Chương Lý thuyết mặt 2.1 Mặt qui Có thể hình dung mặt qui R3 sau: Lấy số mảnh mặt phẳng biến dạng chúng “dán” lại cho hình nhận khơng có điểm nhọn, khơng có cạnh khơng có tính tự cắt để điểm nói đến mặt phẳng tiếp xúc mặt Các mặt giả thiết đủ trơn để mở rộng khái niệm kết giải tích lên chúng Định nghĩa sau thỏa mãn yêu cầu Định nghĩa Một tập hợp S ⊂ R3 gọi mặt qui ∀p ∈ S tồn lân cận V ⊂ R3 p ánh xạ X : U −→ V ∩ S, với U tập mở R2 , thỏa mãn điều kiện sau: Ánh xạ X khả vi, có nghĩa X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U với x, y, z hàm có đạo hàm riêng cấp Ánh xạ X đồng phơi từ U vào V ∩ S Vì X liên tục theo điều kiện 1, nên X đồng phơi có nghĩa X có ánh xạ ngược X −1 : V ∩ S −→ U liên tục Nói cách khác, X −1 hạn chế ánh xạ liên tục F : W ⊂ R3 −→ R2 xác định tập mở chứa V ∩ S (Tính qui) Với q ∈ U , đạo hàm DXq : R2 −→ R3 đơn ánh Ánh xạ X gọi tham số hóa (địa phương) S, cặp (U, X) gọi hệ tọa độ địa phương hay đồ S lân cận V ∩ S p S gọi lân cận tọa độ Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Chúng ta phân tích rõ Điều kiện cách xét ma trận Jacobi X q Giả sử q = (u0 , v0) Xét đường tham số u −→ (x(u, v0), y(u, v0), z(u, v0)) Đường cong này, gọi đường cong tọa độ v = v0, nằm mặt S qua p = X(q) có vector tiếp xúc p ∂X ∂x ∂y ∂z ( , , ) := ∂u ∂u ∂u ∂u Ở đạo hàm riêng tính q = (u0 , v0) Theo định nghĩa đạo hàm ta có DXq (e1) = ∂x ∂y ∂z , , ∂u ∂u ∂u := ∂X , ∂u với e1 vector tiếp xúc đường tham số u −→ (u, v0) R2 điểm q Đường tọa độ v = v0 ảnh đường cong qua ánh xạ X Tương tự ta có e2 vector tiếp xúc đường tham số v −→ (u0 , v) R2 điểm q Đường tọa độ u = u0 ảnh đường cong qua ánh xạ X ∂X ∂x ∂y ∂z := DXq (e2) = , , ∂v ∂v ∂v ∂v Ta có ma trận Jacobi  ∂x Xq = ∂u  ∂y ∂u ∂z ∂u  ∂x ∂v ∂y  ∂v ∂z ∂v Với phân tích ta thấy Điều kiện tương đương với điều kiện sau: hai cột ma trận Xq độc lập; ∂X ∂u ∧ ∂X ∂v = 0; định thức ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v := ∂(x,y) , ∂(u,v) ∂x ∂u ∂z ∂u ∂x ∂v ∂z ∂v := ∂(x,z) , ∂(u,v) ∂y ∂u ∂z ∂u ∂y ∂v ∂z ∂v := ∂(y,z) ∂(u,v) không đồng thời không Từ sau, để thuận tiện, đôi lúc viết Xu thay cho ∂X ∂u Xv thay cho ∂X ∂v Nhận xét 1 Như xem mặt qui phủ họ lân cận tọa độ, tức ảnh họ ánh xạ X (tham số hóa) thỏa mãn Điều kiện 1, 2, Điều kiện cho phép sử dụng cơng cụ giải tích (phép tính vi tích phân) để nghiên cứu mặt qui Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Điều kiện nhằm ngăn cản tính tự cắt mặt nói đến mặt phẳng tiếp xúc mặt điểm Điều kiện đảm bảo điểm có mặt phẳng tiếp xúc Ví dụ Xét mặt phẳng R2 Ta chọn U = R2 X = Id Theo định nghĩa R2 mặt qui với đồ (R2, Id) Ví dụ Xét mặt cầu S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y + z = 1} + Chúng ta chứng tỏ S mặt qui Xét ánh xạ X1 : U1 ⊂ R2 −→ R3 cho + X1 (x, y) = (x, y, − x2 − y 2), + (x, y) ∈ U1 + + + với R2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}, U1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y < 1} X1 (U1 ) = {(x, y, z) ∈ R3 : 2 2 x + y + z = 1; z > 0} nửa mặt cầu Do x + y < nên hàm − x2 − y có đạo hàm riêng liên tục cấp Do Điều kiện thỏa mãn + + Dễ thấy X1 đơn ánh (X1 )−1 hạn chế phép chiếu π(x, y, z) = (x, y) từ R3 lên R2 nên liên tục Vậy Điều kiện thỏa mãn ∂(x, y) + = = nên Điều kiện thỏa mãn Như X1 tham số hóa ∂(x, y) S Có thể dễ dàng nhận thấy S phủ mảnh lân cận tọa độ xác định tương tự Bạn đọc dễ dàng xác định lân cận tọa độ tương ứng tham số hóa Dưới tham số hóa Do − X1 (x, y) + X2 (x, z) − X2 (x, z) + X3 (y, z) − X3 (y, z) = (x, y, − − x2 − y 2), √ = (x, √ − x2 − z 2, z), = (x, − − x2 − z , z), = ( − y − z , y, z), = (− − y − z 2, y, z), − (x, y) ∈ U1 + (x, z) ∈ U2 − (x, z) ∈ U2 + (y, z) ∈ U3 − (y, z) ∈ U3 = = = = = {(x, y) ∈ R2 {(x, z) ∈ R2 {(x, z) ∈ R2 {(y, z) ∈ R2 {(y, z) ∈ R2 : x2 + y < 1}; : x2 + z < 1}; : x2 + z < 1}; : y + z < 1}; : y + z < 1} Thường để dễ khảo sát mặt cầu S , người ta sử dụng hệ tọa độ cầu để tham số hóa Lấy V = {(θ, ϕ) : < θ < π, < ϕ < 2π} xét X : V −→ R3 xác định X(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) Dễ thấy X(V ) ⊂ S Tham số θ gọi colatude (phần phụ vĩ độ) ϕ kinh độ Rõ ràng X khả vi hàm sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ khả vi Hơn định thức ∂(x, z) ∂(y, z) ∂(x, y) = cos θ sin θ, = sin2 θ sin ϕ, = sin2 θ cos ϕ ∂(θ, ϕ) ∂(θ, ϕ) ∂(θ, ϕ) Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) khơng thể đồng thời khơng cos2 θ sin2 θ + sin4 θ sin2 ϕ + sin4 θ cos2 ϕ = sin2 θ = < θ < π Như vậy, Điều kiện thỏa mãn Lấy C nửa đường tròn {(x, y, z) ∈ S : y = 0, x ≥ 0} Với (x, y, z) ∈ S − C, xác định θ = cos−1 z < θ < π Biết θ xác định ϕ từ x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ xác định ϕ Vậy X có ánh xạ ngược X −1 , kiểm tra dễ dàng X −1 liên tục, tức X tham số hóa Chúng ta nhận xét X(V ) = S − C nên phủ S hai tham số hóa kiểu Cũng phủ S hai lân cận tọa độ nhờ vào phép chiếu (xem tập ??) Ví dụ vừa cho thấy việc kiểm tra tập mặt chính qui cơng việc dễ chán buồn tẻ Những mệnh đề cho ta phương pháp kiểm tra xây dựng số mặt qui dễ dàng Mệnh đề 2.1.1 Nếu f : U −→ R hàm khả vi tập mở U ⊂ R2 Khi đồ thị f Gf = {(x, y, z) ∈ R3 : z = f (x, y)} mặt qui Chứng minh Điều kiện hiển nhiên thỏa mãn Do ∂(x,y) = 1, nên Điều kiện ∂(x,y) thỏa mãn Chúng ta chứng minh cho Điều kiện Dễ thấy X(x, y) = (x, y, f (x, y)) đơn ánh nên có ánh xạ ngược X −1 Ánh xạ ngược X −1 hạn chế lên Gf phép chiếu từ R3 lên R2 nên liên tục Định nghĩa Cho ánh xạ khả vi f : U ⊂ Rn −→ Rm , với U tập mở Chúng ta nói p ∈ U điểm tới hạn f đạo hàm Dfp : Rn −→ Rm khơng phải tồn ánh Ảnh f (p) ∈ Rm điểm tới hạn gọi giá trị tới hạn f Một điểm Rm mà giá trị tới hạn gọi giá trị qui f Chú ý điểm a ∈ F (U ) giá trị qui F Trong trường hợp f : U ⊂ R −→ R, điểm tới hạn điểm x ∈ U mà f (x) = Nếu f : U ⊂ R3 −→ R hàm khả vi, ta có f (p) = ∂f ∂f ∂f (p), (p), (p) ∂x ∂y ∂z Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Tính chất Dfp khơng tồn ánh tương đương với ∂f ∂f ∂f (p) = (p) = (p) = ∂x ∂y ∂z Do đó, a giá trị qui ∂f , ∂f , ∂f ∂x ∂y ∂z không đồng thời triệt tiêu tập f −1 (a) = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = a} Mệnh đề 2.1.2 Nếu f : U ⊂ R3 −→ R, hàm khả vi a ∈ f (U ) giá trị qui f f −1 (a), khác rỗng, mặt qui R3 Chứng minh Lấy p = (x0, y0 , z0) ∈ f −1 (a) Vì a giá trị qui nên khơng tính tổng qt ta giả sử ∂f (p) = Đặt F : U ⊂ R3 −→ R3 xác định ∂z F (x, y, z) = (x, y, f (x, y, z)) Ta có   0 Fp =   fx fy fz ∂f (p) = 0, nên theo Định lý hàm ngược, tồn lân cận V p W a = f (p) ∂z cho F : V −→ W vi phôi Điều cho thấy hàm tọa độ F −1 có dạng Do |Fp| = x = u, y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t) ∈ W hàm khả vi Đặc biệt z = g(u, v, a) = h(x, y) hàm khả vi xác định hình chiếu V lên mặt phẳng xy Do F (f −1 (a) ∩ V ) = W ∩ {(u, v, t) ∈ R3 : t = a}, suy đồ thị h f −1 (a) ∩ V Theo Mệnh đề 2.1.1, f −1 (a) ∩ V lân cận tọa độ chứa p Do đó, f −1 (a) phủ lân cận tọa độ nên f −1 (a) mặt qui Ví dụ Ellipsoid E x2 y z + + =1 a2 b c mặt qui E tập f −1 (0), với f (x, y, z) = x2 y z + + −1 a2 b c Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) hàm khả vi giá trị qui Thật vậy, ta có 2x ∂f = 2, ∂x a 2y ∂f = 2, ∂y b 2z ∂f = ∂z c đồng thời triệt tiêu điểm (0, 0, 0) Do giá trị tới hạn f -1, nên giá trị qui Trong trường hợp a = b = c, ta có mặt cầu x2 + y + z = a2 mặt qui Một mặt S gọi liên thông hai điểm S nối đường cong liên tục S Trong nhiều tài liệu, khái niệm gọi liên thông cung hay liên thông đường để phân biệt với khái niệm liên thơng tơpơ Ví dụ sau cho thấy mặt qui xác định Mệnh đề 2.1.2 khơng liên thơng Ví dụ Hyperboloid hai tầng H −x2 + y + z = mặt qui H = f −1 (0) với giá trị qui hàm f (x, y, z) = −x2 + y + z − Dễ thấy H khơng liên thơng, hai điểm nằm hai tầng khác nối với đường cong liên tục Chúng ta có tính chất sau mặt liên thơng: “Cho f : S ⊂ R3 −→ R hàm số liên tục xác định mặt liên thông S Nếu f (p) = 0, ∀p ∈ S, hàm f không đổi dấu S.” Thật vậy, giả sử ta có f (p) > f (q) < 0, với p, q ∈ S Do S liên thông, tồn đường cong liên tục α : [a, b] −→ S, với α(a) = p α(b) = q Xét f ◦ α : [a, b] −→ R Theo định lý giá trị trung bình, tồn c ∈ (a, b), f ◦ α(c) = Điều chứng tỏ f = điểm α(c) Ví dụ Mặt xuyến (torus) T mặt sinh cách quay đường trịn bán kính r quanh đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa đường tròn cách tâm đường tròn khoảng a > r Lấy S đường trịn tâm I(0, a, 0) bán kính r mặt phẳng yz Khi phương trình S (y − a)2 + z x = r2 , =0 phương trình T ( x2 + y − a)2 + z = r2 Xét hàm f : R3 − Oz −→ R xác định f (x, y, z) = ( x2 + y − a)2 + z Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Dễ thấy T ảnh ngược f −1 (r2 ) hàm f giá trị r2 Hàm f hàm khả vi Ta tính đạo hàm riêng ∂f 2x( x2 + y − a) = , ∂x x2 + y 2y( x2 + y − a) ∂f = , ∂y x2 + y ∂f = 2z ∂z Từ đây, ta tìm tập điểm tới hạn f đường tròn x2 + y z = a2 =0 Và f có giá trị tới hạn Như vậy, r2 giá trị qui nên T mặt qui Mệnh đề 2.1.3 Giả sử S ⊂ R3 mặt qui p ∈ S Khi tồn lân cận V p S cho V đồ thị hàm khả vi có ba dạng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z) Chứng minh Giả sử X : U −→ S tham số hóa S p, X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U Theo điều kiện định nghĩa mặt qui, định thức sau phải khác không X −1 (p) = q ∂(x, z) ∂(y, x) ∂(x, y) , , ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) Giả sử ∂(x,y) (q) ∂(u,v) = Xét ánh xạ π ◦ X : U −→ R2 với π phép chiếu π(x, y, z) = (x, y) Khi π ◦ X(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) Do ∂(x,y) (q) = nên theo định lý hàm ngược tồn lân cận V1 q V2 (π ◦ X)(q) cho ∂(u,v) π ◦ X vi phôi từ V1 lên V2 Từ suy hạn chế π lên V = X(V1 ) đơn ánh tồn hàm ngược (π ◦ X)−1 : V2 −→ V1 Do X đồng phôi ta suy X(V1 ) lân cận p S Bây xét hợp ánh xạ (π ◦ X)−1 (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) với hàm (u, v) −→ z(u, v), ta nhận thấy V đồ thị hàm hợp z = z(u(x, y), v(x, y)) = f (x, y) Các trường hợp cịn lại chứng minh hồn tồn tương tự Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Ví dụ Nón tầng C cho z= x2 + y , (x, y) ∈ R2 khơng phải mặt qui Dễ thấy ánh xạ (x, y) −→ (x, y, x2 + y 2) không khả vi (0, 0) Chúng ta chưa khẳng định C khơng phải mặt qui ánh xạ từ R2 vào C Trên C có tham số hóa khác Chúng ta chứng tỏ C khơng qui đỉnh Nếu C mặt qui có lân cận điểm (0, 0, 0) ∈ C đồ thị hàm khả vi có ba dạng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z) Hai dạng sau khơng thỏa mãn phép chiếu C lên mặt phẳng xz yz khơng đơn ánh Xét hàm có dạng thứ z = x2 + y Dễ thấy hàm không khả vi (0, 0) nên không phù hợp Do C khơng phải mặt qui Nếu bỏ điểm đỉnh (0, 0, 0) tập lại C − {(0, 0, 0)} mặt qui Mệnh đề 2.1.4 Cho S mặt qui ánh xạ X : U ⊂ R2 −→ R3, X(U ) ⊂ S Nếu X đơn ánh thỏa mãn Điều kiện định nghĩa X −1 liên tục, có nghĩa X thỏa mãn điều kiện X tham số hóa Chứng minh Lấy p ∈ X(U ) Do S mặt qui nên tồn lân cận W ⊂ S p cho W đồ thị hàm khả vi tập mở V (có thể giả sử) mặt phẳng xy Lấy N = X −1 (W ) ⊂ U đặt h = π ◦ X : N −→ V, với π(x, y, z) = (x, y) Khi dh = π ◦ dX không suy biến X −1 (p) = q Theo Định lý hàm ngược tồn lân cận Ω ⊂ N cho h : Ω −→ h(Ω) vi phôi Chú ý X(Ω) tập mở S X −1 = h−1 ◦ π hạn chế lên X(Ω) hợp hàm khả vi Như X −1 liên tục p Do p chọn tùy ý nên X −1 liên tục X(U ) Ví dụ Một tham số hóa mặt xuyến T cho X(u, v) = ((r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sin v, r sin u), với < u, v < 2π Thật vậy, Điều kiện dễ kiểm tra Vì biết T mặt qui nên cần chứng minh X đơn ánh đủ Chúng ta có nhận xét sin u = z Nếu x2 + y ≤ a r π ≤ u ≤ 3π Nếu x2 + y ≥ a < u ≤ π 3π ≤ u ≤ 2π Như (x, y, z) 2 2 xác định v với < v < 2π Dễ thấy mặt xuyến phủ lân cận tọa độ 2.1.1 Đổi tham số-Hàm khả vi mặt Định nghĩa mặt qui cho thấy với p ∈ S thuộc vào lân cận tọa độ (địa phương) mặt Điều cho phép sử dụng hệ tọa độ địa phương để mô tả số tính chất địa phương mặt lân cận điểm p mở rộng số khái niệm Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) hàm khả vi mặt qui, ánh xạ khả vi từ mặt qui vào mặt qui đạo hàm chúng Một điểm p ∈ S thuộc vào nhiều lân cận tọa độ khác nên có nhiều tọa độ địa phương khác có phép đổi tọa độ (địa phương) Để định nghĩa liên quan đến tính khả vi hợp lý, phép đổi tọa độ phải khả vi Mệnh đề sau cho thấy yêu cầu đáp ứng Mệnh đề 2.1.5 (Đổi tham số) Cho S ⊂ R3 mặt qui, p ∈ S, X : U ⊂ R2 −→ S Y : V ⊂ R2 −→ S hai tham số hóa địa phương S cho p ∈ X(U ) ∩ Y (V ) = W Khi phép đổi tọa độ h = X −1 ◦ Y : Y −1 (W ) −→ X −1 (W ) vi phôi, tức h khả vi hàm ngược h−1 = Y −1 ◦ X (cũng phép đổi tọa độ) khả vi Chứng minh Ta có h = X −1 ◦ Y đồng phôi X Y đồng phôi Lấy r ∈ Y −1 (W ) đặt q = h(r) Do X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) tham số hóa mặt qui, ta giả sử ∂(x, y) (q) = ∂(u, v) Chúng ta mở rộng X thành ánh xạ F : U × R −→ R3 xác định sau: F (u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t), (u, v) ∈ U, t ∈ R Có thể hình dung F ánh xạ từ hình trụ C xác định U vào hình trụ xác định X(U ) biến thiết diện C với độ cao t thành mặt X(u, v) + te3, với e3 vector đơn vị định hướng trục Oz Rõ ràng F khả vi F |U ×{0} = X Ta có định thức ma trận Jacobi F (q) ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v 0 = ∂(x, y) (q) = ∂(u, v) Do theo Định lý hàm ngược, tồn lân cận M p = X(q) R3 cho F −1 tồn khả vi M Do Y liên tục, tồn lân cận N r V cho Y (N ) ⊂ M ∩ S Từ ta có F −1 ◦ Y |N = X −1 ◦ Y |N = h|N Vì F −1 Y ánh xạ khả vi nên ta suy h khả vi N Nói riêng, h khả vi r Do r điểm ta suy h khả vi Y −1 (W ) Một cách hoàn toàn tương tự, chứng minh h−1 hàm khả vi Nhận xét Giả sử X Y xác định X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Y (w, t) = (x(w, t), y(w, t), z(w, t)) Khi ta có h(w, t) = (u(w, t), v(w, t)), u, v hàm hai biến (w, t) có đạo hàm riêng cấp Tương tự, h−1 (u, v) = (w(u, v), t(u, v)), w, t hàm hai biến (u, v) có đạo hàm riêng cấp Dễ thấy ∂(u, v) ∂(w, t) = 1, ∂(w, t) ∂(u, v) có nghĩa là, định thức ma trận Jacobi h h−1 khác không nơi Một cách tự nhiên phải xây dựng khái niệm giải tích cho mặt qui Dưới định nghĩa hàm số khả vi mặt qui ánh xạ khả vi hai mặt qui Các khái niệm biết trước trường hợp riêng khái niệm Định nghĩa Cho f : V ⊂ S −→ R hàm xác định tập mở V mặt qui S Hàm f gọi khả vi p ∈ V với tham số hóa X : U ⊂ R2 −→ S, p ∈ X(U ), hàm hợp f ◦ X : U −→ R hàm khả vi X −1 (p) Hàm f gọi khả vi V f khả vi điểm V Nhận xét Giả sử Y : W −→ S, với p ∈ W, tham số hóa khác Do h = X −1 ◦ Y khả vi Y −1 (p) nên f ◦ Y = f ◦ X ◦ h khả vi Y −1 (p) Do đó, định nghĩa khơng phụ thuộc vào tham số hóa chọn Chúng ta đồng điểm (u, v) U với X(u, v) X(U ) ⊂ S Do từ sau thay viết (f ◦ X)(u, v) = f (X(u, v)), viết cách đơn giản f (u, v) nói f (u, v) biểu diễn địa phương f lân cận tọa độ X Ví dụ Cho S mặt qui, S ⊂ V với V ⊂ R3 tập mở f : V −→ R hàm khả vi Khi f |S hàm khả vi Thật vậy, với p ∈ S với tham số hóa X : U ⊂ R2 −→ S p, hàm f ◦ X : U −→ R khả vi p Ví dụ Các hàm sau hàm khả vi Hàm độ cao vector đơn vị v ∈ R3 h : S −→ R, h(p) = p.v, ∀p ∈ S h(p) độ cao p ∈ S so với mặt phẳng vng góc với v qua gốc O R3 Cho S mặt qui p0 ∈ S điểm cố định Hàm số f : S −→ R xác định f (p) = d(p, p0 )2 hàm khả vi Nhận xét Chúng ta dùng Mệnh đề 2.1.1 để xây dựng khái niệm hàm khả vi mặt qui Trong chứng minh Mệnh đề 2.1.1 lại sử dụng tính chất ánh xạ ngược tham số hóa liên tục Nên điều kiện thứ hai định nghĩa mặt qui khơng thể thay 10 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Tương tự định nghĩa định nghĩa ánh xạ khả vi từ mặt qui vào mặt qui Định nghĩa Cho S1 , S2 mặt qui, V tập mở S1 ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 ánh xạ liên tục Ánh xạ ϕ gọi khả vi p ∈ V với tham số hóa chọn X1 : U1 −→ S1 , X2 : U2 −→ S2 , p ∈ X1 (U1) ⊂ V ϕ(X1 (U1 )) ⊂ X2 (U2 ), ánh xạ −1 X2 ◦ ϕ ◦ X1 : U1 −→ U2 khả vi X −1 (p) Ánh xạ ϕ gọi khả vi V khả vi điểm V Ánh −1 xạ X2 ◦ ϕ ◦ X1 gọi biểu diễn địa phương ánh xạ ϕ hai đồ (U1, X1 ) (U2 , X2 ) Ánh xạ ϕ : S1 −→ S2 gọi vi phôi ϕ khả vi S1 tồn ánh xạ ngược ϕ−1 : S2 −→ S1 khả vi Khi ta nói hai mặt qui S1 S2 vi phơi với Nhận xét Tương tự hàm khả vi mặt qui, định nghĩa ánh xạ khả vi mặt qui khơng phụ thuộc vào tham số hóa chọn Theo định nghĩa, ánh xạ ϕ khả vi hàm thành phần biểu diễn địa phương ϕ lân cận tọa độ địa phương có đạo hàm riêng liên tục cấp Tương tự đẳng cấu tuyến tính không gian vector, ánh xạ đẳng cự không gian Euclid, vi phơi đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính chất liên quan đến tính khả vi mặt qui Hai mặt qui vi phôi với xem Ví dụ 10 Mọi tham số hóa mặt qui S X : U ⊂ R2 −→ S ánh xạ khả vi mặt qui (xem U mặt qui) Thật vậy, với p ∈ X(U ) với tham số hóa Y : V ⊂ R2 −→ S p, ta có X −1 ◦ Y : Y −1 (W ) −→ X −1 (W ) khả vi, W = X(U ) ∩ Y (V ) Tương tự ta có X −1 khả vi, đó, U X(U ) vi phôi với Do đĩa mở R2 vi phôi với mặt phẳng R2 , nên ta nói “mỗi mặt qui vi phơi địa phương với mặt phẳng” Ví dụ 11 Cho S1 S2 mặt qui Giả sử S1 ⊂ V ⊂ R3 , với V tập mở R3 , ϕ : V −→ R3 ánh xạ khả vi ϕ(S1 ) ⊂ S2 Khi ánh xạ hạn chế ϕ|S1 : S1 −→ S2 ánh xạ khả vi Thật vậy, giả sử p ∈ S1 , X1 : U1 −→ S1 X2 : U2 −→ S2 hai tham số hóa với p ∈ X1 (U1 ) ϕ(X1 (U1)) ⊂ X2 (U2 ) Chúng ta có ánh xạ −1 X2 ◦ ϕ ◦ X1 : U1 −→ X2 : U1 −→ X2 khả vi Các trường hợp sau trường hợp đặc biệt ví dụ 11 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Giả sử mặt qui S đối xứng qua mặt phẳng xy, tức (x, y, z) ∈ S (x, y, −z) ∈ S Khi ánh xạ σ : S −→ S biến p ∈ S thành điểm đối xứng qua mặt phẳng xy ánh xạ khả vi σ hạn chế phép đối xứng qua mặt phẳng xy R3 Ký hiệu Rz,θ phép quay quanh trục z với góc quay θ S mặt qui bất biến qua phép quay này, tức p ∈ S Rz,θ (p) ∈ S Khi Rz,θ |S ánh xạ khả vi Cho ϕ : R3 −→ R3 , ϕ(x, y, z) = (ax, by, cz), a, b, c số thực khác khơng Khi ánh xạ ϕ|S từ S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y + z = 1} vào ellipsoid x2 y z E = {(x, y, z) ∈ R : + + = 1}, a b c ánh xạ khả vi Có thể chứng minh S E vi phôi với Nhận xét Có thể xây dựng lý thuyết đường theo quan điểm mặt qui Chúng ta định nghĩa đường cong qui R3 tập C R3 có tính chất là: với p ∈ C, tồn lân cận V p R3 đồng phôi khả vi α : I ⊂ R −→ R3 cho Dα đơn ánh với t ∈ I (I khoảng mở R) Tương tự mặt, chứng minh phép đổi tham số vi phơi Điều cho thấy định nghĩa hàm khả vi đường qui ánh xạ khả vi đường qui Các tính chất địa phương C tính chất đường cong tham số mà không phụ thuộc vào tham số hóa Cho nên kết đường tham số xem kết địa phương đường qui Ngược lại kết địa phương đường áp dụng cho đường tham số Ví dụ 12 (Mặt trịn xoay) Cho C đường cong qui mặt phẳng xz không cắt trục z Quay C quanh trục z nhận tập S ⊂ R3 Giả sử x = f (v), z = g(v), a < v < b, f(v) > tham số hóa C u góc quay quanh trục z Như vậy, có ánh xạ X(u, v) = (f (v) cos u, f(v) sin u, g(v)) từ tập U = {(u, v) ∈ R2 : < u < 2π, a < v < b} vào S Chúng ta chứng minh X tham số hóa S S phủ ảnh tham số hóa nên S mặt qui Mặt S gọi mặt tròn xoay Đường cong C gọi đường sinh, trục z gọi trục quay Các đường tròn xác định điểm C qua phép quay gọi vĩ tuyến, vị trí C theo góc quay u khác gọi kinh tuyến 12 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Nếu C đường cong phẳng đóng qui nhận đường thẳng d làm trục đối xứng quay quanh d ta nhận mặt mà ta chứng minh mặt qui Đối với mặt ta phải loại bỏ hai điểm, giao C với d Ta gọi mặt mặt tròn xoay mở rộng Do mong muốn xem xét tính chất tồn cục đồng thời với tính chất địa phương, xét mặt qui thay cho mặt tham số Nếu xét tính chất địa phương cần xét lớp mặt tham số (chúng ta có định nghĩa sau tương tự định nghĩa đường tham số) Sau ta thấy, xét lớp mặt tham số khái niệm tính chất tồn cục phải bị bỏ qua xử lý cách không đầy đủ Tuy vậy, khái niệm mặt tham số đôi lúc tỏ hữu ích Định nghĩa Một mặt tham số cặp (X, S), X : U ⊂ R2 −→ R3, với U tập mở, ánh xạ khả vi S = X(U ) Tập X(U ) gọi vết mặt tham số ánh xạ X gọi tham số hóa mặt Tương tự đường tham số có khái niệm mặt tham số liên tục, , mặt tham số khả vi Chúng ta đồng mặt tham số với X S khơng có gây nhầm lẫn Mặt tham số X gọi qui DXq : R2 −→ R3 đơn ánh với q ∈ U Một điểm q ∈ U mà DXq đơn ánh gọi điểm kì dị Điều kiện DXq đơn ánh tương đương với {Xu (q), Xv (q)} độc lập tuyến tính Chú ý rằng, mặt tham số qui tự cắt Ví dụ 13 Cho α : I −→ R3 đường tham số Đặt X(t, v) = α(t) + vα (t), (t, v) ∈ I × R Ta có X mặt tham số gọi mặt tiếp xúc α Giả sử hàm độ cong k khác không t ∈ I, nghĩa k(t) = 0, ∀t ∈ I Xét ánh xạ X miền U = {(t, v) ∈ I × R : v = 0} Ta có ∂X = α (t) + vα (t); ∂t Do k(t) = ∂X = α (t) ∂v |α (t) ∧ α (t)| = 0, |α (t)|3 nên ∀t ∈ I ∂X ∂X ∧ = vα (t) ∧ α (t) = 0, ∀(t, v) ∈ U ∂t ∂v Như hạn chế X : U −→ R3 mặt tham số hóa qui Vết X gồm hai mảnh liên thơng có biên chung vết α(I) đường tham số α 13 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Mệnh đề sau cho thấy xét khái niệm tính chất địa phương hình học vi phân cho mặt tham số Mệnh đề 2.1.6 Cho X : U ⊂ R2 −→ R3 mặt tham số qui q điểm thuộc U Khi tồn lân cận V q U cho X(V ) ⊂ R3 mặt qui Chứng minh Giả sử X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Từ tính qui, ta giả sử ∂(x,y) (q) ∂(u,v) = Xét ánh xạ F : U × R −→ R3 , xác định F (u, v, t) = ((x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t), (u, v, t) ∈ U × R ∂(x,y) Do det(F (q) = ∂(u,v) (q) = 0, nên theo định lý hàm ngược, tồn lân cận W1 q lân cận W2 F (q) cho F : W1 −→ W2 vi phôi Đặt V = W1 ∩ U, ta có F |V = X|V Do X(V ) vi phơi với V nên mặt qui 2.2 2.2.1 Mặt phẳng tiếp xúc-Vi phân ánh xạ Mặt phẳng tiếp xúc Định nghĩa Một vector tiếp xúc mặt qui S điểm p ∈ S vector tiếp xúc cung tham số khả vi có vết nằm S α : (− , ) −→ S, với α(0) = p Tập tất vector tiếp xúc S p gọi mặt phẳng tiếp xúc S p, ký hiệu Tp S Mệnh đề sau cho thấy không gian tiếp xúc TpS không gian vector 2-chiều Mệnh đề 2.2.1 Giả sử X : U ⊂ R2 −→ S tham số hóa S với p ∈ X(U ) q = X −1 (p) Khi khơng gian vector 2-chiều DXq (R2 ) ⊂ R3 khơng gian tiếp xúc Tp S Chứng minh Giả sử w vector tiếp xúc S p, tức w = α (0), với α : (− , ) −→ S, α(0) = p Khi β = X −1 ◦ α : (− , ) −→ U ánh xạ khả vi β(0) = q Như vậy, α = X ◦ β β(0) = q, w = α (0) = X (β(0)).β (0) = DXq (β (0)) ∈ DXq (R2) 14 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Ngược lại, giả sử w = DXq (v), v ∈ R2 Xét đường tham số β : (− , ) −→ U t −→ vt + q Dễ thấy β(0) = q β (0) = v Xét đường tham số α = X ◦ β : (− , ) −→ S, ta có α (0) = DXq (v) = w Dễ thấy hệ { ∂X (q), ∂X (q)} gồm vector tiếp xúc với đường tọa độ qua p sở ∂u ∂v Tp S Giả sử w vector tiếp xúc với đường cong α = X ◦ β : (− , ) −→ S, với β : (− , ) −→ U, β(t) = (u(t), v(t)) Ta có, w = u + bXv Ta tính hệ số a b d (X ◦ β)(0) dt d = (X(u(t), v(t)) dt ∂X ∂X = u (0) (u(0), v(0)) + v (0) (u(0), v(0)) ∂u ∂v = u (0)Xu (q) + v (0)Xv (q) α (0) = Như tọa độ w sở {Xu , Xv } (u (0), v (0)) 2.2.2 Vi phân ánh xạ Cho S1 S2 hai mặt qui ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 ánh xạ khả vi Lấy p ∈ V w ∈ Tp S1, tức w vector tiếp xúc đường tham số khả vi α : (− , ) −→ V, w = α (0), p = α(0) Xét đường cong β = ϕ ◦ α, ta có β(0) = ϕ(p) β (0) ∈ Tϕ(p)S2 Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.2 Vector β (0) ∈ Tϕ(p)S2 không phụ thuộc vào α Chứng minh Cho X(u, v) X (u, v) tham số hóa lân cận p ϕ(p) Giả sử ϕ(u, v) = (ϕ1 (u, v), ϕ2(u, v)) = X(u, v) α(t) = (u(t), v(t)) Khi đó, β(t) = (ϕ1 (u(t), v(t)), ϕ2(u(t), v(t))) Do dβ (0) = β (0) = dt ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ2 ∂ϕ1 (p)(u (0) + (p)(v (0), (p)(u (0) + (p)(v (0) ∂u ∂v ∂u ∂v 15 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Điều cho thấy β (0) phụ thuộc vào ϕ tọa độ w sở {Xu , Xv } Do β (0) không phụ thuộc vào α Theo Mệnh đề 2.2.2, ta có ánh xạ Tpϕ : Tp S1 −→ Tϕ(p)S2 w −→ Tp ϕ(w) := β (0) Mệnh đề 2.2.3 Ánh xạ Tp ϕ ánh xạ tuyến tính Chứng minh Theo chứng minh Mệnh đề 2.2.2 Tp ϕ(w) = β (0) = ∂ϕ1 ∂u ∂ϕ2 ∂u ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ2 ∂v u (0) , v (0) tức Tp ϕ ánh xạ tuyến tính từ TpS1 vào Tϕ(p)S2 mà ma trận cặp sở {Xu , Xv } {X u , X v } ∂ϕ1 ∂u ∂ϕ2 ∂u ∂ϕ1 ∂v ∂ϕ2 ∂v Định nghĩa Ánh xạ Tp ϕ gọi ánh xạ vi phân hay ánh xạ tiếp xúc hay ánh xạ đạo hàm ϕ p Ví dụ 14 Cho S ⊂ R3 mặt cầu đơn vị Rz,θ : R3 −→ R3 phép quay quanh trục z với góc quay θ Khi Rz,θ |S : S −→ S ánh xạ khả vi Ta có TpRz,θ (w) = d (Rz,θ ◦ α(t))|t=0 = Rz,θ (α (0) = (Rz,θ (w) dt Rz,θ tuyến tính Như vậy, xây dựng phép tính vi tích phân mặt qui Các kết cổ điển mở rộng cho mặt qui Sau Định lý hàm ngược cho mặt qui Định nghĩa Một ánh xạ ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 , với S1, S2 mặt qui, gọi vi phôi địa phương p ∈ V tồn lân cận U ⊂ V p cho ϕ|U vi phôi từ U vào ϕ(U ) ⊂ S2 Định lý 2.2.4 (Định lý hàm ngược cho mặt qui) Giả sử ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 ánh xạ khả vi cho Tpϕ p ∈ V đẳng cấu Khi ϕ vi phơi địa phương p 16 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Dĩ nhiên khái niệm khác giải tích như: điểm tới hạn, giá trị qui, giá trị tới hạn v.v , mở rộng cách tự nhiên cho mặt qui Cho p ∈ S, với S mặt qui Khi ta có hai vector đơn vị (ngược chiều nhau) vng góc với Tp S Chúng gọi pháp vector đơn vị p Đường thẳng qua p với vector phương pháp vector đơn vị gọi pháp tuyến S p Ta gọi góc hai mặt qui giao điểm p chúng góc hai mặt phẳng tiếp xúc điểm p Góc góc hai pháp tuyến p Chúng ta xác định vector pháp tuyến cách chọn Xu ∧ Xv (q), Xu ∧ Xv N (p) := với q = X −1 (p) X tham số hóa p Như có ánh xạ khả vi quan trọng việc nghiên cứu mặt N : X(U ) −→ R3 p −→ N (p) Ánh xạ N xác định cách địa phương đề cập kỷ mục Các ví dụ mặt không định hướng cho thấy thác triển N thành ánh xạ khả vi tồn mặt, mặt khơng định hướng 2.3 2.3.1 Dạng thứ nhất-Diện tích Dạng thứ Cho S ⊂ R3 mặt qui Khi tích vơ hướng R3 cảm sinh tích vơ hướng mặt phẳng tiếp xúc TpS Cụ thể ∀w1 , w2 ∈ TpS, w1 , w2 p = w1 w2 (tích vơ hướng R3) Định nghĩa Với không gian tiếp xúc Tp S, dạng toàn phương Ip : Tp S −→ R Ip (w) = w, w p = |w|2 , gọi dạng thứ S p 17 w ∈ Tp S Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Giả sử X(u, v) tham số hóa S p, w ∈ Tp S vector tiếp xúc cung tham số mặt α : (− , ) −→ S t −→ X(u(t), v(t)) với p = α(0), w = α (0) Ta có Ip (w) = Ip (α (0)) = α (0), α (0) = u Xu + v Xv , u Xu + v Xv = Xu , Xu (u )2 + Xu , Xv u v + Xv , Xv (v )2 = E(u )2 + 2F u v + G(v )2 , với E = Xu , Xu , F = Xu , Xv , G = Xv , Xv , hệ số dạng thứ Ip Khi cho p chạy lân cận tọa độ ứng với X, ta hàm khả vi E, F, G xác định lân cận Ví dụ 15 Giả sử w1, w2 vector trực chuẩn p điểm R3 Khi mặt phẳng qua p với cặp vector phương w1 , w2 có tham số hóa dạng X(u, v) = p + uw1 + vw2, (u, v) ∈ R2 Ta tính E = Xu , Xu = w1 , w1 = 1, F = Xu , Xv = w1 , w2 = 0, G = Xv , Xv = w2 , w2 = Nếu w có tọa độ (a, b) {Xu , Xv } Ip (w) = a2 + b2 Ví dụ 16 Mặt trụ với đáy đường tròn x2 + y z =1 =0 có tham só hóa dạng X(u, v) = (cos u, sin u, v), xác định tập mở U = {(u, v) ∈ R2 : < u < 2π, −∞ < v < ∞} Ta có Xu = (− sin u, cos u, 0), Xv = (0, 0, 1) Do ta tính E = 1, F = 0, G = Ta có nhận xét dạng thứ mặt phẳng mặt trụ giống 18 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Ví dụ 17 Xét đường xoắn ốc (helix) có tham số hóa sau: c(u) = (cos u, sin u, au), a = 0, < u < 2π Qua điểm đường xoắn ốc vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng xy giao với trục z Mặt sinh đường thẳng gọi mặt Helicoid có tham số hóa dạng X(u, v) = (v cos u, v sin u, au), < u < 2π, −∞ < v < ∞ Ta có Xu = (−v sin u, v cos u, a), Xv = (cos u, sin u, 0) Từ ta tính E = v + a2 , F = 0, G = Dạng I quan trọng biết I xử lý vấn đề metric mặt qui mà khơng cần đến khơng gian R3 Ví dụ, hàm độ dài cung đường tham số c : I −→ S, cho t s(t) = t I(c (t))dt |c (t)|dt = 0 Đặc biệt, c(t) = X(u(t), v(t)) ta tính độ dài đường tham số c, giả sử từ đến t t E(u )2 + 2F u v + G(v )2dt s(t) = Cũng vậy, góc hai đường tham số qui c : I −→ S α : J :−→ S cắt t0 cos θ = c (t0), α (t0) |c (t0)|.|α (t0 )| Đặc biệt góc hai đường tọa độ tham số hóa cos θ = F Xu , Xv =√ |Xu |.|Xv | EG Từ thấy hai đường tọa độ trực giao F (u, v) = 0, ∀(u, v) Một tham số hóa gọi tham số hóa trực giao t Nhận xét Do đẳng thức s(t) = E(u )2 + 2F u v + G(v )2dt nên nhiều giáo trình dạng thứ viết dạng ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv , có nghĩa c(t) = X(u(t), v(t)) đường tham số mặt S s = s(t) độ dài cung nó, 2 du dv ds dv du +G =E + 2F , dt dt dt dt dt 19 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Ví dụ 18 Xét tham số hóa mặt cầu S X(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) Ta có Xθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ), Xϕ = (− sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0), Do E = 1, F = 0, G = sin2 θ Như vậy, giả sử w = aXθ + bXϕ ∈ TpS, với p = X(θ, ϕ) |w|2 = a2 + b2 sin2 θ 2.3.2 Diện tích Một vấn đề khác liên quan đến metric diện tích Chúng ta mong muốn tính diện tích miền bị chặn mặt qui Vấn đề xử lý nhờ vào dạng thứ Trước hết làm quen với số khái niệm Miền mở (domain) mặt qui S tập mở liên thơng S có biên ảnh đường tròn qua phép đồng phơi khả vi qui (tức đạo hàm khác không) trừ số hữu hạn điểm Miền hợp miền mở biên Một miền gọi bị chặn chứa hình cầu Giả sử S mặt qui, X tham số hóa địa phương Trên mặt phẳng tiếp xúc TpS, tức không gian Euclid 2-chiều, biết đại lượng |Xu ∧ Xv | diện tích hình bình hành dựng vector Xu Xv Chúng ta đưa định nghĩa diện tích miền bị chặn Định nghĩa 10 Cho R ⊂ S miền bị chặn chứa lân cận tọa độ xác định tham số hóa X : U ⊂ R2 −→ S Số dương A(R) := |Xu ∧ Xv |dudv, Q = X −1 (R) (2.1) Q gọi diện tích R Do |Xu ∧ Xv |2 + Xu , Xv nên |Xu ∧ Xv | = = |Xu |2|Xv |2 √ EG − F Công thức diện tích 2.1 viết lại √ EG − F 2dudv A(R) = Q 20 (2.2) Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Nhận xét Chúng ta định nghĩa diện tích cách hình học cách dùng phân hoạch miền thành miền nhỏ xấp xỉ sau lấy giới hạn Tuy nhiên vấn đề nhiều thời gian Bạn đọc tham khảo tài liệu giải tích xem [?], trang 114 Định nghĩa nêu áp đặt hồn tồn tương thích với cách hiểu tự nhiên diện tích Ví dụ sau minh họa cho điều Ví dụ 19 Tính diện tích mặt xuyến T Xét lân cận tọa độ tương ứng với tham số hóa X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u), (0 < u < 2π, < v < 2π) Lân cận tọa độ phủ S trừ đường kinh tuyến vĩ tuyến Ta tính hệ số dạng thứ sau: E + r2 , Do đó, F = 0, G = (r cos u + a)2 √ EG − F = r(r cos u + a) Xét miền R ảnh Q qua X với Q = {(u, v) ∈ R2 : + ≤ u ≤ 2π − , + ≤ v ≤ 2π − } Miền R phủ gần hết T trừ hai dải nhỏ chứa đường kinh tuyến vĩ tuyến nêu Khi dần không A(R ) dần diện tích T Ta tính A(R ) 2π− A(R ) = 2π− (r2 cos u + ra)du r(r cos u + a)dudv = 0+ Q dv 0+ = r2 (2π − )(sin(2π − ) − sin ) + ra(2π − )2 Cho −→ 0, ta có A(T ) = 4π 2ra 2.4 Mặt định hướng Định nghĩa 11 Một mặt qui S gọi định hướng có ánh xạ liên tục p −→ N (p) biến điểm p ∈ S thành pháp vector đơn vị N (p) ⊥ Tp (S) Một mặt qui định hướng mặt qui định hướng với ánh xạ p −→ N (p) Ví dụ 20 Dễ thấy mặt phẳng mặt định hướng Ví dụ sau cho ta thấy có mặt khơng định hướng 21 Hình học vi phân (Giáo trình chỉnh lý Version 1) Ví dụ 21 Mặt Măbius Ly mt di giy hỡnh ch nht Dỏn hai cạnh đối diện lai với sau o o xoắn 1800 Mặt nhận mặt Măbius Chỳng ta d nhn thy rng mt vector phỏp đổi chiều sau trượt dọc theo đường mặt vòng Điều cho thấy mặt Măbius l khụng th nh hng c o Hai mnh đề cho ta ví dụ khác mặt qui định hướng Mệnh đề 2.4.1 Cho h : U ⊂ R2 −→ R hàm khả vi Khi đồ thị h mặt qui định hướng Chứng minh Xét tham số hóa X(u, v) = (u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U Khi X(U ) = Gh X đơn ánh Xét N ◦X = Xu ∧ Xv (−hu , hv , 1) = |Xu ∧ Xv | + h2 + h2 u v Vì + h2 + h2 > 0, nên N liên tục u v Mệnh đề 2.4.2 Cho f : U ⊂ R3 −→ R hàm khả vi a giá trị qui f Khi S = f −1 (a) mặt qui định hướng Chứng minh Lấy điểm p ∈ S, giả sử p = (x0, y0 , z0) Xét đường tham số c(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ (− , ) ⊂ R mặt S qua p với c(0) = p Vì đường cong nằm mặt nên f (x(t), y(t), z(t)) = a, ∀t ∈ I Đạo hàm hai vế t = 0, ta nhận fx (p)x (0) + fy (p)y (0) + fz (p)z (0) = Từ suy vector tiếp xúc c t = trực giao với (fx , fy , fz ) p Do điểm p đường tham số c lấy tùy ý nên ta suy N (x, y, z) = fx , 2 fx + fy + fz fy , 2 fx + fy + fz fz 2 fx + fy + fz 2 xác định tồn S Do a điểm qui nên fx + fy + fz > điểm mặt Do N liên tục 22 ... định lý hàm ngược, tồn lân cận W1 q lân cận W2 F (q) cho F : W1 −→ W2 vi phôi Đặt V = W1 ∩ U, ta có F |V = X|V Do X(V ) vi phôi với V nên mặt qui 2. 2 2. 2.1 Mặt phẳng tiếp xúc -Vi phân ánh xạ Mặt. .. cho ϕ|U vi phôi từ U vào ϕ(U ) ⊂ S2 Định lý 2. 2.4 (Định lý hàm ngược cho mặt qui) Giả sử ϕ : V ⊂ S1 −→ S2 ánh xạ khả vi cho Tpϕ p ∈ V đẳng cấu Khi ϕ vi phơi địa phương p 16 Hình học vi phân (Giáo... kính r mặt phẳng yz Khi phương trình S (y − a )2 + z x = r2 , =0 phương trình T ( x2 + y − a )2 + z = r2 Xét hàm f : R3 − Oz −→ R xác định f (x, y, z) = ( x2 + y − a )2 + z Hình học vi phân (Giáo