Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của ph- ơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu . Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình. Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét A) Kiến thức cơ bản : 1) Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = 1 2 b x x a + = và P = 1 2 . c x x a = 2 ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 1 2 1, c x x a = = b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 1 2 1, c x x a = = 3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai : 2 0x Sx P + = B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao 1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) 2 13 40 0x x + = b) 2 5 7 1 0x x + + = c) 2 3 5 1 0x x + = Giải a) Theo hệ thức Vi - ét có S = 1 2 13 b x x a + = = P = 1 2 . 40 c x x a = = Vì P > 0 nên 2 nghiệm x 1 và x 2 cùng dấu S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng b) Theo hệ thức Vi ét có P = 1 2 1 . 0 5 c x x a = = > nên 2 nghiệm cùng dấu S = 1 2 7 0 5 b x x a + = = < nên 2 nghiệm cùng dấu âm 1 c) P = 1 2 1 . 0 3 c x x a = = < nên 2 nghiệm trái dấu S = 1 2 5 0 3 b x x a + = = < Bài tập 2 : Cho phơng trình 2 2 10 0x x m = (1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? Giải Ta có a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 với mọi m 0 Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = 2 1 2 ,x x m = < 0 . Do đó 1 x và 2 x trái dấu S = 1 2 10x x+ = nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn Bài tập 3: Cho phơng trình 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = (1) (với m là tham số) a) Giải phơng trình trên với m = 2 b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Tìm m để biểu thức 3 3 1 2 2 1 x x A x x = + ữ ữ đạt giá trị lớn nhất Giải : a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc 2 4 0 1 4.( 4) 17 0 x x = = = > Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1 17 2 1 17 2 x x + = = b)Xét 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1 2 4 4 2 4 ac m m m m m m m = + = + = + + = + Có 2 2 1 1 3 3 3 0 1 1 1 0 2 2 4 4 4 m m P P m + < ữ ữ Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Từ kết quả phần b có x 1 , x 2 0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x 1 , x 2 tính theo m và 3 1 2 2 1 ( ) 0;( ) 0 x x x x > < Đặt 3 1 2 ( ) x a x = Với a > 0 3 2 1 1 ( ) x x a = Có A = -a + 1 a mang giá trị âm 2 A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất Có A = a + 2 1 1a a a + = Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và 1 a ( vì a > 0 và 1 0 a > ) Có 1 1 ( ) : 2 . 1 ( ) : 2 1 1 2 a a a a a a a a + + + Vậy A 2 nên A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A 2 nên A có GTLN là - 2 2 2 2 1 * 2 2 1 2 . 1 2 2 1 0 2 1 0 ( 1) 0 1 A a a a a a a a a a a a a a = + = = = + = + = = = ( thoả mãn điều kiện a > 0 ) Với a = 1 thì 3 1 1 1 2 2 2 ( ) 1 1 x x x x x x = = = Theo kết quả 1 2 x x = có 1 2 2 2 0 b S x x x x a = + = + = = ( 1) 0 1 0 1 m m m = = = * Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2 2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm Bài tập 4: Cho phơng trình : 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: 3 a ) Ta có a = 1 > 0 2 2 2 2 2 ( 2) 1 7 ( ) 4 4 1 7 7 ( ) 0 2 4 4 c m m m m m m m = + = + = + + = < a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m Theo hệ thức Vi ét P = 2 1 2 . 2 0 c x x m m a = = + < do đó 2 nghiệm trái dấu b) Ta có 2 2 ( 1) 2( 2)m m m= + = 2 2 2 2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = + 2 2 4 5 2 4 11 3 3( 2 ) 3 3 3 9 9 m m m m = + = + + ữ 2 2 11 11 3( ) 3 3 3 m= + Vậy Min ( ) 2 2 1 2 11 3 x x + = khi m = 2 3 Bài tập 5: Cho phơng trình 2 2 2 ( 2) 7 0x m x m + + = Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia Giải : Ta có a = 2 > 0 Phong trình có 2 nghiệm trái dấu 2 7 0 7 7m m + < < < Với điều kiện này giả sử x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo đề ra ta có 2 2 2 1 1 2 2 1 7 1 ( ) 1 7 2 5 5 2 m x x x m m m x + = = = = = = Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện 7 7m < < ) Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia . Bài tập 6 : Xét phơng trình : 4 2 2 2( 2) 5 3 0x m m + + + = (1) với m là tham số 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt 2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là 1 2 3 4 , , ,x x x x . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x + + + Giải : 4 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x + = + 1) Đặt x 2 = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành 2 2 2 2( 2) 5 3 0y m y m + + + = (2) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ( 2) (5 3) 4 4 5 3 1 1 1 3 ( ) 2 . 2 4 4 1 3 ( ) 2 4 m m m m m m m m m m = + + = + + = + = + + = + Có 2 2 2 2 1 1 3 3 ( ) 0 ( ) 2 2 4 4 m m + nên , 0 Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi ét có 2 2 1 2 2( 2) 2( 2) 1 b m S y y m a + = + = = = + 2 1 2 . 5 3 c P y y m a = = = + Xét 2 5 3P m = + có 2 2 2 0 5 0 5 3 3m m m + nên P > 0 với mọi m Z 1 2 ,y y cùng dấu Xét 2 1 2 2( 2) b S y y m a = + = = + . Vì 2 2 2 0 2 2 2( 2) 4m m m + + nên S > 0 1 2 ,y y cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y 0) Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một . 2) Theo kết quả phần a có 1 2 3 4 , , , 0x x x x và 1 1 2 1 ,x y x y = = 3 2 4 2 ,x y x y = = 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) M y y y y = + + + 5 2 , 2 2 ( 2) (5 3)m m = + + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2( ) . y y y y y y y y y y y y y y = + + + = + + = + = Thay kết quả S và P vào M ta đợc 2 2 2 2 2.2( 2) 4( 2) 5 3 5 3 m m M m m + + = = + + Kết luận: 2 2 4( 2) 5 3 m M m + = + Bài tập 7: Cho phơng trình 2 2( 1) 0x m x m + + = ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m b) Trong trờng hợp m > 0 và 1 2 ,x x là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 1 2 1 2 1 2 3( ) 6x x x x A x x + + + = Giải: a) [ ] 2 , ( 1)m m = + 2 2 ( 1) 2 1 m m m m m = + = + + 2 2 1 1 1 3 2. . 2 4 4 m m m m = + + = + + + 2 1 3 ( ) 2 4 m = + + Vì 2 1 ( ) 0 2 m + nên 2 1 3 3 ( ) 2 4 4 m + + , 0 m Z > Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m b) 2 2 1 2 1 2 1 2 3( ) 6x x x x A x x + + + = Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi ét ta có 6 S = 1 2 2 2 b x x m a + = = + P = 1 2 . c x x m a = = Vì P = m > 0 nên 2 2 , 0x x biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị 1 2 ,x x 1 2 ,x x tính theo m 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3( ) 6 . x x x x x x x x A x x + + + + = = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 . 3( ) 6x x x x x x x x + + + Thay S và P vào biểu thức A ta đợc : 2 2 (2 2) 2 3(2 2) 6 4 8 4 2 3(2 2) 6 m m m A m m m m m m + + + = + + + + = 2 2 2 4 4 1 1 4( ) 4( ) 1 4( ) m m m m m m m m m + + = = = + = + Theo bất dẳng thức Cô Si vì 1 1 ( ) : 2 .m m m m + ( do m > 0và 1 0 m > ) 1 2. 1 1 2 1 4( ) 8 m m m m m m + + + Vậy biểu thức A có GTNN là 8 Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m = 1 m 2 1 1 m m = = Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0 m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0 Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8 Bài tập 8 : Xét phuơng trình mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số 7 a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 1 2 1 2 4x x x x + = b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ Giải a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm 0 0 m Xét 2 (2 1) 4 ( 2)m m m = 2 2 4 4 1 4 8 4 1 1 0 4 1 0 4 m m m m m m m + + = + + Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m 0 và m 1 4 Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có 1 2 1 2b m S x x a m = + = = 1 2 2 . c m P x x a m = = = Gọi 2 2 1 2 1 2 A x x x x = + 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 3 x x x x x x x x x x = + = + áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK 0 1 4 m m ) 2 1 2 2 ( ) 3 4 m m m m = 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 3 6 4 1 4 4 3 6 4 3 2 1 0 3 2 1 0 m m m m m m m m m m m m m m + = + + = + + = = Có a + b + c = 3 2 1 = 0 => m 1 = 1 ( thoả mãn điều kiện m 0 và m 1 4 ) m 2 = 1 3 ( không thoả mãn điều kiện m 0 và m 1 4 ) Vậy với m = 1 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm 1 2 ,x x thoả mãn 2 2 1 2 1 2 4x x x x + = 8 c) Gọi n * N ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m 0 ) d) Theo kết quả phần a ta có 2 2 4 1 4 ( 1) 1 4 4 1 (2 1)m n n n n n = + = + + = + + = + 0 vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi m 2 1 2 1n n = + = + ( do n > 0 ) 2 1 2 2 1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1 2 2 ( 1) 2 (2 1) 2 2 2(1 ) 2(1 )(1 ) 1 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) m n n n n n n x m n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + + = = = + + + = = = = + + + 2 2 2 1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1 2 2 ( 1) 2 ( 1) 2 4 2 ( 2) 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 n n n n n n n x m n n n n n n n n n n n n n n + = = = + + + + = = = + + + Vì n * N nên 1- n Z và n * N => 1 1 n x n = là phân số Q tử n +2 * N và n +1 * N => 2 2 1 n x n + = + là phân số Q Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ 3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết a) x + y = 11 và xy = 28 b) x y = 5 và xy = 66 Giải : a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phơng trình x 2 - 11x + 28 = 0 2 4b ac = = 121 112 = 9 > 0 3 = Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 11 3 11 3 7; 2 2 x x + = = = = 4 Vậy x = 7 thì y = 4 x = 4 thì y = 7 b) Ta có 5 ( ) 5 6 ( ) 66 x y x y xy x y = + = = = có x , y là nghiệm của phơng trình x 2 - 5x - 66 = 0 2 4b ac = = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 2 5 17 5 17 11; 6 2 2 x x + = = = = Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11 9 Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x 2 + y 2 = 25 và xy = 12 Giải : Ta có x 2 + y 2 = 25 <=> (x + y ) 2 - 2xy = 25 <=> (x + y ) 2 - 2.12 = 25 (x + y ) 2 = 49 <=> x +y = 7 * Trờng hợp x + y = 7 và xy =12 Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x 2 - 7x +12 = 0 2 4b ac = = 49 4.12 = 1 1 2 7 1 7 1 4; 3 2 2 x x + = = = = * Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12 Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x 2 +7x +12 = 0 Giải phơng trình ta đợc x 3 = -3 ; x 4 = - 4 các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4) 4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phơng trình x 2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm 1 2 ,x x a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3 3 3x x M x x x x + = + b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ? Giải a) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ( ) 2 1 3( 1) ( ) ( ) x x x x x x M x x x x x x x x + + = = + + Theo hệ thức Vi ét có 1 2 1 2 ; . 1S x x a P x x a = + = = = Vậy [ ] 2 3 2( 1) 1 3 ( 1)( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) a a a a a M a a a a + = = 2 2 3( 1) 3( 1) 3( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a = = = (ĐK : 0, 1a a ) b) Ta có 1 2 S x x a = + = (1) 1 2 . 1P x x a = = (2) Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có 1 2 1 2 1x x x x+ = , đây là biểu thức liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc vào a C) Các bài tập t ơng tự Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) x 2 - 6x +8 = 0 b) 11 x 2 +13x -24 =0 c) 2 x 2 - 6x + 7 = 0 Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình a) 7 x 2 + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu b) 12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu c) x 2 - ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 10 [...]... bậc 2 ẩn x : (1) x 2 2(m 1) x + 2m 2 3m + 1 = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1 = Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình , chứng minh b) rằng x1 + x2 + x1 x2 8 8 Hớng dẫn giải: a) Phơng trình (1) có nghiệm , = ( m 1) 2 (2m2 3m + 1) 0 11 m 2 m 0 m(m 1) 0 m 0 hoặc m 1 0 0 m 1 c) Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có S = x1 + x2 = 2(m 1) P = x1.x2 = 2m 2 ... khi đó có 2 nghiệm là x1 , x2 Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức 2 3 x12 + 5 x1 x2 + 3 x2 A= 3 3 x1 x2 + x1 x2 Hớng dẫn giải: a) Với m = 5 phơng trình trở thành x 2 -5x +1 = 0 = 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = (5 + 21) , x2 = 5 21 2 2 b)Với m = 5 , ta có phơng trình bậc hai : x 5 x + 1 = 0 Theo hệ thức Vi ét : S = x1 + x2 = 5 và P = x1.x2 = 1 2 2 3 x12 + 5 x1 x2 + 3... nghiệm của phơng trình) Hớng dẫn giải: 5 1 1 Theo định lý Vi ét ta có x1 + x2 = ; x1 x2 = x1 x2 = 2 2 2 Ta có A = x1 x2 + x2 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 ) Nếu S = x1 + x2 S 2 = x1 + x2 + 2 x1 x2 = 5 + 2 S = 5 + 2 2 2 Do đó A = x1 x2 + x2 = 1 2 5 +2 2 1 = 2 2 2 x1 5+2 2 Bài tập 8 : a) Xác định m để phơng trình 2 x 2 + 2mx + m 2 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt b) Gọi 2 nghiệm là x 1 , x 2 , Tìm GTNN của biểu thức. .. x2 = m 2 2 Do đó ta có A = 2 x1 x2 + x1 + x2 4 = (m + 2)(m 3) Vì m [ 2; 2 ] nên (m + 2)(m - 3) 0 1 25 25 Khi đó A = (m + 2)(3 m) = m 2 + m + 6 = (m ) 2 + 2 4 4 Vậy GTNN của A là 25 khi và chỉ khi m = 2 4 Bài tập 9 : 1) Chứng tỏ rằng phơng trình x 2 4 x +1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 2 Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x12 và x2 2) Tìm mđể phơng trình x 2 2mx + 2m 3 = 0 có hai nghiệm... phơng trình có 2 nghiệm dơng Bài tập 10 : Xét phơng trình mx 2 + (2m 1) x + m 2 = 0 vói m là tham số a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x 1 , x 2 thoả mãn x12 + x22 x1 x2 4 b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm hữu tỉ Đồng Hới, ngày 25 tháng 10 năm 2009 13 14 . trình tính tổng và tích 2 nghiệm của ph- ơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ. kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình. Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì. trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan