Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 79 Chương ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Chương nghiên cứu phương trình động lực học vật rắn, đặc biệt chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định §3.1 – VẬT RẮN – Khái niệm vật rắn: Hệ chất điểm hệ gồm nhiều vật mà vật coi chất điểm Các chất điểm hệ tương tác lẫn nhau, lực tương tác gọi nội lực; đồng thời tương tác với vật bên hệ, lực tương tác gọi ngoại lực Vật rắn hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mơ) miền không gian mà khoảng cách hai chất điểm không thay đổi Như vậy, vật rắn ln có hình dạng, kích thước thể tích định Trên thực tế, khơng có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, ảnh hưởng điều kiện bên như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … khoảng cách phần tử vật có thay đổi đơi chút Tuy nhiên, phạm vi khảo sát, thay đổi khơng đáng kể ta coi vật vật rắn – Tính khối lượng vật rắn: Trong chương 2, ta biết khối lượng đại lượng đặc trưng cho mức quán tính mức hấp dẫn vật Trong phạm vi giới hạn Cơ học cổ điển, khối lượng đại lượng bất biến Do khối lượng hệ lập ln bảo tồn hệ: Khối lượng m hệ chất điểm tổng khối lượng phần tử tạo nên m = mi (3.1) ∑ i Vật rắn hệ chất điểm phân bố liên tục miền Ω nên khối lượng vật rắn m = dm (3.2) tính bởi: ∫ Ω với dm vi phân khối lượng m (chính khối lượng phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật rắn) Trường hợp vật rắn phân bố liên tục thể tích V (hình 3.1), điểm khảo sát M, ta lấy yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm khối lượng vật chất chứa yếu tố dV, ta định nghĩa mật độ khối lượng khối : ρ(M) = dm dV (3.3) 80 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Khi đó, dm = ρ(M)dV m = ∫∫∫ ρ(M )dV (3.4) V Nếu vật rắn đồng (hay nhất) ρ = const (lúc ρ khối lượng riêng chất liệu cấu tạo nên vật rắn) Khi (3.4) trở thành: m = ρV (3.5) Tương tự, hệ phân bố liên tục bề mặt (S) (hình 3.2), ta định nghĩa mật độ khối lượng mặt: σ( M ) = dm dS (3.6) với dm khối lượng vật chất chứa yếu tố diện tích dS Khi ta có: dm = σ(M)dS m = ∫∫ σ(M )dS (3.7) S Nếu hệ phân bố liên tục chiều dài L (hình 3.3), ta định nghĩa mật độ khối λ= lượng dài: dm d (3.8) với dm khối lượng vật chất chứa yếu tố chiều dài d Khi ta có: dm = λd m = ∫ λ(M)d (3.9) L Nếu hệ từ (3.7), (3.9) ta có: M m = σS = λL (3.10) dV M dS M d a) Yếu tố thể tích dV bao quanh M b) Yếu tố diện tích dS bao quanh M c) Yếu tố chiều dài d bao quanh M Hình 3.1 Một hệ phức tạp chia thành nhiều phần, khối lượng phần thuộc dạng định nghĩa Và khối lượng hệ tổng khối lượng phần 81 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN §3.2 KHỐI TÂM Khi nghiên cứu chuyển động hệ chất điểm hay chuyển động vật rắn, số trường hợp rút gọn chuyển động điểm đặc trưng cho hệ Điểm đặc biệt khối tâm hệ – Định nghĩa khối tâm: Khối tâm định nghĩa xuất phát từ tốn tìm trọng tâm (điểm đặt trọng lực) hệ chất điểm Xét hai chất điểm M1 M2 có khối lượng m1 m2 Trọng lực tác dụng lên → → → chất điểm P P Hợp lực P → M2 → → m1.M1G – m2.M2G = → P1 → P M 1G P2 m = = M G P1 m1 → M1 P2 P P có điểm đặt G cho: ⇒ G Hình 3.2: Khối tâm hệ chất điểm → m1 M 1G + m M G = hay (3.11) Điểm G thỏa mãn (3.11) gọi khối tâm hệ chất điểm M1 M2 Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng m1, m2, …, mn đặt tương ứng điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định nghĩa khối tâm hệ điểm G thoả mãn: → → m1 M 1G + m M G + n ∑m hay: i =1 → + m n M n G = → =0 i MiG (3.12) Với vật rắn, khối tâm điểm G thỏa mãn: → ∫ MG dm = Vật rắn → ∫ MG ρdV = (3.13) Vật rắn M điểm vật rắn, dV yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1) Khối tâm G định nghĩa theo (3.12) (3.13) điểm đặc trưng cho hệ, phụ thuộc vào vị trí tương đối phân bố khối lượng phần tử hệ, khơng phụ thuộc vào yếu tố bên ngồi Các kết tính tốn cho thấy, hệ có yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng, mặt đối xứng) khối tâm hệ nằm yếu tố đối xứng Như vậy, hệ có nhiều yếu tố đối xứng khối tâm G thuộc giao yếu tố đối xứng 82 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Ví dụ, khối tâm đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố tâm đĩa (giao điểm hai đường kính); khối tâm miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật giao điểm đường chéo, … Cần phân biệt hai thuật ngữ “khối tâm” “trọng tâm”! Trọng tâm G’ hệ điểm đặt trọng lực tác dụng vào hệ, nghĩa vị trí G’ khơng phụ thuộc vào vị trí, khối lượng phần tử cấu tạo nên hệ mà phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trong vị trí khối tâm G khơng phụ thuộc vào gia tốc trọng trường Trên thực tế, hầu hết kích thước hệ vật lí mà ta khảo sát khơng lớn, gia tốc trọng trường không đổi điểm G’ trùng với G Việc phân biệt vị trí G’ G khơng cần thiết! Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng nhau, đặt ba đỉnh tam giác ABC Xác định khối tâm hệ Giải → → → Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa: m1 AG + m BG + m CG = → → → Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG + BG + CG = Điểm G thỏa phương trình trọng tâm (giao điểm ba trung tuyến) tam giac ABC – Toạ độ khối tâm: Trong kỹ thuật, việc xác định xác khối tâm vật rắn quan trọng, vật rắn có chuyển động quay Xác định khối tâm G theo định nghĩa (3.12) (3.13) phức tạp Trong thực hành, ta xác định G cách tìm giao điểm trục đối xứng Phương pháp đặc biệt tiện lợi vật phẳng đồng Trong lí thuyết, ta dùng phương pháp tọa độ Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị → → trí khối tâm G xác định vectơ bán kính rG = OG Áp dụng “qui tắc → → điểm” điểm O, G Mi bất kì, ta có: OG = OM i → + MiG Nhân hai vế phương trình với mi lấy tổng theo i, ta có: → → m i OG = m i OM i n → n → ∑ m OG = ∑ m OM i =1 i i =1 → + mi MiG i n → ∑m M G + i i i =1 i → Vì OG không phụ thuộc vào số chạy i nên ta đưa dấu tổng: → n n i =1 i =1 → OG ∑ mi = ∑ mi r i + n → ∑m M G i =1 i i 83 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN n ∑m Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: i =1 → MiG = i n → → rG = OG = Vậy: → ∑ mi ri i =1 n ∑m i =1 (3.14) i → Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ ri có tọa độ ( x i , y i , z i ) nên khối tâm G hệ có tọa độ: ⎛ n ⎜ ∑ mi x i ; G ⎜ i =1n ⎜ ⎜ ∑ mi ⎝ i =1 n ∑ mi yi i =1 n ∑m i =1 ⎞ ⎟ i =1 ⎟ n ⎟ ∑ mi ⎟ i =1 ⎠ n ∑m z i ; i i (3.15) Với vật rắn tọa độ G là: ⎧ ⎪ ⎨x G = ⎪ ⎩ ∫ xdm vật rắn m ; yG = ∫ ydm vật rắn m ; zG = ∫ zdm vật rắn (3.16) m Trong (x,y,z) tọa độ yếu tố khối lượng dm; m khối lượng vật rắn Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt ba đỉnh A, B, C tam giác đều, cạnh a Xác định khối tâm G hệ Phải tăng hay giảm khối lượng m3 để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC? Giải x m3 Dễ thấy, hệ đối xứng qua đường cao OC, nên G nằm OC Chọn trục Ox hình vẽ Theo (3.15), ta có: x G = m1 x + m x + m x m1 + m + m G m1 A Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; x3 = xC = a /2 Suy ra: xG = + + 6m o a / 3a = 10m o 10 Để G trùng với trọng tâm ∆ABC : x G = C O Hình 3.3 xA + xB + xC a = B m2 84 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện ⇒ + + m 3a / a = ⇒ m3 = 2mo 2m o + 2m o + m d = Rdϕ α Vậy phải giảm khối lượng vật m3 lượng ∆m = 4mo O -α Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm vật thể hình cung trịn đồng nhất, bán kính R, chắn góc tâm 2α ϕ x x R Giải Hình 3.4: Chọn trục Ox đường phân giác góc tâm hình (3.4) Dễ thấy Ox trục đối xứng hệ Suy khối tâm G phải nằm Ox Xét yếu tố dài d chắn góc tâm dϕ Hồnh độ yếu tố là: x = Rcosϕ; khối lượng chứa d dm = λ d = λRdϕ Theo (3.16), ta có: xG = ∫ xdm ∫ R cos ϕ.λRdϕ L m = L m α λR = ∫ cos ϕ −α λR.2α = R sin α α (3.17) λ mật độ khối lượng dài cung tròn; m = λR.2α khối lượng cung tròn Vậy khối tâm vật thể hình cung trịn đồng nằm phân giác góc đỉnh, cách tâm đoạn xG xác định (3.17) dS = r.dr.dϕ dr Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm vật thể hình quạt trịn đồng nhất, bán kính R, chắn góc tâm 2α Giải Tương tự ví dụ ta suy khối tâm G hình quạt đồng nằm trục đối xứng Ox (đường phân giác góc tâm) dϕ r O ϕ x R Xét yếu tố diện tích dS Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ Khối lượng chứa dS dm = σdS; hoành độ dS x = r.cosϕ Hoành độ khối tâm G là: xG = ∫ xdm ∫∫ r cos ϕ.σdS S m = S m = Hình 3.5 ∫∫ r cos ϕ.σ.r.dr.dϕ S m x 85 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN R ⇒ xG = α −α σ ∫ r dr ∫ cos ϕdϕ σ.αR = 2R sin α 3α (3.18) Trong đó, m = σ.S = σ.αR2 khối lượng hình quạt Vậy khối tâm vật thể hình quạt đồng nằm phân giác góc đỉnh, cách tâm đoạn xG xác định (3.18) Ví dụ 3.5: Xác định khối tâm vật thể hình nón đồng nhất, đường cao h x α x dx r Giải Chia hình nón thành phần nhỏ, có dạng đĩa trịn bán kính r, bề dày dx (hình h–x h G h O O Hình 3.6: Khối tâm vật hình nón 3.6) Ta có: x G = ∫ x.dm vật rắn m = ∫ xρdV vật rắn ∫ ρdV = vật rắn xG = 2 ∫ x (h − x ) tg α.dx vật rắn ∫ (h − x ) tg α.dx vật rắn ∫ xρπr dx vật rắn ∫ ρπr dx vật rắn h = ∫ x (h − x ) dx = h ∫ (h − x ) dx h Vậy, khối tâm khối hình nón đồng nằm trục hình nón, cách đáy xG = khoảng: – Chuyển động khối tâm: Vận tốc khối tâm: h (3.19) 86 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện → → vG = d rG = dt → d n ∑ m i ri dt i =1 n ∑m i =1 → dr ∑ m i dti i =1 n = i n ∑m i =1 n = ∑m i i =1 n → vi i ∑m i =1 (3.20) i n → → aG = Tương tự, gia tốc khối tâm: d vG = dt ∑m i =1 n ∑m i =1 → → i (3.21) i → Gọi Fi vaø fi tổng ngoại lực nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; m= → → → ∑ m i khối lượng tồn hệ Theo (2.6) ta có : Fi + f i = m i a i → Suy ra: → aG = → ∑ Fi + ∑ f i m Mà theo định luật III Newton, vật hệ tương tác lực trực đối, nên tổng nội lực → ∑f = i → Vậy: → aG ∑F = i m → → hay m a G = ∑ Fi (3.22) (3.22) phương trình chuyển động khối tâm Từ ta thấy rằng, khối tâm hệ chuyển động chất điểm có khối lượng tổng khối lượng vật hệ Ví dụ: Khi ta ném rìu lên trời vừa bay, vừa xoay Tuy vận tốc qũi đạo điểm rìu hồn tồn khác phức tạp, qũi đạo khối tâm chắn phải đường Parabol chuyển động ném xiên chất điểm (bỏ qua sức cản khơng khí) 87 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN § 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN Trong chương 1, nghiên cứu tính chất chuyển động chất điểm Vật rắn có chuyển động riêng dạng chuyển động, có tính chất đặc trưng riêng Giáo trình nghiên cứu chuyển động song phẳng vật rắn, nghĩa trình chuyển động, điểm vật rắn ln có qũi đạo nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng cố định – Vật rắn tịnh tiến: Chuyển động vật rắn gọi tịnh tiến đoạn thẳng nối hai điểm vật rắn ln song song với (có phương khơng đổi) Xét điểm M vật rắn khối tâm G vật rắn Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc điểm ta có: → → G OM = OG + GM hay → → M → rM = rG M + GM → → G → Hình 3.7: Chuyển động tịnh tiến vật rắn → d rM d rG = Suy ra: dt dt + d GM dt → d GM = Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ GM không đổi Do dt → → → Vậy: d rM d rG = dt dt → → hay v M = v G (3.23) Khi vật rắn tịnh tiến điểm vật rắn vạch qũi đạo giống với vận tốc với vận tốc khối tâm Do chuyển động vật rắn trường hợp qui chuyển động khối tâm Nói cách khác, tồn vật rắn coi chất điểm có khối lượng khối lượng toàn vật rắn, đặt khối tâm G – Vật rắn quay quanh trục cố định: Khi vật rắn quay quanh trục cố định (∆) với vận tốc góc ω điểm → vật rắn vạch đường tròn đồng trục ∆, với vận tốc góc ω → Xét điểm M vật rắn, gọi R vectơ bán kính quĩ đạo M, ta có: - Vận tốc dài: → → → v=ω x R (3.24) 88 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện v = ωR độ lớn: → → (3.25) → - Gia tốc tiếp tuyến: a t = β x R (3.26) at = βR độ lớn: (3.27) - Gia tốc pháp tuyến: a n = ω R → → (3.28) → - Gia tốc toàn phần: a = a t + a n độ lớn: → ω → R M (3.29) a = a2 + a2 t n (3.30) ω Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vịng qua vơlăng I Hình 3.8: Chuyển bánh xe II Bán kính vôlăng R1 = 10cm; bánh xe R2 = động quay 50cm Vôlăng quay với vận tốc 720 vịng/phút bị vật rắn quanh trục ngắt điện, quay chậm dần đều, sau 30 giây vận tốc cố định cịn 180 vịng/phút Tính vận tốc quay bánh xe trước ngắt điện, số vòng quay vôlăng bánh xe khoảng trời gian Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống dừng? Tính vận tốc góc trung bình vôlăng bánh xe khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt vôlăng bánh xe) Giải Gọi ω1 ω2 vận tốc góc vơlăng bánh xe; ω01 ω02 vận tốc góc ban đầu chúng Ta có: ω01 = 720 vịng/phút = 24π rad/s R1 t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s Vì dây cuaroa khơng bị trượt Hình 3.9 vôlăng bánh xe nên điểm tiếp xúc vôlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa có vận tốc dài Suy ra: ω1R1 = ω2R2 ; ω01R1 = ω02R2 Vậy vận tốc quay bánh xe trước ngắt điện là: ωo = R1 10 ωo1 = 720 = 144 vòng/phút = 4,8π rad/s R2 50 Gia tốc góc vơlăng: β1 = ω1 − ωo1 6π − 24π = = −0,6π rad/s2 t1 30 Góc mà vơlăng quay thời gian t1 = 30s: θ1 = ωo1 t + β1 t = 24π.30 − 0,3π.30 = 450π rad R2 99 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN – Các ví dụ mẫu: Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi hình trụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn khơng trượt từ đỉnh dốc có độ cao h, nghiêng góc α so với phương ngang xuống chân dốc Bỏ qua ma sát cản lăn Tính gia tốc vận tốc khối tâm bánh xe chân dốc Giải Bước 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm: → - Trọng lực P (có giá qua khối tâm G); → - Phản lực pháp tuyến N (có giá qua khối tâm G); → - Lực ma sát nghỉ f msn (tiếp tuyến với mặt tiếp xúc) → → Chú ý: Nếu hồn tồn khơng có ma sát, bánh xe trượt mà khơng quay, P N có giá qua G nên khơng tạo mơmen quay Do phải có ma sát nghỉ tạo mơmen quay Lực đóng vai trị lực phát động, khơng phải lực cản (bỏ qua ma sát cản lăn) Để hiểu rõ thêm lực ma sát chuyển động lăn, xin đọc § 3.6 Bước 2: Chuyển động bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thời: Tịnh tiến khối tâm G quay quanh trục qua G, nên ta có hai phương trình: → → → Áp dụng (3.54), ta có: N + P + f → msn =ma Áp dụng (3.56), ta có: fmsn.R = I.β (1) (2) Chú ý: có lực ma sát tạo mơmen quay, cịn lực khác qua khối tâm G nên không tạo mômen quay → → N f msn → h P α Hình 3.19 → v 100 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Bước 3: Chiếu (1) lên phương mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống chân dốc, ta có: Psinα - fmsn = ma (3) Do lăn không trượt nên a = at = β.R ⇒ β = a/R (4) Bước 4: Thay (4) vào (2) kết hợp (3), ta có gia tốc khối tâm bánh xe là: a=g m sin α m sin α =g = g sin α I m+ m m+ 2 R (3.57) Tới chân dốc, khối tâm G bánh xe cách mặt đường đọan R, nên quãng đường mà khối tâm là: s = (h – R)/sinα Vậy vận tốc G chân dốc là: v = 2as = 2a h−R = sin α 4g ( h − R ) (3.58) Ví dụ 3.17: Một động điện khởi động nhanh dần thời gian giây, đạt vận tốc ổn định 720 vòng/phút Coi rotor có dạng hình trụ đặc đồng nhất, bán kính R = 10cm, khối lượng m = kg coi lực từ có phương tiếp xúc với bề mặt rotor, tính mơmen khởi động lực từ độ lớn lực từ Bỏ qua mômen cản trục rotor Giải → → Lực tác dụng lên rotor gồm trọng lực P , → phản lực pháp tuyến N vòng đỡ, lực từ F → F → (khi quấn động cơ, người ta tính tốn cho F có phương tiếp tuyến để tạo mơmen lớn nhất) Dễ thấy → → N cân với trọng lực P có lực từ tạo mơmen làm quay động Mơmen khởi động lực từ: Hình 3.20 ω − ωo t 1 I = mR = 6.0,12 = 0,03kgm2 ; ωo = rad/s; ω = 720 vòng/phút = 24π 2 M∆ = I.β = I Với rad/s mơmen lực là: M∆ = 0,03.24π/3 = 0,72π ≈ 2,26 Nm Độ lớn lực từ: M∆ = F.R ⇒ F = M ∆ 2,26 = = 22,6 N R 0,1 Ví dụ 3.18: Cho hệ hình 3.21 Khối lượng vật A, lăn B ròng rọc C m1, m2 mo Bán kính rịng rọc r, bán kính lăn R Mơmen cản trục rịng rọc Mc, hệ số ma sát lăn lăn mặt bàn µ’ (có thứ ngun mét) Bỏ 101 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN qua mômen cản trục lăn, coi dây không giãn khơng trượt rịng rọc Tính gia tốc vật A Giải Phân tích lực: B • Lực tác dụng lên vật A gồm: trọng lực → C → P1 , lực căng dây T1 • Lực tác dụng lên lăn B gồm: trọng → → lực P2 , phản lực pháp tuyến N , lực H 3.21 A → → căng dây T2 , lực ma sát F ms • → Lực tác dụng lên rịng rọc C gồm: trọng lực P0 , phản lực liên kết trục → → → quay R , lực căng dây T3 , T4 Viết phương trình động lực học cho A, B, C: → → → A: P1 + T1 = m1 a B: P2 + N + T2 + F ms = m a (2) ∑M ∑M → và: C: → → (1) → → /G = I 2β (3) /G = I 0β (4) → N2 → R B → F ms → T2 → T3 C O x → T4 → P0 A → P2 → T1 y H 3.22 → P1 Chiếu (1) lên Ox ⇒ P1 – T1 = m1a1 (5) 102 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện Chiếu (2) lên Ox ⇒ T2 – Fms = m2a2 (6) Chiếu (2) lên Oy ⇒ P2 – N2 = (7) Chọn chiều quay dương chiều kim đồng hồ • → → Đối với lăn B, lực P2 T2 không gây mômen quay, giá → → chúng qua trục quay; có lực ma sát F ms phản lực pháp tuyến N gây mômen quay Mômen lực ma sát mômen phát động làm lăn quay theo chiều kim đồng hồ: Mms = Fms.R ; cịn mơmen phản lực pháp tuyến mơmen cn ln (xem Đ 3.6): MN = à.N2 Do ú (3) tr thnh: Fms.R à.N2 = I2. ã (8) Tương tự ròng rọc C, (4) trở thành: T4 r – T3 r – Mc = I0.β0 (9) Ngồi ta có điều kiện: - Dây không giãn ⇒ a1 = a2 = a (10) - Dây không khối lượng ⇒ T1 = T4 = T; T2 = T3 = T’ (11) - Dây không trượt ròng rọc ⇒ a = at = β0 r = β2.R (12) Giải hệ phương trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có: (5) ⇒ m1g – T = m1a (5’) (6) ⇒ T’ – Fms = m2a (6’) (8) ⇒ Fms − µ' a m 2g = I2 = m 2a R R (8’) Mc I0 a = = m0a r r r (9’) (9) ⇒ T – T’ − Cộng vế với vế phương trình (5’), (6’), (8’) (9’), ta thu gia tốc vật: M µ' m2 − c gr R a=g m1 + m + m o 2 m1 − (3.59) – Con lắc vật lý: Con lắc vật lý vật rắn khối lượng m, quay quanh trục cố định, nằm ngang Gọi G khối tâm lắc, d khoảng cách từ G đến trục quay O; θ góc lượng giác tạo phương thẳng đứng đường OG Bỏ qua ma sát lực tác 103 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN → → dụng lên lắc gồm trọng lực P (có điểm đặt khối tâm) phản lực R trục quay (có điểm đặt trục quay) Suy ra, có trọng lực gây mơmen quay, cịn phản lực khơng tạo mơmen quay (vì có giá qua trục quay) Phương trình chuyển động quay lắc quanh trục O là: d 2θ I = M → = −P sin θ.d = − mg sin θ.d P/ O dt (3.60) với I momen quán tính lắc trục quay; d khoảng cách từ khối tâm G đến trục quay; chiều quay dương chiều ngược kim đồng hồ Xét trường hợp lắc dao động với biên độ góc θo nhỏ sinθ ≈ θ (3.60) trở thành: d θ mgd d 2θ + θ = hay: + ωo θ = dt I dt Với ωo = θ (3.61) G mgd (3.61) phương trình vi phân I lắc vật lý Nghiệm phương trình (3.62) có dạng: θ = θosin(ωot + ϕ) Vậy, với biên độ góc nhỏ (θo < 10o), dao động lắc vật lý dao động điều hồ tự do, có : • Tần số góc riêng: ωo = • Chu kì riêng: To = → P Hình 3.23: Con lắc vật lý mgd I (3.63) 2π I = 2π mgd ωo (3.64) Trường hợp đặc biệt, vật rắn chất điểm đặt G, I = md2 ta có: To = 2π d g hay To = 2π (3.65) g lắc vật lý trở thành lắc toán học (con lắc đơn) có chiều dài = d Nếu lắc đơn lắc vật lý có chu kì ta nói chúng hai lắc đồng 104 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện § 3.6 MA SÁT TRONG CHUYỂN ĐỘNG LĂN CỦA VẬT RẮN Trong sinh hoạt hàng ngày, ta thường gặp chuyển động lăn vật hình trụ mặt phẳng ngang Ta thấy rằng, có lúc bánh xe quay nhanh mà khơng tiến lên (xe bị lún sình); bánh xe trượt mà không lăn; vừa lăn, vừa trượt, … Nguyên nhân tượng ma sát Bài cung cấp thêm thông tin đặc điểm ma sát lăn; vai trò ma sát chuyển động lăn không trượt vật rắn có dạng hình trụ Nói chung, ma sát chuyển động lăn phức tạp Có lúc ma sát đóng vai trị lực phát động, có lúc lại cản trở chuyển động Sau khảo sát ảnh hưởng ma sát chuyển động lăn khối trụ trường hợp cụ thể – Trường hợp 1: thời điểm to = 0, khối trụ có chuyển động tịnh tiến với vận → tốc v o : → Nếu mặt ngang khối trụ hồn tồn khơng có ma sát phản lực N → trọng lực P triệt tiêu (hình 3.24) Do khối trụ → → trượt theo quán tính với vận tốc v o không đổi (điểm N → tiếp xúc A trượt với vận tốc v o , khơng có lực tạo mơmen quay) O Thực tế ln có ma sát tác dụng lên khối trụ lực ma sát có hai tác dụng (hình 3.25): dv = −f ms dt → (3.66) P Hình 3.24 • Tạo mơmen làm quay vật rắn theo phương trình: I dω = f ms R dt (3.67) → → R N đó: v vận tốc tịnh tiến khối tâm; ω vận tốc góc I mơmen qn tính trục quay qua khối tâm Lúc này, vận tốc trượt điểm tiếp xúc A là: vtr = v – ωR O → f ms A (3.68) Vận tốc tịnh tiến v lúc giảm vận tốc góc ω lúc tăng Do đó, sau khoảng thời gian t1 vtr = Lúc điểm tiếp xúc A khơng cịn trượt nữa, ta nói khối trụ lăn khơng trượt mặt vo A • Cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương trình: m → → P Hình 3.25 → vo 105 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN phẳng ngang với vận tốc góc ω1 vận tốc tịnh tiến v1 xác định sau: dv m = −f ms dt t f 1 ⇒ dv = − ms dt ⇒ v1 = v o − ∫ f ms dt m m0 (*) t R R dω = f ms R ⇒ dω = f ms dt ⇒ ω1 = ωo + ∫ f ms dt I I I dt (**) Khử tích phân (*) (**) kết hợp với điều kiện lăn không trượt: v1 = ω1R, ta vo ⎧ ⎪ω1 = I ⎪ R+ ⎪ mR có: (3.69) ⎨ vo ⎪v = ⎪ I 1+ ⎪ mR ⎩ Trên lý thuyết, khối trụ lăn khơng trượt với vận tốc góc ω1, thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần dừng lại Điều chứng tỏ khối trụ mặt phẳng ngang xuất lực cản (sẽ khảo sát mục 3) – Trường hợp 2: thời điểm to = 0, khối trụ có chuyển động quay với vận tốc góc ωo: Cho khối trụ quay quanh trục với vận tốc góc ωo đặt nhẹ xuống mặt phẳng ngang Nếu hình trụ mặt phẳng ngang khơng có ma sát tổng mơmen ngoại lực khơng (vì trọng lực phản lực khơng tạo mơmen quay) nên mơmen động lượng bảo tồn vật tiếp tục quay chỗ với vận tốc góc ωo khơng đổi Nếu hình trụ mặt phẳng ngang có ma → O ω → f ms A Hình 3.26 sát điểm tiếp xúc A xuất lực ma sát f ms có → khuynh hướng giữ chặt điểm A lại (hình 3.26) f ms • Cản trở chuyển động quay theo phương trình: I có hai tác dụng: dω = −f ms R dt • Kéo hình trụ chuyển động sang phải với phương trình: m dv = f ms dt Vận tốc trượt điểm tiếp xúc A: vtr = ωR – v Vận tốc tịnh tiến v lúc tăng vận tốc góc ω lúc giảm Do đó, sau khoảng thời gian t1 vtr = Lúc điểm tiếp xúc A khơng cịn trượt nữa, ta 106 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện nói khối trụ lăn khơng trượt mặt phẳng ngang với vận tốc góc ω1 vận tốc tịnh tiến v1 xác định sau: dv = f ms m dt f ⇒ dv = ms dt m t 1 ⇒ v1 = ∫ f ms dt m0 (*) t R R dω = −f ms R ⇒ dω = − f ms dt ⇒ ω1 = ωo − ∫ f ms dt I I I dt (**) Khử tích phân (*) (**) kết hợp với điều kiện lăn khơng trượt: v1 = ω1R, ta có: ωo ⎧ ⎪ω1 = mR ⎪ 1+ ⎪ I ⎨ ⎪v = Rωo ⎪ mR 1+ ⎪ I ⎩ (3.70) Trên lý thuyết, khối trụ lăn không trượt với vận tốc góc ω1, thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần dừng lại Điều chứng tỏ khối trụ mặt phẳng ngang xuất lực cản (sẽ khảo sát mục 3) – Chuyển động lăn không trượt khối trụ – ma sát lăn: Trong mục 2, ta thấy, sau thời điểm t1, muốn trì chuyển động → → khối trụ phải tác dụng lực F vào khối trụ Điều chứng tỏ hình trụ mặt phẳng ngang xuất lực cản Nguyên nhân lực cản khối trụ tiếp xúc với mặt phẳng ngang điểm A mà mặt, cung AB Khi khối trụ lăn sang phải, trọng lượng hầu N ω O → đặt B, nghĩa phản lực N đặt B, lệch phía trước khoảng nhỏ µ' L so với khối tâm → → (hình 3.27) Trọng lực P phản lực pháp tuyến N tạo thành ngẫu lực, cản trở quay, khối trụ lăn chậm dần Muốn cho khối trụ tiếp tục lăn, → ta phải tác dụng vào khối trụ lực F cho → → mômen cặp lực ( F , f FR ≥ Nµ ' L ⇒ → → f ms F B A → Hình 3.27 P → ms → ) phải lớn mômen cặp lực ( P , N ): F≥ µ' L N R (3.71) 107 Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Vậy, giới hạn lực F để khối trụ lăn là: Fmin = fms = Fmin = Khi đó, lực ma sát lăn là: µ' L N R µ' L N R (3.72) (3.73) Trong đó: µ' L có thứ ngun chiều dài, gọi “hệ số ma sát lăn” (ở chương 2, ta kí hiệu hệ số µ’L) Đặt µ' L = µL hư số (khơng thứ ngun) ta có fmslăn R = µLN, giống trường hợp ma sát trượt: fmst = µN Vì thế, đơi ta gọi µL hệ số ma sát lăn Để thống cách gọi, giáo trình này, ta qui ước hệ số ma sát lăn µ’L (có thứ nguyên mét) – Phân biệt ma sát nghỉ ma sát lăn: Trong chuyển động lăn khối trụ lực ma sát nghỉ ln có xu hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A, ngăn khơng cho trượt phía sau Chính lực đóng vai trị lực phát động làm cho điểm tiếp xúc A chuyển động tới Khi khối trụ lăn, xuất lực ma sát lăn, cản trở chuyển động lăn khối trụ Lực gây mômen cản trở chuyển động quay khối trụ Để hình dung vai trò ma sát nghỉ chuyển động lăn, ta xét chuyển động bánh xe sau xe môtô (bánh phát động) Khi nổ máy vào số, nhờ có hệ thống nhơng, sên, đĩa, nội lực làm cho bánh xe có khuynh hướng quay điểm tiếp xúc A có khuynh hướng trượt phía sau Khi xuất lực ma sát nghỉ (chính ngoại lực) có khuynh hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A Lực ma sát nghỉ có độ lớn tăng dần, cuối kéo điểm tiếp xúc A tới, nhờ tồn xe người chuyển động Khi bánh xe lăn, xuất lực ma sát lăn cản trở chuyển động lăn Nếu lực ma sát nghỉ cân với ma sát lăn xe chuyển động Như vậy, chuyển động ơtơ nói riêng vật rắn khác nói chung, lực ma sát nghỉ đóng vai trị ngoại lực phát động Vì lực ma sát nghỉ có giá trị lớn µN (bằng ma sát trượt), nên lực ma sát nghỉ đạt đến giá trị cực đại, dù công suất động đốt có tăng đến khơng thể làm cho xe chuyển động nhanh được! Đối với bánh xe trước, lúc t = 0, nhận vận tốc tịnh tiến vo điểm tiếp xúc bị trượt tới Chính lực ma sát nghỉ làm cho có chuyển động quay Vậy, lực ma sát ma sát nghỉ đóng vai trị tích cực, hữu ích chuyển động lăn vật – Ma sát dây quấn vào khối trụ: Một dây vắt lên khối trụ, bán kính R, phần tiếp xúc với khối trụ cung tròn α Hệ số ma sát dây khối trụ µ Đặt vào đầu dây lực có độ lớn 108 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện P, ta chứng minh được, dây cân đặt vào đầu lực có độ lớn Q thỏa điều kiện: Q = P.e - µα (3.74) α Để chứng minh (3.74), ta xét mẩu dây chắn góc tâm dα Lực tác dụng lên mẩu dây gồm: lực → R → → → căng dây T T ’; lực ma sát f ms ; phản lực pháp Q → tuyến N khối trụ → Từ điều kiện cân mẩu dây, ta có: → → → Hình 3.28 P → T + T ’+ f ms + N = (*) Chiếu (*) lên phương tiếp tuyến với mặt trụ: T – T’ – fms = Hay: dT = T’ – T = – fms = – µN (**) Chiếu (*) lên phương pháp tuyến mặt trụ lưu ý T’ ≈ T, ta có: dT = −µdα ⇒ T f ms N N = T.dα ⇒ dT = – µTdα ⇒ → → → T' Q dT = −µα T P ∫ ⇒ Q = Pe - µα → T → T' dα → Q ln( ) = −µα P ⇒ → N T Hình 3.29 (đpcm) Nếu dây quấn vịng, Q