Phòng GD –ĐT Thuận An Trường THCS Trịnh Hoài Đức KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Lần 2 - Năm học 2009-2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức: A= 1212 36 . 6 16 6 16 2 2 22 + −       + − + − + x x xx x xx x ( Với x ≠ 0 ; x ≠ 6± ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A với 1 19 24 5 x = + Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x + + + = − + − + − + − + Câu 3: ( 6 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 2 - (2x + 3)(x + 5) + 3 b) x 20 + x +1 c) (x 2 + y 2 +1) 4 - 17(x 2 +y 2 +1) 2 x 2 + 16x 4 Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF. b) Chứng minh = .CM CE a CF c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh ∆ MAD cân. d) Tính diện tích ∆ MDC theo a. Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ? Hết Phòng GD –ĐT Thuận An Trường THCS Trịnh Hoài Đức KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Lần 2 - Năm học 2009-2010 Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài 150 phút Đáp án Gợi ý Điểm Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức: A= 1212 36 . 6 16 6 16 2 2 22 + −       + − + − + x x xx x xx x ( Với x ≠ 0 ; x ≠ 6± ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A với x = 1 19 24 5+ Giải 1) ( 1 điểm ) ĐK: x ≠ 0; x ≠ 6 ± ) A = )1(12 )6)(6( . )6( 16 )6( 16 2 + −+       + − + − + x xx xx x xx x = 2 2 2 6 36 6 6 36 6 1 . 12( 1) x x x x x x x x + + + + − − + = + = x x x x 1 )1(12 1 . )1(12 2 2 = + + 2) A= 1 1 19 24 5 1 19 24 5 x = = + + 3 1 Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 8x x x x x x x x + + + = − + − + − + − + ĐK : ∉{2;3;4;5;6}x Phương trình tương đương + + + = − − − − − − − − ⇔ − + − + − + − = − − − − − − − − 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 5 8 x x x x x x x x x x x x x x x x 0,5 0,5 0,5 ⇔ − + = − − − − + − − − ⇔ = − − − − 1 1 1 2 6 8 8( 6) 8( 2) ( 2)( 6) 8( 2)( 6) 8( 2)( 6) x x x x x x x x x x ⇒ = − + ⇔ − − = ⇔ + − = 2 2 32 8 12 8 20 0 ( 2)( 10) 0 x x x x x x ⇔ = − =2 10x hoac x (thỏa điều kiện ) Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10 0,5 0,5 0,5 Bài 3.(6điểm) a) x 2 - (2x + 3)(x + 5) +3= x 2 - 2x 2 -13x-15 +3 = -x 2 -13x -12 =-(x 2 +x+12x+12)=-[x(x+1)+12(x+1)]=-(x+1)(x+12) b) x 20 + x +1 =x 20 -x 2 +x 2 +x+1 =x 2 (x 18 -1) +(x2+x+1) =x 2 (x 9 +1)(x 9 -1)+(x 2 +x+1) =x 2 (x 9 +1)(x 3 -1)(x 6 +x 3 +1)+(x 2 +x+1) =x 2 (x 9 +1)(x-1)(x 2 +x+1)(x 6 +x 3 +1)+(x 2 +x+1) =(x 2 +x+1)[x 2 (x 9 +1)(x-1)(x 6 +x 3 +1)+1] c) (x 2 + y 2 +1) 4 - 17(x 2 +y 2 +1) 2 x 2 + 16x 4 =A Đặt t =x 2 +y 2 +1 Ta có : A = t 4 -17t 2 x 2 +16x 4 = t 4 –t 2 x 2 -16t 2 x 2 +16x 4 = t 2 (t 2 -x 2 ) -16x 2 (t 2 -x 2 ) =(t 2 -x 2 )(t 2 -16x 2 ) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x) = ( x 2 +y 2 +1+x) ( x 2 +y 2 +1-x)(x 2 +y 2 +1-4x)( x 2 +y 2 +1+4x) 1 1 1 1 1 1 Câu 4 (8 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF. b) Chứng minh = .CM CE a CF c) Gọi K là giao điểm CM và DA . Chứng minh ∆ MAD cân. d) Tính diện tích ∆ MDC theo a. K M F E C B A D a. µ ¶ 1 1 ( . . )BEC CFD c g c C D= ⇒ =V V CDFV vuông tại C µ ¶ µ µ 0 0 1 1 1 1 90 90F D F C CMF⇒ + = ⇒ + = ⇒V vuông tại M Hay CE ⊥ DF. b.Xét àCMF v CBEV V có · · 0 90CMF CBE= = và · MCF chung => CMFV đồng dạng CBEV (gg) => .CM CF CM CE BC CB CE CF = => = Mà BC =a Do đó : .CM CE a CF = c.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có : ( . . )AEK BEC g c g BC AK= ⇒ =V V ⇒ AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M 1 2 AM KD AD AMD⇒ = = ⇒V cân tại A d. ( . ) CD CM CMD FCD g g FD FC ⇒ =V : V Do đó : 2 2 . CMD CMD FCD FCD S CD CD S S S FD FD     = ⇒ =  ÷  ÷     V V V V Mà : 2 1 1 . 2 4 FCD S CF CD CD= = V . Vậy : 2 2 2 1 . 4 CMD CD S CD FD = V . Trong DCFV theo Pitago ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 . 2 4 4 DF CD CF CD BC CD CD CD   = + = + = + =  ÷   . Do đó : 2 2 2 2 2 1 1 1 . 5 4 5 5 4 MCD CD S CD CD a CD = = = V 2 2 2 2 Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng . Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng .Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc .Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng . Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ? Giải Cả hai máy cùng làm việc 4 ngày cày xong cánh đồng Và cả hai máy cùng làm việc trong hai ngày Suy ra : còn ½ cánh đồng máy 2 phải hoàn thành công việc 1 mình . Mà máy 2 phải cày một mình ½ cánh đồng đó trong 6 ngày Suy ra : máy 2 cày xong hết cánh đồng mất 12 ngày . Ta có : 1 ngày, máy 2 cày được 1 12 cánh đồng => 2 ngày , máy 2 cày được : 1 6 cánh đồng Mà 2 máy , 2 ngày cày chung được ½ cánh đồng => 2 ngày máy 1 cày được 1 1 1 2 6 3 − = cánh đồng => 1 ngày máy 1 cày được 1 6 cánh đồng => máy 1 cày hết cánh đồng hết 6 ngày Vậy máy 1 cày hết cánh đồng mất 6 ngày . Máy 2 cày hết cánh đồng mất 12 ngày . (học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa) 4 . a) x 2 - (2x + 3)(x + 5) +3= x 2 - 2x 2 -1 3x-15 +3 = -x 2 -1 3x - 12 =-( x 2 +x+12x+ 12) =-[ x(x+1)+ 12( x+1)] =-( x+1)(x+ 12) b) x 20 + x +1 =x 20 -x 2 +x 2 +x+1 =x 2 (x 18 -1 ) +(x2+x+1) =x 2 (x 9 +1)(x 9 -1 )+(x 2 +x+1). 17(x 2 +y 2 +1) 2 x 2 + 16x 4 =A Đặt t =x 2 +y 2 +1 Ta có : A = t 4 -1 7t 2 x 2 +16x 4 = t 4 –t 2 x 2 -1 6t 2 x 2 +16x 4 = t 2 (t 2 -x 2 ) -1 6x 2 (t 2 -x 2 ) =(t 2 -x 2 )(t 2 -1 6x 2 ) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x) =. An Trường THCS Trịnh Hoài Đức KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Lần 2 - Năm học 20 09 -2 0 10 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức: A= 121 2 36 . 6 16 6 16 2 2 22 + −       + − + − + x x xx x xx x