Phòng GD- ĐT Hoà Bình KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học: 2009-2010 Môn thi : Toán Lớp: 8 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) ĐỀ: Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức P = 842 44 23 2 −−+ ++ xxx xx a. Rút gọn biểu thức P b. Tìm giá trị của x để P có giá trị bằng 3 1− Câu 2: ( 4 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x – 2 )(x – 5)( x 2 – 7x – 10) b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 1 1 2 +− xx Câu 3: ( 4 điểm ) Giải các phương trình sau: a. x ( x 2 – 6x +11) = 6 b. 10 17 193 19 182 21 167 23 148 = − + − + − + − xxxx Câu 4: (4điểm) Cho tam giác ABC (AB<AC) có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng a) NP là đường trung trực của AH. b) Tứ giác MNPH là hình thang cân. Câu 5: (4 điểm) Cho ∆ ABC có diện tích bằng 30 (cm 2 ). Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy M, N, D sao cho 1 3 AM BN CD AB BC CA = = = . Tính diện tích ∆ MND? - Hết- Phòng GD – ĐT Hoà Bình HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Năm học 2009-2010 Câu 1: a. P = ( ) ( ) ( ) 242 2 842 44 2 2 23 2 +−+ + = −−+ ++ xxx x xxx xx ( 0,75 đ) = ( ) ( ) ( ) 42 2 2 2 −+ + xx x ( 0,5 đ) = ( ) ( )( )( ) 222 2 2 −++ + xxx x ( 0,75 đ) = 2 1 −x ( 0,5 đ) b. Tìm giá trị của x để P có giá trị bằng 3 1− Ta có : 3 1− = 2 1 −x ( 0,25 đ) ( ) 32 =−−⇔ x ( 0,25 đ ) 32 =+−⇔ x ( 0,25 đ) 1=−⇔ x ( 0,25 đ) 1−=⇒ x ( 0,25 đ) Vậy với x = -1 thì P có giá trị bằng 3 1− ( 0,25 đ) Câu 2: A = (x – 2)(x – 5)(x 2 – 7x – 10) = ( )( ) 107107 22 −−+− xxxx ( 0,5 đ) = ( ) 1001007 2 2 −≥−− xx ( 0,5 đ) A min = -100 khi x 2 – 7x = 0 ( 0,5 đ) Hay x ( x- 7) = 0 ( 0,25 đ) Suy ra x = 0 ; x = 7 ( 0,25 đ) b. B = 4 3 1 4 3 2 1 1 1 1 22 ≤ +       − = +− x xx ( 0,75 đ) hay 3 4 4 3 2 1 1 2 ≤ +       −x ( 0,5 đ) B max = 3 4 khi x - 2 1 = 0 ( 0,5 đ) Hay x = 2 1 ( 0, 25 đ) : Câu 3 a. x ( x 2 – 6x +11 ) = 6 06116 3 =−+−⇔ xxx ( 0,5 đ) ⇔ ( x – 3)(x-2)(x – 1) = 0 ( 0,5 đ) Vậy S = { } 3;2;1 ( 0,5 đ) b. 10 17 193 19 182 21 167 23 148 = − + − + − + − xxxx 04 17 193 3 19 182 2 21 167 1 23 148 =       − − +       − − +       − − +       − − ⇔ xxxx ( 1đ) 0 17 125 19 125 21 125 23 125 = − + − + − + − ⇔ xxxx ( 0,5đ ) ( ) x−⇔ 125 0 17 1 19 1 21 1 23 1 =       +++ ( 0,5 đ) Vì 0 17 1 19 1 21 1 23 1 ≠+++ ( 0,5 đ) Nên 125 – x = 0 suy ra x = 125 ( 0,25 đ) Vậy nghiệm của phương trình là x = 125 ( 0,25 đ) Câu 4: (vẽ hình, gt-kl đúng 0,5đ) a) Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền HN = 2 1 AC, HP = 2 1 AB (0,5đ) Suy ra: NH = NA, PH = PA (0,5đ) Nên: NP là đường trung trực của AH. (0,5đ) b) Ta có: PN là đường trung bình tam giác ABC (PA = PB, NA = NC) Suy ra PN // BC ⇒ PN // HM (H, M ∈ BC) (0,5đ) ⇒ Tứ giác MNPH là hình thang. (0,25đ) Mặt khác: MP = 2 1 AC (tính chất đường trung bình) ( 0,5 đ) HN = 2 1 AC (c/m trên) (0,25đ) ⇒ MP = HN (0,25đ) Vậy hình thang MNPH có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân. (0,25đ) MH A C B P N Câu 5 A M D ( vẽ hình 0,25 đ) B N C Ta có : BA BM S S ABN BMN = ( chung đường cao từ N ) ( 0,5 đ) Mà : 3 1 = AB AM ( 0, 25 đ) Do đó : 3 13− = − AB AMAB ( 0,5 đ) Hay : 3 2 = AB BM ( 0,25 đ) Nên: 3 2 = ABN BMN S S ( 0,25 đ) Tương tự : 3 1 == BC BN S S ABC ABN ( chung đường cao từ A ) ( 0,25 đ) 3 1 . 3 2 . = ABC ABN ABN BMN S S S S ( 0,5 đ) 9 2 = ABC BMN S S ( 0, 25 đ) Tương tự: 9 2 ; 9 2 == ABC ADM ABC DNC S S S S ( 0,5 đ) Vậy: S MND = S ABC – S ADM – S BMN – S DNC ( 0,25 đ) = 3 1 S ABC = 10 ( cm 2 ) ( 0,25 đ) Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng được điểm tối đa của câu đó: . THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học: 2009-2010 Môn thi : Toán Lớp: 8 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) ĐỀ: Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức P = 84 2 44 23 2 −−+ ++ xxx xx . ∆ MND? - Hết- Phòng GD – ĐT Hoà Bình HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Năm học 2009-2010 Câu 1: a. P = ( ) ( ) ( ) 242 2 84 2 44 2 2 23 2 +−+ + = −−+ ++ xxx x xxx xx ( 0,75 đ) = ( ) ( ) (. ( 0,5 đ) Vậy S = { } 3;2;1 ( 0,5 đ) b. 10 17 193 19 182 21 167 23 1 48 = − + − + − + − xxxx 04 17 193 3 19 182 2 21 167 1 23 1 48 =       − − +       − − +       − − +       − − ⇔ xxxx