HV: 1. Đoàn Văn Tuấn Khanh 2. Vũ Kim Hồng 3. Nguyễn Quốc Thắng 4. Nguyễn Thanh Toàn ĐỊA PHƯƠNG HÓA GVHD: PGS.TS Tr+n Tuấn Nam I • Vành các thương II • Địa phương hóa III • Môđun các thương IV • Tính chất địa phương ĐỊA PHƯƠNG HÓA Tập con nhân: Cho vành A là một vành giao hoán giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0. Một tập S ⊂ A được gọi là tập con nhân của A nếu: i) 1∈S; ii) ∀x, y∈S ⇒ xy∈S. Ví dụ:  S = A\p với p là iđêan nguyên tố của A.  S = {f n | n ≥ 0} với f∈A.  S = A\{0} với A là miền nguyên.  S = 1 + a với a là một iđêan của A. I. Vành các thương 3 Cho tập con nhân S của vành A . Trên tập ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau: Dễ thấy là một quan hệ tương đương trên . Ký hiệu tập thương là . Ký hiệu lớp tương đương của phần tử là . I. Vành các thương 4 A S× : ( ) ( ) ( ) , ', ' : ' ' 0a s a s t S as a s t⇔ ∃ ∈ − =: ( ) A S× : 1 S A − ( ) ,a s a s : A S× S là tập con nhân nên . Do đó . Chứng minh: là một quan hệ tương đương trên .  Phản xạ: vì thỏa .  Đối xứng: Giả sử  Bắc cầu: Giả sử và I. Vành các thương 5 ( ) ( ) , ,a s a s: 1 S∃ ∈ ( ) 1 0as as− = ( ) ( ) , ', 'a s a s: ( ) ' ' 0a s as t⇒ − = ( ) ( ) ', ' ,a s a s⇒ : ( ) ( ) : ' ' 0 ' ' 0 ' '' '' ' 0 : ' '' '' ' 0 u S as a s u as u a su a s v a s v v S a s a s v  ∃ ∈ − = − =  ⇒ ⇒   − = ∃ ∈ − =   ( ) : ' ' 0t S as a s t⇒ ∃ ∈ − = ( ) ( ) , ', 'a s a s: ( ) ( ) ', ' '', ''a s a s: ( ) ' . '' ' . '' 0 '' '' ' 0 ' '' . '' ' . 0 as u s v a su s v as a s s uv a s v su a s v su − =  ⇒ ⇒ − =  − =  's uv S∈ ( ) ( ) , '', ''a s a s: : A S× Khi đó, trở thành một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là vành các thương của vành A theo tập con nhân S. Trên xác định phép cộng và nhân:  Phép cộng:  Phép nhân: I. Vành các thương 6 Ta sẽ chứng minh các quy tắc trên là phép toán. Các tiên đề định nghĩa vành tự kiểm tra dễ dàng. 1 , : a b a b at bs S A s t s t st − + ∀ ∈ + = 1 , : . a b a b ab S A s t s t st − ∀ ∈ = 1 S A − 1 S A −  Cộng: 7 Chứng minh: các quy tắc đã cho là phép toán. I. Vành các thương 7 1 ' ' , , , ' ' a a b b S A s s t t − ∈ ( ) ( ) ' : ' ' 0 ' ' : ' ' 0 ' a a u S as a s u s s b b v S bt b t v t t  =   ∃ ∈ − = ⇒   ∃ ∈ − =   =  ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 0 ' ' ' ' 0 ' ' ' 0 ' ' ' ' 0 as a s uvtt as tt a stt uv bt b t vuss bt ss b tss vu   − = − = ⇒ ⇒   − = − =   ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' 0at bs t s a t b s ts uv   ⇒ + − + =   ' ' ' ' ' ' at bs a t b s st s t + + ⇒ = ' ' ' ' a b a b s t s t ⇒ + = +  Nhân:  I. Vành các thương 8 1 ' ' , , , ' ' a a b b S A s s t t − ∈ ( ) ( ) ' : ' ' 0 ' ' : ' ' 0 ' a a u S as a s u s s b b v S bt b t v t t  =   ∃ ∈ − = ⇒   ∃ ∈ − =   =  ' ' ' . ' ' . ' ' ' as u a su as u bt v a su b tv bt v b tv =  ⇒ ⇒ =  =  ( ) ' ' ' ' 0abs t a b st uv⇒ − = ' ' ' ' ab a b st s t ⇒ = ' ' . . ' ' a b a b s t s t ⇒ = (vì )  Giả sử . 1. là vành không khi và chỉ khi . Chứng minh:  Giả sử là vành không. Do đó là vành không. I. Vành các thương 9 Tính chất: 1 S A − 1 S A − ( ) 1 0 : 1.1 1.0 0 1 1 t S t⇒ = ⇒ ∃ ∈ − = 0 t S⇒ = ∈ 1 0 1 a a S A s s − ∀ ∈ ⇒ = ( ) 0 : .1 .0 0 0S a s∃ ∈ − = 1 S A − 0 S∈ 0 S∈ 2. Mọi phần tử của có dạng với đều khả nghịch. Nghịch đảo của là vì: . Chứng minh: I. Vành các thương 10 Tính chất: u v u v v u u v uv 1 . v u vu 1 = = 1 S A − ,u v S∈ [...]... Tính chất địa phương • Địa phương hóa ĐỊA PHƯƠNG HÓA • Vành các thương 22 II Địa phương hóa Cho p là iđêan nguyên tố của vành A Tập được ký hiệu là S = A\ p là tập con nhân của A Vành các thương −1 S A Ap Khi đó, vành A p là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập hợp p  S p:=  : p ∈ p, s ∈ S  s  −1 và được gọi là địa phương hóa của vành A theo iđêan nguyên tố p II Địa phương hóa 23... vì nếu 1∈ S p⇒ 1 = , p ∈ p, s ∈ S s ⇒ ∃t ∈ S : ( s − p ) t = 0 ⇒ st = pt ∈ S ∩ p lý! vô II Địa phương hóa a a −1 ∈ Ap \ S p⇒ a ∉khả⇒ a ∈ S ⇒ p nghịch  ∀ s s A địa Theo 1.6, là vànhp phương với iđêan tối đại duy nhất là  S −1p 24 IV III I • Môđun các thương II • Tính chất địa phương • Địa phương hóa ĐỊA PHƯƠNG HÓA • Vành các thương 26 III Môđun các thương Cho tập con nhân S của vành A và A – môđun M . Thắng 4. Nguyễn Thanh Toàn ĐỊA PHƯƠNG HÓA GVHD: PGS.TS Tr+n Tuấn Nam I • Vành các thương II • Địa phương hóa III • Môđun các thương IV • Tính chất địa phương ĐỊA PHƯƠNG HÓA Tập con nhân: Cho vành