I- Dạng toán tìm BCNN và ƯCLN: 1- Tìm ƯCLN(a;b) +Cách 1: Lấy : a = b.m + r b = r.m 1 + r 1 ; r = r 1 .m 2 +r 2 ; r n = r n-1 .m n-1 Tức r n chia hết cho r n-1 . Khi đó ƯCLN(a;b) = r n-1 . + cách 2: Sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử: +Tìm ƯCLN(a;b;c) Gọi cln(a;b) = d. Thì cln(a,b,c)= cln(c;d) 2- Tìm BCNN [ ] ;a b . + cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. +Cách 2: [ ] ( ) ; ln ; a b BCNN a b uc a b ì = + Tìm bcnn(a;b;c) Gọi BCNN(a;b) = d. thì BCNN(a;b;c) = (d;c). Phơng pháp tìm số d + Tìm số d: a: b = m,cd - cách 1: Số d = a b.m - Cách 2: số d = b.0,cd ( nếu phần thập phân là hữu hạn) - cách 3 : Nhập a = ấn : Ans b = = = = (đến khi nhỏ hơn b là số d). Ví dụ : viết quy trình bấm phín tìm số d: Khi chia 18901896 cho 2382001. Giải; + Cách 1: 18901896 : 2382001 = 7,93 ấn 18901896 7 . 2382001 = + Cách 2: ấn 18901896 = ấn ANS 2382001 = = = + cách 3: ấn 18901896 : 2382001 = 7,93 7 = ì 2382001 (số d) *Ví dụ: Tìm số d: 7 35 : 2005 Ta viết; 7 35 = 7 11.3 7 2 . ấn 7 15 SHIFT STO A ấn 2005 SHIFT STO B ấn ALPHA A : ALPHA B =986187,87 ấn ALPHA A = ALPHA B ì 986197 = 1758. Ta suy ra: 7 11 1758(mod2005) (7 11 ) 3 1758 3 357(mod 2005) ta suy ra: 7 11.3 .7 2 1453(mod 2005). Vậy. 7 35 : 2005 d 1453. Cách 2; 7 11 =1977326743 = 986197 ì 2005 + 1758 7 11.3 (986197 ì 2005 + 1758) 3 : 2005 ( tìm số d) 1758 3 : 2005 d 357 Lấy 357 ì 7 2 : 2005 d 1453 vậy 7 35 : 2005 d 1453. Tìm 5 chữ số tận cùng: 4 2048 Chính là tìm số d khi chia 4 2048 cho 100000 Phân tích 2048 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2 5 4 16 = 4294967296 = (42949.10 5 + 67296) 67296 2 = 45287.10 5 + 51616 51616 2 = 26642.10 5 + 11456 Nhận xét: Tìm số d của ( a + b) n : c Nếu a chia hết cho c thì tìm số d ( a + b) n : c chính là tìm số d của b n chia cho c. Dạng toán dãy số. Ví dụ : Cho dãy số U n + 1 = 2U n U n 1. biết U 1 = 2; U 2 = 20; Tính u 20 . Giải: +Khai báo: 2 shift sto A 20 shift sto B + lập công thức: 2 alpha B alpha A. Shift sto A 2 alpha A alpha B. Shift sto B Dùng phím đẩy lên tìm công thức: 2B A shift sto A 2A B shift sto B ( Đến 20) * Ví dụ: Cho dãy số : 3 1 1 3 n n x x + + = Biết x 1 = 1/2. tìm x 30 . Khai báo: ấn 1/2 = Lập công thức: ( Ans x 3 + 1): 3 = = = Tính đến lần 30. + Một số bài toán: cho dãy số: 1 2 ( 1) 2 n n n x x n x + = + > a. cho x 1 =1 tính x 50. b. Cho x 1 -1 tính x 50 . c. Dãy số u n+1 = 4u n + 5u n biết u 1 = 2; u 2 =3; Tính u 10 . KQ: 2;3; 22; 103; 522; 2603; 13022; 65130 d. Cho dãy số : a n+2 = 2a n+1 - a n + 3 biết a 1 = 1; a 2 = 2 tìm a 100 . Số thập phân vô hạn tuần hoàn. + Dạng tuần hoàn đơn: { 1 2 1 2 9 0,( ) 99 9 n n n so a a a a a a = + Dạng tuần hoàn tạp: { 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 0, ( ) 99 9 00 n n n so a a b b b a a a a b b b = (bao nhiêu b bấy nhieu số 9 bao nhiêu a bấy nhiêu số 0) Phép nhân tràn trên máy. a ì b = (c + d ) ì b a ì b = (c +d) ì m +n) a 2 = (c + d) 2 a 3 = ( c + d) 3 Chia không ghi hết trên máy. a : m nếu số; a ghi không hết trên máy ta viết: a = (b + c) : m Nếu b : m d R 1 c : m d R 2 . Thì số d: a : m là (R 1 +R 2 ) : m. Ví dụ : Tìm số thập phân thứ 2001 khi chia 1 cho 49. Lấy 1: 49 = 0,020408163 Lấy : 0,020408163 ì 49 - - 1 = 0,000000013 ( lá số d thứ nhất) Tức là: 1 = 0,020408163 ì 49 + 0,000000013. Lấy 13: 49 = 0,265306122 Lấy 0,265306122 ì 49 - - 13 = 0,000000022 ( Số d thứ 2) Lấy 22: 49 = 0,448979591 Lấy: 0,448979591 ì 49 - - 22 = 0,000000041 (số d thứ 3) Lấy 41 :49 = 0,836734693 Lấy 0,836734693 ì 49 - - 41 = 0,000000043 (Số d thứ 4). Lấy 43 : 49 = 0,877551020 Lấy : 0,877551020 ì 49 - - 43 = 0,000000002 Lấy 2: 49 = 0,040816326 Ta thấy phần kết quả đã lặp lại (040) Vậy 1; 49 = 0.0204081632 Số 2001 = 47 . 42 + 27 Chú ý: Nếu a 1 = k 1 .b + c 1 Nếu: a 2 = k 2. b + c 2 . Thì số d a 1 .a 2 : b chính là: c 1 .c 2 : b - Ví dụ : Tính kết quả; 52906297178,48 : 565,432 = 52906279178480 : 465432 = (5290627917.10 4 + 8480) : 565432 =(565432 ì 9356.10 4 + 46125.10 4 + 8480) : 565432 =(565432 ì 9356.10 4 + 461258480) : 565432 =(565432 ì 9356.10 4 + 565432 ì 7890): 565432 =565432(9356.10 4 + 7890): 565432 = 93567890. Tìm số d: a n : b ta viết a n = (c + d) k sao cho c M b tìm số d d k : b - Ví dụ tìm số d 7 15 chia cho 2001. 7 15 = 7 7 .7 8 mà 7 7 chia 2001 d 1132 7 8 chia 2001 d 1486 Vậy só d 7 15 : 2001 chính là số d 1132 ì 1486 :2001 d 1486. + Cách khác 7 15 = 7 5 .3 = (16807) 3 = (2001 ì 8 +799) 3 mà 799: 2001 d 1486. Các bài toán về đa thức. Bài toán 1; tìm số d chia đa thức: f(x) = x 27 + x 9 + x 3 + x chia cho x 2 - 1 Giải: Giả sử đa thức d là: a.x + b: Ta có: f(x) = (x 2 1).q(x) +a.x + b Chọn các giá trị riêng sao cho x 2 1= 0. Với x = 1 ta có a + b = 4 Với x = - 1 ta có a + b = -4 Giải hệ ta có : a = 4; b = 0, Vậy đa thức d là 4.x Bài toán 2: Tìm số d trong phép chia x 1992 cho (x 4 1)(x 8 + x 4 + 1) Giải : ta có (x 4 1)(x 8 + x 4 + 1) = x 12 1 Mặt khác x 1992 1 = (x 12 ) 166 1 chia hết x 12 1 vậy số d là 1. *Bài toán 3: Tìm a, b sao cho f(x) = x 4 x 3 3.x 2 + a.x + b, chia đa thức: x 2 x 2 d 2.x + 3. Giải: Ta có f(x) = (x 2 x 2).q(x) + 2.x + 3 Tìm các giá trị riêng sao cho x 2 x 2 có giá trị bằng 0. Với x = -1 ta có a + b = 4 Với x= 2 ta có 2a + b = 5, giải ra ta có a = 3; b= -1. Bài toán 4: Tím số d khi chia x 100 cho x 2 3x + 2 Giải : x 100 = (x 2 3x + 2).q(x) +a.x +b = (x 1).(x 2).q(x) + a.x + b X = 1 ta có a + b = 1 X = 2 ta có 2.a + b = 2 100 Giải ra: a = 2 100 1 ; b = 2 2 100 Vậy số d R = 2 10 (x 1) (x 2). Bài toán 5: Cho g(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, tìm d khi chia g(x 12 ) cho g(x). Giải; - Ta có (x 1).g(x) = x 6 1 và : g(x 12 ) = (x 12 ) 5 + (x 12 ) 4 + +x 12 + 1 - g(x 12 ) = (x 6 ) 10 + (x 6 ) 8 + (x 6 ) 6 + (x 6 ) 4 + (x 6 ) 4 + (x 6 ) 2 + 1 - g (x 12 ) 6 = ((x 6 ) 10 1)+ ((x 6 ) 8 1) +((x 6 ) 6 1) + ((x 6 ) 4 1) +((x 6 ) 2 1) Với p(x) là đa thức theo x 6 Thay x 6 1= (x 1).g(x) ta đợc g(x 12 ) = (x 1).g(x).p(x) + 6 Vậy số d là: 6. Một số công thức toán học: 1- các công thức hình học: - Gọi A, B, C làcác đỉnh của tam giác - a; b; c là các cạnh của tam giác - h a, h b , h c là các đờng cao tơng ứng của các cạnh trong tam giác. - L a , L b , L c là các đờng phân giác trong tơng ứng của các góc. - M a , m b , m c là trung tuyến tơng ứng của các cạnh, - L / a , l / b , l / c là các đờng phân giác ngoài tơng ứng của các góc. - R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác - r là bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác. - p là nửa chu vi của tam giác. + Định lý hàm số sin. sin sin a b c R A snB C = = = + Định lý hàm số cô sin. 2 2 2 2 cosa b c bc A= + ì +Định lý đờng trung tuyến. 2 2 2 2 2 2 2 2 4 cos 4 2 a a b c a m b c b m A + = + = + + Công thức tính diện tích tam giác. 2 2 1 . 2 1 . .sin 2 . . 4 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2. .sin .sin .sin .sin .sin 2sin a a b c s a h s a b C a b c s p r R s p p a p b p c s p a r p b r p c r s R A B C a B C s A = = = ì = = = = = = = ( ). 2 2. . .cos 2 a A S p p a tg A b c l b c = = + + công thức tính đờng phân giác: 2 . .cos 2 2 . . ( ) a a b c L b c p p a b c b c = = + + 2 . .sin 2 2 . ( )( ) a A b c L b c p b p c b c b c = = + Công thức tính các khoảng cách. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 9 (sin sin sin ) 9 4 1 8 cos cos cos ) 8 (1 8sin .s in .sin ) 2 2 2 OG R A B C OH R A B C A B C OI R = + + = + + = *dạng toán Từ công thức truy hồi sang công thức tổng quát và ngợc lại. -Phơng trính sai phân: 1 . . 0 (1.1) n n a x b x + + = mọi n = 0;1;2;3 Mọi nghiệm của (1.1) có dạng ( ) n n b x C a = (1.2) mọi n= 0;1;2 Để tìm C ta thay giá trị : x 0 = ? đã cho vào công thức (1.2) Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình 1 0 1 2 0;1;2 , 3 n n x x n x + = = = Công thức nghiệm tổng quát là: ( ) n n b x C a = với 0 1 3 x = ta có: 0 1 1 (2) 3 3 C C = = Vởy nghiệm tổng quát là: 1 .2 3 n n x = - Phơng trình sai phân dạng: 1 . . (1.7) n n a x b x d + + = mọi n = 0;1;2 - nghiệm của (1.7) có dạng / ( ) n n n b x C x a = + (1.8) mọi n= 0;1;2 - / n x là nghiệm riêng của phơng trình (1.7) đợc tính: / 1 . n x C d = - Để tính C 1 ta thay / 1 . n x C d = vào (1.7) tính đợc C 1 thay vào (1.8) kết hợp gá trị x 0 = ? ban đầu đã cho để tính C. để hoàn thiện công thức (1.8) - Ví dụ : x 0 = 1,5; 5x n-1 + 3x n = 2 n (1.9) - Ta có 3 5 b a = và / 1 .2 n n x C = thay vào (1.9) 5.C 1 .2 n+1 + 3C 1 .2 n 2 n = 0 Giải ra ta đợc / 1 1 1 .2 13 13 n n C x = = Với x 0 = 1 ta có : 3 1 1 ( ) .2 5 13 n n C = + Giải ra tìm đợc 12 12 3 1 .2 13 13 5 13 n n n C x = = + ữ Một số phơng pháp tìm nghiệm riêng của phơng trình: 1 . . (1.7) n n a x b x d + + = - Giả sử d n là một đa thức bậc k của n - Nếu 0a b + thì : x n / = Q k (n) (đa thức bậc k của n) - Nếu a + b = 0 Thì : x n / = n Q k + 1 (n) (đa thức bậc k + 1 của n) Ví dụ : Tìm công thức tổng quát của dãy số: x 0 = 1, 3.x n+1 2.x n = n +1 (1.10) với n = 0;1;2 ta có 2 3 b a = Nghiệm thuầm nhất 2 ( ) 3 n n x C = vì 0a b + và d n = n + 1 nên nghiệm riêng có dạng: x n / = C 1 .n + C 2 Thay vào phơng trình (1.10) 3.( C 1 .(n+1) + C 2 ) 2. (C 1 .n + C 2 ) = n + 1 đúng mọi n suy ra C 1 = 1; C 2 =2. Vậy nghiệm tổng quát đã cho là: 2 ( ) 3 n n x C = + n + 2 Với x 0 = 1 ta có : 0 2 1 ( ) 0 2 3 C = + vậy C = 3 + Ta có: 2 3( ) 3 n n x = + n + 2 Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình: x 0 = 1; x n+1 = x n + 2n 2 , với n 0 1 b a = vậy nghiệm thuần 1 . n n x C = Nghiệm riêng: vì a + b = 0 và d n = 2.n 2 nghiệm riêng x n / = n(C 1 .n 2 + C 2 n + C 3 ) thay vào : x n+1 = x n + 2n 2 Ta có: (n+ 1) (C 1 (n+1) 2 + C 2 (n+1) + C 3 ) n(C 1 .n 2 + C 2 n + C 3 ) = 2n 2 Suy ra : 1 2 3 2 4 ; 2; 3 3 C C C = = = Thay vào x n / = n(C 1 .n 2 + C 2 n + C 3 ) để xác định x n / sau đó thay x n / vào công thức tổng quát và kết hợp giá trị X 0 ban đầu tìm C từ đó có công thức nghiệm tổng quát. + Dạng sai phơng bậc hai: 2 1 . . . 0 n n n a x b x C x + + + + = Công thức nghiệm tổng quát: 1 1 2 2 . n n n x C C = + Tính: 1 2 , ta giải phơng trình 2 . . 0a b c + + = Để tinh C 1 ; C 2 ta thay x n bằng 2 giá trị x 0 x 1 đã cho ban đầu thay vào công thức: 1 1 2 2 . n n n x C C = + ta giải hệ phơng trình tìm C 1, C 2 + Nếu : 2 . . 0a b c + + = có nghiệm kép thì 1 1 2 2 . n n n x C C = + = 1 2 ( ) n n x C C n = + -Ví dụ Tìm nghiệm của phơng trình: x n+2 = 3x n+1 +28x n điều kiện ban đầu x 0 =7, x 1 =-6 + ta giải phơng trình 2 3 28 0 = đợc: 1 2 4, 7 = = Nghiệm tổng quát có dạng: 1 2 .( 4) 7 n n n x C C = + Tìm C 1, ; C 2 thay x 0 =7, x 1 =-6 vào 1 2 .( 4) 7 n n n x C C = + ta giải hệ phơng trình tìm C 1 = 5; C 2 = 2 Thay vào 1 2 .( 4) 7 n n n x C C = + Ta có: 5( 4) 2 7 n n n x = + ì + Xét dạng tuyến tính không thuần nhất: 2 1 . . . n n n n a x b x C x d + + + + = ( d n là hàm số của biến tự nhiên n , n = 0;1;2 ) - nghiÖm tæng qu¸t: / 1 1 2 2 . n n n n x C C x λ λ = + + ( x n / lµ nghiÖm riªng) + trêng hîp: d n = d.p / Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: / 2 1 . . . . n n n a x b x C x d p + + + + = NghiÖm riªng lµ: / 1 2 2 . , . . n d q x khi q q a q b q c λ λ = ≠ ≠ + + / 1 1 2 2 . n n n n x C C x λ λ = + + HoÆc 1 / 1 2 1 2 . , ; 2 . n n nd q x khi q hoac q a q b λ λ λ λ − = = = ≠ + ( ) 2 / 1 2 . 1 . 2 n n d q x n n khi q a λ λ − = − = = + vÝ dô: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh: x n-2 - 8.x n+1 + 15.x n =2.5 n+1 Khi ®ã ph¬ng tr×nh: 2 8 15 0 λ λ − + = cã nghiÖm: λ 1 = 3; λ 2 = 5 - v× 2.5 n+1 = 10.5 n vµ; q = 5 = λ 2 1 λ ≠ - NghiÖm riªng cã d¹ng: 1 1 . 10 .5 .5 2 . 2.1.5 8 n n n n nd q n x n a q b − − = = = + − + Trêng hîp: d n ≡ d khi ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 2 1 . . . n n n a x b x C x d + + + + = NghiÖm riªng cã d¹ng: / n d x a b c = + + ( a+b+c ≠ 0) [...]... nghiệm kép: thì nghiệm riêng là: Khi 2.a + b Còn xn / = d n 2a + b 0 xn / = n(n 1) d 2a Khi 2.a + b =0 + Quy trình tìm: - Giải phơng trình tìm : 1,2 - Tìm nghiệm riêng xn/ - Thay nghiệm riêng và các giá trị ban đầu; x0, x1 vào công thức tổng quát: xn =C1.n +C2 n + xn / Để giải hệ phơng trình tìm C1 và C2 1 2 . pháp tìm số d + Tìm số d: a: b = m,cd - cách 1: Số d = a b.m - Cách 2: số d = b.0,cd ( nếu phần thập phân là hữu hạn) - cách 3 : Nhập a = ấn : Ans b = = = = (đến khi nhỏ hơn b là số d). . 11456 Nhận xét: Tìm số d của ( a + b) n : c Nếu a chia hết cho c thì tìm số d ( a + b) n : c chính là tìm số d của b n chia cho c. Dạng toán dãy số. Ví dụ : Cho dãy số U n + 1 = 2U n . Ví dụ: Cho dãy số : 3 1 1 3 n n x x + + = Biết x 1 = 1/2. tìm x 30 . Khai báo: ấn 1/2 = Lập công thức: ( Ans x 3 + 1): 3 = = = Tính đến lần 30. + Một số bài toán: cho dãy số: 1 2 ( 1) 2 n n n x x