ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 PHẦN I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . 1>HÀM SỐ SIN sin : sin R R x y x → =a 2>HÀM SỐ COS cos : cos R R x y x → =a 3>HÀM SỐ TAN tan : tan D R x y x → =a 4>HÀM SỐ COT t : t co D R x y co x → =a Một số tính chất của hàm số y=sinx a>Tập xác định D=R b>Tập giá trị : [ ] 1;1− c>Là hàm số lẻ . d>Hàm số tuần hồn vớichu kỳ 2 π Một số tính chất của hàm số y=cos a>Tập xác đònh D=R b>Tập giá trò : [ ] 1;1− c>Là hàm số chẵn d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ 2 π Một số tính chất của hàm số y=tanx a >Tập xác định / 2 D R k π π   = +     b>Tập giá trị hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hồn với chu kỳ π Một số tính chất của hàm số y=cotx a>Tập xác định { } /D R k π = b>Tập giá trị hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hồn với chu kỳ π BÀI TẬP Bài 1 :Tìm tập xác định hàm số sau : 2 2 2 2 2 cot 1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/ 4 3 cos 1 sin 2 1 4 / 5/ tan 6 / sin cos 1 3 1 3 2 7 / 1 cos 8/ 9/ cot( ) tan(2 ) sin cos 3 3 1 1 sin 10 / 11/ 12/ 4 5cos 2sin 2sin 3 cot 3 x y x y x y x x x y y y x x y x y y x x x x x y y y x x x x π π π π = − = + = − + = = = + − = − = = − + + − = = = − − − − Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau : 2 2 2 2 1 4cos 1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/ 3 4 / 2sin cos2 5/ 3 2 | sin | 6 / 3 1 sin 1 x y x y x x y y x x y x y x + = + = − = = − = − = + − PHẦN I I : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN . 1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1) +Với |a|>1 thì phương trình (1) vơ nghiệm . +Với | | 1a ≤ i/Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt nào đó thì đặt : a= sin α khi đó ta có : 2 sin sin 2 x k x k Z x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  1 B A sin α =a= OK sin cos O H K M ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 Chú ý : 2 sin sin 2 u v k u v k Z u v k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ii/Nếu a là giá trị không có góc đặc biệt thì arcsin 2 sin arcsin 2 x a k x a x a k π π π = +  = ⇔  = − +  *BÀI TẬP : Giải phương trình : 1 1 sin 7 sin 2 sin 0 2 2 2sin 3 0 8 sin3 0 3 2sin( ) 2 0 9 sin 3 cos 0 3 4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0 6 5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0 4 3 4 6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0 3 6 3 13 s x x x x sinx x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π > = > − = > − = > + = > + − = > − = > + + = > + = > − + = > + + − = > − + = > − − + = > 2 in(2 ) cos( ) 0 3 3 x x π π + + + = 2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2) +Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm . +Với | | 1a ≤ i/ Nếu a là giá trị của một góc đặc biệt thì đặt a= cos α khi đó ta có : 2 cos cos 2 x k x k Z x k α π α α π = +  = ⇔ ∈  = − +  Chú ý : 2 cos cos 2 u v k u v k Z u v k π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ii/ Nếu a không phải là giá trị của góc bặc biệt thì arccos 2 cos arccos 2 x a k x a x sa k π π = +  = ⇔  = − +  *BÀI TẬP : Giải phương trình : 2 B A cos α =a= OH sin cos O H K M ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 1 1. cos 7 cos 2 cos 0 2 2. 2cos 3 0 8 cos cos3 0 3.2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0 3 4 2cos(2 ) 1 0 10 cos2 sin3 0 6 5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0 4 3 4 6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0 3 6 3 13 π π π π π π π π = > − = − = > + = + − = > − = > + + = > + = > − + = > + + − = > − + = > − − + = x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 cos(2 ) sin( ) 0 3 3 π π > + + + = x x 3>Phương trình lương giác cơ bản tanx=a (3) +Điều kiện : 2 x k π π ≠ + +Nếu a là gía trị của góc đặc biệt thì Đặt a= tan α khi đó ta có: tanx= tan α x k α π ⇔ = + Chú ý : tan tanu v u v k π = ⇔ = + +Nếu a không là giá trị của góc đặc biệt thì tan arctanx a x a k π = ⇔ = + 4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4) +Điều kiện : x k π ≠ +Nếu a là giá trị của góc đặc biệt thì Đặt tana α = khi đó ta có : t tco x co x k α α π = ⇔ = + Chú ý : t tco u co v u v k π = ⇔ = + + Nếu a không là giá trị của góc đặc biệt thì : cot arc tx a x co a k π = ⇔ = + BÀI TẬP : Giải các phương trình : 1 tan 3 5 cot 3 0 2 2 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0 3 3 3 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0 4 2 2 4 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0 3 5 x x x x x x x x π π π π π > = > + = > − = > − + = > + − = > + + = > − + = > − + = 9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2 ) cot( ) 0 4 4 4 2 3 10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0 3 3 2 4 5 5 11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0 3 3 3 3 4 5 12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 3 3 6 6 x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π π π π π π π > − − = > + − + = > + + − = > − + − = > − + − = > − − + = > + + − = > + + + 0= 5>TÓM LẠI : 3 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : * 2 sin sin 2 arcsin 2 sin arcsin 2 x k x k Z x k x a k x a x a k α π α π α π π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = +  = ⇔  = − +  2 sin sin 2 u v k u v k Z u v k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  * 2 cos cos 2 cos 2 cos cos 2 x k x k Z x k x arc a k x a x arc a k α π α α π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = +  = ⇔  = − +  2 cos cos 2 u v k u v k Z u v k π π = +  = ⇔ ∈  = − +  * tanx=tan x= +k tan arctanx a x a k α α π π ⇔ = ⇔ = + tan tanu v u v k π = ⇔ = + * t t cot cot co x co x k x a x arc a k α α π π = ⇔ = + = ⇔ = + t tco u co v u v k π = ⇔ = + BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác : 2 2 1 2sin 2 sin 0 8 sin cos2 1 0 4 2 2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos2 1 0 3 3 2 3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1 3 3 6 3 3 2 4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0 2 2 3 3 2 5 sin (5 ) cos ( 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π π π > + = > + − = > + + + = > + + = > − + − = > + + + = > + + + = > + + + + = > + − 2 2 ) 0 12 tan5 .tan 1 4 2 6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0 3 3 6 7 tan 2 .tan 3 1 x x x x x x x x π π π π + = > = > + − = > − + = > = II>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1)Phương trình bậc nhất . * asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 . BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau : 1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 4 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 3> 2 cos 1 0x + = 4>3cosx+5=0 5> 3 tan 3 0x + = 6> 3cot 3 0x + = 2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin * asin 2 x+bsinx+c=0 Đặt sinx=t đk | | 1t ≤ khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1/ 2sin 2 x+3sinx+1=0 2/ sin 2 x+sinx-2=0 3/ 2 2sin (2 3)sin 3 0x x− + + = 4/ 6-4cos 2 x-9sinx=0 5/ 2 4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + = 6/ sin 2 3x-2sin3x-3=0 7/ sin 2 x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin 2 x+cos 2 +sinx-1=0 9/ cos 2 x+sinx+1=0 10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos 2 x+cos2x+sinx+2=0 12> sin cos 2 4 0 6 3 x x π π     + − + + =  ÷  ÷     B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos . * acos 2 x+bcosx+c=0 Đặt cosx=t đk | | 1t ≤ khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1/ 3cos 2 x+2cosx-1=0 2/2sin 2 x+5cosx+1=0 3>cos 2 -4cosx+5/2=0 4/cos 2 +cosx-2=0 5/16-15sin 2 x-8cosx=0 6/4sin 2 2x+8cos 2 x-8=0 7/ 2 2 5 4sin 8cos 4 2 x x− − = − 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin 2 x-2cos 2 x+cos2x=0 10>sin 2 x+cos2x+cosx=0 11> 2 cos( ) cos(2 ) 2 0 3 3 x x π π + + + − = 12>(1+tan 2 x)(cosx+2)-sin 2 x=cos 2 x C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot * atan 2 x+btanx+c=0 Đk 2 x k π π ≠ + Đặt tanx=t khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 * acot 2 x+bcotx+c=0 Đk : x k π ≠ Đặt cotx=t khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1>tan 2 x-tanx-2=0 2> 2 cot (1 3)cot 3 0x x− − + = 3> 2 3 cot 4cot 3 0x x− + = 4> 2 3 4 tan 2 0 cos x x − − = 3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos . Phương trình có dạng : Asin 2 x+Bsinxcosx+Ccos 2 x=D +B 1 : xét cosx=0 5 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 +B 2 : với cos 0 2 x x k π π ≠ ⇔ ≠ + chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được : (A-D)tan 2 x+Btanx+C-D=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin (1 3)sin cos (1 3)cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0 3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3 cos 6sin cos 3 3 5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3sin 2 2cos 4 7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x > + − + − = > + + = > + − − = > + = + > + − + = > + − = > + = > − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8sin cos 7cos 0 1 9 sin 2sin cos 2cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0 2 11 3sin 5cos 2cos2 4sin 2 0 12 2sin 6sin cos 2(1 3) cos 5 30 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = > + − = > − + + = > + − − = > + + + = + 4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . (Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b) Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b) Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là : 2 2 2 a +b -c 0 ≥ Khi đó ta chia hai vế của phương trình với 2 2 a b+ khi đó ta được : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Do 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =  ÷  ÷ + +     nên đặt : 2 2 2 2 sin , cos a b a b a b α α = = + + Khi đó ta được : 2 2 2 2 sin sin cos cos cos( ) c c nx x x a b a b α α α + = ⇔ − = + + Bài tập : Giải các phương trình : 1/ 2 sin cos 2 2/ cos 3sin 2 3/ sin 7 3 cos7 2 4/ 3 cos sin 2 5/5cos 2 12sin 2 13 6/ 2sin 5cos 4 7 / 3sin 5cos 4 2 x x x x x x x x x x x x x x − = + = + = + = − = − = + = 6 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I>QUI TẮC ĐẾM . a>Qui tắc cộng . Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì công việc đó có m+n cách thực hiện . b>Qui tắc nhân . Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành cộng việc . BÀI TẬP II>HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP a>Hoán vị : Có tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ . Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của b phần tử . Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hoán vị . Ta viết số hoán vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)… 3.2.1 . b>Chỉnh hợp : Cho tập A gồm n phàn tử ( ) 1n ≥ . Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : ! ( 1) ( 1) ! k n n A n n n k k = = − − + . c>Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ . Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập đã cho . Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : ! !( )! k n n C k n k = − Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi : a/ Có tất cả bao nhiêu cách . 7 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 b/ Có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ . III>NHỊ THỨC NIU TƠN Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn ( ) 0 0 1 1 1 1 1 1 0 n n n k n k k n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b − − − − + = + + + + + + Số hạng thứ k+1 là : 1 k n k k k n T C a b − + = . BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT . Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 . có bao nhiêu cách chọn một viên bi ? Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ? Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá , của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật . Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách . CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} . Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên : a> Có hai chữ số đôi một khác nhau ? b> Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên : a> Có hai chữ số đôi một khác nhau . b> 3 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 ? c> Có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 ? Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> Có hai chữ số đôi một khác nhau ? b> Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? c> Là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ? d> Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 6 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên a> Có 4 chữ số đôi một khác nhau ? b> Có 8 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 . Có biêu cách lập một số tự nhiên a> Là số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau ? b> Là số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 8 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên : a> Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 . b> Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 c> Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550 Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên : a> Có 3 chữ số khác nhau . 8 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 b> Có 4 chữ . c> Là số lẻ và có 4 chữ số và đôi một khác nhau . d> Là số chẵn và có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Bài 10 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên : a> Số có 4 chữ số đôi một khác nhau . b> Số có 5 chữ số . c> Số có 3 chữ số chia hết cho 5 . d> Số có 4 chữ số trong đó luôn có chữ số 1 . Bài 11: Từ các số : 0,4,5,7,8,9 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> Có 4 chữ số đôi một khác nhau . b> Có 3 chữ số và luôn có mặt chữ số 9 . c> Có 3 chữ số và lớn hơn 400 . Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> là số chẵn có 3 chữ số . b> số có 4 chữ số và luôn có mặt chữ số 5 . c> Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 . Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> Có 3 chữ số và đôi một khác nhau . b> Có 4 chữ số đôi một khác nhau là luôn có mặt số 5 . CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau . a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau . b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt . Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu : a> Các học sinh ngồi tuỳ ý . b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn . Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho : a> Bạn C ngồi chính giữa . b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút . Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau . b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau . Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau . Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau . Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ . Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học . Chọn từ đó ra 4 người để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu: a> Phải có đủ 3 môn . b> Có nhiều nhất 1 nhà toán học và có đủ 3 môn . Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế . 9 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng . Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu . Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra . Bài 26A : Có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông ) Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp . Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu : a> Mọi người đều vui vẽ tham gia . b> Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia . Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca . Hỏi có bao nhiêu cách chọn a> Nếu ít nhất hai nữ . b> Nếu chọn tuỳ ý . Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho : a> Có đúng 2 nam . b> Có ít nhất 2 nam và 1 nữ . Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu . SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức : ( ) ( ) ( ) ( ) 15 6 5 20 17 1 2 2 3 4 2 3a a b b a c x d x e x x   > + > − > − > − > +  ÷   Bài 31 : Tìm hệ số của x 3 trong nhị thức sau : 6 3 2 1 x x   +  ÷   , 9 2 1 x x   +  ÷   , 9 2 3 1 x x   +  ÷   Bài 32 : Tìm hệ số của x 5 trong nhị thức sau : 15 4 1 x x   +  ÷   , 10 3 2 1 x x   +  ÷   , 20 2 1 x x   +  ÷   Bài 33 : Tìm hệ số của x 3 trong nhị thức sau : 15 2 2 x x   +  ÷   , 8 3 2 x x   +  ÷   Bài 34: Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1-3x) n là 90 . Tìm n ? Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 20 3 2 2 x x   +  ÷   . Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x trong khai triển : 12 3 3 x x   +  ÷   . Bài 37 : Tìm số hạng không chưa x trong khai triển sau : 15 2 3 3 x x   +  ÷   . 10 [...]...ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 40 1   Bài 38 : Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức  x + 2 ÷ x   31 IV>PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1/ PHÉP THỬ Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử Ví dụ : Gieo một đồng tiến , gieo một con súc sắc , rút một con bài từ bộ bài ,… 2/KHÔNG GIAN MẪU Tập hợp các kết quả có... hai lần 2/Gieo một con súc sắc hai lần 3/Từ các số 1,2,3 tìm các số có 3 chữ số 3/BIẾN CỐ Biến cố là một tập con của không gian mẫu Tập Φ gọi là biến cố không thể , tập Ω gọi là biến cố chắc chắn Chú ý : biến cố có thể cho dưới dạng là một mệnh đề mô tả tập hợp , hoặc cho dưới dạng là một tập con của không gian mẫu Ví dụ : 1/gieo một đồng tiền hai lần , Hãy xác định biến cố : A”Mặt sấp xuất hiện... ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 BÀI TẬP Bài 1 : Tính giới hạn sau : a ) Lim(2n 2 + 3n − 1) b) Lim(−n 2 − n + 3) c ) Lim(3n 3 − n 2 + n + 5) 3n + 2 3 − 2n 5 − 7n 1 Lim 3 Lim 4.Lim 2n + 3 2n + 3 3 − 6n 2 2 4n − 1 n − n +1 5n 2 + 3n + 1 5 Lim 2 6.Lim 7 Lim 2 2n + n 2n 2 − n 7 n + 4n − 3 2 (2n − 1)(n + 2) 5n + 5n − 1 (n 2 + n)(2n − 1) 8 Lim 9 Lim 10 Lim 2n 2 − 3n + 1 (5n + 2)( n − 4) n3 + 3n − 1 11 Lim 2n n + 1 n2... XÉT : lim x = x0 từ đó ta có lim x = x0 , lim c = c với c là hằng số x → x0 x → x0 x → x0 BÀI TẬP Bài 1 : Tính giới hạn : 1) lim x x →1 2 2 2) lim( x + 1) x →2 lim 2 3) x→−1( x + 2 x + 1) Bài 2 : Tính các gới hạn sau : x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 2 1) lim 2) lim x →−1 x →−2 x +1 x+2 x −1 5) lim 2 6) x →1 x − 3 x + 2 Bài 3 : Tính giới hạn : 4) lim( x + 2 x + 1) x →1 −3 x 2 + 3 x + 6 x →−2 x+2 3) lim 4) lim... quả đồng khả năng xuất n( A) n( A) hiện Tỷ số gọi là xác suất của biến cố A ký hiệu là : P(A) P ( A) = n ( Ω) n (Ω ) n(A) là số phần tử của tập A ( Hay số kết quả thuận lợi cho biến cố A ) n(Ω) số kết quả có thể xảy ra của phép thử BÀI TẬP : 12 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 1>Gieo một con súc sắc hài lần , tính xác suất các biến cố sau : a/ Tổng của hai lần gieo bằng 6 chấm b/ Lần gieo đầu bằng 6 c/ Tích của... n=k+1 BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc vào N* n(3n + 1) 3n+1 − 3 1/ 2+5+8+…+(3n-1)= 2/ 3+9+27+…+3n = 2 2 2 2 n(4n − 1) n ( n + 1) 2 3/ 12+22+32+…+(2n-1)2= 4/ 13+23+33+…+m3= 3 4 n( n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 5/ 1+2+3+…+n= 6/ 22+42+…+(2n)2= 2 3 n n( n + 1)(2n + 1) 1 1 1 1 2 −1 7/ 12+22+32+…+n2= 8/ + + + + n = n 6 2 4 8 2 2 Bài 2... hết cho 3 3/ 11n+1+122n -1 chia hết cho 133 5/ 4n+15n-1 chia hết cho 9 7/ 32n+1+2n+2 chia hết cho 7 Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ N * ta có : 1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 2/ n3+3n2+5n chia hết cho 3 4/ 2n3 -3n2 +n chia hết cho 6 6/ 13n -1 chia hết cho 6 8/ 32n+2+26n+1 chia hết cho 11 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5 II> DÃY SỐ 1>Định nghĩa dãy số : u : N* → R * Hàm số u xác định trên tập số tự nhiên... gọi là chặn dưới tồn tại số thực m sao cho un ≥ m với mọi n thuộc vào N* BÀI TẬP Bài 1 : Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau n 2n − 1 n 1/ un = n 2 / un = n 3 / un = 2 +1 2 +1 n2 + 1 u1 = 1 u1 = 1  4/ 5 / u2 = 2 un = 2un −1 + 1 u = 2u + u n −1 n−2  n  u = 1  1  6 / u 2 = 2  2u + 1 un = n −1 un − 2   Bài 2 : Xét tính tăng , giảm của các dãy số sau : 1 n −1 2n + 1 1/ un = −... TÍCH 11 III>CẤP SỐ CỘNG 1>Định nghĩa : Một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn trong đó kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bắng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một số không đổi d (d gọi là công sai của câp số cộng ) un+1=un+d 2>Số hạng tổng qúat : Cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu là u1 thì số hạng tổng quá là : un=u1+(n-1)d n(u1 + un ) 3>Tính tổng của n số hạng đầu tiên : S n = 2 BÀI TậP Bài 1... = 3 / un = 4 / un = 3n 5 / un = ( n + 1) 2 2 3 Bài 2 : Cho dãy số : un=9-5n a/Viết 5 số hạng đầu của dãy số b/Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng ? Xác định số hạng đầu và công sai c/Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên Bài 3 : Tìm công sai và tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau : a/ (un) : 4,7,10,13,16,… b/ (un) : 1,6 ,11, 16,… Bài 4 : tính u1 và công sai d của cấp số cộng sau . số y=cotx a> ;Tập xác định { } /D R k π = b> ;Tập giá trị hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hồn với chu kỳ π BÀI TẬP Bài 1 :Tìm tập xác định hàm số sau : 2 2 2 2 2 cot 1/ cot(2. y=sinx a> ;Tập xác định D=R b> ;Tập giá trị : [ ] 1;1− c>Là hàm số lẻ . d>Hàm số tuần hồn vớichu kỳ 2 π Một số tính chất của hàm số y=cos a> ;Tập xác đònh D=R b> ;Tập giá trò :. hoàn thành cộng việc . BÀI TẬP II>HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP a>Hoán vị : Có tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ . Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là