The Project Gutenb e rg etext of Sechs Vortr¨age, by Henri Poincar´e This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenb erg License included with this eBook or online at www.gutenberg.net Title : Sechs Vortr¨age ber ausgew¨ahlte Gegenst¨ande aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik Author : Henri Poincar´e Release Date : March 5, 2005 [EBook #15267] Language : German and French Character set enco ding : TeX *** START OF PROJECT GUTENBERG’S SECHS VORTR ¨ AGE *** Produced by Joshua Hutchinson, K.F. Creiner and the Online Distributed Proo- freading Team. This file was produced from images generously made available by Cornell University. Mathematische Vorlesungen an der Universit ¨ at G ¨ ottingen: IV SECHS VORTR ¨ AGE ¨ UBER AUSGEW ¨ AHLTE GEGENST ¨ ANDE AUS DER REINEN MATHEMATIK UND DER MATHEMATISCHEN PHYSIK auf Einladung der Wolfskehl-Kommission der K ¨ oniglichen Gesellschaft der Wissenschaften gehalten zu G ¨ ottingen vom 22.–28. April 1909 von HENRI POINCAR ´ E Mitglied der Franz ¨ osischen Akademie Professor an der Facult´e des Sciences der Universit ¨ at Paris Mit 6 in den Text gedruckten Figuren Leipzig und Berlin Druck und Verlag von B. G . Teubner 1910 Pr´eface L’Universit´e de G¨ottingen a bien voulu m’inviter `a traiter devant un sa- vant auditoire diverses questions d’Analyse pure, de Physique math´ematique, d’Astronomie th´eorique et de Philosophie math´ematique ; les conf´erences que j’ai faites `a cette occasion ont ´et´e recueillies par quelques ´etudiants qui ont eu la bont´e de les r´ediger en corrigeant les nombreuses offenses que j’avais faites `a la grammaire allemande. Je leur en exprime ici toute ma reconnaissance. Il convient ´egaleme nt que je m’excuse aupr`es du public de la bri`evet´e avec laquelle ces sujets sont trait´es. Je ne disposais pour exposer chacun d’eux que d’un temps tr`es court, et je n’ai pu la plupart du temps que donner une id´ee g´en´erale des resultats, ainsi que des principes qui m’ont guid´e dans les d´e- monstrations, sans entrer dans les d´etails mˆemes de ces d´emonstrations. Inhaltsverzeichnis Erster Vortrag. Seite ¨ Uber die Fredholmschen Gleichungen 1 Zweiter Vortrag. Anwendung der Theorie der Integralgleichungen auf die Flutbewegung des Meeres 10 Dritter Vortrag. Anwendung der Integralgleichungen auf Hertzsche Wellen 18 Vierter Vortrag. ¨ Uber die Reduktion der Abelschen Integrale und die Theorie der Fuchsschen Funktionen 28 F ¨ unfter Vortrag. ¨ Uber transfinite Zahlen 36 Sechster Vortrag. La m´ecanique nouvelle 41 1 Erster Vortrag ¨ UBER DIE FREDHOLMSCHEN GLEICHUNGEN 2 Die I ntegralgleichung (1) ϕ(x) = λ b  a f(x, y)ϕ(y)dy + ψ(x) wird bekanntlich aufgel ¨ ost durch die Integralgleichung derselben Art (1a) ϕ(x) = ψ(x) + λ b  a ψ(y)G(x, y)dy, wobei G(x, y) = N(x, y; λ |f) D(λ |f ) gesetzt ist. N und D sind, wie aus der Fredholmschen Theorie be kannt ist, zwei ganze transzendente Funktionen in bezug auf λ. Um ihre Entwicklung explizite hinschreib en zu k ¨ onnen, bezeichne man, wie Fredholm, mit f ( x 1 , x 2 , x n y 1 , y 2 , y n ) diejenige n-reihige Determinante, deren allgemeines Element f(x i , y k ) ist. Setzt man dann a n = b  a b  a . . . b  a f( x 1 , x 2 , x n x 1 , x 2 , x n )dx 1 . . . dx n , so hat man D(λ) = ∞  0 (−λ) n n! a n . Diese Gleichung formen wir um, indem wir die durch ” Iteration“ aus f(x, y) entstehenden Kerne heranziehen. Setzen wir zun ¨ achst f(x α , x β )f(x β , x γ ) ···f(x λ , x µ )f(x µ , x α ) = f(x α , x β , ···x λ , x µ ), so ist klar, daß f( x 1 , x 2 , x n x 1 , x 2 , x n ) die Form hat  ±  f(x α , . . . x µ ), wie sofort aus der Entwicklung der Determinante hervorgeht. Sei nun b k =  b a ···  b a f(x α , ···x µ )dx α ···dx µ , wobei k die Anzahl der Integrationsvariabeln x α , . . . x µ bedeutet, so k ¨ onnen wir offenbar auch setzen b k = b  a f k (x, x)dx, 3 wenn unter f k (x, y) = b  a ··· b  a f(x, x α )f(x α , x β ) ···f(x λ , y)dx α ···dx λ der “k-fach iterierte Kern” verstanden wird. Wir haben den obigen Relationen zufolge jetzt a n =  ±  b k . Beachten wir nun, daß gewisse unter den in einem Produkt  b k enthaltenen b k einander gleich werden k ¨ onnen, daß ferner gewisse der Produkte  b k selbst einander gleich sein werden, n ¨ amlich solche, die durch eine Permutation der x i auseinander entstehen, so ergibt eine kombinatorische Betrachtung f ¨ ur a n einen Ausdruck von der Form a n =  aα+bβ+cγ+ =n n! a α b β c γ ···a!b!c! ··· [(−1) α+1 b α ] a [(−1) β+1 b β ] b [(−1) γ+1 b γ ] c ··· und also D(λ) =  a,b,c, 1 a!b!c! ···  − λ α b α α  a  − λ β b β β  b  − λ γ b γ γ  c ··· d. h. (2) D(λ) = ∞  1 e − λ α b α α , also log D(λ) = −  λ α b α α ,(2a) D  (λ) D(λ) = −  λ α−1 b α .(2b) Den Z ¨ ahler N(x, y; λ) der Funktion G(x, y; λ) kann man auf analoge Weise durch die Gleichung (3) N(x, y; λ) = D(λ) ·  λ h f h+1 (x, y) definieren. Diese Gleichungen, welche sich ¨ ubrigens schon bei Fredholm finden, sind n ¨ utzlich als Ausgangspunkt f ¨ ur viele Betrachtungen, wie sich nun an einigen Beispielen zeigen wird. Die Fredholmsche Methode ist unmittelbar g ¨ ultig nur f ¨ ur solche Kerne f(x, y), die endlich bleiben. Wird der Kern an gewissen Stellen unendlich, so 4 kann dennoch der Fall eintreten, daß ein iterierter Kern, etwa f n (x, y), end- lich bleibt. Dann l ¨ aßt sich die Integralgleichung mit dem iterierten Kerne nach Fredholm behandeln, und Fredholm zeigt, daß die urspr ¨ ungliche Integral- gleichung (1) sich auf diese zur ¨ uckf ¨ uhren l ¨ aßt. Die Aufl ¨ osung wird wieder durch eine Formel der Gestalt (1a) gegeben, nur ist jetzt G = N 1 (x, y; λ) D n (λ) zu s etze n, wobei D n (λ) = D(λ n |f n ) und N 1 (x, y; λ) = D n (λ) ·  λ h f h+1 (x, y) ist. Dabei sind N 1 und D n wieder ganze transzendente Funktionen von λ; jedoch zeigt es sich, daß sie einen gemeinsamen Teiler besitzen; wir wollen zusehen, wie sich dies aus unseren Formeln (2) bis (3) ergibt und wie wir eine Bruchdarstel- lung der meromorphen Funktion G erhalten, bei der Nenner und Z ¨ ahler ganze Funktionen ohne gemeinsamen Teiler sind. Aus unserer Annahme ¨ uber die iterierten Kerne folgt, daß die Koeffizienten b n , b n+1 , . . . endlich sind. Bilden wir nun in Anlehnung an Gleichung (2a) die Reihe K(λ) = −λ n b n n − λ n+1 b n+1 n + 1 − ··· , so wird dieselbe konvergieren. Jetzt setzen wir G(x, y; λ) = e K  λ h f h+1 e K und behaupten, in dieser Formel die gew ¨ unschte Darstellung zu haben. Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, daß e K und e K ·  λ h+1 f h+1 ganze Funktionen sind. Zu diese m Zwecke bilden wir dK dλ . Man berechnet leicht − dK(λ) dλ = λ n−1 b  a N 1 (x, x) D n (λ) dx + k=n−1  k=1 λ n+k−1 b  a N 1 (x, y) D n f k (x, y) dx dy. Hieraus schließt man zun ¨ achst, daß dK dλ eine meromorphe Funktion von λ ist; denn sie besitzt h ¨ ochstens Pole in den Nullstellen von D n (λ), d. h. in den Stellen λ = α·λ i wo α eine n-te Einheitswurzel und λ i ein Eigenwert des Kernes f n ist. Man kann nun zeigen, daß in diesen m ¨ oglichen Unendlichkeitsstellen das Cauchysche Residuum von dK dλ gleich 1 oder 0 ist, je nachdem α = 1 oder α = 1 genommen wird. Die hierzu geh ¨ orige Rechnung wollen wir jetzt nicht durchf ¨ uhren; man benutzt dabei den Umstand, daß das f ¨ ur λ = λ k genommene 5 Residuum von N 1 (x,y) D n gleich ϕ k (x)ψ k (y) ist, wo ϕ k , ψ k , die zu λ = λ k geh ¨ origen Eigenfunktionen, den Gleichungen b  a ϕ k (x)f p (y, x)dx = λ −p k ϕ k (y) b  a ψ k (z)f p (z, y)dz = λ −p k ψ k (y) gen ¨ ugen. Hieraus folgt, daß e K(λ) eine ganze transzendente Funktion ist, die nur an den Stellen λ = λ i verschwindet. Betrachtet man ebenso den Z ¨ ahler von G, so sieht man zun ¨ achst, daß er eine meromorphe Funktion von λ wird, die h ¨ ochstens an den Stellen λ = αλ i un- endlich werden kann. Die Betrachtung der Residuen zeigt jedoch, daß dies nicht geschieht, und somit, daß der Z ¨ ahler e K  λ h f k+1 ebenfalls eine ganze tran- szendente Funktion ist. Damit ist die Reduktion des Fredholmschen Bruches geleistet. Die Reihenentwicklung f ¨ ur Z ¨ ahler und Nenner des Fredholmschen Bruches in dieser reduzierten Gestalt erhalten wir, indem wir auf die Bildungsweise von K(λ) zur ¨ uckgehen; setze n wir den Nenner e K(λ) =  (−λ) n a  n n! , so haben wir a  n =  aα+bβ+cγ+···=n ±b a α b b β b c γ ··· , wobei zu setz en ist b α = 0 f ¨ ur α < n und b α = b  a f α (x, x)dx f ¨ ur α ≥ n. In analoger Weise wird der Z ¨ ahler gebildet. Man muß also die Determinanten in der gew ¨ ohnlichen Weise entwickeln, aber diejenigen Glieder dieser Entwicklung wegwerfen, welche einen Faktor von der Form f (x 1 , x 2 , . . . x k ) mit weniger als n Ver ¨ anderlichen enthalten. Unsere Formeln (2), (2a), (3) sind auch in dem Falle von Nutzen, daß außer dem Kern f (x, y) auch alle iterierten Kerne unendlich werden und die Fred- holmsche Methode also nun sicher versagt. Seien etwa die Zahlen b 1 , b 2 , . . . b n−1 unendlich, b n , b n+1 , . . . endlich. Man kann dann jedenfalls die Reihe K(λ) bilden, fragen, ob sie konvergiert, und untersu- chen, ob e K(λ) wieder eine ganze Funktion darstellt. Unter der Voraussetzung, daß f (x, y) ein symmetrischer Kern ist, d. h. f(x, y) = f(x, y), 6 ist m ir dieser Nachweis gelungen. Ich benutze dabei die Relationen b n =  λ −n i , die f ¨ ur n > 2 gelten m ¨ ussen, da das Geschlecht der Funktion D(λ) einem Ha- damardschen Satze zufolge kleiner als 2 ist. Den Be weis mitzuteilen fehlt jetzt die Zeit. F ¨ ur den Z ¨ ahler des Fredholmschen Bruches habe ich die Betrachtung nicht durchgef ¨ uhrt. Noch einige Worte ¨ uber die Integralgleichung 1. Art! Auf gewisse derartige Integralgleichungen kann man, wenn man sie zuvor auf Integralgleichungen der 2. Art zur ¨ uckf ¨ uhrt, die Fredholmsche Methode direkt anwenden. Es liege z. B. die Gleichung (1) +∞  −∞ ϕ(y)[e ixy + λf (x, y)]dy = ψ(x) (−∞ < x < +∞) vor, in der ψ(x) die gegebene, ϕ(x) aber die gesuchte Funktion ist, w ¨ ahrend der Bestandteil f (x, y) des Kerns eine gegebene Funktion ist, die gewissen, weiter unten angegebenen beschr ¨ ankenden Voraussetzungen unterworfen ist. F ¨ ur die gesuchte Funktion ϕ(y) machen wir den Ansatz ϕ(y) = +∞  −∞ Φ(z)e −izy dz, aus dem nach dem Fourierschen Integraltheorem, falls Φ(x) die Bedingungen f ¨ ur desse n G ¨ ultigkeit erf ¨ ullt, umgekehrt 2πΦ(x) = +∞  −∞ ϕ(y)e ixy dy folgt. Danach verwandelt sich (1) in 2πΦ(x) + λ +∞  −∞ +∞  −∞ Φ(z)f(x, y)e −izy dz dy = ψ(x) oder 2πΦ(x) + λ +∞  −∞ Φ(z)K(x, z)dz = ψ(x), wenn (2) K(x, z) = +∞  −∞ f(x, y)e −izy dy [...]... wenn ¨ wir das Problem des Empfanges elektrischer Wellen betrachten, der Sender der außere, der Empfangsapparat der innere Leiter; beim Probleme der Beugung ¨ elektrischer Wellen ist der Erreger der außere, die Erdkugel der innere Leiter; ¨ bei dem Probleme der Schwingungserzeugung haben wir kein ¨ußeres Feld, der a Erreger wird dann als innerer Leiter anzusehen sein Um nun zum Ansatz einer Integralgleichung... arithmetische Mittel aus den beiden Werten, die das Integral erh¨lt, wenn ich a es in der komplexen y-Ebene unter Umgehung des Punktes y = x das eine mal auf einem Wege AM B oberhalb, das andere mal auf einem Wege AM B unterhalb der reellen Achse f¨hre u Anstatt die Methoden zu benutzen, die Kellogg zur Behandlung solcher unstetiger Kerne angibt, will ich einen andern Weg einschlagen Wir betrachten neben der... sodaß also auch hier unsere ausgezeichneten Werte ω sich als Nullstellen einer ganzen transzendenten Funktion ergeben Wir wollen aber jetzt das gr¨ßere Problem der Beugung ausf¨hrlicher beo u handeln Nehmen wir zu diesem Ende an, daß der innere Leiter eine Kugel, die Erdkugel, vom Radius ist und das ¨ußere Feld (dessen normale Komponente N a bedeutet) von einem punktf¨rmigen Erreger S herr¨hrt, dessen... Telegraphie eine so wichtige Rolle spielen; ist es doch eine wunderbare Tatsache, daß die Kr¨mmung der Erdoberu fl¨che, welche eine Fortpflanzung des Lichtes verhindert, f¨r die Ausbreitung a u der Hertzschen Wellen kein Hindernis darstellt, daß dieselben vielmehr auf der Erdoberfl¨che von Europa bis Amerika zu laufen verm¨gen Der Umstand, daß a o die Hertzschen Wellen eine viel gr¨ßere L¨nge haben als die... zu erzeugen Ebenso soll das System S von q Variabeln aus der Theorie eines algebraischen Gebildes vom Geschlechte q entspringen Dieser unser erste Fall ist aber bekanntlich nicht der allgemeine; denn die Kurve C h¨ngt nur von 3p − 3 Konstanten ab, w¨hrend die allgemeinen Abela a schen Funktionen von p Variabeln p(p+1) Parameter enthalten Dadurch ist der 2 zweite der beiden F¨lle gegeben, die wir unterscheiden... sont en petit nombre et j’avais e e cru d’abord que le r´sultat final n’en serait pas modifi´ Un examen plus ape e profondi m a montr´ qu’il n’en est rien La somme des termes modifi´s est e e comparable ` celle des autres termes dont j’avais tenu compte et qui est donn e a e par la formule pr´c´dente ; il en r´sulte une compensation presque compl`te de e e e e sorte que la valeur de µ donn e par les formules... Raumintegrale Oberfl¨chenintegrale einf¨hren Wir a u schreiben ψ= F = e iωr dσ , r e iωr µ dσ , r wo , µ jetzt die Fl¨chendichte der Ladung bzw Str¨mung bedeuten und dσ a o das Fl¨chenelement ist a Wir unterscheiden gew¨hnlich zwei leitende K¨rper, der eine soll der außere, o o ¨ der andere der innere Leiter heißen; sie erzeugen das “¨ußere” resp das “ina nere” Feld; das außere Feld ist gegeben, das innere gesucht... Endlicha u keit unseres durch Iteration gewonnenen Kernes nicht sicher Dieses Bedenken wird jedoch bei unserm Problem dadurch beseitigt, daß der Rand des Meeres, der das Integrationsintervall darstellt, geschlossen ist, woraus sich ergibt, daß die Punkte A, B keine Ausnahmestellung einnehmen k¨nnen o ¨ Durch diese Uberlegungen ist also der Fall der vertikalen Meeresufer erledigt Wir betrachten den zweiten... diskrete Reihe u a von Funktionswerten vorschreiben Es w¨re wohl nicht ohne Interesse, den hier a zur Geltung kommenden Unterschied mit Hilfe der Iteration der Kerne n¨her a zu betrachten 10 Zweiter Vortrag ANWENDUNG DER THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN AUF DIE FLUTBEWEGUNG DES MEERES 11 Ich will heute uber einige Anwendungen der Integralgleichungstheorie auf die ¨ Flutbewegung berichten, die ich im letzten... Telegraphie verwendeten Hertzschen Wellen gelingt, vom europ¨ischen Kontinent z B bis nach Amerika zu telegraphieren a Wenn man nicht den mittleren Wert der Reihe betrachten will, welcher von einem Integral dargestellt wird, sondern den wirklichen Wert dieser Reihe, so hat man eine Diskussion durchzuf¨hren, welche auf einem wohlbekannten u Abelschen Satz beruht, und deren Resultate etwas komplizierter, aber . conf´erences que j’ai faites `a cette occasion ont ´et e recueillies par quelques ´etudiants qui ont eu la bont e de les r´ediger en corrigeant les nombreuses offenses que j’avais faites `a la grammaire. grammaire allemande. Je leur en exprime ici toute ma reconnaissance. Il convient ´egaleme nt que je m’excuse aupr`es du public de la bri`evet e avec laquelle ces sujets sont trait´es. Je ne disposais. Punktes y = x das eine mal auf einem Wege AM B oberhalb, das andere mal auf einem Wege AM  B unterhalb der reellen Achse f ¨ uhre. Anstatt die Methoden zu benutzen, die Kellogg zur Behandlung