Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - A. TỨ DIỆN DỰA TRÊN HAI ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Bài 1: Cho ( ),( ') ∆ ∆ chéo nhau nhận AA’ làm ñường vuông góc chung và AA’ = a. Gọi (P) là mặt phẳng ñi qua A và vuông góc với ( ') ∆ . Mặt phẳng (Q) // (P) cắt ( ),( ') ∆ ∆ tại M, M’. Gọi N là hình chiếu của M lên (P). ðặt  ,( ) AM P ϕ = và ( ) ( ),( ) x d P Q = . a. Chứng minh: A’M’MN là hình chữ nhật. Tính AA' ' M MN V theo a và x . b. ðặt   ' , 'AA 'MAM M α β = = . Tìm mối quan hệ giữa , à v ϕ α β . c. Tìm tâm O và bán kính hình cầu (S) ngoại tiếp AA’M’MN. d. Khi x thay ñổi, tìm quĩ tích của O và chứng minh rằng (S) luôn ñi qua một ñường tròn cố ñịnh. Giải: a. Do AA' ( ') à ( ) ( ') v P ⊥ ∆ ⊥ ∆ suy ra (P) chứa AA’. N là hình chiếu của M lên (P) ( ) ' MN P MN A N ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ') ' ' ( ) ' '/ /P M A P M A MN ⊥ ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ⇒ Tứ giác A’M’MN là hình bình hành có một góc vuông ⇒ A’M’MN là hình chữ nhật. Ta có: MN = d(P), (Q) = x và  MAN ϕ = Do ( ) AA' MN P MN ⊥ ⇒ ⊥ Lại có: AA' AA' AM NA ⊥ ⇒ ⊥ Kẻ ' ( ' ' ) AH A N AH A M MN ⊥ ⇒ ⊥ . ' ' 2 1 . ' . 3 1 1 AA'. . cot 3 3 A A M MN V AH A N MN AN MN ax ϕ ⇒ = = = b. Ta có: 2 2 2 ' ' A N A A AN = + và 2 2 2 ' ' 2 ' . . os M M M A MA M A MAc α = + − Suy ra: 2 2 2 ' ' 2 ' . . os A A AN M A MA M A MA c α + = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot cot 2. . . os sin sin sin sin 2cos cot cot (1 cot ) (1 cot ) os sin .sin sin sin x x x x x x c c β ϕ α β ϕ β ϕ α β ϕ β ϕ α β ϕ β ϕ ⇔ + = + − ⇔ + = + + + − ⇔ = c. Ta thấy M’, A, N nhìn A’M dưới một góc vuông nên tâm O của hình cầu (S) là trung ñiểm của A’M. Bán kính của (S) là: 2 2 2 sin ' 2 2sin a x A M R ϕ ϕ + = = BÀI GIẢNG 01. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ DIỆN ( TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - d . Gọi mặt phẳng chứa A’A và ( ) ∆ là (K). Ta có: OA = OA’ = R suy ra quĩ tích ñiểm O là ñường trung trực của AA’ thuộc mặt phẳng (K). Gọi mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với ( ) ∆ là (W). Do mặt cầu (S) luôn ñi qua A, A’ nên (S) chứa ñường tròn cố ñịnh ñường kính AA’ nằm trên (W). Bài 2: Cho ( ) ( ') d d ⊥ và chéo nhau. Lấy A cố ñịnh thuộc (d) và 2 ñiểm B, C thuộc (d’) sao cho mặt phẳng (B, (d)) ( ) ,( ) C d ⊥ . Gọi A’, B’, C’ là chân các ñường cao chứa ABC ∆ . Chứng minh rằng: a. 2 2 2 ' . ' ons ; ons A B A C c t AB AC BC c t = + − = . b. Trực tâm H của ABC ∆ cố ñịnh. Tìm quĩ tích B’ và C’. Giải: Gọi IK là ñoạn vuông góc chung của (d) và (d’) ( ) ( ) d IBC ⇒ ⊥  BIC ⇒ = góc nhị diện ( ) ,( ), 2 B d C π = Mà ê ' BC IK n n BC AK K A ⊥ ⊥ ⇒ ≡ . a . 2 2 2 ' . ' ons ; ons A B A C c t AB AC BC c t = + − = . b . AA' ' B CA H ∆ ∆ ∼ 2 ' . ' ' ons AA' AA' A B A C IK A H c t ⇒ = = = ⇒ H cố ñịnh. Từ ñó suy ra B’, C’ nằm trên ñường tròn ñường kính AH xác ñịnh trong mặt phẳng (A, d’)) Bài 3: Cho 1 2 ( ) ( ) d d ⊥ và chéo nhau. Các ñiểm A, M thuộc (d 1 ) và B, N thuộc (d 2 ) với AB là ñường vuông góc chung của (d 1 ), (d 2 ). ðặt AB = a, AM = , x BN y = . 1. Giả sử: AM + BN = MN. Kẻ OH MN ⊥ . Gọi O là trung ñiểm của AB. a. Chứng minh rằng: MN tiếp xúc mặt cầu (S) ñường kính AB. b. Chứng minh rằng: 2 ons ; 2 ABMN a V c t xy= = c. Chứng minh rằng: 2 a R ≥ với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp ABMN. d. Tìm M, N ñể diện tích toàn phần của tứ diện ABMN nhỏ nhất. e. Chứng minh rằng: H thuộc mặt phẳng cố ñịnh và MN tạo với mặt phẳng ñó 1 góc không ñổi. Tìm quĩ tích ñiểm H. 2. Giả sử: 2 2 2 ( 0) AM BN k k + = > a. Chứng minh rằng: ons MN c t = . b. Tìm M, N ñể ABMN V lớn nhất. c. Tìm a, k ñể MN tiếp xúc với hình cầu ñường kính (AB). Giải: Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - 1 . a. Lấy 1 ( ) J d ∈ khác phía M qua A với Ạ = BN. OAJ OJ . OJ OBN ON JM MN M OMN ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆ OA OH ⇒ = ⇒ MN tiếp xúc mặt cầu (S) ñường kính AB. b . Ta có: , NB AB NB AM NB BM ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x y MN NB BM NB BA AM y a x + = = + = + + = + + 2 2 2 2 a xy a xy⇔ = ⇔ = (ñpcm) 3 1 1 . . 3 2 6 12 ABMN a a V NB AB AM xy   = = =     c . ( )MN ABN MA AN ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ A, B, M, N nằm trên mặt cầu ñường kính MN. 2 2 2 MN x y a R xy + ⇒ = = ≥ = (ñpcm). d . 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 2 tp S AB AM AB BN AM AN BM BN = + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . ( )( ) 2 2 x y a x a y y a x a xy xy a y a x + = + + + + ≥ + + + 2 2 2 3 ( ) 2 a xy xy a xy a + ≥ + + = . Với 2 a x y= = thì min 2 2 3 2 tp S a + = e . Qua B dựng mặt phẳng (P) AB ⊥ . Gọi M’, K là hình chiếu của M, H lên mp(P). Ta có: ' 'KM HM x BM BK KN HN y BN = = = ⇒ là phân giác của  ' NBM H ⇒ thuộc mặt phẳng phân giác (Q) của nhị diện (AB, d 1 ); (AB, d 2 ) Kẻ ( ) NI BK NI Q ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ góc  ( ,( ) MN Q IHN =    0 1 ' 45 2 NIH NIB IHN IBN NBM∆ = ∆ ⇒ = = = (ñpcm) Ta có H thuộc mặt cầu ñường kính AB suy ra ñiểm H thuộc giao của mặt cầu ñó với mặt phẳng (Q). Vậy quĩ tích ñiểm H là ñường tròn ñường kính AB nằm trên mặt phẳng (Q) và , H A B ≠ . 2. a . 2 2 2 2 2 2 2 2 MN MA AB BN a k MN a k = + + = + ⇒ = + (ñpcm) b . 2 2 2 1 1 . . 3 2 6 2 12 ABMN a AM BN ak V NB AB AM +   = ≤ =     Với 2 k AM BN= = thì 2 a 12 ABMN ak M xV = . c . Giả sử MN tiếp xúc mặt cầu ñường kính AB suy ra OH = OA = OB 2 2 2 2 2 ; ( ) 2. . AM MH BN NH a k MN AM BN k AM BN ⇒ = = ⇒ + = = + = + 2 2 2. . a AM BN k a k ⇒ = ≤ ⇒ ≤ Bài 4: Cho hai nửa ñường thẳng Ax và By chéo nhau nhận AB làm ñoạn vuông chung. Gọi ; M Ax N By ∈ ∈ là 2 ñiểm di ñộng sao cho AM = BN. Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - a. Chứng minh rằng: MN luôn song song với một mặt phẳng cố ñịnh ñồng thời MN hợp với Ax và By những góc bằng nhau. b. Chứng minh rằng: Khi M, N di ñộng thì tập hợp trung ñiểm I của MN là ñường vuông góc chung của AB, MN. c. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt vuông góc với Ax và By tại M, N tương ứng. Tìm quĩ tích giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Bài 5: Cho hai ñường thẳng cố ñịnh ( ),( ') ∆ ∆ chéo nhau và ñộ dài a cho trước. a. Dựng ñường thẳng ( ) ( ) d ⊥ ∆ tại M và cắt ( ') ∆ atij N sao cho MN = a. b. Cho ( ) à ( ') A v B ∈ ∆ ∈ ∆ . CMR: Tồn tại duy nhất mặt cầu (S) tiếp xúc với ( ),( ') ∆ ∆ lần lượt tại A và B. B. TỨ DIỆN VUÔNG. Bài 1: Cho tứ diện vuông S.ABC. Gọi G, H là trọng tâm, trực tâm của ABC ∆ còn O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Kí hiệu các ñộ dài: SA = a, SB = b, SC = c và diện tích ; ; ; ; S ABC A SBC B SCA C SAB S S S S S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ = = = = 1. Chứng minh rằng: ABC ∆ nhọn. 2. Chứng minh rằng: ( ) SH ABC ⊥ 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 SH SA SB SC = + + 4. Chứng minh rằng: 3 S A B C S S S S ≥ + + 5. Chứng minh rằng: S, G, O thẳng hàng. 6. Giả sử SC cố ñịnh còn A, B thuộc d cố ñịnh. Kẻ ; SE CA SF AB ⊥ ⊥ . Tìm quĩ tích E, F. 7. CMR: Tâm cầu O thuộc 1 ñường thẳng cố ñịnh. 8. Giả sử SC = c = const, SA + SB = k = const. a. Tìm SA ñể . S ABC V lớn nhất. b. Tìm quĩ tích tâm O. Chứng minh rằng: Khi . S ABC V lớn nhất thì R cần nhỏ nhất. c. Cho k = c. CMR: Tổng các góc phẳng của ñỉnh C bằng 2 π . CMR: mặt phẳng (CAB) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố ñịnh. 9. Lấy M ABC ∈∆ . Gọi khoảng cách từ M tới (SBC), (SCA), (SAB) là a 1 ; b 1 ; c 1 a. Tính a, b, c theo a 1 ; b 1 ; c 1 ñể . S ABC V min. b. Tính a, b, c theo a 1 ; b 1 ; c 1 ñể a + b + c min. c. Gọi , , α β γ là góc giữa SM với SA, SB, SC. Chứng minh rằng: 2 2 2 os os os 1 c c c α β γ + + = 10. Giả sử CA = 2SB, CB = 2SA. Kẻ , SE CA SF CB ⊥ ⊥ . a. Chứng minh rằng: EF SC ⊥ b. Tính  osES c F Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - c. Gọi I là trung ñiểm của ñoạn AB. Chứng minh rằng:   4 4 tan EF 1 tan SCI AB SCA + = 11. Giả sử tam giác ABC ñều cạnh l. Kéo dài HS lấy SS 1 = SH. Chứng minh rằng: S 1 ABC ñều. Giải: 1 . 2 2 2 2 cos 0 2 . . CA CB AB SC C C CACB CACB + − = = > ⇒ nhọn 2 . Nếu H là trực tâm tam giác ABC suy ra CH AB ⊥ mà CS AB SH AB ⊥ ⇒ ⊥ Tương tự suy ra: . SH BC ⊥ Vậy ( ) SH ABC ⊥ - Nếu ( ) SH ABC SH AB ⊥ ⇒ ⊥ . Lại có: SC AB CH AB ⊥ ⇒ ⊥ . Tương tự suy ra: AH BC H ⊥ ⇒ là trực tâm tam giác ABC. 3 . Gọi K CH AB CK AB = ∩ ⇒ ⊥ và SK AB ⊥ . Khi ñó: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 SH SK SC SA SB SC = + = + + (ñpcm) 4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) S C A B S A B C SH S SC S SA S SB S S S S S SH SA SB SC = + + ⇔ = + + Suy ra: 2 2 2 2 2 2 3 (1 1 1 )( ) S A B C A B C S S S S S S S ⇔ = + + + + ≥ + + (ñpcm) 5 . Dựng hình hộp chữ nhật SAC’BCB’S’A’, khi ñó O là tâm hình hộp và cũng là trung ñiểm của ñường chéo SS’ ⇒ S, G, O thẳng hàng. 6 . ðiểm E, F nằm trên ñường tròn giao tuyến của mặt cầu ñường kính CS với mặt phẳng (C, d). Tâm O thuộc giao tuyến cố ñịnh của mặt phẳng trung trực ñoạn CS với mặt phẳng chứa (d) và vuông góc (S, d). 7 . a. 2 2 2 . . 1 . . 6 6 2 24 24 2 S ABC S ABC c SA SB ck ck k V SC SA SB V SA x +   = ≤ = ⇒ = ⇒ = =     b. Khi A, B di ñộng sao cho SA + SB = k thì ' C PQ ∈ với SP = SQ = k. Dễ thấy S, A, B, C nằm trên mặt cầu ñường kính CC’ với tâm O là trung ñiểm của CC’ ⇒ Quĩ tích O là ñoạn P’Q’ với P’, Q’ là trung ñiểm của CP và CQ. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ' ( ) 2 2 2 2 2 2 k R CC SC SA SB c SA SB c= = + + ≥ + + = + Rõ ràng: . S ABC MaxV và Min R ñều ñạt tại 2 k x = . c.  2 ( ) os . . . . SC SC SA SB SA SC SC SB c ACB CACB CACB CA CB CA CB + = = = +       ( )    sin ACS. os osACS.sin sin ACS ACS 2 c BCS c BCS BCS ACB BCS π = + = + ⇒ + + = Gọi P 1 ; Q 1 là trung ñiểm của SP, SQ. Xét hình lập phương cạnh 2 k là SP 1 C 1 Q 1 S 2 P 2 C 2 Q 2 . Khi ñó hình cầu nội tiếp lập phương sẽ tiếp xúc với (CAB). 8. a. ( ) 1 1 1 1 6 SABC MSAB MSBC MSCA V V V V abc bca cab = + + = + + Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - 1 1 1 . 1 1 1 1 . . 1 6 6 S ABC a b cabc V SC SA SB abc bca cab abc a b c = = ⇒ + + = ⇔ + + = Ta có: 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 9 1 27. . . 27 2 S ABC a b c a b c abc a b c V a b c a b c a b c   = + + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥     Dấu bằng xảy ra 1 1 1 1 1 1 1 3 ; 3 ; 3 3 a b c a a b b c c a b c ⇔ = = = ⇔ = = = b. a + b + c ( ) 2 1 1 1 1 1 1 ( ) a b c a b c a b c a b c   = + + + + ≥ + +     Dấu bằng xảy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c a b c a b c + + ⇔ = = = = + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; a a a b c b b a b c c c a b c ⇔ = + + = + + = + + c. Dựng hình chữ nhật SA 1 M 1 B 1 .C 1 A’MB’ nhận SM làm ñường chéo. Khi ñó:    1 1 1 ; ; MSA MSB MSC α β γ = = = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 os os os 1 SA SB SC SM c c c SM SM α β γ + + ⇒ + + = = = (ñpcm) 9 . Từ giả thiết CA = 2SB, CB = 2SA ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 CB SB CA SA SA SB SB SA SA SB − = − ⇔ − = − ⇔ = a. EF / / CE CF SCA SCB SE SF CE CF AB CA CB ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ mà CS AB ⊥ suy ra EF CS ⊥ (ñpcm). b.  2 2 2 2 2 2 2 2 EF 2 EF EF osESF 1 (*) 2 . 2 2 SE SF SE c SE SF SE SE + − − = = = − Do CA = 2SA suy ra trong tam giác vuông SAC thì   , 6 3 SCA SAC π π = = 3 1 3 ; 2 2 2 SE SA EA SA CE CA EA SA ⇒ = = ⇒ = − = Từ EF 3 2 EF 4 CE SA CA AB = ⇒ = . Thay vào (*) ta ñược:  3 1 osES 1 4 4 c F = − = c. Ta có:   1 1 1 EF 3 2 tan ;tan tan ; 6 4 3 6 3 SA SI CE SCI SCA SC AB CA SA π = = = = = = = Suy ra:   4 4 tan EF 1 tan SCI AB SCA + = (ñpcm) 10 . ABC ∆ ñều nên 1 3 3 AB AH = = ; mặt khác SB = SA 1 2 2 AB = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ; 6 6 l l SH SA AH SH S A S H HA l S A l ⇒ = − = ⇒ = = + = ⇒ = Vậy SABC ñều. (ñpcm) Bài 2: Trêm mp(P), cho một ñiểm O cố ñịnh, một ñường thẳng d cố ñịnh không ñi qua O, một góc vuông xOy quay quanh O, các cạnh Ox , Oy cắt (d) theo thứ tự ở A, B. Trên ñường thẳng vuông góc với (P) ñi Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình h ọc không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - qua O lấy ñiểm S. Gọi a là khoảng cách từ O ñến d và  OAB α = . a. Tính góc α khi 8 OS 3 a = và 5 3 SA OA = . b. Kẻ ,OF OE SA SB ⊥ ⊥ . Tìm quĩ tích của các ñiểm E, F khi góc vuông xOy quay quanh O. Bài 3. Cho mặt cầu tâm O cố ñịnh. Xét một tam diện 3 góc vuông có ñỉnh S cố ñịnh trên mặt cầu và các cạnh cắt mặt cầu lần lượt tại A, B, C. Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. 1).Tính góc giữa AC và SD. 2).Tính khoảng cách giữa BC và SD. Bài 2: Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất . Bài 3: Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các ñiểm lần lượt di ñộng trên các cạnh AB, AC sao cho ( ) ( ) DMN ABC ⊥ . ðặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 3 . x y xy + = Bài 4: Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các ñiểm M, N, P sao cho : 4 , 2 BC BM BD BN = = và 3 AC AP = . Mặt phẳng ( MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần ñó. Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc mặt ñáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ñều ABC cạnh a, I là là trung ñiểm của BC và D là ñiểm ñối xứng của A qua I. Trên ñường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy một ñiểm S sao cho 6 2 a SD = . Gọi H là hình chiếu của I trên SA. Chứng minh rằng ( ) ( ) SAB SAC ⊥ và tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Bài 7: Cho hình chóp S.ABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của ñiểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài 8: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc    , ; ; BAC CAD DAB ñều bằng 60 0 . Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn BÀI GIẢNG 01. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ DIỆN (BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - N M D S A B C K Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. 1).Tính góc giữa AC và SD. 2).Tính khoảng cách giữa BC và SD. Giải: a) Ta có : AB = 2 5 , Gọi M là trung ñiểm của BC , ta có : DM = 1 SD = 2 2 30 SA AD+ = , SC = 2 2 29 SA AC+ = SM = 2 2 33 SC CM+ = Ta có : 2 2 2 30 1 33 1 cos 2 . 2 30 30 SD MD SM SDM SD MD + − + − ∠ = = = − (*) Góc ϕ giữa hai ñường thẳng AC và SD là góc giữa hai ñường thẳng DM và SD hay ϕ bù với góc ∠ SDM . Do ñó: cos ϕ = 1 30 b) Kẻ DN // BC và N thuộc AC . Ta có : BC // ( SND) . Do ñó : d(BC, SD) = d( BC, (SND)) = d(C, (SND)) Kẻ CK và AH vuông góc với SN, H và K thuộc ñường thẳng SN Ta có : DN // BC ( ) 1 DN AC⇒ ⊥ Và ( ) ( ) 2 SA ABC SA DN⊥ ⇒ ⊥ Từ (1) và (2) suy ra : DN ⊥ ( SAC) ( ) 3 DN KC⇒ ⊥ Do cách dựng và (3) ta có: CK ⊥ (SND) hay CK là khoảng cách từ C ñến mp (SND) Mặt khác: ∆ANH = ∆CNK nên AH = CK Mà trong tam giác vuông SAN lại có: 2 2 2 1 1 1 1 5 1 25 26 AH AH SA AN = + = + ⇒ = Vậy khoảng cách giữa BC và SD là: CK = 5 26 Bài 2: Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất . Giải: BÀI GIẢNG 01. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ DIỆN ( HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - D A B C H M N A B C S ( với 0 < 2 π ϕ < ) Bài 3: Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các ñiểm lần lượt di ñộng trên các cạnh AB, AC sao cho ( ) ( ) DMN ABC ⊥ . ðặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 3 . x y xy + = Giải: Dựng DH MN H ⊥ = Do ( ) ( ) ( ) DMN ABC DH ABC ⊥ ⇒ ⊥ mà . D ABC là tứ diện ñều nên H là tâm tam giác ñều ABC . Trong tam giác vuông DHA: 2 2 2 2 3 6 1 3 3 DH DA AH   = − = − =       Diện tích tam giác AMN là 0 1 3 . .sin 60 2 4 AMN S AM AN xy = = Thể tích tứ diện . D AMN là 1 2 . 3 12 AMN V S DH xy = = Ta có: AMN AMH AMH S S S = + 0 0 0 1 1 1 .sin 60 . .sin 30 . .sin30 2 2 2 xy x AH y AH⇔ = + ⇔ 3 . x y xy + = Bài 4: Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các ñiểm M, N, P sao cho : 4 , 2 BC BM BD BN = = và 3 AC AP = . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần ñó. Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có :  SCA ϕ = ; BC = AC = a.cos ϕ ; SA = a.sin ϕ Vậy ( ) 3 2 3 2 1 1 1 1 . . . . . sin . sin 1 sin 3 6 6 6 SABC ABC V S SA AC BC SA a cos a ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = − Xét hàm số : f(x) = x – x 3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x 2 . ( ) 1 ' 0 3 f x x = ⇔ = ± Từ ñó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một ñiểm cực trị là ñiểm cực ñại, nên tại ñó hàm số ñạt GTLN hay ( ) ( ) 0;1 1 2 3 3 3 x Max f x f ∈   = =     Vậy MaxV SABC = 3 9 3 a , ñạt ñược khi sin ϕ = 1 3 hay 1 sin 3 arc ϕ = [...]... c) Tìm quĩ tích hình chi u vuông góc H c a A lên EB Các em tham kh o thêm Giáo viên : Tr n Phương Ngu n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 13 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian BÀI GI NG 02 M T S D NG TOÁN V HÌNH CHÓP (BÀI T P T LUY N ) Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình ch nh t có... Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương G i V là th tích chóp SBCNM ta có V = Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian 1 10 3a 3 SH (dtBCNM ) = 3 27 Giáo viên : Tr n Phương Hocmai.vn Ngu n : Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương. .. VABCD = 2abc bc VABC1D1 = 2 12 a Giáo viên : Tr n Phương Ngu n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 5 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian BÀI GI NG 02 M T S D NG TOÁN V HÌNH CHÓP ( TÀI LI U BÀI GI NG) A Chóp tam giác có c nh vuông góc m t ñáy là tam giác không vuông Bài m u: L y S ∈ At ⊥ ( ABC ) G i... Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 2 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian BÀI GI NG 02 M T S D NG TOÁN V HÌNH CHÓP ( HƯ NG D N GI I BÀI T P T LUY N ) Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình ch nh t có AB = a, BC = a 3 , m t bên (SBC) vuông t i B và (SCD) vuông t i D có SD = a 5 a Ch ng minh:... ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương M TS Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian BÀI GI NG 03 D NG TOÁN V HÌNH H P VÀ HÌNH L P PHƯƠNG ( TÀI LI U BÀI GI NG) A HÌNH H P Bài 1: Cho hình h p (H): ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b và tâm O, th tích V G i M là ñi m b t kì trong không gian AB I L y E thu c c nh AB sao cho: = p AE V 1 M t ph ng (A’DE) chia (H) thành 2 ph... di n c n d ng Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương D th y DNMC là hình thang cân v i NM = Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian AB a = , DC = a 2 2 a 3 2 G i S là di n tích thi t di n DCMN, thì: và HK = ( DC + MN ).HK 1  a  a 3 3 3a 2 =  a +  = 2 2 2 2 8 G i V1 là th tích ph n hình chóp n m bên trên... S sao cho SB = a Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SA và BD Bài 2: Trong m t ph ng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, c nh a và OB = Gi i: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian S D dàng ch ng minh ñư c: BD ⊥ ( SAC ) (vì BD ⊥ AC , BD ⊥ SO) Trong m t ph ng (SAC) k OI ⊥... AB, K là trung ñi m c a HB ta có DH ⊥ AB và DH = a 3 ; OK // DH và OK = 1 a 3 DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) 2 2 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là kho ng cách t O ñ n m t ph ng (SAB) S Tam giác... giác ñ u c nh a, ñư ng cao SH = h, góc gi a ñáy và m t bên là α , góc gi a hai m t bên k nhau là φ Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian 1 a Tính các bán kính hình c u ngo i ti p, n i ti p R, r theo a, h r b Gi s a c ñ nh, h thay ñ i Tìm h ñ max R 2 a Tính SH theo φ và... m ñ i a 6 G i H là 2 hình chi u c a I trên SA Ch ng minh r ng ( SAB ) ⊥ ( SAC ) và tính theo a th tích c a kh i chóp H.ABC x ng c a A qua I Trên ñư ng th ng vuông góc v i (P) t i D l y m t ñi m S sao cho SD = Gi i: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Khóa h c LTðH môn Toán - Th y Tr n Phương Chuyên ñ 05 – Hình h c không gian Ch ng minh: ( SAB . Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng. Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn BÀI GIẢNG 01. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ DIỆN (BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình học không gian . SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỨ DIỆN ( HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 05 – Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò