The Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.net Title: Zahlentheorie Author: Kurt Hensel Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** Produced by Andrew D. Hwang, R. S., Joshua Hutchinson, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) Anmerkungen der Korrekturleser. Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs Collection zur Verfügung gestellt. Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der For- matierung wurden stillschweigend vorgenommen. Alle Änderun- gen sind in der L A T E X-Sourcedatei aufgeführt, die heruntergeladen werden kann von www.gutenberg.org/ebooks/38986. Seitenzahlen im Text können um Eins zu niedrig sein. Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des L A T E X- Quelltextes. Meiner lieben Frau gewidmet Zahlentheorie Von Dr. Kurt Hensel o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Marburg Berlin und Leipzig G. J. Göschen’sche Verlagshandlung G.m.b.H. 1913 Vorrede. Als die Aufgabe der elementaren Zahlentheorie kann die Aufsu- chung der Beziehungen bezeichnet werden, welche zwischen allen ratio- nalen ganzen oder gebrochenen Zahlen m einerseits und einer beliebig angenommenen festen Grundzahl g andererseits bestehen. Man kann dieser Aufgabe in ihrem weitesten Umfange dadurch genügen, daß man alle diese Zahlen m in unendliche Reihen m = a 0 + a 1 g + a 2 g 2 + . . . entwickelt, welche nach ganzen Potenzen dieser Grundzahl fortschrei- ten. Nur durch die Betrachtung dieser vollständigen Reihen erhält man eine vollkommene Lösung unserer Aufgabe; beschränkt man sich dage- gen auf gewisse Anfangsglieder derselben, wie dies gewöhnlich in der Zahlentheorie geschieht, so erhält man angenäherte Resultate, welche für bestimmte Zwecke natürlich von großem Werte sein werden. Nie- mals aber können durch solche Annäherungen die Beziehungen der zu untersuchenden Zahlen m zu der Grundzahl g vollständig und genau ergründet werden. Aus diesem Grunde habe ich in dem vorliegenden Werke die Un- tersuchung der Zahlgrößen A = a 0 + a 1 g + a 2 g 2 + . . . , welche ich g - a d i s c h e Z a h l e n nenne, mit Vorbedacht in den Vordergrund der Betrachtung gestellt. Für sie kann der Begriff der Gleichheit so definiert werden, daß jede rationale Zahl m einer ein- zigen g-adischen Zahl gleich ist, welche stets beliebig genau berechnet werden kann, d. h. so weit, als es der Zweck der betreffenden Untersu- chung erfordert. Ebenso läßt sich die Addition und die Multiplikation Vorrede. IV der g-adischen Zahlen so definieren, daß die Summe oder das Produkt beliebiger rationaler Zahlen der Summe oder dem Produkte der ihnen gleichen g-adischen Zahlen gleich wird. Man erkennt dann leicht, daß diejenigen unter diesen g-adischen Zahlen, welche rationalen Zahlen gleich sind, nur einen Teilbereich von allen g-adischen Zahlen bilden. Und zwar steht das größere Reich aller g-adischen Zahlen zu demjenigen aller rationalen Zahlen in genau der- selben Beziehung, wie bei der Untersuchung der reellen Zahlen nach ihrer Größe der Bereich aller rationalen und irrationalen Zahlen zu demjenigen der rationalen Zahlen. Auch hier können nämlich die all- gemeinen g-adischen Zahlen als Größen definiert werden, welche zwar nicht selbst rationalen Zahlen gleich zu sein brauchen, welche aber mit jeder vorgegebenen Genauigkeit durch rationale Zahlen approximiert werden können. Und ebenso, wie die eingehende Untersuchung aller ra- tionalen Zahlen nach ihrer Größe erst bei Hinzunahme der irrationalen Zahlen begrifflich und tatsächlich einfach wird, so ergibt die Betrach- tung aller rationalen Zahlen in bezug auf eine Grundzahl g erst bei der Adjunktion aller g-adischen Zahlen einheitliche und allgemeine Resul- tate. Die Durchführung dieser Untersuchung ergibt nun höchst einfach das interessante Resultat, daß alle g-adischen Zahlen einen sog. Z a h - l e n r i n g bilden, daß ihr Bereich nämlich so ausgedehnt und dabei so in sich abgeschlossen ist, daß in ihm die Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation unbeschränkt und eindeutig in der Wei- se ausführbar sind, daß sie immer wieder zu g-adischen Zahlen führen. Dagegen ist die vierte elementare Rechenoperation, die Division, nur in dem einfachsten Falle ebenfalls immer eindeutig ausführbar, wenn die Grundzahl g eine Primzahl p ist; nur dann bilden also alle p-adischen Zahlen a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + . . . Vorrede. V zusammengenommen einen sog. Z a h l k ö r p e r, in welchem alle vier elementaren Rechenoperationen stets ausgeführt werden können. In jedem Körper sind nun die elementaren Rechengesetze genau ebenso anwendbar und richtig wie z. B. in dem speziellen Körper aller rationalen Brüche oder in demjenigen aller reellen rationalen und irra- tionalen Zahlen. In einem Ringe dagegen gelten wichtige Sätze nicht, besonders der Satz, daß ein Produkt nur dann Null sein kann, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist. Es ist deshalb ein Resultat von fundamentaler Bedeutung für die hier auseinandergesetzte Zahlentheo- rie, daß sich jeder Ring von g-adischen Zahlen auf die einfachste Weise aus denjenigen Körpern der p-adischen, q-adischen, . . . r-adischen Zah- len zusammensetzen läßt, deren Grundzahlen p, q, . . . r die sämtlichen Primteiler von g sind. Damit sind alle Fragen der Zahlenlehre, wel- che sich auf zusammengesetzte Grundzahlen beziehen, vollständig und wunderbar einfach auf dieselben Fragen für Primzahlen zurückgeführt, und die ganze Zahlentheorie reduziert sich jetzt auf die Untersuchung eines beliebigen Körpers von p-adischen Zahlen. Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Untersuchung die- ser Zahlringe und ihre Reduktion auf die zugehörigen Zahlkörper die einzige Aufgabe ist, welche die gesamte Zahlentheorie, sowohl die hier behandelte elementare, als auch die höhere Theorie der algebraischen Zahlen darbietet. In der Tat sind auch in dieser letzten Theorie nur genau so wie hier gebildete Ringe g-adischer Zahlen zu untersuchen, und die sonst einzuführende Theorie der idealen Primfaktoren wird hier ersetzt durch die Zerlegung eines solchen Ringes in die ihn zu- sammensetzenden Körper, eine Aufgabe, welche schon in diesem Buche vollständig gelöst wird. Bei dieser Auffassung treten also in der höhe- ren Theorie der algebraischen Zahlen absolut keine neuen prinzipiellen Schwierigkeiten auf. Die Untersuchung der Körper p-adischer Zahlen, auf die sich alles Vorrede. VI reduziert, wird nun dadurch prinzipiell besonders einfach, daß man alle p-adischen Zahlen genau ebenso wie die ihrer Größe nach untersuch- ten reellen Zahlen als Exponenten einer und derselben Basis darstellen kann. Hierdurch reduzieren sich alle Fragen der Multiplikation und Di- vision, welche ja in der Zahlentheorie fast allein behandelt werden und behandelt werden können, auf Fragen der Addition und Subtraktion der zugehörigen Logarithmen, deren Lösung dann völlig selbstverständ- lich ist. Diese wesentliche Vereinfachung der Arithmetik beruht auf der Möglichkeit, die p-adischen Zahlen in bestimmter Weise ihrer „Größe“ nach so anzuordnen, daß für sie die wesentlichsten Grundgesetze der Analysis in Geltung bleiben, und daß so die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung, der Logarithmus, auch in die Arithmetik eingeführt werden können. Von den Fragen, welche nach der vollständigen Theorie der linearen Gleichungen und Kongruenzen mit diesen neuen Methoden behandelt werden, bezieht sich die erste auf die Auflösung der reinen Gleichun- gen und der reinen Kongruenzen im Ringe der g-adischen Zahlen; diese findet bei der speziellen Behandlung der quadratischen Gleichungen im Reziprozitätsgesetze ihren natürlichen Abschluß. Mit den hier gewonne- nen Hilfsmitteln kann dann zweitens in kurzen Zügen eine Darstellung der wichtigsten in diesen Rahmen gehörigen Ergebnisse der Theorie der binären und ternären quadratischen Formen gegeben werden; hier er- geben sich zuletzt die Sätze über die Darstellung der rationalen Zahlen durch binäre Formen für den Bereich einer jeden Primzahl und die auf dieser Grundlage beruhende Einteilung dieser Formen in Geschlechter. Die in diesem Buche gegebene Darstellung setzt keine Vorkennt- nisse voraus und ist so ausführlich gehalten, daß Studierende der Ma- thematik dasselbe mit vollem Verständnis lesen können. Möchte es mir darüber hinaus gelungen sein, dem Leser auch etwas von der großen Freude an diesem reinsten und, ich möchte sagen, mathematischsten Vorrede. VII Gebiete der Mathematik zu geben, welche ich selbst bei der mehrjähri- gen Beschäftigung mit diesen Fragen empfunden habe. Bei der Redaktion dieses Werkes hat mir Herr stud. phil. A. Fraen- kel in unermüdlicher Arbeit sehr dankenswerte und wertvolle Unter- stützung gegeben; bei der Herstellung des Sachregisters hat mir Herr stud. phil. Ostrowski geholfen. Endlich gilt mein Dank den Leitern des G. J. Göschen’schen Verlages, die mir meine Aufgabe durch verständ- nisvolles Eingehen auf meine Wünsche und durch ihre bekannte Sorgfalt im Druck und in der Ausstattung wesentlich erleichtert und verschönt haben. M a r b u r g, den 7. Juni 1913. K. Hensel. Inhaltsverzeichnis. Seite Vorrede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III E r s t e s K a p i t e l . Die elementaren Rechenoperationen und die Zahlbereiche. . . 1 § 1. Gegenstand der Arithmetik. Der Bereich der rationalen Zah- len. Die sieben Grundgesetze des Rechnens 1 § 2. Die Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 3. Die Moduln 10 § 4. Die Gruppen oder Strahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 § 5. Die Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Z w e i t e s K a p i t e l . Der Körper der rationalen Zahlen. Die Primzahlen. . . . . . . . . . 21 § 1. Die Teilbarkeit der Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler. 21 § 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen 25 § 3. Die Primzahlen. Die eindeutige Zerlegung der rationalen Zah- len in Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . The Project Gutenberg EBook of Zahlentheorie, by Kurt Hensel This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions. Zahlentheorie Author: Kurt Hensel Release Date: February 26, 2012 [EBook #38986] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ZAHLENTHEORIE *** Produced by Andrew. finden Sie am Anfang des L A T E X- Quelltextes. Meiner lieben Frau gewidmet Zahlentheorie Von Dr. Kurt Hensel o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Marburg Berlin und Leipzig G. J. Göschen’sche