Chương 6: Bài toán dạng chính tắc, bài toán dạng mở rộng,Hãy trình bày phương pháp quy hoạch số nguyên I- Quy hoạch tuyến tính: 1. Đặt bài toán: Một nhà máy điện có thể dùng 4 loại than để sản xuất điện. Bi ết - lượng điện năng yêu cầu hàng năm của nhà máy :A[MWh] - su ất tiêu hao than của loại than thứ i là q i - Giá thành sản xuất điện năng của loại than i là c i [đ/MWh] (i=1,2,3,4) - Lượng than loại i cung cấp hàng năm để sản xuất điện không được vượt quá Q i - Tổng lượng than của cả 4 loại cung cấp hàng năm để sản xuất điện không được vượt quá Q ∑ Cần xác định lượng điện năng được sản xuất hàng năm từ từng loại than để đạt cực tiểu về chi phí sản xuất điện năng. 2. Lời giải: Nếu gọi lượng điện năng được sản xuất hàng năm từ loại than thứ i là x i [MWh] (i=1,2,3,4) bài toán có thể đượ c trình bày như sau: - Xác định X= {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } sao cho: f(X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4  min - Với các ràng buộc: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = A q 1 x 1 + q 2 x 2 + q 3 x 3 + q 4 x 4  Q  q 1 x 1  Q 1 q 2 x 2  Q 2 q 3 x 3  Q 3 q 4 x 4  Q 4 x i  0 (i=1,2,3,4) 3. Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính: A- Dạng tổng quát j= 1, n Tìm X={x i } thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Trong đó: - f(X) là hàm mục tiêu - x j là các ẩn - c j , a ij , b i là những hằng số tự do B- Dạng chính tắc: Tìm X= {x j }, j=1, ,n thỏa mãn đồng thời các điều ki ện sau 3) xj ≥ 0 ; bi ≥ 0 trong đó c j , a ij , b i là các hằng số tự do min(max)f(X)1) 1    n j jj xc ),1();;()()2 1 mibxaXg i n j jiji    n j j j 1 1) f(X) = c x min(max)    n ij j i j 1 2) gi(X) = a x b (i 1,m)     Người ta có thể đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc nếu gặp các trường hợp sau: 1- Thêm vào vế trái phương trình một lượng ẩn x n+i > 0, ta có: 2- , b ớt vào vế trái của phương trình một lượng ẩn x n+i > 0, ta có: 3- Trường hợp x j ≤ 0 th ì đ ặt t j = - x j ≥ 0 4- Trường hợp không biết dấu của ẩn x j thì đặt x j = x j1 - x j2 trong đ ó x j1  0; x j2  0 Bài toán d ạng tổng quát sẽ trở thành bài toán dạng chính t ắc C- Dạng chuẩn tắc: là bài toán có dạng sau: T ìm X= {x j }, j= 1, ,n thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1- F(X)= 2- G i (X)= 3- x j ≥0; b i ≥0 Ma trận hệ số của hệ phư ng trình ràng buộc có dạng sau: 1 0 0 0 a1,m+1 a1,m+2 a1,n n ij j i j 1 a x b    iin n 1j jiji n 1j jij b)x(xabxa     n ij j i j 1 a x b    iin n 1j jiji n 1j jij b)x(xabxa     n j j j 1 c x min(max)    )m,1i(;bxax i mn 1h hmhm,ii      0 1 0 0 a2,m+1 a2,m+2 a2,n 0 0 1 0 a3,m+1 a3,m+2 a3,n 0 0 0 1 am,m+1 am,m+2 am,n Như vậy có thể suy ra cách nhận biết dạng chuẩn tắc là ma tr ận hệ số của hệ phương trình ràng buộc kiểu m x n phải có ch ứa ma trận đơn vị c ấp m. Ví dụ: xét bài toán sau có phải dạng chuẩn không? Cho f(X) = 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + x 4 - 5x 5  min V ới các điều kiện ràng buộc như sau: 1) x 1 + 2x 2 + 4x 3 - 3x 5 = 152 2) 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 60 3) 3x 2 + 4x 5 + x 6 = 36 Với x j  0 (j=1 6) Ma tr ận hệ số của hệ phương trình trên như sau: Cột 1, 4, 5 tạo nên ma trận đơn vị cấp 3 nên bài toán ở dạng chu ẩn tắc. Các ẩn tạo nên ma trận cấp 3 l à x 1 , x 4 , x 6 , và ta g ọi là các ẩn cơ bản. n ếu có một phương án sao cho các ẩn không cơ bản đều bằng 0 t ức là nếu g ọi x i =b i (i=1,2 ,m) làm ẩn cơ bản v à x i =0 (i=m+1, ,n) là các ẩn không cơ bản thì ta sẽ có một phương án cơ b ản như sau: Xcb = {b1, b2, b3, , bm, 0, 0, ,0} Qui hoạch số nguyên 1 2 4 0 3 0 0 4 2 1 3 0 0 3 0 0 4 1            Nội dung chủ yếu của thuật toán Gamory để giải bài toán quy ho ạch tuyến tính sao cho giá trị giá trị lời giải là tối ưu là những số nguyên. Đây cũng l à nội dung chủ yếu của QH số nguyên: Gồm những bước tổng quát sau: Bước 1: Xác định lời giải tối ưu của bài tóan chưa quan tâm đến điều kiện số nguy ên của lời giải, nếu 1 cách chứa dạt thì chuyển sang bước sau. Bước 2: Xây dựng thêm ràng buộc phụ thuộc nhằm mục đích hạn chế tập giá trị cho phép của lời giải, tuy nhiên không làm mất những giá trị lời giải số nguyên. Bước 3: Giải bài toán đã có thêm ràng buộc phụ đó, là kiểm tra điều kiện số nguy ên của lời giải để kết thúc quá trình, hoặc phải lặp lại bước 2. Ta tìm hiểu nội dung của bước 2 và 3 của thuật toán Gamory: 1. Thành lập phương trình ràng buộc phụ: - Giả thiết bài toán QHTT đã được giải bằng thuật toán đơn hình, ở bước cuối cùng đã xác định được giá trị tối ưu của m ẩn cơ bản: x 1 , x 2 , …x m nhưng chưa là số nguyên. Khi đó hệ phương tr ình ràng buộc có dạng sau:           mnmnkmkmmmmm nnkkmm nnkkmm bxaxaxaxaxa bxaxaxaxaxa bxaxaxaxaxa 2211 2222222121 1111212111 những hệ số của x1, x2, xm ở hệ trên tạo thành ma trận đơn vị cấp m. Điều kiện số nguyên của lời giải chưa thoả mãn, thể hiện ở chỗ các giá trị b1 bm chưa là những số nguyên. Phương trình ràng buộc phụ theo qui tắc sau đây: a. Phân tích:           mmm rnb rnb rnb 222 111 Trong đó ni là phần nguyên (0,1,2 ) của bi : i = 1,2, , m nhưng phải đảm bảo: ni  bi; i = 1, 2, , m . ri là phần lẻ của bi ; i = 1, 2, , m, nghĩa là: 0  ri < 1 b. Sau khi xác định mọi giá trị ni và ri , i = 1, 2, m chọn phương tr ình ràng buộc ứng với ri cực đại để tạo ràng buộc phụ. c. Phân tích các hệ số ap1, ap2,, , apm , , apn thành 1 1 1 2 2 2 p p p p p p pn pn pn a n r a n r a n r              Trong đó npj ; j = 1, 2, , n là phần nguyên (âm, số 0 và dương) của apj và thoả mãn: n pj  a pj r pj ; j =1, 2, , n là phần lẻ của a pj , nghĩa là: 0  r pj < 1 d. Thành l ập phương trình ràng buộc phụ với ẩn s1 thêm vào trong d ạng : - r p1 x 1 - r p2 x 2 - - r pn x n + s 1 = - r p Như vậy bài toán qui hoạch tuyến tính giải theo thuật toán đơn hình ở bước này có (m + 1) ẩn cơ bản là x 1 , x 2 , , x m và s 1 . Bây gi ờ cần chuyển sang bước tiếp theo, trong đó ẩn cần loại ra chính là s 1 và chỉ cần xác định ẩn sẽ đưa vào trong bước mới. 2. Giải bài toán khi có ràng buộc phụ. a. Ghi các giá trị âm của các hệ số -rpj ở hàng ứng với hàng s1 và ứng với j  0. b. Xác định các tỷ số: nj r pj j , ,2,1;   c. Lấy cực tiểu của giá trị tuyệt đối: nj r pj j , ,2,1  d. Cột nào ứng với min: nj r pj j , ,2,1  thì ẩn đó sẽ được đưa vào hệ ẩn cơ bản ở bước tiếp theo e. Theo thuật toán đơn hình. Giải tiếp cho đến khi mọi lời giải đều là số nguyên. Ví d ụ: Xác định  x1, x2 là những giá trị nguyên, không âm, sao cho f(x) = -x1 - 2x2  min và: - 3x1 + 4x2  6 4x1 + 3x2  12 . Chương 6: Bài toán dạng chính tắc, bài toán dạng mở rộng,Hãy trình bày phương pháp quy hoạch số nguyên I- Quy hoạch tuyến tính: 1. Đặt bài toán: Một nhà. + 4x 3 - 3x 5 = 152 2) 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 60 3) 3x 2 + 4x 5 + x 6 = 36 Với x j  0 (j=1 6) Ma tr ận hệ số của hệ phương trình trên như sau: Cột 1, 4, 5 tạo nên ma trận đơn. ,n thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1- F(X)= 2- G i (X)= 3- x j ≥0; b i ≥0 Ma trận hệ số của hệ phư ng trình ràng buộc có dạng sau: 1 0 0 0 a1,m+1 a1,m+2 a1,n n ij j i j 1 a x b    iin n 1j jiji n 1j jij b)x(xabxa