Bài soạn: Bài tập đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Họ tên: Nguyễn Thị Hồng Ngày sinh: 30/11/1981 A. mục tiêu: 1. Kiến thức: Củng cố lại các kiến thức về: - Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng - Mặt phẳng trung trực - Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc - Định lý 3 đờng vuông góc - Góc giữa đờng đờng thẳng và mặt phẳng 2. Kĩ năng: - Biết cách chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 đờng thẳng vuông góc với nhau - Biết cách xác định thiết diện đi qua 1 điểm cho trớc và vuông góc với 1 đờng thẳng cho trớc - Vận dụng định lý 3 đờng vuông góc để giải toán - Biết cách xác định góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng 3. Thái độ: Rèn luyện khả năng tởng tợng, t duy và suy luận lôgic, tính cẩn thận, chính xác. B. phơng pháp dạy học: - Cả lớp học đồng loạt (không phân bậc hoạt động và chia nhóm) - Chọn bài tập có nội dung tổng hợp liên quan đến nhiều kiến thức ôn tập, qua đó học sinh khắc sâu, hệ thống và nâng cao các kiến thức cơ bản đã học. - Giáo viên sử dụng phơng pháp gợi mở, vấn đáp hớng dẫn học sinh tìm lời giải. Học sinh chủ động tham gia vào quá trình ôn tập kiến thức. Chú trọng dạy học sinh cách tìm tòi lời giải. C. tiến trình bài học: 1. Kiểm tra bài cũ: Lồng vào các hoạt động học tập của giờ học 2. Bài mới: Đề bài tập: Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . SA vuông góc với mặt phẳng 6).( aSAABCD = . Qua A dựng mặt phẳng SC)( , cắt SDSCSB ,, lần lợt tại KIH ,, . 1. Chứng minh rằng: )(),( SADCDSABBC 2. Tính góc giữa SC và )( ABCD , giữa SB và )(SAC 3. Chứng minh rằng: SDAKSBAH , 4. Chứng minh rằng: HK // BD . Từ đó suy ra: a. AIHK b. )(SAB là mặt phẳng trung trực của HK c. cách dựng thiết diện tạo bởi ( ) và hình chóp. 1 S F E M K J I H O D C B A 5. Tính diện tích thiết diện 6. Giả sử M là điểm di động trên đoạn SD. Tìm tập hợp hình chiếu của điểm O trên CM. Hoạt động 1: Tiến hành tìm lời giải câu hỏi 1. Chứng minh )(),( SADCDSABBC Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Vẽ hình minh họa - Vẽ hình minh họa - Kiểm tra kiến thức cơ bản: Điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng? - Nhớ lại kiến thức cơ bản: Nếu đờng thẳng d vuông góc với 2 đờng thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P) - áp dụng: Xác định xem BC vuông góc với 2 đờng thẳng nào trong mặt phẳng (SAB). Từ đó suy ra )(SABBC - áp dụng: )(SABBC SABC ABBC - Tơng tự chứng minh )(SADCD - Tự chứng minh )(SADCD Hoạt động 2: Tiến hành tìm lời giải câu hỏi 2 Tìm góc giữa SC và (ABCD), giữa SB và (SAC) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Vẽ hình minh họa - Vẽ hình minh họa - Kiểm tra kiến thức cơ bản: Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng đợc xác định bằng cách nào? - Nhớ lại kiến thức cơ bản: Góc giữa đờng thẳng a và hình chiếu a của nó trên mặt phẳng (P) gọi là góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P) - áp dụng: * Hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD) là đờng thẳng nào? - áp dụng: Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC * Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc nào? Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA * Tính SCA Ta có 0 603 2 6 tan ==== SCA a a AC SA SCA Tơng tự tính góc giữa SB và (SAC) Tự tính góc giữa SB và (SAC) Hoạt động 3: Tiến hành tìm lời giải câu hỏi 3 Chứng minh SDAKSBAH , Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Kiểm tra kiến thức cơ bản: Nếu )( )( Pb Pa thì có nhận xét gì về a và b? - Nhớ lại kiến thức cơ bản: Nếu 1 đờng thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đờng thẳng nằm trong mặt phẳng đó. - áp dụng: Tìm mặt phẳng chứa SB và vuông góc với AH? - áp dụng: 2 Ta có: AHBCSABBC SABC ABBC )( Mà AHSCSC )( Vậy SBAH SBCSB SBCAH )( )( Tơng tự chứng minh SDAK Tự chứng minh SDAK Hoạt động 4: Tiến hành tìm lời giải câu hỏi 4 Chứng minh rằng: HK // BD Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nhận xét: 2 đờng thẳng HK và BD có cùng thuộc 1 mặt phẳng không? Từ đó suy ra phơng pháp chứng minh 2 đờng thẳng song song. Nhận xét: 2 đờng thẳng HK và BD cùng thuộc mặt phẳng (SBD). Dùng phơng pháp chứng minh 2 đờng thẳng song song trong hình học phẳng (nhờ định lý Talét). * Chứng minh HK // BD SD SK SB SH SKSH SDSB SDSKSBSHSA = = = == 2 Vậy HK // BD * Từ đó suy ra: a. AIHK - Kiểm tra kiến thức cơ bản: Nếu )( // Pa ba thì có nhận xét gì về b và (P)? - Nhớ lại kiến thức cơ bản: Nếu )( // Pa ba thì )(Pb - áp dụng chứng minh: AIHK SACHK )( Ta có: AIHKSACHK SACBD BDHK )( )( // b. (SAC) là mặt phẳng trung trực của HK - Kiểm tra kiến thức cơ bản: Nhắc lại khái niệm mặt phẳng trung trực? - Nhớ lại kiến thức cơ bản: Mặt phẳng (P) đợc gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu (P) đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. - áp dụng: Đã có )(SACHK còn phải chứng minh điều gì? Gọi J là giao điểm của HK và SO. Còn phải chứng minh J là trung điểm của HK. Ta có: JKHJ ODBO OD JK SO SJ BO HJ = = == c. Nêu cách xác định thiết diện - Kiểm tra kiến thức cơ bản: - Nhớ lại kiến thức cơ bản: 3 + Tồn tại duy nhất 1 mặt phẳng đi qua 1 điểm cho trớc và vuông góc với 1 đờng thẳng cho trớc. + Tồn tại duy nhất 1 mặt phẳng đi qua 1 điểm cho trớc và vuông góc với 1 đờng thẳng cho trớc. + Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song (mặt phẳng ( ) chứa AI và song song với BD) Cách dựng: - Kẻ SCISCAI , - Gọi AISOJ = - Qua J kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt SB, SD lần lợt tại H, K Tứ giác AHIK là thiết diện cần tìm. Hoạt động 5: Tiến hành tìm lời giải câu hỏi 5 Tính diện tích tứ giác AHIK Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Có nhận xét gì về tứ giác AHIK Tứ giác này có 2 đờng chéo vuông góc - Suy ra công thức tính diện tích tứ giác AHIK HKAIS AHIK . 2 1 = - Hãy tính AI và HK? Tính AI nhờ hệ thức lợng trong tam giác vuông Tính HK nhờ định lý Talét Hoạt động 6: Tiến hành tìm lời giải câu hỏi 6 Tìm tập hợp điểm E là hình chiếu của O trên CM (M di động trên SD) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh - Vẽ hình minh họa - Vẽ hình minh họa - Gợi ý: * Dựng CKOF * Chứng minh )(SCDOF Có AKOF CKAK CKOF // Mà )()( SCDOFSCDAK * Tìm hình chiếu của OE trên mặt phẳng (SCD) Lại có FE là hình chiếu của OE trên mặt phẳng (SCD) * Sử dụng định lý 3 đờng vuông góc chứng minh: CMEF . Từ đó suy ra quỹ tích điểm E Mà CMEFCMOE Do C, F cố định và E luôn nhìn CF dới một góc vuông nên quỹ tích điểm E là đờng tròn đờng kính CF. Hoạt động cuối cùng: (củng cố) Qua bài học này học sinh cần nắm và vận dụng đợc: - Cách chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, cách tính góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng. - Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc. - Cách xác định thiết diện - Định lý 3 đờng vuông góc - Tìm tập hợp điểm. Bài tập về nhà: Làm các hoạt động còn lại và bài tập trong phiếu bài tập. Phiếu bài tập 4 đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC, từ đó suy ra 3 đờng thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong 1 mặt phẳng. 2. Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) a. Chứng minh: )(SABBC b. Gọi AH là đờng cao của tam giác SAB. Chứng minh: SCAH 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA=SC và SB=SD. a. Chứng minh: )( ABCDSO b. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng: )(SBDIJ 4. Cho hình tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều; gọi I là trung điểm của cạnh BC. a. Chứng minh: )(AIDBC b. Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: )(BCDAH 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD. a. Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng )(),( SABSJSCDSI b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng ACSH c. Gọi M là 1 điểm thuộc đờng thẳng CD sao cho SABM . Tính AM theo a. 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều ; 2aSC = . Gọi H và K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Chứng minh: a. )(ABCDSH b. SDCKSKAC , 7. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có 3, aBCaAB == . Mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có 5aSD = . a. Chứng minh: )( ABCDSA . Tính SA b. Đờng thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đờng thẳng CB, CD lần lợt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng (HIJ). Chứng minh rằng: )();( SCDALSBCAK c. Tính diện tích tứ giác AKHL 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a; aSAABCDSA 2),( = . Gọi M là 1 điểm nằm trên cạnh AB; ( ) là mặt phẳng đi qua M, vuông góc với AB. Đặt x=AM (0 < x < a) a. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với ( ). Thiết diện là hình gì? b. Tính diện tích thiết diện theo a và x 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=a, BC=2a; BDSCaSAABCDSA = ,),( . a. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông b. Tính AD c. Gọi M là 1 điểm trên đoạn SA, đặt )0( axxAM = . Tính độ dài của đờng cao DE trong tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; )( ABCDSO . Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60 0 . a. Tính MN và SO 5 b. TÝnh gãc gi÷a MN vµ mÆt ph¼ng (SBD) 6 . đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 đờng thẳng vuông góc với nhau - Biết cách xác định thiết diện đi qua 1 điểm cho trớc và vuông góc với 1 đờng thẳng cho trớc - Vận dụng định lý 3 đờng vuông góc. Tìm tập hợp điểm. Bài tập về nhà: Làm các hoạt động còn lại và bài tập trong phiếu bài tập. Phiếu bài tập 4 đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. kiến thức cơ bản: Nếu 1 đờng thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đờng thẳng nằm trong mặt phẳng đó. - áp dụng: Tìm mặt phẳng chứa SB và vuông góc với AH? - áp dụng: 2 Ta có: