Giaùo trình XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HP 1. TẬP HP Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không có đònh nghóa. Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau cho ta hình ảnh của tập hợp và các đối tượng được gom góp này trở thành phần tử của tập hợp. Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các ký tự in như A, B, C, , X, Y, và phần tử bằng các ký tự thường như a, b, c, , x, y. Nếu x là một phần tử của A, ta viết xA ∈ . Ngược lại, nếu x không là phần tử của A, ta viết xA∉ . 1.1. Các phương pháp xác đònh tập hợp. Có ba phương pháp xác đònh tập hợp : Phương pháp liệt kê, phương pháp trưng tính và phương pháp dùng giản đồ Venn. Phương pháp liệt kê : Các phần tử của tập hợp được viết xuống giữa hai ngoặc nhọn, “{“ và “}”, phần tử khác nhau được phân cách bởi dấu phẩy và thỏa hai điều kiện : − Không chú ý thứ tự liệt kê, − Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần, không lặp lại. Chẳng hạn, các tập hợp { } A a, b,c= và { } Bc,b,a= là như nhau do chúng chỉ khác nhau ở thứ tự liệt kê các phần tử; { } C1,0,1= không hợp lệ vì phần tử 1 được liệt kê hai lần. Phương pháp trưng tính : Đưa ra một tính chất mà chỉ có phần tử của tập hợp tương ứng được thỏa. Chẳng hạn, gọi A là tập các số nguyên chẵn. Tính chất số nguyên chẵn là tính chất đặc trưng cho tập A. Khi đó, 1 2 2, A∉ vì chúng không là số nguyên; 3, 5 A∉ vì chúng là số nguyên nhưng không là số chẵn; 10,100 A∈ vì chúng là số nguyên và là số chẵn. Tổng quát, người ta dùng một hàm mệnh đề p(x) theo một biến xX∈ , nghóa là ứng với mỗi xX ∈ , ta có một mệnh đề p(x). Tập A các phần tử xX∈ sao cho mệnh đề p(x) có chân trò đúng được ký hiệu là { } A xXp(x)=∈ . Khi đó, ta có xX,xA p(x)∀∈ ∈ ⇔ . Nói khác đi, x thuộc về A nếu và chỉ nếu p(x) là mệnh đề đúng. Chẳng hạn, tập A các số nguyên chẵn được viết lại là { } A x x chia hết cho 2=∈ . 2 Phương pháp dùng giản đồ Venn : Người ta dùng một đường cong đơn khép kín, chia mặt phẳng ra làm hai miền, miền phía trong đường cong dành để liệt kê các phần tử của tập hợp, miền phía ngoài đường cong dành để liệt kê các phần tử không nằm trong tập hợp. Chẳng hạn, ta có x,a A∈ , y, b A ∉ . x y a b 2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HP. Với hai tập hợp A và B, ta nói A là một tập con của B, ký hiệu A B⊂ , khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B, x, x A x B ∀ ∈⇒∈ . Tập tất cả các tập con của một tập X cho trước được ký hiệu là (X)P , { } (X) A A X=⊂P . Hiển nhiên X X⊂ và do đó X (X) ∈ P . Ngoài ra, tập hợp không có phần tử nào cả được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu ∅ và ta quy ước tập hợp rỗng là tập con của mọi tập hợp, nghóa là X ∅⊂ hay (X) ∅ ∈P , với mọi tập hợp X. Ví dụ, với { } A a, b,c,d= , { } Ba,b,c= và { } Cb,c,d= , ta có B, C A⊂ vì mọi phần tử của B cũng như của C đều là phần tử của A. Tuy nhiên BC⊂ / vì tồn tại phần tử aB∈ nhưng aC∉ và CB⊂ / vì tồn tại phần tử dC ∈ nhưng dB∉ . Cho X là một tập hợp không rỗng và A, B là hai tập con bất kỳ của X, ta đònh nghóa Phần giao của A và B, ký hiệu A B∩ , là tập các phần tử vừa thuộc về A, vừa thuộc về B, { } A BxXxAxB=∈ ∈∧∈∩ . Phần hội của A và B, ký hiệu A B∪ , là tập các phần tử thuộc về A hay thuộc về B, { } A BxXxAxB=∈ ∈∨∈∪ . Phần hiệu của A cho B, ký hiệu A \B , là tập các phần tử thuộc về A nhưng không thuộc về B, 3 { } A \B x X x A x B=∈ ∈∧∉ . Phần bù của A trong X, ký hiệu A , là tập các phần tử thuộc về X mà không thuộc về A, { } A xXxA=∈ ∉ . Phần giao, phần hội, phần hiệu của A và B cũng như phần bù của A trong X có thể biểu diễn bởi giản đồ Venn như sau X A B X A B A B∩ A B∪ X A B A X A \B A Với X là một tập hợp không rỗng, A, B, C là các tập con của X, ta có một số tính chất thường dùng sau : (i) ()() ( ) A BC AB AC=∪∩ ∪∩∪, ()()() A BC AB AC=∩∪ ∩∪∩ . (ii) A BAB=∪∩, A BAB=∩∪. (iii) AA=∅∩ , A AX=∪ . Khi đó, ta nói A và A tạo thành một phân hoạch cho X và với một tập con B bất kỳ của X, ta có () () BBA BA= ∩∪∩, () () BA BA = ∅∩∩∩ , nghóa là BA∩ , BA∩ tạo thành một phân hoạch cho B. A A − B B A − B A Tổng quát, với n tập con 1 A , 2 A , , n A , của X sao cho ij A A =∅∩ khi ij≠ , nghóa là các tập con này đôi một không có phần tử chung, và 4 12 n A A A X = ∪∪∪ , ta nói 1 A , 2 A , , n A tạo thành một phân hoạch cho X. Khi đó, với một tập con bất kỳ B của X, ta có ()()() 12 n B B A B A B A= ∩∪∩∪∪∩ , ( ) ( ) ij BA BA = ∅∩∩∩ khi ij≠ . Nói khác đi, 1 BA∩ , 2 BA∩ , n BA∩ tạo thành một phân hoạch cho B. A 1 A 2 A n B X B A 1 B A 2 B A n 3. QUY TẮC ĐẾM. Trong phần còn lại, ta chỉ khảo sát các tập hợp hữu hạn, nghóa là các tập X mà phần tử của nó có thể liệt kê theo thứ tự là 1 x , 2 x , , n x , { } 12 n X x , x , , x= . Ta nói X có n phần tử, ký hiệu X n = . Ta có Công thức cộng. Cho X và Y là hai tập hợp hữu hạn và không có phần tử chung, nghóa là X Y =∅∩ . Ta có X YXY=+∪ . Nói khác đi, số phần tử của X Y∪ chính là tổng số phần tử của X và của Y. Tổng quát, nếu k tập hợp 1 X , 2 X , , k X đôi một không có phần tử chung, nghóa là ij X X = ∅∩ khi ij≠ , thì số phần tử của 12 k X X X∪∪∪ chính là tổng số phần tử của các tập 1 X , 2 X , , k X , 12 k 1 2 k X X X X X X=+++∪∪∪ . Ngoài ra, với hai tập hợp X và Y, tập tất cả các bộ thứ tự () x, y , với x X∈ và yY∈ được gọi là tập hợp tích của X và Y, ký hiệu X Y × , ( ) { } X Yx,yxXy= ∈∧∈ . Khi đó, ta có Công thức nhân. Số phần tử của tập hợp tích X Y × chính là tích số các phần tử của X và của Y. X YXY × =⋅ . 5 Tổng quát, với k tập hợp hữu hạn 1 X , 2 X , , k X , tập hợp tích 12 k X X X××× xác đònh bởi ( ) { } 12 k 12 k1 12 2 k k X X X x ,x , , x x X x X x X××× = ∈∧∈∧∧∈ có số phần tử chính là tích của số các phần tử của các tập 1 X , 2 X , , k X , 12 k 12 k X X X X X X××× = ⋅ ⋅⋅ Từ các kết quả này, ta khái quát thành các quy tắc đếm như sau : Quy tắc cộng : Giả sử một công việc có thể thực hiện bằng một trong k phương pháp, trong đó phương pháp 1 có 1 n cách thực hiện, phương pháp 2 có 2 n cách thực hiện, , phương pháp k có k n cách thực hiện, và hai phương pháp khác nhau không có cách thực hiện chung. Khi đó, ta có 12 k n n n+++ cách thực hiện công việc. Quy tắc nhân : Giả sử một công việc được thực hiện tuần tự theo k bước, trong đó bước 1 có 1 n cách thực hiện, bước 2 có 2 n cách thực hiện, , bước k có k n cách thực hiện. Khi đó, ta có 12 k n n n××× cách thực hiện công việc. Chẳng hạn, nếu ta có 4 áo sơ mi ngắn tay và 5 áo sơ mi dài tay thì ta có cả thảy 459+= cách chọn áo. Nếu ta có 9 áo sơ mi và 8 quần tây thì ta có 98 72×= cách chọn quần áo. 4. GIẢI TÍCH TỔ HP Cho { } 12 n X x , x , , x= là một tập hợp có n phần tử. Từ X, lấy ra thứ tự k phần tử, 1 a , 2 a , , k a , ta được một bộ thứ tự các phần tử của X, () k 12 k k lần a ,a , ,a X X X X∈≡×××    , mà ta còn gọi là một chỉnh hợp n chập k. Ta có hai trường hợp : - Trường hợp 1 : Từng phần tử sau khi lấy ra được hoàn lại vào X trước khi lấy phần tử kế tiếp. Khi đó, các phần tử lấy ra có thể trùng nhau, và chỉnh hợp tương ứng được gọi là chỉnh hợp lặp n chập k. - Trường hợp 2 : Các phần tử lấy ra không được hoàn lại, nghóa là các phần tử lấy ra khác nhau từng đôi một, và chỉnh hợp tương ứng được gọi là chỉnh hợp không lặp n chập k. 6 Ngoài ra, nếu ta không chú ý tới thứ tự lấy ra các phần tử của X. Nói khác đi, từ X ta lấy ra k phần tử, ta được một tập con { } 12 k a ,a , ,a của X mà ta còn gọi là một tổ hợp n chập k. Hiển nhiên là các phần tử của một tổ hợp phải khác nhau từng đôi một. Với các kết quả về phép đếm, ta được i) Số chỉnh hợp lặp n chập k là k n , ii) Số chỉnh hợp không lặp n chập k là () ()()() k n n! A nk1nk2 n1n nk! ==−+−+− − , (iii) Số tổ hợp n chập k là () k n n! C k! n k ! = − . Ví dụ 1. (a) Từ một nhóm gồm 10 ứng viên cho một ban cán sự lớp gồm 3 chức danh : Lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó văn thể. Nếu ứng viên được phép kiêm nhiệm, nghóa là một ứng viên có thể phụ trách cùng lúc nhiều chức danh, thì mỗi cách thành lập ban cán sự lớp là một chỉnh hợp lặp 10 chập 3 và do đó, có 3 10 1000= cách thực hiện. Nếu ta không chấp nhận kiêm nhiệm, thì mỗi cách thành lập ban cán sự lớp là một chỉnh hợp không lặp 10 chập 3 nên có cả thảy () 3 10 10! A 8 9 10 720 10 3 ! ==⋅⋅= − cách chọn. (b) Từ nhóm sinh viên nêu trên, mỗi cách chọn ra 3 sinh viên để dự đại hội đoàn là một tổ hợp 10 chập 3 nên ta có () 3 10 10! 8 9 10 C 120 3! 10 3 ! 1 2 3 ⋅⋅ === −⋅⋅ cách chọn. Ví dụ 2. Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 bi trắng và 6 bi đen. Mỗi cách lấy ra 5 viên bi là một tổ hợp 10 chập 5 nên có () 5 10 10! 6 7 8 9 10 C 252 5! 10 5 ! 1 2 3 4 5 ⋅⋅⋅⋅ == = −⋅⋅⋅⋅ cách chọn. Để lấy ra 5 viên bi trong đó có 2 bi trắng, ta thực hiện tuần tự hai bước : Bước 1 : Lấy 2 bi trắng trong 4 bi trắng. Có () 2 4 4! C6 2! 4 2 ! = = − cách thực hiện. Bước 2 : Lấy 3 bi còn lại trong 6 bi đen. Có () 3 6 6! C20 3! 6 3 ! == − cách. Do đó, ta có cả thảy 6 20 120×= cách thực hiện. 7 Bài tập. 1. Cho { } A 1, 2, 3= và { } B 3,4,5,6= . a) Xác đònh A B∪ , A B∩ và A \B . b) Tìm tất cả các tập con của A. 2. Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Chứng tỏ a) A A\B A B=+∩ . b) A BABAB=+−∪∩ . 3. Cho A, B và C là ba tập hợp hữu hạn. Chứng tỏ A BCABCABACBC ABC =++− − − + ∪∪ ∩ ∩ ∩ ∩∩ 4. Một khóa số gồm ba vòng khóa, mỗi vòng có mười chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có tất cả bao nhiêu mã khóa ? 5. Trong một lớp gồm 30 sinh viên, cần chọn ra ba sinh viên để làm lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách bầu chọn ? 6. Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen. a) Có tất cả bao nhiêu cách lấy ra 5 bi ? b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng ? 7. Trong một nhóm ứng viên gồm 7 nam và 3 nữ, a) có bao nhiêu cách thành lập một ủy ban gồm 3 người ? b) có bao nhiêu cách thành lập một ủy ban gồm 3 người trong đó có đúng 1 nữ ? c) có bao nhiêu cách thành lập một ủy ban gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ ? 8 Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 1. HIỆN TƯNG NGẪU NHIÊN Người ta chia các hiện tượng xảy ra trong đời sống hàng ngày thành hai loại : Hiện tượng ngẫu nhiên và hiện tượng tất đònh. Những hiện tượng mà khi được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau sẽ cho kết quả như nhau được gọi là những hiện tượng tất đònh. Chẳng hạn, đốt nóng một thanh kim loại trong điều kiện bình thường thì nó dài ra; đun nước đến o 100 C trong điều kiện bình thường thì nó bốc hơi. Ngược lại, những hiện tượng mà dù được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau vẫn có thể cho nhiều kết quả khác nhau được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên. Chẳng hạn, tung một con xúc xắc, ta không thể chắc chắn rằng mặt nào sẽ xuất hiện; lấy ra một sản phẩm từ một lô hàng gồm cả hàng chính phẩm lẫn phế phẩm, ta không chắc chắn sẽ nhận được hàng chính phẩm hay phế phẩm. Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát của lý thuyết xác suất và để khảo sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta cho các hiện tượng này xuất hiện nhiều lần để quan sát. Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu nhiên được gọi là thực hiện một phép thử. Khi đó, dù ta không thể dự đoán được kết quả nào sẽ xảy ra nhưng thường ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là một biến cố sơ cấp và mỗi một tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Ta thường ký hiệu τ cho phép thử, Ω cho không gian mẫu tương ứng, ω∈Ω chỉ các biến cố sơ cấp và các tập con A, B, C, của Ω để chỉ các biến cố. Ví dụ 1. Xét phép thử τ : "tung con xúc xắc” và quan sát các mặt xuất hiện. Ta có không gian mẫu { } 1, 2, 3, 4, 5, 6Ω= , trong đó 1, 2, ω= là các biến cố sơ cấp chỉ việc nhận được mặt 1, 2, , tập con { } A 2, 4, 6= của Ω chỉ biến cố : "nhận được mặt chẵn", Ví dụ 2. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ một lô hàng là một phép thử τ mà không gian mẫu chính là lô hàng đó. Các tập con CP các chính phẩm và PP các phế phẩm là các biến cố mà ta còn gọi là biến cố “nhận được chính phẩm” và “nhận được phế phẩm”. 9 Xét không gian mẫu Ω của một phép thử τ và A ⊂Ω là một biến cố. Sau khi thực hiện phép thử τ , ta nhận được biến cố sơ cấp ω . Nếu A ω∈ , ta nói : "biến cố A xảy ra"; ngược lại, nếu A ω ∉ , ta nói : "biến cố A không xảy ra". Chẳng hạn, với phép thử τ : "tung con xúc xắc" và biến cố A : "nhận được mặt chẵn" . Khi ta tung con xúc xắc, nếu nhận được mặt 4, ta nói biến cố A xảy ra, nếu nhận được mặt 1, ta nói A không xảy ra, Từ đònh nghóa, xét không gian mẫu Ω tương ứng với phép thử τ . Ta luôn luôn có hai biến cố đặc biệt : - Biến cố chắc chắn A =Ω : là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, - Biến cố không thể có A = ∅ : là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Chẳng hạn, xét phép thử "tung hai con xúc xắc", quan sát tổng số các nút xuất hiện, và xét các biến cố A : "tổng số nút 13≤ ”, B : "tổng số nút 1= ". Ta có A là biến cố chắc chắn và B là biến cố không thể có. Ngoài ra, do mỗi một biến cố là một tập con của không gian mẫu Ω nên bằng các phép toán tập hợp, với hai biến cố A ,B⊂Ω , ta có thể thành lập các biến cố : CABAB=≡∩ chỉ biến cố "A và B cùng xảy ra". Khi A B =∅ , ta nói A và B là hai biến cố xung khắc (A và B không bao giờ cùng xảy ra). CABAB=≡+∪ chỉ biến cố "A xảy ra hay B xảy ra". C\AA=Ω = chỉ biến cố đối lập của A : A xảy ra nếu và chỉ nếu A không xảy ra. Chẳng hạn, với không gian mẫu { } 1, 2, 3, 4, 5, 6Ω= của phép thử "tung xúc xắc" và các biến cố { } A 2, 4, 6= , { } B1,3,5= , { } C4= , ta có : A B+ là biến cố chắc chắn, A B là biến cố không thể có và do đó A, B là hai biến cố đối lập (và đương nhiên là hai biến cố xung khắc), B và C là hai biến cố xung khắc (nhưng không đối lập). 2. XÁC SUẤT. Quan sát các biến cố đối với một phép thử, mặc dù không thể khẳng đònh một biến cố có xảy ra hay không nhưng người ta có thể phỏng chừng cơ may xảy ra của các biến cố này là ít hay nhiều. Chẳng hạn, với phép thử "tung xúc xắc", biến cố "nhận được mặt 1" ít xảy ra hơn biến cố "nhận được mặt chẵn". Do đó, người ta tìm cách đònh lượng khả năng xuất hiện khách quan của một biến cố mà ta sẽ gọi là xác suất của biến cố đó. [...]... trong hai điều kiện trên không xảy ra, ta không thể dùng đònh nghóa cổ điển để xác đònh xác suất của một biến cố Tuy nhiên, bằng cách viết lại đònh nghóa cổ điển này, P(A) = số trường hợp thuận lợi cho A , số trường hợp xảy ra ta có thể đònh nghóa xác suất bằng phương pháp thống kê như sau 2.2 Đònh nghóa xác suất bằng tần suất Giả sử phép thử τ có thể lập lại nhiều lần trong điều kiện giống nhau Nếu... thức Bayès, xác suất P ( B1 ) , P ( B2 ) , , P ( Bn ) để các biến cố B1 , B2 , , Bn xảy ra được biết trước nên thường được gọi là các xác suất tiên nghiệm Sau khi thực hiện phép thử, thấy biến cố A xảy ra, xác suất để các biến cố B1 , B2 , , Bn xảy ra được tính lại với thông tin thêm này (nghóa là các xác suất có điều kiện P ( B1 A ) , P ( B2 A ) , , P ( Bn A ) ) nên được gọi là các xác suất hậu nghiệm... và thấy rằng nó tốt Tìm xác suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất 9 Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p = 0.7 a) Bắn liên tiếp 3 phát Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia ≥ 0.9 10 Một hộp đựng 10 phiếu trong đó chỉ có 2 phiếu có trúng thưởng Có 10 người lần lượt rút thăm Tính xác suất nhận được phần thưởng... có 5 máy Xác suất để trong một ca, mỗi máy bò hỏng là 0.1 Tìm xác suất để trong một ca, có đúng 2 máy bò hỏng 16 Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữ số) và bạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn gọi đúng số điện thoại này mà không phải thử quá 3 lần Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này là bao nhiêu ? 17 Tính xác suất để... ra k lần thì tỷ số n được gọi là tần suất xuất hiện của A trong n phép thử 10 Người ta chứng minh được rằng, khi n đủ lớn, tần suất của biến cố A sẽ dao động xung quanh một giá trò nào đó mà ta gọi là xác suất của A, ký hiệu P(A) Trong thực tế, với n đủ lớn, người ta lấy tần suất của A làm giá trò gần đúng cho xác suất của biến cố A, P(A) = k n Ví dụ 4 a) Thống kê trên 10.000 người dân thành phố cho... ) , với với mọi ω ∈ Ω Y 1 XÁC ĐỊNH BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN Để xác đònh một biến số ngẫu nhiên rời rạc, người ta cần xác đònh các giá trò x i , i = 1, 2, có thể nhận được bởi biến ngẫu nhiên này và đồng thời cũng cần xác đònh xác suất để X nhận giá trò này là bao nhiêu, nghóa là, cần xác đònh ({ P ω X ( ω) = x i }) ≡ P ( X = xi ) , với i = 1, 2, Ta có 1.1 Bảng phân phối xác suất Xét biến số ngẫu nhiên... (tích lũy) A Biến số ngẫu nhiên rời rạc Từ bảng phân phối xác suất của biến số ngẫu nhiên rời rạc X, X x1 x2 xn P p1 p2 pn ta đònh nghóa 1.2 Hàm mật độ (xác suất) Hàm số f : → xác đònh bởi ⎧p f (x) = ⎨ i ⎩0 khi x = x i khi x ≠ x i , ∀i 31 được gọi là hàm mật độ xác suất, hay vắn tắt là hàm mật độ, của X Từ tính chất của bảng phân phối xác suất, dễ thấy rằng (i) ∀x ∈ (ii) , f (x) ≥ 0 , và ∑ f (x)... của k với xác suất P ( X = k ) tương ứng, X 0 1 2 n P p0 p1 p2 pn trong đó p k = P ( X = k ) , được gọi là bảng phân phối xác suất của X Chẳng hạn, với ví dụ 15, ta có bảng phân phối xác suất cho biến số ngẫu nhiên X chỉ số lần thí nghiệm sinh hóa thành công X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 trong đó k p k = C9 ( 0.4 ) k (1 − 0.4 )9 − k , và khi đó, từ bảng phân phối xác suất của... phong bì đã viết sẵn đòa chỉ Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ vào đúng phong bì 19 Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng (lớn) là 1% Từ lô hàng này, lấy ra n sản phẩm Hỏi n ít nhất phải là bao nhiêu để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm > 0.95 20 Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm đònh T Xác suất để một người đến trung tâm mà có bệnh là 0.8 Xác suất để người khám có bệnh khi... tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau dự báo nắng sương mù mưa nắng 30 5 5 sương mù 4 20 2 mưa 10 4 20 thực tế nghóa là có 30 lần dự báo nắng, trời nắng; 4 lần dự báo nắng, trời sương mù; 10 lần dự báo nắng, trời mưa, v.v a) Tính xác suất dự báo trời nắng của đài truyền hình b) Tính xác suất dự báo của đài truyền hình là đúng với thực tế c) Được tin dự báo là trời nắng Tính xác suất để thực tế thì trời . tần suất của A làm giá trò gần đúng cho xác suất của biến cố A, k P(A) n = . Ví dụ 4. a) Thống kê trên 10.000 người dân thành phố cho thấy có 51 người bò bệnh cao huyết áp, ta nói xác suất. một biến cố mà ta sẽ gọi là xác suất của biến cố đó. 10 Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra khách quan của biến cố đó. Xác suất của biến cố A, ký hiệu là. các xác suất tiên nghiệm . Sau khi thực hiện phép thử, thấy biến cố A xảy ra, xác suất để các biến cố 1 B , 2 B , , n B xảy ra được tính lại với thông tin thêm này (nghóa là các xác suất