Chương 5: Phương pháp qui hoạch xấp xỉ giải qui hoạch phi tuyến Bài toán qui hoạch tổng quát thường là bài toán qui hoạch phi tuyến. Chỉ cần một trong các hàm { f(X) → min (max) } hoặc { g i (X) (≤,=,≥) b i (i = 1,2,…,m) } là các hàm phi tuyến thì bài toán qui ho ạch tổng quát sẽ là bài toán qui hoạch phi tuyến. Để giải bài toán qui ho ạch phi tuyến người ta thường áp dụng một trong các phương pháp là: tuyến tính hóa, đưa về b ài toán qui hoạch phi tuyến không ràng buộc, giải trực tiếp, qui hoạch động v.v… Phương pháp tuyến tính hoá ( qui hoạch xấp xỉ ) Xác định tập giá trị các biến: X = {x 1 , x 2 ,… x n } Sao cho hàm f(x j ) → max (min) j = 1,2,…,n Đồng thời thỏa mãn các điều kiện: h i (X) = 0 (i = 1,2,…,m 1 ) g i (X) ≥ 0 (i = 1,2,…,m 2 ) trong đó, trong trường hợp tổng quát, các hàm f(x), h i (x), g i (x) đều là hàm phi tuyến. x j  X  R n . Ta khai tri ển các hàm trên theo chuỗi Taylor và chỉ lấy đến hàm b ậc nhất. Như vậy, ở bước lặp thứ k ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )( ) min ( ) ( ) ' ( )( ) 0 ( ) ( ) ' ( )( ) 0 k k k i i k k k i i xi i i k k k i i xi i i f X f X f X x x h X h X h X x x g X g X g X x x                       (1) trong đó x i (k) là giá trị x i tại bước lặp thứ k. Còn X (k) là vectơ X tại bước lặp thứ k. Như vậy ta đ ã đưa bài toán qui hoạch phi tuyến thành bài toán qui ho ạch tuyến tính. Giải hệ phương trình (1) bằng phương pháp lặp như sau: Bước 1: + Chọn tập nghiệm ban đầu X (0) . + Tính các giá tr ị f(X (0) ), h i (X (0) ), g i (X (0) ). + L ấy các đạo hàm f’(X), h i ’(X), g i ’(X) và tính giá trị của chúng theo X (0) : f’(X (0) ), h i ’(X (0) ), g i ’(X (0) ). + L ập bài toán qui hoạch tuyến tính (1). Bước 2: + Giải bài toán qui hoạch tuyến tính (1) được X (1) . + Ch ọn vectơ δ tùy ý + so sánh gi ữa các thành phần thứ i của hai vectơ (X (0) ) và (X (1) ). - n ếu x i (1) > x i (0) thì xác định được x i (1) = x i (0) + δ (1) . - n ếu x i (1) < x i (0) thì xác định được x i (1) = x i (0) - δ (1) . Trong đó δ (1) là độ dài bước lặp thứ 1 (0 < δ (1) < 1) Ở những bước lặp khác ta có: δ (k+1) = μ δ (k) (0 < μ < 1) Điều kiện tối ưu là khi nào δ ≤ ε th ì coi như bài toán hội tụ theo tiêu chuẩn đã đề ra. (lý thuyết thế này là đủ nhưng có thể tham khảo thêm ví dụ trang 112 sách Quy Hoạch Phát Triển HTĐ của thầy Tráng) Sơ đồ khối: Ưu điểm: - Thuật toán đơn giản, giải đơn giản (vì có chương trình mẫu) - Nói chung là hội tụ Nhược điểm: - Tốc độ tính toán chậm, không dùng cho hệ thống điện lớn Vào f(X), h(X), g(X) Chọn X (0) , δ (1) và μ Tính f(X (k) ), h i (X (k) ), g i (X (k) ) f’(X (k) ), h i ’(X (k) ), g i ’(X (k) ) Lập ptr (1) Giải (1) để tìm X ( k+1) x i (k+1) > x i (k) i = 1,2,…n x i (k+1) = x i (k) + δ ( k+ 1) x i (k+1) = x i (k) - δ ( k+ 1) δ ≤ ε In gtrị của X; STOP δ = μδ Chương 6: Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn – Tucker gi ải quy hoạch phi tuyến. 1, Bài toán Lagrange dạng chính tắc: Phương pháp Lagrange là phương pháp kinh điển giải b ài toán quy ho ạch phi tuyến khi có ràng buộc dạng đẳng thức và bất đẳng thức để xác định cực trị có điều kiện (cực trị vướng )của h àm có nhi ều biến và khi hàm đó liên tục cùng đạo hàm riêng bậc nhất của nó. + Xét bài toán dạng chính tắc: Xác định 1 2 n X {x ,x , ,x }  sao cho: 1 2 n f(x ,x , ,x ) min  với các ràng buộc :   i h (X) 0 i 1,2, ,m   Áp dụng phương pháp đối ngẫu Lagrange: từ bài toán tối ưu đang xét (bài toán gốc) xây dựng một bài toán tối ưu khác (bài toán đối ngẫu) sao cho giữa các bài toán này có liên quan chặt chẽ (VD:từ nghiệm của bài toán này có thể suy ra nghiệm của bài toán kia). Cụ thể: Xác định 1 2 n X {x ,x , ,x }  sao cho: m 1 2 n 1 1 m 1 2 n 1 i 1 2 n i 1 L(x ,x , ,x ; , , , ) f(x ,x , ,x ) .h (x ,x , .,x ) min          Trong đó: L – hàm Lagrange.  - nhân tử Lagrange. Lấy đạo hàm riêng của L theo xj và i  rồi cho bằng 0 ta được hệ phươn g trình Lagrange:     m i i i 1 j j j f X h X L 0 x x x               j 1,2, ,n    i 1 1 n i L h x ,x , ,x 0       i 1,2, ,m   xác định hệ (1) Nếu ở điểm * * * * 1 2 n X {x ,x , ,x }  hàm * * * 1 2 n f{x ,x , ,x } đạt cực trị thì tồn tại vectơ * * * * 1 2 m { , , , }      sao cho điểm * * * * * * 1 2 n 1 2 m {x ,x , ,x ; , , , }    là lời giải của hệ trên. Hệ có (n+m) phương trình, giải ra được n ẩn xj và m ẩn i  . Để xác định cực đại hoặc cực tiểu phải khảo sát giá trị hàm bậc 2 c ủa L(X) hoặc f(X). 1, Bài toán Lagrange dạng mở rộng: Là bài toán mà trong hệ ràng buộc có tồn tại cả các bất phương tr ình được giải theo phương pháp dựa trên định lý Kuhn- Tucker (định lý về điểm yên ngựa). Giả thiết cần xác định 1 2 n X {x ,x , ,x }  sao cho: 1 2 n f(x ,x , ,x ) min  và thỏa mãn các ràng buộc i 1 2 n 1 h (x ,x , ,x ) 0;i 1,2, ,m   i 1 2 n 1 g (x ,x , ,x ) 0;i m 1, ,m    xj 0; j 1,2, ,n    xác định hệ (2) Chú ý: Trường hợp cần làm max hàm f(X) thì nhân f(X) với (-1) để thành (-f(X))min hoặc khi có i g (X) 0  thì nhân i g (X) với ( -1) để có ràng buộc i g (X) 0  Hàm Lagrange có dạng:   1 1 m m 1 2 n i i 1 2 n i i 1 2 n i 1 i m 1 L X, f(x ,x , ,x ) .h (x ,x , ,x ) .g (x ,x , ,x ) min             Vì i g (X) không đồng nhất bằng không nên không thể lấy đạo hàm hàm   L X,  và cho bằng không như trước đây. Giả thiết f(X) và i g (X) liên tục, khả vi và tạo thành tập hợp lồi thì ta có thể sử dụng định lý Kuhn-Tucker để giải bài toán này. N ội dung: Điểm L trên mặt cong   L X,  là min theo X và max theo     x  m( x  ,   L( x ,    x L Định lý: Vectơ * X chỉ là lời giải tối ưu của bài toán (2) khi tồn tại véctơ *  sao cho: Giá tr ị của điểm       * * * * L X , L X , L X ,        * * L X ,  là điểm yên ngựa của hàm   L X,  . . Chương 5: Phương pháp qui hoạch xấp xỉ giải qui hoạch phi tuyến Bài toán qui hoạch tổng quát thường là bài toán qui hoạch phi tuyến. Chỉ cần một trong các. có thể tham khảo thêm ví dụ trang 112 sách Quy Hoạch Phát Triển HTĐ của thầy Tráng) Sơ đồ khối: Ưu điểm: - Thuật toán đơn giản, giải đơn giản (vì có chương trình mẫu) - Nói chung là hội tụ Nhược. = μδ Chương 6: Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn – Tucker gi ải quy hoạch phi tuyến. 1, Bài toán Lagrange dạng chính tắc: Phương pháp Lagrange là phương pháp kinh điển giải b ài toán quy ho ạch