+−+ xyx xxyy = )5( )5)(1( − ++ xx xy b) Vì x 2 + 2−x + 4y 2 – 4xy = 0 ⇔ x 2 – 4xy +4y 2 + 2−x = 0 ⇔ (x -2y) 2 + 2−x = 0 ⇔ (x -2y) 2 = 0 và 2−x = 0 vì (x -2y) 2 0 ≥ với mọi x; y và 2−x 0 ≥ với mọi x ⇔ x -2y = 0 và 2−x = 0 ⇔ x = 2y và x -2 = 0 ⇔ x = 2 và y = 1 GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST TRƯỜNG THCS VINH THANH D = = − ++ )5( )5)(1( xx xy 3 7 3 7 )52(2 )52)(11( −= − = − ++ Bài 4: (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) b) Cho a,b,c,d > 0 Chứng tỏ rằng giá trị của N = bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ không phải là số nguyên. Giải : a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x 2 + 5x + 6)( x 2 + 5x - 6) = (x 2 + 5x)( x 2 + 5x) – 36 = (x 2 + 5x) 2 – 36 ≥ - 36 vì (x 2 + 5x) 2 ≥ 0 với mọi x M ≥ - 36 với mọi x Vậy GTNN của M là -36 b)Ta có dcba a cba a +++ > ++ ; dcba b dcb b +++ > ++ ; dcba c adc c +++ > ++ ; dcba d bad d +++ > ++ Suy ra N = bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ > 1= +++ +++ = +++ + +++ + +++ + +++ dcba dcba dcba d dcba c dcba b dcba a Ta có: ca c adc c ca a cba a + < +++ < ++ ; ; db d bad d db b dcb b + < +++ < ++ ; N = bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ < db d db b ca c ca a + + + + + + + = 211 =+= + + + + + db db ca ca Do đó 1 < N < 2 Suy ra giá trị của N không phải là số nguyên. Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB //CD). Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh : IDIC IBIA ODOC OBOA + + = + + b) Chứng tỏ rằng : I; M; O; N thẳng hàng. c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a. Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo a. Giải : a) ∆ OAB ∾ ∆ OCD ODOC OBOA CD AB OD OB OC OA + + === GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST TRƯỜNG THCS VINH THANH ∆ IAB ∾ ∆ IDC IDIC IBIA CD AB IC IB ID IA + + === Suy ra : = + + ODOC OBOA IDIC IBIA + + b) NC AM OC OA CD AB OC OA =⇒= ∆ OAM ∾ ∆ OCN(c-g-c) = M;O;N thẳng hàng DN AM IC IA CD AB ID IA =⇒= ∆ IAM ∾ ∆ IDN ( c-g-c) I;M;N thẳng hàng Vậy I;M;O;N thẳng hàng. c) 3 1 == CD AB OD OB ⇒ AOD AOB S S = 3 1 ⇒ AOBAOD AOB SS S + 13 1 + = ⇒ ABD AOB S S = 4 1 ⇒ ABDAOB SS 4 1 = 3 1 == CD AB S S BDC ABD ⇒ 13 1 + = + ABDBDC ABD SS S ⇒ 4 1 = ABCD ABD S S ⇒ S ABD = 4 1 S ABCD ⇒ ABDAOB SS 16 1 = 9 1 = ICD IAB S S ⇒ 19 1 − = − IABICD IAB SS S ⇒ 8 1 = ABCD IAB S S ⇒ S IAB 8 1 = S ABCD S IAOC = S IAB + S AOB = 8 1 S ABCD + 16 1 S ABCD = 16 3 S ABCD = 16 3 a GV: ĐỖ KIM TH ẠCH ST AOM CON AMI = DNI O C N M I A B D . xxxxxx ⇔ 0 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 22009 20 08 2009 = + − + − + − + + + + + xxxxxx ⇔ 0) 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 20 08 1 )(2009( =−−−+++ x Vì 2005 1 20 08 1 < ; 2004 1 2007 1 < ; 2003 1 2006 1 < Do đó : 0 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 20 08 1 <−−−++ Vậy. TRƯỜNG THCS VINH THANH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 20 0 8- 2009 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 15 0 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (1, 5 điểm) a) Cho x > y >. ⇒ AOBAOD AOB SS S + 13 1 + = ⇒ ABD AOB S S = 4 1 ⇒ ABDAOB SS 4 1 = 3 1 == CD AB S S BDC ABD ⇒ 13 1 + = + ABDBDC ABD SS S ⇒ 4 1 = ABCD ABD S S ⇒ S ABD = 4 1 S ABCD ⇒ ABDAOB SS 16 1 = 9 1 = ICD IAB S S ⇒