Mục lục Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §3. Phương Trình Lượng Giác Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 Nguyễn Minh Hiếu 2 Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác §1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Bài tập 8.1. Giải các phương trình sau: a) sin x = 4 3 . b) sin x = 1 4 . c) cot x = −2. d) sin  x − π 3  = √ 2 2 . e) cos  π 6 − x  = −1. f) tan  45 0 − 3x  = − √ 3. Lời giải. a) Phương trình vô nghiệm. b) sin x = 1 4 ⇔  x = arcsin 1 4 + k2π x = π −arcsin 1 4 + k2π (k ∈ Z). c) cot x = −2 ⇔ x = arc cot(−2) + kπ (k ∈ Z). d) sin  x − π 3  = √ 2 2 ⇔  x − π 3 = π 4 + k2π x − π 3 = 3π 4 + k2π ⇔  x = 7π 12 + k2π x = 13π 12 + k2π (k ∈ Z). e) cos  π 6 − x  = −1 ⇔ π 6 − x = π + k2π ⇔ x = − 5π 6 − k2π (k ∈ Z). f) tan  45 0 − 3x  = − √ 3 ⇔ 45 0 −3x = −60 0 + k180 0 ⇔ 3x = 105 0 −k180 0 ⇔ x = 45 0 −k60 0 (k ∈ Z). Bài tập 8.2. Giải các phương trình sau: a) cos  5x + π 4  = cos 2x. b) sin  π 3 − x  = sin  3x + π 6  . c) sin  30 0 − x  = cos 2x. d) cos  x + π 3  + sin 5x = 0. e) tan  5x + π 4  = tan 2x. f) cot  3x − π 4  = tan x. g) tan x = 3 cot x. h) tan  x + π 6  . tan  x + π 3  = 1. i) cos 2x sin x+cos x = cos x − √ 3 2 . Lời giải. a) cos  5x + π 4  = cos 2x ⇔  5x + π 4 = 2x + k2π 5x + π 4 = −2x + k2π ⇔  x = − π 12 + k 2π 3 x = − π 28 + k 2π 7 (k ∈ Z). b) sin  π 3 − x  = sin  3x + π 6  ⇔  π 3 − x = 3x + π 6 + k2π π 3 − x = π −3x − π 6 + k2π ⇔  x = π 24 − k π 2 x = π 4 + kπ (k ∈ Z). c) sin  30 0 − x  = cos 2x ⇔ sin  30 0 − x  = sin  90 0 − 2x  ⇔  x = 60 0 + k360 0 x = −20 0 − k120 0 (k ∈ Z). d) PT⇔ cos  x + π 3  = −sin 5x ⇔ cos  x + π 3  = sin (−5x) ⇔ cos  x + π 3  = cos  π 2 + 5x  ⇔  x + π 3 = π 2 + 5x + k2π x + π 3 = − π 2 − 5x + k2π ⇔  x = − π 24 − k π 2 x = − 5π 36 + k π 3 (k ∈ Z). e) tan  5x + π 4  = tan 2x ⇔  2x = π 2 + kπ 5x + π 4 = 2x + kπ ⇔  x = π 4 + k π 2 x = − π 12 + k π 3 ⇔ x = − π 12 + k π 3 (k ∈ Z). f) PT⇔ cot  3x − π 4  = cot  π 2 − x  ⇔  π 2 − x = kπ 3x − π 4 = π 2 − x + kπ ⇔ x = 3π 8 + k π 2 (k ∈ Z). g) tan x = 3 cot x ⇔ tan x = 3 tan x ⇔ tan x = ± √ 3 ⇔ x = ± π 3 + kπ (k ∈ Z). h) PT⇔ tan  x + π 6  = cot  x + π 3  ⇔ tan  x + π 6  = tan  π 3 − x  ⇔  x + π 6 = π 2 + kπ x + π 6 = π 3 − x + kπ ⇔  x = π 3 + kπ x = π 12 + k π 2 (k ∈ Z). i) Điều kiện x = − π 4 + kπ. PT⇔ cos x − sin x = cos x − √ 3 2 ⇔ sin x = √ 3 2 ⇔  x = π 3 + k2π x = 2π 3 + k2π (k ∈ Z) (thỏa mãn). 3 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 8.3. Giải các phương trình sau: a) 3 sin 4x + 4 = 0. b) 3 cos 3x − 1 = 0. c) √ 3 tan( π 4 − 2x) + 3 = 0. d) 3 cot  x − 60 0  − √ 3 = 0. e) sin 2 x − 3 sin x + 2 = 0. f) 2cos 2 2x − 3 cos 2x + 1 = 0. g) tan 2 x − 5 tan x + 6 = 0. h) cot 2 x + 3 cot x − 4 = 0. i) cos 3 x − 3 cos x + 2 = 0. Lời giải. a) 3 sin 4x + 4 = 0 ⇔ sin 4x = − 4 3 (phương trình vô nghiệm). b) 3 cos 3x − 1 = 0 ⇔ cos 3x = 1 3 ⇔ 3x = ±arccos 1 3 + k2π ⇔ x = ± 1 3 arccos 1 3 + k 2π 3 (k ∈ Z). c) √ 3 tan  π 4 − 2x  + 3 = 0 ⇔ tan  π 4 − 2x  = − √ 3 ⇔ π 4 − 2x = − π 3 + kπ ⇔ x = 7π 24 − k π 2 (k ∈ Z). d) 3 cot  x − 60 0  − √ 3 = 0 ⇔ cot  x − 60 0  = √ 3 3 ⇔ x−60 0 = 60 0 + k180 0 ⇔ x = 120 0 + k180 0 (k ∈ Z). e) sin 2 x − 3 sin x + 2 = 0 ⇔  sin x = 1 sin x = 2 (vô nghiệm) ⇔ x = π 2 + k2π (k ∈ Z). f) 2cos 2 2x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔  cos 2x = 1 cos 2x = 1 2 ⇔  x = π 2 + kπ x = ± π 6 + kπ (k ∈ Z). g) tan 2 x − 5 tan x + 6 = 0 ⇔  tan x = 2 tan x = 3 ⇔  x = arctan 2 + kπ x = arctan 3 + kπ (k ∈ Z). h) cot 2 x + 3 cot x − 4 = 0 ⇔  cot x = 1 cot x = −4 ⇔  x = π 4 + kπ x = arc cot(−4) + kπ (k ∈ Z). i) cos 3 x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔  cos x = −2 (vô nghiệm) cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z) Bài tập 8.4. Giải các phương trình sau: a) cos 2 x − 5 sin x + 5 = 0. b) sin 2 x + 3 cos x − 3 = 0. c) cos 2 2x − 6 sin x cos x − 3 = 0. d) cos 2x + 5 sin x + 2 = 0. e) cos 4x − 3 cos 2x + 2 = 0. f) cos 2 2x + 2(sin x + cos x) 2 = 0. Lời giải. a) PT⇔ −sin 2 x − 5 sin x + 6 = 0 ⇔  sin x = 1 sin x = −6 (vô nghiệm) ⇔ x = π 2 + k2π (k ∈ Z). b) PT⇔ −cos 2 x + 3 cos x − 2 = 0 ⇔  cos x = 1 cos x = 2 (vô nghiệm) ⇔ x = k2π (k ∈ Z). c) PT⇔ −sin 2 2x − 3 sin 2x − 2 = 0 ⇔  sin 2x = −1 sin 2x = −2 (vô nghiệm) ⇔ x = − π 4 + kπ (k ∈ Z). d) PT⇔ −2sin 2 x + 5 sin x + 3 = 0 ⇔  sin x = 3 (vô nghiệm) sin x = − 1 2 ⇔  x = − π 6 + k2π x = 7π 6 + k2π (k ∈ Z). e) PT⇔ 2cos 2 2x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔  cos 2x = 1 cos 2x = 1 2 ⇔  x = kπ x = ± π 6 + kπ (k ∈ Z). f) PT⇔ −sin 2 2x + 2 sin 2x + 3 = 0 ⇔  sin 2x = −1 sin 2x = 3 (vô nghiệm) ⇔ x = − π 4 + kπ (k ∈ Z). Bài tập 8.5. Giải các phương trình sau: a) 5 tan x + 2 cot x = 7. b) 2 tan x + 2 cot x = 5. c) 4 tan 2x − cot 2x + 3 = 0. d) (CĐ-09) (1 + 2 sin x) 2 cos x = 1 + sin x + cos x. e) sin x(1 − cos x) = (1 − cos x) 2 (1 + cos x). Lời giải. a) 5 tan x + 2 cot x = 7 ⇔ 5tan 2 x − 7 tan x + 2 = 0 ⇔  tan x = 1 tan x = 2 5 ⇔  x = π 4 + kπ x = arctan 2 5 + kπ (k ∈ Z). b) 2 tan x + 2 cot x = 5 ⇔ 2tan 2 x − 5 tan x + 2 = 0 ⇔  tan x = 2 tan x = 1 2 ⇔  x = arctan 2 + kπ x = arctan 1 2 + kπ (k ∈ Z). c) 4 tan 2x−cot 2x+3 = 0 ⇔ 4tan 2 x+3 tan x−1 = 0 ⇔  tan x = −1 tan x = 1 4 ⇔  x = − π 4 + kπ x = arctan 1 4 + kπ (k ∈ Z). d) PT⇔ 4 (1 + sin x) cos x = 1 + sin x ⇔ (1 + sin x) (4 cos x −1) = 0 ⇔  x = − π 2 + k2π x = arccos 1 4 + k2π (k ∈ Z). e) PT⇔ sin x(1−cos x) = (1−cos x)sin 2 x ⇔ sin x(1−cos x) (1 − sin x) = 0 ⇔  x = kπ x = π 2 + k2π (k ∈ Z). 4 Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác §2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Bài tập 8.6. Giải các phương trình sau: a) 2 sin x + cos x = √ 5. b) 3 sin 2x − 4 cos 2x − 5 = 0. c) sin 3x − √ 3 cos 3x = 2. d) √ 2 (sin 3x + cos 3x) = 2. e) cos x + √ 3 sin x = 1. f) 2 sin x − 3 cos x = 2. Lời giải. a) PT⇔ 2 √ 5 sin x + 1 √ 5 cos x = 1. Đặt 2 √ 5 = cos α, 1 √ 5 = sin α, phương trình trở thành cos α sin x + sin α cos x = 1 ⇔ sin (x + α) = 1 ⇔ x = −α + π 2 + k2π Vậy phương trình có nghiệm x = −α + π 2 + k2π (k ∈ Z), trong đó cos α = 2 √ 5 , sin α = 1 √ 5 . b) PT⇔ 3 5 sin 2x − 4 5 cos 2x = 1. Đặt 3 5 = cos α, 4 5 = sin α, phương trình trở thành cos α sin 2x − sin α cos 2x = 1 ⇔ sin (2x − α) = 1 ⇔ x = α 2 + π 4 + kπ Vậy phương trình có nghiệm x = α 2 + π 4 + kπ (k ∈ Z), trong đó cos α = 3 5 , sin α = 4 5 . c) PT⇔ 1 2 sin 3x − √ 3 2 cos 3x = 1 ⇔ sin  3x − π 3  = 1 ⇔ x = 5π 18 + k 2π 3 (k ∈ Z). d) PT⇔ sin  3x + π 4  = 1 ⇔ x = π 12 + k 2π 3 (k ∈ Z). e) PT⇔ 1 2 cos x + √ 3 2 sin x = 1 2 ⇔ sin  π 6 + x  = 1 2 ⇔  x = k2π x = 2π 3 + k2π (k ∈ Z). f) PT⇔ 2 √ 13 sin x − 3 √ 13 cos x = 2 √ 13 . Đặt 2 √ 13 = cos α, 3 √ 13 = sin α, phương trình trở thành cos α sin x − sin α cos x = cos α ⇔ sin (x − α) = sin  π 2 − α  ⇔  x = π 2 + k2π x = π 2 + 2α + k2π Vậy phương trình có nghiệm  x = π 2 + k2π x = π 2 + 2α + k2π (k ∈ Z), trong đó cos α = 2 √ 13 , sin α = 3 √ 13 . Bài tập 8.7. Giải các phương trình sau: a) √ 3 sin x + cos x = 2 sin 4x. b) cos 2x − 2 √ 3 sin x cos x = 2 sin x. c) √ 2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos  x + π 2  . d) √ 3 sin x + cos x + 2 cos  x − π 3  = 2. Lời giải. a) √ 3 sin x + cos x = 2 sin 4x ⇔ sin  x + π 6  = sin 4x ⇔  x = π 18 − k 2π 3 x = π 6 + k 2π 5 (k ∈ Z). b) cos 2x − 2 √ 3 sin x cos x = 2 sin x ⇔ sin  π 6 − 2x  = sin x ⇔  x = π 18 − k 2π 3 x = − π 3 − kπ (k ∈ Z). c) √ 2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos  x + π 2  ⇔ cos  4x − π 4  = cos  x + π 2  ⇔  x = π 4 + k 2π 3 x = − π 20 + k 2π 5 (k ∈ Z). d) √ 3 sin x + cos x + 2 cos  x − π 3  = 2 ⇔ cos  x − π 3  = 1 2 ⇔  x = k2π x = 2π 3 + k2π (k ∈ Z). Bài tập 8.8. Giải các phương trình sau: a) (D-07)  sin x 2 + cos x 2  2 + √ 3 cos x = 2. b) 4  sin 4 x 2 + cos 4 x 2  + √ 3 sin 2x = 2. c) 3 sin 3x − √ 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 3x. d) 2 √ 2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x. Lời giải. a) PT⇔ sin 2 x 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos 2 x 2 + √ 3 cos x ⇔ sin x + √ 3 cos x = 1 ⇔  x = − π 6 + k2π x = π 2 + k2π (k ∈ Z). b) PT⇔ 4  1 − 1 2 sin 2 x  + √ 3 sin 2x = 2 ⇔ √ 3 sin 2x + cos 2x = −1 ⇔  x = − π 6 + kπ x = π 2 + kπ (k ∈ Z). c) PT⇔ sin 9x − √ 3 cos 9x = 1 ⇔ sin  9x − π 3  = 1 2 ⇔  x = π 18 + k 2π 9 x = 7π 54 + k 2π 9 (k ∈ Z). d) PT⇔ √ 2 sin 2x + √ 2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x ⇔ √ 2 sin 2x +  √ 2 − 1  cos 2x = 3 − √ 2 (vô nghiệm). 5 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 8.9. Giải các phương trình sau: a) (D-09) √ 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. b) 2 sin 4x + 3 cos 2x + 16sin 3 x cos x − 5 = 0. c) 4sin 3 x cos 3x + 4cos 3 x sin 3x + 3 √ 3 cos 4x = 3. d) (B-2012) 2  cos x + √ 3 sin x  cos x = cos x − √ 3 sin x + 1. e) 1 + 2 (cos 2x tan x − sin 2x) cos 2 x = cos 2x. f) (B-09) sin x + cos x sin 2x + √ 3 cos 3x = 2  cos 4x + sin 3 x  . Lời giải. a) PT⇔ √ 3 cos 5x−(sin x + sin 5x)−sin x = 0 ⇔ √ 3 cos 5x−sin 5x = 2 sin x ⇔  x = π 18 − k π 3 x = − π 6 − k π 2 (k ∈ Z). b) PT⇔ 2 sin 4x + 3 cos 2x + 4 sin 2x (1 − cos 2x) − 5 = 0 ⇔ 4 5 sin 2x + 3 5 cos 2x = 1. Đặt 4 5 = cos α; 3 5 = sin α, phương trình trở thành sin (2x + α) = 1 ⇔ x = − α 2 + kπ (k ∈ Z). c) PT⇔ (3 sin x − sin 3x) cos 3x + (3 cos x + cos 3x) sin 3x + 3 √ 3 cos 4x = 3 ⇔ sin x cos 3x+cos x sin 3x+ √ 3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x+ √ 3 cos 4x = 1 ⇔  x = − π 24 + k π 2 x = π 8 + k π 4 (k ∈ Z). d) PT⇔ 2cos 2 x + √ 3 sin 2x = cos x − √ 3 sin x + 1 ⇔ cos 2x + √ 3 sin 2x = cos x − √ 3 sin x ⇔ cos  2x − π 3  = cos  x + π 3  ⇔  x = 2π 3 + k2π x = k 2π 3 (k ∈ Z). e) Điều kiện: cos x = 0. PT⇔ 1+2 (cos 2x sin x − sin 2x cos x) cos x = cos 2x ⇔ 1−2 sin x cos x = cos 2x ⇔ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin  2x + π 4  = 1 √ 2 ⇔  x = kπ x = π 4 + kπ (k ∈ Z) (thỏa mãn). f) PT⇔ sin x  1 − 2sin 2 x  + cos x sin 2x + √ 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x + √ 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ sin 3x + √ 3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos  3x − π 6  = cos 4x ⇔  x = − π 6 − k2π x = π 42 + k 2π 7 (k ∈ Z). Bài tập 8.10. Giải các phương trình sau: a) 3sin 2 x − 4 sin x cos x + cos 2 x = 0. b) 3sin 2 x + 2 sin 2x − 5cos 2 x = 1. c) 2sin 2 x − 3cos 2 x + 5 sin x cos x − 2 = 0. d) sin 2x − 2sin 2 x − 2 cos 2x = 0. e) 4sin 3 x + 3cos 3 x − 3 sin x − sin 2 x cos x = 0. f) (B-08) sin 3 x − √ 3cos 3 x = sin xcos 2 x − √ 3sin 2 x cos x. Lời giải. a) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình. Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta có: 3tan 2 x − 4 tan x + 1 = 0 ⇔  tan x = 1 tan x = 1 3 ⇔  x = π 4 + kπ x = arctan 1 3 + kπ (k ∈ Z) b) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình. Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta có: 3tan 2 x + 4 tan x − 5 = 1 + tan 2 x ⇔  tan x = 1 tan x = −3 ⇔  x = π 4 + kπ x = arctan(−3) + kπ (k ∈ Z) c) Nhận thấy cos x = 0 ⇔ x = π 2 + kπ là nghiệm phương trình. Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta có: 2tan 2 x − 3 + 5 tan x − 2  1 + tan 2 x  = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π 4 + kπ (k ∈ Z) d) sin 2x − 2sin 2 x − 2 cos 2x = 0 ⇔ 2 sin x cos x − 2sin 2 x − 2  cos 2 x − sin 2 x  = 0 ⇔ 2 cos x (sin x − cos x) = 0 ⇔  cos x = 0 tan x = 1 ⇔  x = π 2 + kπ x = π 4 + kπ (k ∈ Z). e) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình. Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 3 x ta có: 4tan 3 x + 3 − 3 tan x  1 + tan 2 x  − tan 2 x = 0 ⇔  tan x = 1 tan x = ± √ 3 ⇔  x = π 4 + kπ x = ± π 3 + kπ (k ∈ Z) f) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình. 6 Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos 3 x ta có: tan 3 x − √ 3 = tan x − √ 3tan 2 x ⇔  tan x = ±1 tan x = − √ 3 ⇔  x = ± π 4 + kπ x = − π 3 + kπ (k ∈ Z) Bài tập 8.11. Giải các phương trình sau: a) 2 cos x + 4 sin x = 3 cos x . b) 2 sin x + 2 √ 3 cos x = √ 3 cos x + 1 sin x . c) sin x cos 2x = 6 cos x (1 + 2 cos 2x). d) sin x sin 2x + sin 3x = 6cos 3 x. e) sin 3  x + π 4  = √ 2 sin x. f) sin 2 2x cos  3π 2 − 2x  + 3 sin 2xsin 2  3π 2 + 2x  + 2cos 3 2x = 0. Lời giải. a) Điều kiện cos x = 0. PT⇔ 2+4 tan x = 3  1 + tan 2 x  ⇔  tan x = 1 tan x = 1 3 ⇔  x = π 4 + kπ x = arctan 1 3 + kπ (k ∈ Z). b) Điều kiện sin x = 0; cos x = 0. PT⇔ 2tan 2 x+2 √ 3 tan x = √ 3 tan x  1 + tan 2 x  +1+tan 2 x ⇔  tan x = ±1 tan x = √ 3 3 ⇔  x = ± π 4 + kπ x = π 6 + kπ (k ∈ Z). c) PT⇔ sin x  cos 2 x − sin 2 x  = 6 cos x + 12 cos x  cos 2 x − sin 2 x  ⇔ sin 3 x − 12sin 2 x cos x − sin xcos 2 x + 12cos 3 x + 6 cos x = 0 ⇔ tan 3 x − 12tan 2 x − tan x + 12 + 6  1 + tan 2 x  = 0 ⇔  tan x = 2 tan x = 2 ± √ 3 ⇔  x = arctan 2 + kπ x = arctan  2 ± √ 3  + kπ (k ∈ Z). d) PT⇔ 2sin 2 x cos x + 3 sin x − 4sin 3 x = 6cos 3 x ⇔ 4tan 3 x − 2tan 2 x + 6 − 3 tan x  1 + tan 2 x  = 0 ⇔  tan x = 2 tan x = ± √ 3 ⇔  x = arctan 2 + kπ x = ± π 3 + kπ (k ∈ Z). e) Đặt x + π 4 = t, phương trình trở thành sin 3 t = √ 2 sin  t − π 4  ⇔ sin 3 t = sin t − cos t. Nhận thấy cos t = 0 ⇔ t = π 2 + kπ ⇒ x = π 4 + kπ là nghiệm của phương trình. Với cos t = 0, chia hai vế phương trình cho cos 3 t ta có: tan 3 t = tan t  1 + tan 2 t  −  1 + tan 2 t  ⇔ tan 2 t − tan t + 1 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = π 4 + kπ (k ∈ Z). f) PT⇔ −sin 3 2x + 3 sin 2xcos 2 2x + 2cos 3 2x = 0 ⇔ −tan 3 2x + 3 tan 2x + 2 = 0 ⇔  tan 2x = 2 tan 2x = −1 ⇔  x = 1 2 arctan 2 + k π 2 x = − π 4 + k π 2 (k ∈ Z). Bài tập 8.12. Giải các phương trình sau: a) 3 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0. b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1. c) 2 sin x + sin 2x −2 cos x + 2 = 0. d) 3 cos 2x + sin 4x + 6 sin x cos x = 3. Lời giải. a) Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin x cos x = t 2 −1 2 , thay vào phương trình ta có: 3t + t 2 − 1 + 3 = 0 ⇔  t = −1 t = −2 (loại) Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin  x + π 4  = − 1 √ 2 ⇔  x = − π 2 + k2π x = π + k2π (k ∈ Z). b) Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin 2x = 1 − t 2 , thay vào phương trình ta có: t + 7  1 − t 2  = 1 ⇔ 7t 2 − t − 6 = 0 ⇔  t = 1 t = − 6 7 Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin  x − π 4  = 1 √ 2 ⇔  x = π 2 + k2π x = π + k2π (k ∈ Z). 7 Nguyễn Minh Hiếu Với t = − 6 7 ⇒ sin x −cos x = − 6 7 ⇔ sin  x − π 4  = − 6 7 √ 2 ⇔   x = π 4 + arcsin  − 6 7 √ 2  + k2π x = 5π 4 − arcsin  − 6 7 √ 2  + k2π (k ∈ Z). c) PT⇔ 2(sin x − cos x) + sin 2x + 2 = 0. Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin 2x = 1 − t 2 , thay vào phương trình ta có: 2t + 1 − t 2 + 2 = 0 ⇔ t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔  t = −1 t = 3 (loại) Với t = −1 ⇒ sin x − cos x = −1 ⇔ sin  x − π 4  = − 1 √ 2 ⇔  x = k2π x = 3π 2 + k2π (k ∈ Z). d) PT⇔ 3(sin 2x + cos 2x) + sin 4x = 3. Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin 4x = t 2 − 1, thay vào phương trình ta có: 3t + t 2 − 1 = 3 ⇔ t 2 + 3t − 4 = 0 ⇔  t = 1 t = −4 (loại) Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin  2x + π 4  = 1 √ 2 ⇔  x = kπ x = π 4 + kπ (k ∈ Z). Bài tập 8.13. Giải các phương trình sau: a) |sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1. b) sin 2x + √ 2 sin  x − π 4  = 1. c) 1 + sin 3 x + cos 3 x = 3 2 sin 2x. d) sin 3 2x + cos 3 2x + 1 2 sin 4x = 1. Lời giải. a) Đặt |sin x − cos x| = t, 0 ≤ t ≤ √ 2 ⇒ sin 2x = 1 − t 2 , thay vào phương trình ta có: t + 4(1 − t 2 ) = 1 ⇔ 4t 2 − t − 3 = 0 ⇔  t = 1 t = 3 4 (loại) Với t = 1 ⇒ |sin x − cos x| = 1 ⇔ sin  x − π 4  = ± 1 √ 2 ⇔     x = π 2 + k2π x = π + k2π x = k2π x = 3π 2 + k2π (k ∈ Z). b) PT⇔ sin 2x + sin x − cos x = 1. Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin 2x = 1 − t 2 , thay vào phương trình ta có: 1 − t 2 + t = 1 ⇔ t 2 − t = 0 ⇔  t = 1 t = 0 Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin  x − π 4  = 1 √ 2 ⇔  x = π + k2π x = π 2 + k2π (k ∈ Z). Với t = 0 ⇒ sin x − cos x = 0 ⇔ sin  x − π 4  = 0 ⇔ x = π 4 + k2π (k ∈ Z). c) PT⇔ 1 + (sin x + cos x) 3 − 3 sin x cos x (sin x + cos x) = 3 sin x cos x. Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin x cos x = t 2 −1 2 , thay vào phương trình ta có: 1 + t 3 − 3t t 2 − 1 2 = 3 t 2 − 1 2 ⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 5 = 0 ⇔  t = −1 t = −1 ± √ 6 (loại) Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin  x + π 4  = − 1 √ 2 ⇔  x = π + k2π x = − π 2 + k2π (k ∈ Z). d) PT⇔ (sin 2x + cos 2x) 3 − 3 sin 2x cos 2x (sin 2x + cos 2x) + sin 2x cos 2x = 1. Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤ √ 2 ⇒ sin 2x cos 2x = t 2 −1 2 , thay vào phương trình ta có: t 3 − 3t t 2 − 1 2 + t 2 − 1 2 = 1 ⇔ t 3 − t 2 + 3t − 3 = 0 ⇔ t = 1 Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin  2x + π 4  = 1 √ 2 ⇔  x = kπ x = π 4 + kπ (k ∈ Z). 8 Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác §3. Phương Trình Lượng Giác Khác Bài tập 8.14. Giải các phương trình sau: a) (D-2013) sin 3x + cos 2x − sin x = 0. b) (CĐ-2012) 2 cos 2x + sin x = sin 3x. c) sin 3x + sin 2x = 5 sin x. d) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0. e) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. f) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x. Lời giải. a) PT⇔ 2 cos 2x sin x+cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin x + 1) = 0 ⇔  cos 2x = 0 sin x = − 1 2 ⇔   x = π 4 + k π 2 x = − π 6 + k2π x = 7π 6 + k2π (k ∈ Z). b) PT⇔ 2 cos 2x = 2 cos 2x sin x ⇔ 2 cos 2x (1 − sin x) = 0 ⇔  cos 2x = 0 sin x = 1 ⇔  x = π 4 + k π 2 x = π 2 + k2π (k ∈ Z). c) PT⇔ sin 3x − sin x + sin 2x = 4 sin x ⇔ 2 cos 2x sin x + 2 sin x cos x − 4 sin x = 0 ⇔ 2 sin x (cos 2x + cos x −2) = 0 ⇔  sin x = 0 2cos 2 x + cos x − 3 = 0 ⇔   sin x = 0 cos x = 1 cos x = − 3 2 (vô nghiệm) ⇔ x = kπ (k ∈ Z). d) PT⇔ 2 cos 2x cos x + 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ 2 cos x (cos 3x + cos 2x) = 0 ⇔ 4 cos x cos 5x 2 cos x 2 = 0 ⇔   cos x = 0 cos 5x 2 = 0 cos x 2 = 0 ⇔   x = π 2 + kπ x = π 5 + k 2π 5 x = π + k2π (k ∈ Z). e) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = cos x + 2cos 2 x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos x (1 + 2 cos x) = 0 ⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos x) = 0 ⇔ (2 cos x + 1) (2 sin x cos x − cos x) = 0 ⇔ (2 cos x + 1) cos x (2 sin x − 1) = 0 ⇔   cos x = − 1 2 cos x = 0 sin x = 1 2 ⇔     x = ± 2π 3 + k2π x = π 2 + kπ x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π (k ∈ Z). f) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos 2x (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos 2x) = 0 ⇔  cos x = − 1 2 tan 2x = 1 ⇔  x = ± 2π 3 + k2π x = π 8 + k π 2 (k ∈ Z). Bài tập 8.15. Giải các phương trình sau: a) (B-07) 2sin 2 2x + sin 7x − 1 = sin x. b) sin 5x + sin 9x + 2sin 2 x − 1 = 0. c) (D-2012) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = √ 2 cos 2x. d) cos x + sin  2x + π 6  −sin  2x − π 6  + 1 = √ 3 (1 + 2 cos x). Lời giải. a) PT⇔ 2 cos 4x sin 3x − cos 4x = 0 ⇔ cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0 ⇔  cos 4x = 0 sin 3x = 1 2 ⇔   x = π 8 + k π 4 x = π 18 + k 2π 3 x = 5π 18 + k 2π 3 (k ∈ Z). b) PT⇔ 2 sin 7x cos 2x − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin 7x − 1) = 0 ⇔  cos 2x = 0 sin 7x = 1 ⇔  x = π 4 + k π 2 x = π 14 + k 2π 7 (k ∈ Z). c) PT⇔ 2 cos 2x sin x + 2 cos 2x cos x = √ 2 cos 2x ⇔ √ 2 cos 2x  √ 2 sin x + √ 2 cos x − 1  = 0 ⇔  cos 2x = 0 √ 2 (sin x + cos x) = 1 ⇔  cos 2x = 0 sin  x + π 4  = 1 2 ⇔   x = π 4 + k π 2 x = − π 12 + k2π x = 7π 12 + k2π (k ∈ Z). d) PT⇔ cos x + 2 cos 2x sin π 6 + 1 = √ 3 (1 + 2 cos x) ⇔ cos x + 2cos 2 x = √ 3 (1 + 2 cos x) ⇔ cos x (1 + 2 cos x) = √ 3 (1 + 2 cos x) ⇔ (1 + 2 cos x)  cos x − √ 3  = 0 ⇔  cos x = − 1 2 cos x = √ 3 ⇔  x = ± 2π 3 + k2π x = ± π 6 + k2π (k ∈ Z). 9 Nguyễn Minh Hiếu Bài tập 8.16. Giải các phương trình sau: a) cos 5x cos x = cos 4x. b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. c) cos x cos 3x −sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0. d) (D-09) √ 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. e) 4 cos 5x 2 cos 3x 2 + 2 (8 sin x −1) cos x = 5. f) cos x cos x 2 cos 3x 2 − sin x sin x 2 sin 3x 2 = 1 2 . Lời giải. a) PT⇔ 1 2 (cos 4x + cos 6x) = cos 4x ⇔ cos 6x−cos 4x = 0 ⇔ −2 sin 5x sin x = 0 ⇔  x = k π 5 x = kπ (k ∈ Z). b) PT⇔ 1 2 (cos 6x − cos 8x) = 1 2 (cos 2x − cos 8x) ⇔ cos 6x − cos 2x = 0 ⇔ −2 sin 4x sin 2x = 0 ⇔  x = k π 4 x = k π 2 (k ∈ Z). c) PT⇔ 1 2 (cos 2x + cos 4x) − 1 2 (cos 4x − cos 8x) − 1 2 (cos 2x − cos 10) = 0 ⇔ cos 10x + cos 8x = 0 ⇔ 2 cos 9x cos x = 0 ⇔  x = π 18 + k π 9 x = π 2 + kπ (k ∈ Z). d) PT⇔ √ 3 cos 5x − (sin x + sin 5x) − sin x = 0 ⇔ √ 3 2 cos 5x − 1 2 sin 5x = sin x ⇔ sin  π 3 − 5x  = sin x ⇔  x = π 18 − k π 3 x = − π 6 − k π 2 (k ∈ Z). e) PT⇔ 2 (cos x + cos 4x) + 8 sin 2x − 2 cos x = 5 ⇔ 2  1 − 2sin 2 2x  + 8 sin 2x = 5 ⇔  sin 2x = 3 2 (vô nghiệm) sin 2x = 1 2 ⇔  x = π 12 + kπ x = 5π 12 + kπ (k ∈ Z). f) PT⇔ 1 2 cos x (cos x + cos 2x) − 1 2 sin x (cos x −cos 2x) = 1 2 ⇔ cos 2 x + cos x cos 2x −sin x cos x + sin x cos 2x = 1 ⇔ cos 2x (sin x + cos x) = sin x (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x) (cos 2x − sin x) = 0 ⇔ (sin x + cos x)  1 − 2sin 2 x − sin x  = 0 ⇔   tan x = −1 sin x = −1 sin x = 1 2 ⇔     x = − π 4 + kπ x = − π 2 + k2π x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π (k ∈ Z). Bài tập 8.17. Giải các phương trình sau: a) (B-2013) sin 5x + 2 cos 2 x = 1. b) sin 2 x + sin 2 3x = 2sin 2 2x. c) cos 2 2x − sin 2 8x = sin  17π 2 + 10x  . d) (B-02) sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x. Lời giải. a) PT⇔ sin 5x + cos 2x = 0 ⇔ cos  π 2 + 5x  = cos 2x ⇔  x = − π 6 + k 2π 3 x = − π 14 + k 2π 7 (k ∈ Z). b) PT⇔ 1−cos 2x 2 + 1−cos 6x 2 = 2(1−cos 4x) 2 ⇔ cos 2x + cos 6x = cos 4x ⇔ 2 cos 4x cos 2x = cos 4x ⇔ cos 4x (2 cos 2x − 1) = 0 ⇔  cos 4x = 0 cos 2x = 1 2 ⇔  x = π 8 + k 2π 4 x = ± π 6 + kπ (k ∈ Z). c) PT⇔ 1+cos 4x 2 − 1−cos 16x 2 = cos 10x ⇔ cos 16x + cos 4x = 2 cos 10x ⇔ 2 cos 10x cos 6x = 2 cos 10x ⇔ 2 cos 10x (cos 6x − 1) = 0 ⇔  x = π 20 + k π 10 x = k π 3 (k ∈ Z). d) PT⇔ cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos 11x cos x ⇔ 2 cos x (cos 7x − cos 11x) = 2 cos x sin 2x sin 9x = 0 ⇔   cos x = 0 sin 2x = 0 sin 9x = 0 ⇔  x = k π 2 x = k π 9 (k ∈ Z). Bài tập 8.18. Giải các phương trình sau: a) cos 2 x = cos 4x 3 . b) 1 + 2cos 2 3x 5 = 3 cos 4x 5 . c) 1 + sin x 2 sin x − cos x 2 sin 2 x = 2cos 2  π 4 − x 2  . d) 4  sin xcos 5 x + cos xsin 5 x  + sin 3 2x = 1. e) sin 4 x 2 + cos 4 x 2 = 1 − 2 sin x. f) (D-05) cos 4 x + sin 4 x + cos  x − π 4  sin  3x − π 4  − 3 2 = 0. Lời giải. a) PT⇔ 1+cos 2x 2 = cos 4x 3 ⇔ 1 + 4cos 3 2x 3 − 3 cos 2x 3 = 2  2cos 2 2x 3 − 1  ⇔  cos 2x 3 = 1 cos 2x 3 = ± √ 3 2 ⇔  x = k3π x = ± π 4 + k3π (k ∈ Z). 10 [...]... tan 2x = 3 ⇔ x = π + k π 6 2 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = π + kπ, x = − π + k2π (k ∈ Z) 6 3 b) Điều kiện: cos 4x = −1 cos 2x = −1 PT⇔ 3 1 − cos2 2x + 4 (1 − cos 2x) − 11 − 3 cos 2x = 0 ⇔ cos 2x = − 4 (vô nghiệm) 3 π ⇔ x = 2 + kπ (k ∈ Z) Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = π + kπ (k ∈ Z) 2 a) PT⇔ 14 Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác c) Điều kiện: sin 2x = −1 √ PT⇔ sin 2x +... = 3π + k2π 2 16 Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác Bài tập 8.28 Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước: √ a) sin 2x = 0 trên [0; 2π] b) 3 tan x − 3 = 0 trên (0; 3π) c) cos x − π = 1 trên [−π; 3π] d) cot 2x + π = −1 trên (0; 5π) 4 6 π 2 e) sin + 6 sin x − 7 = 0 trên 2 ; 4π f) cot x + tan x = 2 trên (0; 3π) Lời giải a) Ta có sin 2x = 0 ⇔ x = k π (k ∈ Z) 2 Phương trình có các nghiệm... x + π = 1 x = π + k2π 4 4   sin 2x − π = −1 ⇔  x = − π + kπ ⇔ ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z) 4 8 4     sin x + π = −1 x = − π + k2π 4 2 sin 2x − π = 1 x = 3π + kπ 4 8 12 Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác Bài tập 8.22 Giải các phương trình sau: a) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x √ c) (A-2013) 1 + tan x = 2 2 sin x + π 4 e) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1 g) 3 + sin 2x = tan x + cot x √ b) 1 + tan x = 2 2 sin... 5π Phương trình có các nghiệm trên 2 ; 4π là x ∈ 2 f) Ta có cot x + tan x = 2 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z) 4 Phương trình có các nghiệm trên (0; 3π) là x ∈ π ; 5π ; 9π 4 4 4 Bài tập 8.29 (D-02) Tìm nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 Lời giải PT⇔ 4cos3 x − 3 cos x − 4 2cos2 x − 1 + 3 cos x − 4 = 0 cos x = 0 ⇔ ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z) 2 cos x = 2 (vô nghiệm) Phương. .. nghiệm) Phương trình có các nghiệm trên [0; 14] là x ∈ π ; 3π ; 5π ; 7π 2 2 2 2 của phương trình sin 2x + 5π − 3 cos x − 7π = 1 + 2 sin x 2 2  x = kπ sin x = 0 ⇔  x = π + k2π (k ∈ Z) Lời giải PT⇔ cos 2x + 3 sin x = 1 + 2 sin x ⇔ 6 sin x = 1 2 x = 5π + k2π 6 Phương trình có các nghiệm trên π ; 3π là x ∈ π; 2π; 13π ; 5π ; 17π 2 6 6 6 √ √ Bài tập 8.31 Tìm nghiệm thuộc 0; 3π của phương trình 3 sin 2x... ; π; 3π ; 2π 2 2 √ √ b) Ta có 3 tan x − 3 = 0 ⇔ tan x = 3 ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z) 3 Phương trình có các nghiệm trên (0; 3π) là x ∈ π ; 4π ; 7π 3 3 3 c) Ta có cos x − π = 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) 4 4 Phương trình có các nghiệm trên [−π; 3π] là x ∈ π ; 9π 4 4 d) Ta có cot 2x + π = −1 ⇔ x = − 5π + k π (k ∈ Z) 6 24 2 Phương trình có các nghiệm trên (0; 5π) là x ∈ 7π ; 19π ; 31π ; 43π ; 55π ; 77π ; 89π ;.. .Chuyên đề 8 Phương Trình Lượng Giác b) PT⇔ 2 + cos 6x = 3 2cos2 2x − 1 ⇔ 4cos3 2x − 3 cos 2x = 6cos2 2x − 5 5 5 5 5 5  cos 2x = 1 √ 5 x = k5π  √ ⇔  cos 2x = 1−√21 ⇔ (k ∈ Z) 5 4 x = ± 5 arccos 1−4 21 + k5π 1+ 21 2x... 1 = 1 + sin 2x ⇔ cos x = cos x = √ √ 2 2 2 ⇔ x = ± π + k2π 4 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = π + k2π (k ∈ Z) 4 √ d) Điều kiện: cos x = 0, tan x = − 3 PT⇔ 2 cos x (sin x + 1) − (sin x + 1) = 0 ⇔ (sin x + 1) (2 cos x − 1) = 0 sin x = −1 x = − π + k2π 2 ⇔ ⇔ 1 cos x = 2 x = ± π + k2π 3 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = π + k2π (k ∈ Z) 3 3 e) Điều kiện: tan x = − 2 PT⇔ cos3 x +... mãn) 2± 2 ⇔ tan x = 2 x = arctan 2±2 2 + kπ f) Điều kiện: sin 2x = 0, tan x = 1 cos 2x = 0 x = π + kπ 4 2 ⇔ x = kπ cos 2x = 1 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = − π + kπ (k ∈ Z) 4 PT⇔ 1 − cos 2x + 2cos2 2x − 1 − cos 2x = 0 ⇔ Bài tập 8.25 Giải các phương trình sau: 2 cos6 x + sin6 x − sin x cos x √ = 0 a) (A-06) 2 − 2 sin x 3 (sin x + tan x) c) − 2 cos x = 2 tan x − sin x 1 1 2 e) + = cos x sin... + 4 sin 2x = 2 sin 2x √ 2 2 sin 2x = 1 ⇔ x = π + kπ 4 sin 2x = − 4 (vô nghiệm) 3 Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = 5π + k2π (k ∈ Z) 4 b) Điều kiện: sin 2x = 0, cos 4x = −1 2sin2 2x 2 sin 2x cos 2x sin 2x sin 2x = 0 (loại) PT⇔ = ⇔ sin 2x = ⇔ 2 2x cos 2x = 1 2 sin 2x 2cos cos 2x Vậy phương trình vô nghiệm c) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0 3 sin x (cos x + 1) PT⇔ − 2 cos x − 2 = 0 ⇔ 3 (cos