Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm KIẾN THỨC GIẢI TÍCH ƠN TẬP THI TN THPT I/- Nhắc lại một số kiến thức liên quan: 1/- CƠNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình bậc hai dạng: 2 0ax bx c+ + = Phương trình 2 0ax bx c+ + = Tính theo 2 4b ac∆ = − Tính theo 2 ' ( ')b ac∆ = − Nếu Kết luận Kết luận 0∆ < Pt vơ nghiệm ' 0∆ < Pt vơ nghiệm 0 ∆ = Pt co nghiệm kép: 1 2 2 b x x a = = − ' 0 ∆ = Pt co nghiệm kép: 1 2 'b x x a = = − 0 ∆ > Pt có hai nghiệm phân biệt: 1 2 b x a − + ∆ = , 2 2 b x a − − ∆ = ' 0 ∆ > Pt có hai nghiệm phân biệt: 1 ' 'b x a − + ∆ = , 2 ' 'b x a − − ∆ = 2/- DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT: f(x) = ax + b, (a ≠ 0) x -∞ b a − +∞ f(x) trái dấu a 0 cùng dấu a 3/- DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI: f(x) = ax 2 + bx + c, (a ≠ 0) + Nếu 0 ∆ < thì f(x) cùng dấu với hệ số a, x ∀ + Nếu 0 ∆ = thì f(x) cùng dấu với hệ số a, 2 b x a − ∀ ≠ + Nếu 0∆ > , giả sử pt f(x) = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) thì x -∞ x 1 x 2 +∞ f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a II/- ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/- SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định lý: Xét hàm số y = f(x) xác định trên K + HS đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K + HS nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K * QUY TẮC: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số  Tìm TXĐ của hàm số  Tính y’ và giải pt y’ = 0 (tìm các điểm làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)  Lập bảng biến thiên (phải sắp các nghiệm theo thứ tự từ bé đến lớn từ trái sang phải)  Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng f(x) > 0 và nghịch biến trên khoảng f(x) < 0. 2/- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x 0 ∈ (a; b) a) Dấu hiệu 1: 0 0 0 0 0 '( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; ) a) là điểm cực đại của f(x) f x x x h x x f x x x x h > ∀ ∈ −  ⇒  < ∀ ∈ +  0 0 0 0 0 '( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; ) b) là điểm cực tiểu của f(x) f x x x h x x f x x x x h < ∀ ∈ −  ⇒  > ∀ ∈ +  Ghi nhớ: Trên khoảng (a; b), x 0 ∈ (a; b) - Khi đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x 0 là điểm cực đại - Khi đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì x 0 là điểm cực tiểu * QUY TẮC1:  Tìm TXĐ của hàm số  Tính y’, và giải pt y’ = 0 (tìm các điểm làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)  Lập bảng biến thiên  Kết luận b) Dấu hiệu 2: baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 1 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 a) là điểm cực đại của f(x) f x x f x =  ⇒  <  0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 b) là điểm cực tiểu của f(x) f x x f x =  ⇒  >  * QUY TẮC2:  Tính y’, y”  Giải pt y’ = 0. Giả sử có các nghiệm x i  Tính y”(x i ), so sánh các kết quả đó với 0  Kết luận 3/- GTLN, GTNN CỦA HÀM HÀM SỐ a) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]  Tính y’  Giải pt y’ = 0 (tìm các điểm x i ∈ [a; b] làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)  Tính các giá trị f(a); f(b); f(x i ), i = 1; 2; ;n  Kết luận: { } 1 2 ; ( ) max ( ); ( ); ( ), ( ), ( ) [ ] n a b Max f x f a f b f x f x f x= { } 1 2 ; ( ) min ( ); ( ); ( ), ( ), ( ) [ ] n a b Min f x f a f b f x f x f x= b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng (a; b): - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (a; b). - Nếu hàm số đạt một cực đại (hoặc cực tiểu) tại x 0 ∈ (a; b) thì kết luận f(x 0 ) là tgln (hoặc gtnn) 4/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: (C): y = f(x) a) Đt x = x 0 là TCĐ của (C) ⇔ 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x x x x x y y y y + + − − → → → → = +∞    = −∞   = +∞   = +∞   b) Đt y = y 0 là TCN của (C) ⇔ 0 0 lim lim x x y y y y →−∞ →+∞ =   =    Một số lưu ý khi tính giới hạn: 3 2 , 0 lim ( ) 0 nếu 1) + ,nếu x a ax bx cx d a →−∞ −∞ >  + + + =  ∞ <  3 2 , 0 lim ( ) 0 nếu 2) ,nếu x a ax bx cx d a →+∞ +∞ >  + + + =  −∞ <  4 2 , 0 lim ( ) 0 nếu 3) ,nếu x a ax bx c a →±∞ +∞ >  + + =  −∞ <  4) Để tính 0 0 lim ; lim x x x x ax b ax b cx d cx d + − → → + + + + , ta cần nhớ thực hiện như bảng sau 0 lim ( ) x x f x + → 0 lim ( ) x x g x + → Dấu của g(x) 0 ( ) lim ( ) x x f x g x + → L>0 0 + +∞ - -∞ L<0 0 + -∞ - +∞ 5/- SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỊ THỊ CỦA HÀM SỐ, ta thực hiện đầy đủ các bước  Tìm TXĐ  Sự biến thiên + Chiều biến thiên: - Tính y’ - Tìm các nghiệm của pt y’= 0 hoặc các điểm làm y’ khơng xác định - Kết luận chiều biến thiên ( nhờ dấu của y’) + Cực trị: + Giới hạn + Tiệm cận (nếu có) + Bảng biến thiên  Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã biết trên như: cực trị, tiệm cận, điểm đặc biệt để vẽ  Lưu ý: + Muốn vẽ chính xác đồ thị, ta cần tìm tính thêm toạ độ vài điểm, đặc biệt là các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 2 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm + Tính chất đối xứng của đồ thị: - Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng nhau qua qua điểm có hồnh độ là nghiệm của pt y” = 0 (điểm uốn) - Đồ thị hàm bậc 4 ln đối xứng nhau trục Oy. - Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng nhau qua tâm đối xứng (là giao của hai đường tiệm cận, toạ độ ( ; ) d a I c c − ) Bảng biến thiên và đồ thị của các đồ thị hàm số bậc 3, bậc 4, hàm số nhất biến 1. Hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d, (a ≠ 0) ♣ TXĐ: D = R ♣ Đạo hàm: 2 ' 3 2y ax bx c= + + ♣ Giới hạn: + Nếu a > 0: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ + Nếu a < 0: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ Số nghiệm y’ = 0 Bảng biến thiên Dạng đồ thị 2 nghiệm a>0 CĐ CT f( x 1 ) f( x 1 ) + ∞ - ∞ - + + 0 0 x 2 x 1 + ∞ - ∞ y y' x x y O 1 a<0 CĐ CT f( x 2 ) f( x 1 ) + ∞ - ∞ - - + 0 0 x 2 x 1 + ∞ - ∞ y y' x x y O 1 1 nghiệm a>0 + ∞ - ∞ + + 0 x 0 - ∞ + ∞ x y' y x y O 1 a<0 + ∞ - ∞ - - 0 x 0 - ∞ + ∞ x y' y x y O 1 Vơ nghiệm a>0 + ∞ - ∞ + - ∞ + ∞ x y' y x y 1 baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 3 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm a<0 + ∞ - ∞ - - ∞ + ∞ x y' y x y 1 2. Hàm bậc bốn: y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) ♣ TXĐ: D = R ♣ Đạo hàm: y’ = 4ax 3 + 2bx ♣ Giới hạn: + Nếu a > 0: lim ; x y →±∞ = +∞ + Nếu a < 0: lim ; x y →±∞ = −∞ Số nghiệm y’ = 0 Bảng biến thiên Dạng đồ thị 3 nghiệm a>0 CT f( x 3 ) + ∞ + 0 x 3 CĐ CT f( x 2 ) f( x 1 ) + ∞ - - + 0 0 x 2 x 1 + ∞ - ∞ y y' x x y 1 a<0 CĐ f( x 3 ) - ∞ + 0 x 3 CĐ CT f( x 2 ) f( x 1 ) - ∞ - - + 0 0 x 2 x 1 + ∞ - ∞ y y' x x y 1 1 nghiệm a>0 + ∞ x 0 CT + + ∞ - - ∞ + ∞ x y' y 0 x y a<0 - ∞ - ∞ x 0 + - - ∞ + ∞ x y' y CĐ 0 x y 3. Hàm nhất biến: ;( 0, 0) ax b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + ♣ TXĐ: \{ } d D R c = − ♣ Đạo hàm: 2 ' ( ) ad bc y cx d − = + baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 4 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm ♣ Giới hạn: lim x a y c →±∞ = ; 0 lim x x y ± → ±∞  =  ∞  m ♣ Tiệm cận: + Đường thẳng a y c = là đường tiệm cận ngang + Đường thẳng d x c = − là đường tiệm cận đứng Dấu đạo hàm Bảng biến thiên Dạng đồ thị Nếu ad - bc > 0 -d c a c a c + ∞ - ∞ + + + ∞ - ∞ y y' x x y B O A 1 Nếu ad - bc < 0 -d c a c a c + ∞ - ∞ - - + ∞ - ∞ y y' x x y B O A 1  Lưu ý: - khi tính giới hạn, ta phải nhớ tính đủ 4 loại giới hạn: lim x a y c →±∞ = ; lim ; lim ; o o x x x x y y + − → → +∞ −∞   = =   −∞ +∞   - Ở bước tiệm cận cần ghi nhớ: đt d x c = − là TCĐ, đt a y c = là TCN. 4. Một số dạng tốn liên quan thường gặp: 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) a) Dạng 1: Tại điểm M o (x o ; y o ) ∈ (C): Cách giải: + Tính f’(x o ) + Pt tiếp tuyến cần tìm có dạng: y - y o = f’(x o ).(x - (1) b) Dạng 2: Biết hồnh độ x o hoặc tung độ y o của điểm M o Cách giải: + Tính yếu tố còn lại của điểm M o + Tính f’(x o ) + Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1) c) Dạng 3: Biết hệ số góc k Cách giải: + Giải pt f’(x o ) = k. Suy ra nghiệm x o ⇒ y o + Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1) d) Dạng 4: Biết tiếp tuyến cần tìm song song với một đường thẳng cho trước Cách giải: + Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k. Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho + Các bước còn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg) e) Dạng 5: Biết tiếp tuyến cần tìm vng góc với một đường thẳng cho trước Cách giải: + Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k. Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho + Các bước còn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg) Lưu ý: + Đường thẳng có dạng y = ax + b thì hsg là a. + Hai đường thẳng song song ln có hệ số góc bằng nhau, + Hai đường thẳng vng góc có tích hệ số góc ln bằng -1 2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt bằng đồ thị baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 5 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C), Ta thực hiện như sau: + B1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m,x) ( Chú ý: đồ thị của g(m, x) là thườngmột đường thẳng song song với trục Ox_ khuyết biến x) + B2: Lập luận: số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng g(m,x) + B3: Dùng đồ thị, biện luận các trường hợp cắt nhau của hai đồ thị + B4: Kết luận(Thường ta kết hợp bước này với B3 )  Lưu ý: Ngồi ra, ta còn gặp dạng bài tập: tìm giá trị của tham số m để phương trình có n nghiệm (n =1, 2, 3, 4), về phương pháp giải cũng tương tự như bài tốn trên, nhưng ta chỉ tìm ở trường hợp xảy ra n nghiệm mà thơi (nghĩa là khơng biện luận hết các trường hợp có nghiệm). 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục hồnh, các đường thẳng x = a; x =b ( có thể khơng nhất thiết phải là trục hồnh mà là đường thẳng y = ax + b ) Cách giải: + Quan sát hình vẽ, xác định hình phẳng + Lập cơng thức tính diện tích ( xem lại phần ứng dụng của tích phân) + Dùng hình vẽ khử dấu trị tuyệt đối, rồi tính tích phân  Cũng có thể khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất khơng đổi dấu của hàm số trong dấu tích phân trên đoạn cần tính. Tức là, nếu trên đoạn [a; b], f(x) có dấu khơng đổi ( đồ thị ln nằm trên trục Ox hoặc ln nằm dưới Ox ) thì ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx = ∫ ∫ III/- HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ LƠGARIT - PT, BPT MŨ VÀ LƠGARIT 1.Luỹ thừa ♦ . thừa số a n n a a a a= 1 2 3 ♦ 0 1 ; 1,( 0) n n a a a a − = = ≠ ♦ m n m n a a= * Các tính chất của luỹ thừa: Cho a>0, b>0, , α β ∈¡ ♦ .a a a α β α β + = ♦ a a a α αβ β − = ♦ ( ) .ab a b α α α = ♦ ( ) a a b b α α α = ♦ ( ) a a β α αβ = ♦ Nếu 1 α > thì a a α β α β > ⇔ > ♦ Nếu 0 1 α < < thì a a α β α β > ⇔ < 2. Lơgarit • Định nghĩa: log x a x b a b= ⇔ = , (với a>0, a ≠ 1, b>0) • Tính chất log a 1 = 0 log a (a b )= b log a a = 1 log a b a b= • Các quy tăc tính lơgarit: ♣ Với các số dương a, b 1 , b 2 và a ≠ 1. Ta có • 1 2 1 2 log ( ) log log a a a b b b b= + • 1 1 2 2 log log log a a a b b b b = − • 1 log log a a b b = − ♣ Với các số dương a, b và a ≠ 1, n ∈ N*, α ∈ R. Ta có • log log a a b b α α = • 1 log log n a a b b n = ♣ Với a, b, c dương và a ≠ 1, c ≠ 1. Ta có • log log log c a c b b a = • 1 log ,( 1) log a b b b a = ≠ • 1 log log a a b b α α = • log log a a b b α β β α = • Lơgarit thập phân và lơgarit tự nhiên 10 log lg log ;ln log e x x x x x= = = Lưu ý: logarit thập phân và lơgarit tự nhiên, có các tính chất như lơgarit cơ số a 3. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit Hàm số TXĐ Tính chất Đạo hàm baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 6 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm Hs luỹ thừa y x α = ,α ∈ R • Nếu α>0, hàm số ĐB D= R nếu α ngun dương • Nếu α>0, hàm số ĐB D = R\{0} nếu α ngun âm hoặc bằng 0 • Nếu α>0, hàm số ĐB D =( 0; + ∞ ), α khơng ngun. • Đồ thị ln qua điểm (1;1) • α>0, hàm số ĐB • α<0, hàm số NB Đồ thị khơng có tiệm cận khi α>0. Khi α<0, đồ thị có TCN là trục Ox, TCĐ là trục Oy. • 1 ( )' .x x α α α − = • Đối với hàm hợp 1 ( )' . '.u u u α α α − = Hs mũ ,( 0, 1) x y a a a= > ≠ D =R • a>1: HS đồng biến • 0<a<1: HS nghịch biến • Đồ thị có TCN là trục Ox, nằm trên trục hồnh và đi qua các điểm (0; 1); (1; a) • (a x )’ = a x .lna • (e x )’ = e x Đối với hàm hợp: • ( )' ' .ln u u a u a a= • ( )' ' u u e u e= HS lơgarit log ,( 0, 1) a y x a a= > ≠ D = ( 0; + ∞ ) • a>1: HS đồng biến • 0<a<1: HS nghịch biến • Đồ thị có TCĐ là trục Oy, nằm bên phải trục tung và đi qua các điểm (1; 0); (a; 1) • 1 (log )' .ln a x x a = • 1 (ln )'x x = Đối với hàm hợp • ' (log )' .ln a u u u a = • ' (ln )' u u u = 4/- Phương trình mũ, phương trình lơgarit a) Phương trình mũ cơ bản: log , (0 1, 0) x a a b x b a b= ⇔ = < ≠ > ( Nếu b < 0 thì pt vơ nghiệm ) • Phương pháp giải các phương trình mũ đơn giản: ♣ Đưa về cùng cơ số: sử dụng tính chất: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x= ⇔ = ♣ Đặt ẩn phụ: Ta biến đổi, chọn ẩn phụ phù hợp ( có điều kiện của ẩn phụ) và giải pt thu được theo ẩn phụ đã đặt, rồi trả về ẩn ban đầu, ta được các pt mũ cơn bản. Suy ra nghiệm của pt ♣ Lơgarit hố: Lấy lơgarit hai vế của phương trình mũ một cách hợp lý rồi suy ra nghiệm b) Phương trình lơgarit cơ bản: log ,(0 1) b a x b x a a= ⇔ = < ≠ • Phương pháp giải các phương trình lơgarit đơn giản ♣ Đưa về cùng cơ số: ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x  >    = ⇔ >    =   Lưu ý: Ta chỉ cần viết điều kiện f(x) >0 hoặc g(x) > 0, rồi biến đổi tương đương. ♣ Đặt ẩn phụ: Ta biến đổi, chọn ẩn phụ phù hợp ( có thể khơng cần điều kiện của ẩn phụ) và giải pt thu được theo ẩn phụ đã đặt, rồi trả về ẩn ban đầu, ta được các pt lơgarit cơ bản. Suy ra nghiệm của pt ♣ PP Mũ hố: Nâng lên luỹ thừa với cùng một cơ số hai vế của pt hoặc sử dụng định nghĩa lơgarit để đưa về pt mũ và giải pt mũ (đã có pp giải)  Lưu ý: Đối với pt lơgarit ta ln ghi nhớ việc tìm điều kiện để lơgarit có nghĩa là: 5/- Bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit: 1. Bất phương trình mũ cơ bản: Dạng bất phương trình ( 0 1a< ≠ ) Nghiệm a > 1 0 < a < 1 a x > b b> 0 log a x b> log a x b< b ≤ 0 Vơ số nghiệm Vơ số nghiệm x a b≥ b> 0 log a x b≥ log a x b≤ b ≤ 0 Vơ số nghiệm Vơ số nghiệm baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 7 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm x a b< b> 0 log a x b< log a x b> b ≤ 0 Vơ nghiệm Vơ nghiệm x a b≤ b> 0 log a x b≤ log a x b≥ b ≤ 0 Vơ nghiệm Vơ nghiệm  Ghi nhớ: Nếu 0 < a ≠ 1 thì khi viết nghiệm của bất phương trình ta ln đảo dấu bất đẳng thức ngược lại dấu của đề bài. 2. Bất phương trình lơgarit có bản Dạng của bất phương trình ( 0 1a < ≠ ) Nghiệm a > 1 0 < a < 1 log a x b> b x a> 0 b x a< < log a x b≥ b x a≥ 0 b x a< ≤ log a x b< 0 b x a< < b x a> log a x b≤ 0 b x a< ≤ b x a≥ 3. Phương pháp giải các bất phương trình mũ và lơgarit đơn giản: Ta sử dụng các phép biến đổi đưa về các bất pt mũ và bất pt lơgarit cơ bản hoặc các bất pt đại số để giải ( thường ta lập bảng xét dấu vế trái của các bpt rồi dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bpt) IV/- NGUN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1/- Ngun hàm a/- Định nghĩa: Gọi F(x) là một ngun hàm của hàm số f(x) thì họ ngun hàm (hay tích phân bất định) của f(x) là: ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x C F x f x = + ⇔ = ∫ , (C = const) b/- Tính chất của ngun hàm i/ ( ) ( ) ' ( )f x dx f x C= + ∫ ii/ . ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ iii/ [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ 2/- Bảng các ngun hàm: Ngun hàm của hàm cơ bản Ngun hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx dx x C= + ∫ du u C= + ∫ 1 1 x x dx C α α α + = + + ∫ , 1 α ≠ − 1 1 u u du C α α α + = + + ∫ , 1 α ≠ − 1 lndx x C x = + ∫ , 0x ≠ 1 lndu u C u = + ∫ , 0u ≠ 2 1 1 dx C x x = − + ∫ 2 1 1 du C u u = − + ∫ x x e dx e C= + ∫ u u e du e C= + ∫ ln x x a a dx C a = + ∫ , (0 1)a< ≠ ln u u a a du C a = + ∫ , (0 1)a< ≠ cos sinxdx x C= + ∫ cos sinudu u C= + ∫ sin cosxdx x C= − + ∫ sin cosudu u C= − + ∫ 2 2 1 (1 tan ) tan cos dx x dx x C x = + = + ∫ ∫ 2 2 1 (1 tan ) tan cos du u du u C u = + = + ∫ ∫ 2 2 1 (1 cot ) cot sin dx x dx x C x = + = − + ∫ ∫ 2 2 1 (1 cot ) cot sin du u du u C u = + = − + ∫ ∫  CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với , , 0a b a ∈ ≠ ¡ , 1 α ≠ − , 0m ≠ baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 8 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm 1) ( ) ( ) 1 1 ( 1) ax b dx ax b C a α α α + + = + + + ∫ 2) 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ 3) ( ) ( ) 2 1dx C a ax b ax b = − + + + ∫ 4) 1 ax b ax b e dx e C a + + = + ∫ 5) ln mx mx n n a a dx C m a + + = + ∫ 6) 1 cos( ) sin( )ax b dx ax b C a + = + + ∫ 7) 1 sin( ) cos( )ax b dx ax b C a + = − + + ∫ 8) 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a = + + + ∫ 9) 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a = − + + + ∫ 10) 2 2 1 ln 2 dx x a C x a a x a − = + − + ∫ 11) 1 ln tan sin 2 x dx C x = + ∫ 12) 1 ln tan cos 2 4 x dx C x π   = + +  ÷   ∫ 3/- Các phương pháp tính ngun hàm ( tích phân bất định ) 3.1/- Phương pháp đổi biến số: Định lý: ( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C f u du F u C = + ⇒ = + ∫ ∫ , với u = u(x), du = u’(x)dx.  Để tính ( )f x dx ∫ bằng PP đổi biến ta thực hiện các bước sau: + B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx + B2: Biểu diễn f(x)dx theo u và du. Giả sử f(x)dx = g(u)du + B3: Tính ( )g u du ∫ . Giả sử ( ) ( )g u du G u C= + ∫ + B4: Kết luận: ( ) ( ) ( ( ))f x dx g u du G u x C= = + ∫ ∫ 3.2/- Phương pháp ngun hàm từng phần: Sử dụng cơng thức ngun hàm từng phần: ( ) '( ) ( ). ( ) '( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= − ∫ ∫ hay udv uv vdu = − ∫ ∫ (1) Bằng cách đặt: '( ) , ( ) '( ) ( ), ( '( ) ( )) (Lấy vi phân vế theo vế) Lấy một nguyên hàm của v'(x): du u x dx u u x dv v x dx v v x v x dx v x =  =   ⇒   = = =    ∫ Sau đó thay vào cơng thức (1), rồi tìm cách tính tích phân còn lại (có thể suy trực tiếp, cũng có thể dùng các phương pháp ta đã biết: bao gồm đổi biến và từng phần)  Lưu ý: Thơng thường ta có 3 dạng cơ bản: i. Dạng 1: ( ). ( )p x l x dx ∫ , trong đó p(x) là hàm đa thức, l(x) là hàm lượng giác theo sin hoặc cos. Cách giải: Đặt '( ). ,( ( ) ( ) ( ) , ( ) Lấy vi phân vế theo vế) Tìm một nguyên hàm của l(x) du p x dx u p x dv l x dx v l x dx =  =   ⇒   = =    ∫ ii. Dạng 2: ( ) ( ). t x p x e dx ∫ , trong đó p(x) là hàm đa thức, e t(x) là hàm mũ cơ số e. Cách giải: Đặt ( ) ( ) ( ) '( ). ,( ( ) , ( ) Lấy vi phân vế theo vế) Tìm một nguyên hàm của e t x t x t x du p x dx u p x v e dx dv e dx =  =   ⇒   = =    ∫ iii. Dạng 3: ( ).ln ( )[ ]p x f x dx ∫ , trong đó p(x) là hàm đa thức, ln[f(x)] là hàm lốc nê pê hoặc lơgarit Cách giải: Đặt '( ) . ,( ln[ ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ( )) Lấy vi phân vế theo vế) ] Tìm một nguyên hàm của f x du dx u f x f x dv p x dx v p x dx p x  = =   ⇒   =   =  ∫ 4/- Tích phân: a/- Định nghĩa tích phân: ( Cơng thức Newton - Leibnizt ) b/- Tính chất: baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 9 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm 1) ( ) 0 a a f x dx = ∫ 2) ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx= − ∫ ∫ 3) . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ∫ ∫ 4) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ 5) ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ 5/- Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa Cách giải: - Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng các phép biến đổi như: thêm bớt, nhân chia, trục căn thức ở mẫu, đưa căn thức về dạng luỹ thừa, hằng đẳng thức, tách tích phân để đưa về các dạng đã biết trong bản ngun hàm. - Đặc biệt, nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỉ thì ta so sánh bậc của đa thức ở tử và bậc của đa thức ở mẫu. Ta có các trường hợp sau: + Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chia đa thức, tách tích phân rồi tính. + Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc ta thử lấy mẫu đạo hàm nếu biểu diễn được theo tử thì ta sử dụng pp đổi biến bằng cách đặt mẫu bằng u, (xem pp đổi biến) + Nếu khơng được, ta tìm nghiệm của mẫu rồi dùng pp đồng nhất thức. Cụ thể như sau: o Nếu mẫu là tam thức bậc hai có 2 nghiệm m, n (m < n), ta phân tích theo quy tắc sau: 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )( ) p x p x p x p x dx dx dx ax bx c a x m x n n m x n x m   = = −  ÷ + + − − − − −   ∫ ∫ ∫ o Nếu mẫu là đa thức bậc lớn hơn bằng 3 và có nghiệm thì ta tách biểu thức ( ) ( ) p x q x thành tổng các phân thức sao cho ở mỗi phân thức bậc của tử ln nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc. Rồi tìm các hệ số bất định. Chẳng hạng: 2 2 2 3 ( 1)( 2) 1 2 x a b cx d x x x x x x + + = + + − + − + - Nếu hàm số trong dấu tích phân cho ở dạng lượng giác thì ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các hàm có trong bảng ngun hàm.  Các cơng thức biến đổi lượng giác: a) Hằng đẳng thức lượng giác • sin 2 x + cos 2 x =1 • tanx.cotx = 1 • 1 + tan 2 x = 1/cos 2 x • 1+ cot 2 x = 1/ sin 2 x b) Biến đổi tích thành tổng: * cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)] * sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)] * sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)] c) Nhân đơi, hạ bậc: • sin2a = 2sina.cosa • cos2a = 2cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a = cos 2 a - sin 2 a • 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = − • 2 1 cos 2 cos 2 a a + = • 2 1 cos 2 sin 2 a a − = • 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 a a a − = + d) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx về hàm lượng giác sin hoặc cos nhờ cơng thức cộng e) Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác • sin cos 2sin( ) 2 4 4 osa a a c a π π   + = + = −  ÷   • sin cos 2 sin( ) 4 a a a π − = − cos sin 2 4 osa a c a π   − = +  ÷   • 1 + sin2a = (sina + cosa) 2 • 1- sin2a = (sina - cosa) 2 Lưu ý: Đối với tích phân hàm lượng giác, thường có các dạng: • Dạng 1: sin( ) ( ) ; sin( ). ( ) ; ( ) ( )os os os osmx c nx dx mx c nx dx c mx c nx dx ∫ ∫ ∫ , ta biến đổi tích thành tổng • Dạng 2: sin cos m n x xdx ∫ + Trường hợp 1: có ít nhất một trong hai số m, n là lẻ. - Nếu m lẻ, ta đặt t = cosx, rồi dùng pp đổi biến, tách sin m x = sin m-1 x.sinx baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 10 [...]... mp(α) rr sin ϕ = cos( a, n) = baoquoct807@gmail.com Aa1 +Ba 2 +Ca 3 2 2 A 2 + B 2 + C 2 a12 + a2 + a3 Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 19 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 baoquoct807@gmail.com Trường THPT Khánh Lâm Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 20 ... cầu nếu đáy lăng trụ nội tiếp đường tròn ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ KHƠNG GIAN I Tọa độ điểm : baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 15 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz: 1 Trường THPT Khánh Lâm uuuu r r r r M ( xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM i + yM j + z M k uuu r = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) ; 2 Cho A(xA;yA;zA)... baoquoct807@gmail.com ∫ p( x).sin(α ( x)).dx, ∫ p( x).cos(α ( x)).dx Ta đặt dv =  Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 12 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 ∫e • ax Trường THPT Khánh Lâm u = p( x) sin kx.dx, ∫ e ax coskx.dx Ta đặt  hoặc ngược lại  dv = phần còn lại Trong đó, p(x) là hàm đa thức 6/- ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 6.1/- Tính diện tích hình phẳng: a) Diện tích hình phẳng D... hai x1, 2 = ∆ < 0 hoặc ∆ ' < 0 baoquoct807@gmail.com 2 nghiệm phức x = 1, 2 2a −b±i ∆ 2a x1,2 = 2 nghiệm phức x = 1,2 a − b '± i ∆ ' Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng a 13 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẤN ĐỀ 1 : KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN A KHOẢNG CÁCH 1) Khỏang cách từ một điểm M đến một đường thẳng a trong... [ AB, AC ] 2 uuu uuu uuu r r r 1  Thểtích tứ diệnVABCD= [ AB, AC ] AD 6  Diện tích tam giác : S ABC =  Thể tích khối hộp: Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 16 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 VABCD.A’B’C’D’= Trường THPT Khánh Lâm uuu uuu uuur r r VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD ] AA ' 2 S ABC d ( A ', ( ABC ) ) V.Phương trình mặt cầu: 1 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính... Phương trình tham số của đường thẳng baoquoct807@gmail.com r ∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) : Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 17 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t (t ∈ R) z = z + a t 0 3  Nếu a1, a2 , a3 đều khác khơng Phương trình đường thẳng ∆ viết dưới dạng chính tắc... phương V = a3 3 Thể tích của khối lăng trụ V = B.h 4 Thể tích của khối chóp V= baoquoct807@gmail.com 1 B.h 3 ( B là diện tích của đáy ) Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 14 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 1 Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2.π R.l 5 Diện tích mặt cầu: S = ( R: bán... + q nằm trong dấu baoquoct807@gmail.com n ) Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 11 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm β 1 ∫ f ( p tan x + q ) cos α d) Dạng 4: 2 x dx → hoặc t = p tan x + q ( p, q ∈ ¡ → hoặc t = n p tan x + q nếu như biểu thức p tan x + q nằm trong dấu β 1 ∫ f ( pcotx + q ) sin α e) Dạng 5: 2 x t = pcotx + q ( p, q ∈ ¡ → hoặc t... (Bổ sungkiếnthức chươngtrình nâng cao) 3) Khoảng cách:  Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là: AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A ) 2 + ( z B − z A )2  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi cơng thức d ( M 0 , (α )) = baoquoct807@gmail.com Ax 0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 18 Hệ thống lý.. .Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 - Nếu n lẻ, ta đặt t = sinx, rồi dùng pp đổi biến, tách cosnx = cosn-1x.cosx + Trường hợp 2: m, n đều chẳn và dương ta dùng cơng thức hạ bậc, hạ bậc rồi tính • Dạng 3: ∫ sin m Trường THPT Khánh Lâm xdx , ∫ cosm xdx + Nếu m chẳn, hạ bậc rồi tính + Nếu m lẻ, Sử dụng hđt lượng . Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm KIẾN THỨC GIẢI TÍCH ƠN TẬP THI TN THPT I/- Nhắc lại một số kiến thức liên quan: 1/- CƠNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH. bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 19 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của. + nếu như biểu thức lnp x q+ nằm trong dấu n . baoquoct807@gmail.com Trêv bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lươi biếng 11 Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm d).