I / Đặt vấn đề. Ngày nay cùng với sự phát triển của nền KH & CN đòi hỏi nguồn lực lao động phải ngày càng sáng tạo, năng động để đáp ứng cho công cuộc xây dựng đất nớc. Để thực hiện đợc công cuộc đổi mới trên thì đòi hỏi nghành GD phải đổi mới về nội dung và phơng pháp học nói chung và môn toán nói riêng, nhằm tạo ra những con ngời lao động giám nghĩ, giám làm. Vậy để đáp ứng đợc yêu cầu trên đồi hỏi ngời GV cũng phải thờng xuyên học hỏi, bồi dỡng nâng cao trình độ chuyên môn, tay nghề nghiệp vụ. Luôn làm tròn nhiệm vụ là ngời định hớng, điều khiển HS tự tìm tòi, chiếm lĩnh những kiến thức, kĩ năng. Ta thấy đợc môn Toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong kỹ thuật. Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học để phát huy đợc tính tích cực học tập của học sinh, nhất là học sinh giỏi . Theo nh yêu cầu của bộ môn Toán nói chung, môn Toán 7 nói riêng mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành. Trong mỗi bài tập, ngời thầy phải giúp học sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó, thậm trí phải lật ngợc lại vấn đề. Nếu làm đợc việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán, dạng toán. Từ đó sẽ kích thích đợc tính tò mò, khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác đợc tiềm năng về môn Toán của học sinh . Với lý do đó tôi chọn và nghiên cứu chuyên đề Mở rộng một số bài toán bài toán trong sách giáo khoa".Trớc tiên là nhằm nâng cao kiến thức cho bản thân. Thứ hai là nhằm giúp các em HS khá - giỏi có khả năng khai thác và mở rộng một số bài toán có sẵn trong sách giáo khoa, từ đó giúp các em yêu thích bộ môn hơn. II / giải quyết vấn đề 1. Cơ sở lý luận: Môn Toán là một môn khoa học, những tri thức, kỹ năng toán học cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác, môn Toán là công cụ của nhiều ngành khoa học . Môn Toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán, phát hiện và giải quyết vấn đề . Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới . Môn Toán góp phần phát triển nhân cách con ngời, ngoài việc cung cấp những kiến thức, kỹ năng toán học, môn Toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá. Nội dung đề tài đợc trình bày trên cơ sở: - Thông qua việc giải các bài tập trong sách giáo khoa hình thành các bài tập có nội dung phong phú và đa dạng hơn. - Bằng các thao tác t duy: phân tích, so sánh, tơng tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tợng hoá hình thành các bài tập có nội dung tơng tự, tổng quát, từ các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập. - Thông qua việc phát triển các bài toán, hình thành chuỗi các bài tập có nội dung liên quan, lấy bài tập này làm cơ sở để phát triển các bài kế tiếp. - Ngoài ra bằng cách thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố trong đề bài của các bài toán, hoặc thay đổi cách hỏi ta cũng có các bài toán thú vị và khá độc đáo. 2. Cơ sở thực tiễn : a. Đối với học sinh : Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi cũng cha dành nhiều thời gian cho việc học, sách tham khảo còn ít và khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng, không tìm ra đợc lời giải Trong thực tế nếu biết mở rộng và phát triển một bài toán thì ta thấy bài toán rất hay, kích thích đợc sự tìm tòi khám phá kiến thức của học sinh. b. Đối với bản thân : Để nâng cao chất lợng bộ môn thì GV cần đa ra cách giải cụ thể đối với từng dạng toán và yêu cầu HS thực hiện theo. Với HS khá giỏi còn cấn yêu cầu các em mở rộng bài toán đó. Năm học 2006 2007 và 2007 2008, tôi đợc phân công dạy Toán khối 7. Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình trạng thụ động tiếp thu kiến thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, cha có tính sáng tạo, cha phát huy đợc năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân. Qua thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi nhận thấy việc nghiên cứu và viết chuyên đề là thật sự cần thiết cho mỗi GV trong việc tự học, để nâng cao trình độ chuyên môn nhằm thích ứng với những thay đổi của điều kiện ngoại cảnh. Đây cũng là yêu cầu mà Đảng và nhà nớc ta đang đặt ra cho ngành giáo dục chúng ta. 3. quá trình nghiên cứu triển khai. Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học, một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là phải xây dựng hệ thống các bài tập hợp logic. Ta phải khai thác bài toán theo từng mảng, mỗi mảng ta lại chia thành từng phần, sao cho mỗi phần có sự liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phơng thức giải toán . Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và hớng phát triển. Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm một vài dữ kiện, hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc bài toán mới có nội dung phong phú và phù hợp hơn. Xin đợc trình bày một số biện pháp triển khai đề tài vào thực tiến giảng dạy: - Trong mỗi giờ lên lớp giáo viên dành một thời gian nhỏ ( đặc biệt trong các giờ luyện tập, ôn tập) cho học sinh làm bài tập ôn tập, củng cố kiến thức và kỹ năng cơ bản từ đó hớng dẫn tự phát triển bài tập để có các bài tập khác, hoặc cho các em luyện tập dới hình thức tự ra các đề toán từ các bài toán đã làm. - Sau mỗi bài giảng khi hớng dẫn học sinh học ở nhà ngoài việc yêu cầu học, nghiên cứu bài, làm bài tập thì giáo viên cho học sinh làm các bài tập tơng tự các bài trong sách giáo khoa hoặc yêu cầu các em phải tự tìm ra các bài toán có liên quan đến các bài toán trong sách giáo khoa. - Có thể triển khai đề tài dới hình thức chơi trò chơi: "Cho các nhóm ra đề chéo và yêu cầu giải". Ngoài ra việc triển khai chuyên đề này càng có hiệu quả trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi, có thể cho các em tự hệ thống các bài toán dới dạng các đề tài nhỏ. Sau đây ta vào phần nội dung chính của chuyên đề. Nội dung: Bài toán 1: (Bài 54 SGK tr 54) Tìm hai số x và y biết v x + y = 16 3 5 x y = Li gii: p dng tớnh cht ca dóy t s bng nhau, ta cú: x + y 16 = = = 2 3 5 3 + 5 8 x = 3. 2 = 6 y = 5. 2= 10 x y = V cng vì 5x = 3y nờn ta cú bi toỏn 3 5 x y = Bi 1.1 : Tỡm hai s x v y bit 5x = 3y v x+ y = 16 Tỡm c x = 10, y = 6 nờn x y = 4, nờn ta xut c bi toỏn khỏc: Bi 1. 2: Tỡm hai s x v y bit v x - y = 4 3 5 x y = Hn na ta cũn cú x.y = 60, nờn ta cú bi toỏn khú hn: Bi 1.3: Tỡm hai s x v y bit v x.y = 60 3 5 x y = Vi bi toỏn ny hc sinh gii thng ỏp dng mt cỏch mỏy múc tớnh cht ca dóy t s bng nhau x.y 60 = = 3 5 3.5 15 x y = ( sai ! HS dễ mắc sai lầm GV cần đặc biệt chú ý phần t/c của dãy tỉ số bằng nhau) Gii: Cỏch 1: t x = 3k, y = 5k . Thay vo ng thc, ta cú: 3k. 5k = 60 Hay 15 k 2 = 60 ⇒k 2 = 4 ⇒ k = ± 2 Với k = 2, ta có x = 3. 2 = 6, y= 5.2 = 10 Với k = - 2, ta có x = 3. ( - 2) = - 6, y = 5. ( -2) = -10 • Cách 2: Từ 3 5 x y = Suy ra 2 2 . 60 4 3 5 3 5 3.5 15 x y x y x y     = = × = = =  ÷  ÷     2 4 3 x   ⇒ =  ÷   2 3 6 x x ⇒ = ± ⇒ = ± Với x = 6 ⇒ y = 10 Với x = - 6 ⇒y = -10 Bài toán 2: ( Bài 63 – SGK tr 31) Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ( ) 0, 0 a c a b c d b d = − ≠ − ≠ , ta có thể suy ra tỉ lệ thức a b c d a b c d + + = − − Lời giải: • Cách 1: Từ d c b a = a b a + b a - b = = c d c + d c - d ⇒ = Do đó, ta có a b c d a b c d + + = − − • Cách 2: Đặt , ta có a = bm, c = dm a c m b d = = Do đó 1 1 )1( )1( − + = − + = − + = − + m m mb mb bbm bbm ba ba (1) 1 1 )1( )1( − + = − + = − + = − + m m md md ddm ddm dc dc (2) Từ (1) và (2) suy ra a b c d a b c d + + = − − Lời giải trên gợi ý cho ta rất nhiều bài toán mới Bài 2.1: Cho tỉ lệ thức ( ) 0, 0 a c a b c d b d = − ≠ − ≠ Chứng minh rằng a b c d a b c d − − = + + Bài 2.2: Cho tỉ lệ thức a c b d = Chứng minh rằng ax + by cx + dy ax - by cx - dy = , với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa. Mặt khác, ta có (a + b)(c - d) = (a - b)(c + d) a b c d a b c d − − = ⇒ + + Cho ta bài toán khó hơn: Bài 2.3: Cho tỉ lệ thức ( ) 0, 0 a c a b c d b d = − ≠ − ≠ Chứng tỏ rằng (a + b)(c - d) = (a - b) (c + d) Bài toán 3: (Bài 57 – SGK tr 30) Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng cả ba bạn có tất cả 44 viên bi. Lời giải: Gọi số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là x, y, z ( viên ) Vì số viên bi của ba bạn lần lượt tỉ lệ với 2; 4; 5 nên ta có x y z = = và x + y + z = 44 2 4 5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số b» ng nhau, ta có: x y z x + y + z 44 = = = = = 4 2 4 5 2 + 4 + 5 11 2.4 8 4.4 16 5.4 20 x y z = =   ⇒ = =   = =  Vậy số bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là 8; 16; 20 viên. Bài toán này có thể phát biểu khác đi một chút: Bài 3.1: Chia số 44 thành 3 phần tỉ lệ với 2, 4, 5 Và từ x y z = = 4x = 2y; 5y = 4z 2 4 5 ⇔ Nên ta có bài toán mới: Bài 3.2: Tìm x, y, z biết 4x = 2y; 5y = 4z và x + y + z = 44 Ta cũng có x y z 20 = 20 = 20 10x = 5y = 4z 2 4 5 × × × ⇔ Nên ta có bài toán khó hơn: Bài 3.3: Cho x, y, z thỏa mãn 10x = 5y = 4z và x + y + z =44 Tìm x, y, z Ở bài toán trên nếu thay x + y + z = 44 bởi 3x – 2y + z = 12 ta được bài toán khó hơn nữa: Bài 3.4: Tìm x, y, z biết 4x = 2y; 5y = 4z và 3x – 2y + z = 12. Bài toán 4: (Bài 78 – SBT tr14) So sánh các số a, b, c biết rằng: a b c = = b c a Lời giải: • Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a + b + c = = = = 1 b c a b + c + a Do đó a = b = c Cách 2: Đặt a b c = = = m b c a , ta có a = mb, b = mc, c = ma Do đó a = mb = m(mc) = ( ) m m ma    ⇒ a = m 3 a ⇒ m 3 = 1 (vì a ≠ 0) ⇒ m = 1 Vậy a b c = = = 1 b c a ⇒ a = b = c Cách 3: Từ a b c = = b c a ⇒ 3 a b c a = b c a b   × ×  ÷   Hay 3 a a 1 = 1 b b   = ⇒  ÷   Ta có a b c = = = 1 b c a ⇒ a = b = c Tiếp tục tìm kiếm, chắc chắn còn nhiều cách giải khác nữa. Ta có bài toán tổng quát: Bài 4. 1: Cho 1 2 n-1 n 1 2 n 2 3 n 1 a a a a = = và a + a + + a 0 a a a a = ××× = ≠ Chứng tỏ rằng 1 2 n a = a = = a Từ a b c = = = 1 b c a và a + b + c ≠ 0 ⇒ a = b = c Điều này cho ta các bài toán hay và khó sau: Bài 4.2: Cho a b c = = b c a ; a + b + c ≠ 0 và a = 2008. [...]... độ chuyên môn vững vàng để không những có những lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn, đa dạng hơn iII- kết luận Trên đây là toàn bộ nội dung và các vấn đề có liên quan đến chuyên đề : Mở rộng một số bài toán trong sách giáo khoa" Các bài tập mà tôi đa ra trong chuyên đề này chỉ là một số bài tập có tính sàng lọc, đặc biệt các bài tập trong chuyên đề. .. hạn chế sau : - Số lợng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên đề còn hạn chế - Do thời gian có hạn nên nội dung còn sơ sài - Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học sinh khá ,giỏi 7 Hớng đề xuất Để tăng thêm hiệu quả và khắc phục nhữngtồn tại khi áp dụng đề tài, tôi tiếp tục đề ra cho mình hớng giải quyết tiếp theo : - Tiếp tục nghiên cứu đề tài khai thác... 2 2 n ( a1 + a 2 + + a n ) 2 7 a1 + a 7 + + a 7 2 n ( a1 + a 2 + + a n ) 7 4 Hiệu quả đạt đợc a) Đối với Giáo viên: Sau khi nghiên cứu và viết chuyên đề này bản thân tôi cảm thấy tự tin hơn khi giảng bài trên lớp đặc biệt là các bài toán liên quan đến chuyên đề, kiến thức của bản thân cũng đợc trau dồi và nâng cao hơn trong khi tham khảo các tài liệu để viết chuyên đề b) Đối với Học sinh: Sau khi... Năm học Tổng số Tỉ lệ trên TB Khối 57% 2006 - 20 07 26 7 20 07 - 2008 80 78 % 5 Một số bài học kinh nghiệm Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy học môn Toán, giáo viên phải có phơng pháp dạy học phù hợp với từng đối tợng học sinh Muốn có có đợc phơng pháp tốt đòi hỏi ngời thầy phải thờng xuyên học hỏi, tự bồi dỡng những kiến thức cho mình Tự học, tự nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến bộ môn để tham... bài toán đơn giản và áp dụng trên lớp, đồng thời theo dõi kết quả của học sinh để tìm ra biện pháp khắc phục nhợc điểm và hạn chế của đề tài - Đa ra hội thảo chuyên đề trong tổ chuyên môn thảo luận để tìm ra biện pháp tối u nhất 8 Điều kiện áp dụng Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau: - Đối với học sinh : + Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào... chất nâng cao nhằm khơi dậy ở Học sinh khả năng khám phá bộ môn toán Do thời gian nghiên cứu có hạn và phạm vi mở rộng chuyên đề còn hạn chế Hơn nữa kinh nghiệm và năng lực của bản thân tôi có hạn, nên chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để các năm học tiết theo tôi viết chuyên đề đợc hoàn thiện hơn, tốt hơn và có khả năng áp dụng đạt... liệu để viết chuyên đề b) Đối với Học sinh: Sau khi đợc giải các bài toán trong chuyên đề này học sinh có kỹ năng làm các bài toán một cách hợp lý, các em nhìn nhận mỗi bài toán dới nhiều khía cạnh khác nhau Từ đó kích thích đợc sự tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phơng pháp... bồi dỡng những kiến thức cho mình Tự học, tự nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến bộ môn để tham khảo Sọan bài kĩ trớc khi lên lớp Thờng xuyên học hỏi các bạn đồng nghiệp để nâng cao trình độ chuyên môn Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tởng giải toán, sau đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự logic từ dễ đến khó . hai năm học: Khối Năm học Tổng số Tỉ lệ trên TB 2006 - 20 07 26 57% 7 20 07 - 2008 80 78 % 5. Một số bài học kinh nghiệm Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy học môn Toán, giáo viên phải có ph- ơng. phục nhợc điểm và hạn chế của đề tài . - Đa ra hội thảo chuyên đề trong tổ chuyên môn thảo luận để tìm ra biện pháp tối u nhất . 8. Điều kiện áp dụng Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm. toàn bộ nội dung và các vấn đề có liên quan đến chuyên đề : Mở rộng một số bài toán trong sách giáo khoa". Các bài tập mà tôi đa ra trong chuyên đề này chỉ là một số bài tập có tính sàng lọc,