Luận văn: HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC ppt

50 360 0
Luận văn: HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC ppt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH HẰNG HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2008 MỤC LỤC Lời mở đầu 1 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 3 1.2. Không gian phức hyperbolic 5 1.3. Không gian phức hyperbolic Brody 9 1.4. Không gian phức hyperbolic đầy 10 1.5. Không gian phức nhúng hyperbolic 16 1.6. Metric vi phân Royden-Kobayashi 18 Chương 2: Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình tính hyperbolic của không gian phức 21 2.1. Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình tiêu chuẩn metric cho tính s- chuẩn tắc 21 2.2. Tính chuẩn tắc tính hyperbolic 34 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI MỞ ĐẦU Vào những năm đầu của thế kỷ 20, Montel đã đƣa ra khái niệm họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình. Từ đó, khái niệm họ chuẩn tắc giữ một vai trò quan trọng đối với lý thuyết hàm biến phức có ứng dụng rộng rãi trong động lực học, lý thuyết tối ƣu,…Điều này đã khiến cho việc nghiên cứu các ánh xạ chuẩn tắc đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm. Việc tìm ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc cho đến nay đã đạt đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ nhƣ tiêu chuẩn của Montel, tiêu chuẩn của Marty, tiêu chuẩn của Miranda,…Đồng thời có những mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết họ ánh xạ chuẩn tắc với giải tích phức hyperbolic. Chẳng hạn, những ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức tuỳ ý có những tính chất quan trọng nhất của ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hay không gian nhúng hyperbolic). Vì thế, tính hyperbolic của các không gian phức có thể đƣợc nghiên cứu từ cách nhìn của họ ánh xạ chuẩn tắc. Đã có nhiều nghiên cứu theo hƣớng nói trên, năm 1991 dựa trên ý tƣởng của Aladro, M.Zaidenberg đã đƣa ra khái niệm họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trên các không gian phức. Trong luận văn này, chúng tôi muốn trình bày những kết quả về họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến dƣới góc độ của giải tích phức hyperbolic. Chúng tôi cũng lƣu ý đến mối liên hệ mật thiết về tính hyperbolic của không gian phức tính chuẩn tắc của các ánh xạ thuộc họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Nội dung của luận văn gồm có hai chƣơng. Trong chƣơng 1, chúng tôi trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích phức nhiều biến giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chƣơng sau. Chƣơng 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chƣơng này chúng tôi trình bày khái niệm các tiêu chuẩn metric của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, mối liên hệ giữa lý thuyết họ ánh xạ s-chuẩn tắc với tính hyperbolic của các không gian phức. Việc chứng minh chủ yếu dựa trên kiểu của bổ đề Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Schwarz-Pick hoặc tính chất giảm khoảng cách các bao hàm thức, bất đẳng thức đã đƣợc chứng minh chi tiết. Cuối cùng là phần kết luận của luận văn trình bày tóm tắt các kết quả đã đạt đƣợc. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót hạn chế, rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các độc giả. Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Nhân dịp này em cũng xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô đã giảng dạy cho em các kiến thức khoa học trong suốt quá trình học tập tại trƣờng. Xin cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, ngƣời thân bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khoá học. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI TRÊN KHÔNG GIAN PHỨC Với 0 < r < ta đặt 1 ,, r z z r , gọi r là đĩa bán kính r, là đĩa đơn vị trong  . 1.1.1. Metric Bergman – Poincaré chuẩn hyperbolic trên các đĩa Metric Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị đĩa r đƣợc định nghĩa nhƣ sau : 2 2 2 4 , 1 dzdz ds z z ; 2 2 2 2 2 4 , rr r dzdz ds z rz . Khi đó, chuẩn của một vectơ tiếp xúc sinh bởi metric Bergman – Poincaré trên r đƣợc xác định bởi : Với z (hoặc r z ) z Tv (hoặc zr Tv ) là vectơ tiếp xúc tại z, ta có , 2 2 , 1 euc hyp z z v v , , 2 2/ 1/ euc hyp r z r zr v v trong đó euc v là chuẩn Euclide trên  . Các chuẩn , , , , hyp z hyp r z vv đƣợc gọi là chuẩn hyperbolic trên , r tƣơng ứng. Chú ý rằng tại z = 0 chuẩn hyperbolic bằng hai lần chuẩn Euclide. Để đơn giản ta ký hiệu hyp v r v hoặc ()H v () r H v là các chuẩn hyperbolic trên , r tƣơng ứng . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 1.1.2. Định nghĩa Giả sử X,Y là các không gian với các hàm khoảng cách d,d’ tƣơng ứng. Ánh xạ :f X Y đƣợc gọi là giảm khoảng cách nếu '( ( ), ( )) ( , ) ,d f x f y d x y x y X . 1.1.3. Khoảng cách Bergman – Poincaré Khoảng cách sinh bởi metric Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị , ký hiệu , đƣợc gọi là khoảng cách Bergman – Poincaré. Do đó khoảng cách Bergman – Poincaré cũng chính là khoảng cách sinh bởi chuẩn hyperbolic xác định trong 1.1.1. Sử dụng định nghĩa khoảng cách sinh bởi hàm độ dài là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị mở ta có thể xác định công thức tính khoảng cách Bergman – Poincaré nhƣ sau: 1 1 ( , ) ln , , 1 1 ab ba a b a b ab ba . 1.1.4. Định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi Giả sử X là một không gian phức, p q là hai điểm tùy ý của X. Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình nối p với q là tập hợp : 1 2 1 2 , , , ; , , , Hol( , ) nn a a a f f f X sao cho 11 (0) , ( ) (0), ( ) , i i i n n f p f a f f a q trong đó Hol( , )X là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào không gian phức X đƣợc trang bị tô pô compact mở. Ta đặt: 1 (0; ) n i i La định nghĩa ( , ) inf X k p q L , trong đó infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối p với q . Dễ thấy X k thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 ) ( , ) 0, , . ) ( , ) ( , ), , . ) ( , ) ( , ) ( , ), , , . X XX X X X i k p q p q X ii k p q k q p p q X iii k p r k p q k q r p q r X Nói cách khác X k là một giả khoảng cách trên X. Giả khoảng cách X k đƣợc gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. 1.1.5. Tính chất Ta có thể dễ dàng chứng minh các tính chất sau của : X k i) k 1, (( ),( )) max ( , ) n i j i j jn k z w z w với mọi ( ),( ) n ij zw . ii) Nếu :f X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X, Y thì ( , ) ( ( ), ( )), , XY k p q k f p f q p q X . Từ đó suy ra rằng nếu :f X Y là song ánh chỉnh hình thì ( , ) ( ( ), ( )), , XY k p q k f p f q p q X . iii) Đối với một không gian phức X tùy ý, hàm khoảng cách X k là liên tục trên .XX iv) Nếu X, Y là các không gian phức thì với mọi 1 2 1 2 , ; ,x x X y y Y ta có 1 2 1 2 1 1 2 2 max ( , ), ( , ) (( , ),( , )) X Y X Y k x x k y y k x y x y . 1.1.6. Định nghĩa Ta gọi g là Aut( ) bất biến khi chỉ khi với mọi Aut( )f thì * f g g . (Metric Poincaré là Aut( ) - bất biến). 1.2. KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC 1.2.1. Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi X k là khoảng cách trên X, nghĩa là ( , ) 0 X k p q p q . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.2.2. Tính chất i) Nếu X, Y là không gian phức, thì XY là không gian hyperbolic khi chỉ khi cả X Y đều là các không gian hyperbolic. ii) Nếu X là không gian con phức của không gian hyperbolic Y thì X cũng là hyperbolic. iii) Định lý Barth Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì X k sinh ra tô pô tự nhiên của X. 1.2.3. Ví dụ +) Đĩa đa đĩa m r là hyperbolic. +)  n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử n k  là giả khoảng cách Kobayashi trên  n , ta sẽ chỉ ra rằng 0 n k  do đó n k  không là khoảng cách trên  n . Với ,  n xy ( 0)pp , xét ánh xạ : : . n f yx z x z p   Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, (0)fx ()f p y . Do đó f là giảm khoảng cách đối với k n k  nên ta có: (0; ) ( (0); ( )) n k p k f f p  . Suy ra ( , ) (0; ) n k x y p  . Cho p dần tới 0 ta có ( , ) 0 , n n k x y x y   . Vậy  n không là hyperbolic. 1.2.4. Bổ đề Giả sử X, Y là các không gian phức, ' Y k là hàm khoảng cách trên Y, liên tục với tô pô của Y . Giả sử : XY là ánh xạ chỉnh hìnhtính chất giảm khoảng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 cách từ X k tới ' Y k B(y,s) là hình cầu mở ứng với khoảng cách ' Y k với , ( )x X y x . Khi đó tồn tại hằng số ( ) 0cs chỉ phụ thuộc vào s thoả mãn ( , ') min , ( ) ( , ' ) XV k x x s c s k x x với mọi 1 ' ( ( ,2 ))x V B y s . Chứng minh Giả sử : , 1, , i f X i m với 11 ( ) (0) i i i f q f là một dây chuyền chỉnh hình trong X nối x với x’. Ta xét hai trƣờng hợp sau: i) Tồn tại một chỉ số j sao cho ( ) ( , ) jj f q B y s . Khi đó ta có 11 (0, ) ( (0), ( )) mm i X i i i ii k q k f f q 1 ' ( (0), ( )) m Y i i i i k f f q ' ( , ( )) Y j j d y f q s . Từ đó ( , ') X k x x s . ii) ( ) ( , ) jj f q B y s với mọi chỉ số j. Trƣớc hết ta có nhận xét: Giả sử :fY là ánh xạ chỉnh hình, r q là hai số thực thoả mãn 0 1, 0< q <1r . Khi đó tồn tại một phép chia [0 = t 0 , t 1 , …,t n = q] của đoạn [0, q] trong , có các số r k (k=1,…,N) thoả mãn 0 2 k r r các tự đẳng cấu : , 1, , k g k N sao cho g k ánh xạ [0,r k ] lên [t k-1 , t k ]. Nếu ta thay f bởi 1 , , N f g f goo thì ta nhận đƣợc từ f một dây chuyền chỉnh hình nối các điểm f (0) với f (q), nói cách khác ta có phép chia đoạn [0, q] thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 0 2 k r r mà dây chuyền chỉnh hình vẫn có cùng độ dài Kobayashi. Ta áp dụng nhận xét trên cho mỗi hàm f i (i = 1, ., m) của dây chuyền chỉnh hình đã cho. Chọn r ( 01r ) thoả mãn (0, )k z s với r z . Khi đó r chỉ là một hàm đối với s. Theo nhận xét trên, không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng dây chuyền chỉnh hình đƣợc lấy thoả mãn 2 i r q với mọi i. Nếu dây chuyền chỉnh hình mới này thoả mãn điều kiện của i) thì ta có điều phải chứng minh. Trong trƣờng hợp còn lại ta có 1 (0) B( , ) i f y s . Vì ' ( (0), ( )) Y i i r k f f s , ta nhận đƣợc 1 ( ) B( ,2 ) , ir f y s V với mọi i. Tồn tại số 0c sao cho (0, ) r k z ck với /2r z . Khi đó tổng Kobayashi thoả mãn bất đẳng thức 11 1 (0, ) (0, ) c (0, / ) ( , '). r mm ii ii m i i V k q c k q k q r ck x x Thật vậy, () ir fV với mọi i. Vì vậy nếu ta ký hiệu bởi m r là phép nhân với r, thì 1 { , , } r m r f m f moo là một dây chuyền chỉnh hình trong V. Vì vậy ta cũng có ( , ') ( , ') XV k x x ck x x . Từ cả hai trƣờng hợp trên có ra điều phải chứng minh. Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic của các không gian [...]... l khụng gian phc hyperbolic, thỡ mi ỏnh x chnh hỡnh f : X u l ỏnh x hng 1.3.3 nh lý Brody Gi s X l khụng gian phc compact Nu X khụng l hyperbolic thỡ tn ti mt ỏnh x chnh hỡnh khỏc hng f : Ê X 1.3.4 nh lý Gi s X l khụng gian phc compact Khi ú X l hyperbolic Brody khi v ch khi X l hyperbolic Kobayashi 1.4 KHễNG GIAN PHC HYPERBOLIC Y 1.4.1 nh ngha Khụng gian phc X c gi l hyperbolic y nu X l hyperbolic. .. X ( x, x ') 0 , do ú X l hyperbolic + Nu ( x) ( x ') y : theo gi thit cú mt lõn cn m U ca y m ' hyperbolic T ú tn ti s > 0 sao cho kY - cu B ( y,2 s ) Mt khỏc 1 (U ) l U 1 hyperbolic 1 B( y,2s) l hyperbolic vỡ nú l khụng gian con ca khụng gian (U ) Suy ra k X ( x, x ') 0 Vy X l hyperbolic 1.3 KHễNG GIAN PHC HYPERBOLIC BRODY 1.3.1 nh ngha Gi s X l khụng gian phc Ta núi X l hyperbolic Brody nu vi mi... X Ta f ( xn ) l dóy k * -Cụsi m * 0 l hyperbolic y nờn k * nờn f ( xn ) hi t theo k n y Li do f liờn tc v kX n Rừ rng X f x , f ( xn ) n y 0, suy ra y f ( x) 0 do ú x Xf X f y X , X l hyperbolic nờn X f hyperbolic Vy X f l hyperbolic y (pcm) 1.5 KHễNG GIAN PHC NHNG HYPERBOLIC 1.5.1 nh ngha Gi s X l khụng gian con phc ca khụng gian phc Y Khi ú ta núi X l nhỳng hyperbolic trong Y nu vi mi x, y X Y ,... X l hypebolic http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 CHNG 2: H S- CHUN TC CC NH X CHNH HèNH V TNH HYPERBOLIC CA KHễNG GIAN PHC Ni dung chớnh ca chng ny l trỡnh by mt s kt qu ca h s-chun tc cỏc ỏnh x chnh hỡnh ng thi trỡnh by mt s ng dng ca h s-chun tc trong vic nghiờn cu tớnh hyperbolic hay tớnh nhỳng hyperbolic ca cỏc khụng gian phc Ta bit rng cỏc metric hyperbolic úng vai trũ quan trng trong lý thuyt cỏc hm... Khụng gian phc X l hyperbolic khi v ch khi X l nhỳng hyperbolic trong chớnh nú ii) Nu X1 l nhỳng hyperbolic trong Y1 v X2 l nhỳng hyperbolic trong Y2 thỡ X1 X 2 l nhỳng hyperbolic trong Y1 Y2 iii) Nu cú hm khong cỏch trờn X tha món k X ( x, y) ( x, y), x, y X, thỡ X l nhỳng hyperbolic trong Y S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 1.5.3 nh lý Gi s X l khụng gian con... khụng gian con ca X v F l h s- chun tc cỏc ỏnh x chnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 hỡnh t X vo Y thỡ h f + Nu :Z f Z Z f l h s- chun tc :f X l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian phc v F l h s- chun tc cỏc ỏnh x chnh hỡnh t X vo Y thỡ h f f o o f f l h s- chun tc + Nu f i l cỏc h s- chun tc t Xi vo Yi vi i = 1,2 thỡ f1 f 2 f1 f 2 f 1 f1, f 2 f2 l h s- chun... con hyperbolic y a phng ca Y ' 2.1.9 nh lý Cho G l KRG-metric trờn Y H f khi f Hol X , l s-chun tc khi v ch Y Holc ( X ,Y , G) vi mt hng s c 0 no ú Chng minh + Nu f Holc ( X ,Y , G) vi c 0 thỡ f l s-chun tc Tht vy t nh ngha ca KRG metric ta cú G Y vi mi metric trờn Y Theo b 2.1.6 ta cú Holc (X,Y,G) l h s-chun tc, m h con ca h s-chun tc cng l h s-chun tc, do ú f l s-chun tc + Ngc li nu f Hol X ,Y l s-chun... mnh mi liờn h sõu sc gia lý thuyt cỏc hm chun tc vi gii tớch hyperbolic C th, cỏc ỏnh x chun tc vo cỏc khụng gian phc tựy ý u cú nhng tớnh cht quan trng nht ca cỏc ỏnh x chnh hỡnh vo khụng gian phc hyperbolic compact (hoc nhỳng hyperbolic) Chng hn chỳng tha món nh lý tng t nh nh lý Kiernan v tớnh nhỳng hyperbolic hay tiờu chun Eastwood v tớnh hyperbolic Cui chng l mt tiờu chun v tớnh s chun tc di dng... 1.4.6 nh lý Gi s X l khụng gian con phc compact tng i ca khụng gian phc Y Nu X l hyperbolic Brody trong Y, thỡ tn ti mt lõn cn m ca X trong Y m l hyperbolic Chng minh (Xem nh lý 4.2.1 trong [1]) nh lý sau l mt ng dng ca nh lý Brody trong vic xột tớnh hyperbolic qua cỏc ỏnh x chnh hỡnh riờng 1.4.7 nh lý Gi s :X Y l ỏnh x chnh hỡnh riờng gia cỏc khụng gian phc Khi ú i) Nu Y l hyperbolic v mi th S húa bi... khụng gian phc Gi s Y :X l hyperbolic (y) v vi mi im y Y cú lõn cn U ca y sao cho 1 (U ) l hyperbolic (y) thỡ X l hyperbolic (y) Mnh trờn l trng hp riờng ca mnh sau 1.2.6 Mnh ' Gi s X,Y l cỏc khụng gian phc v kY l hm khong cỏch trờn Y m xỏc nh tụ pụ ca Y Gi s i) :X Y l ỏnh x chnh hỡnh v ' l gim khong cỏch t k X ti kY ii) Vi mi im y Y cú mt lõn cn m U sao cho 1 (U ) l hyperbolic Khi ú X l hyperbolic . Họ s -chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của không gian phức 21 2.1. Họ s -chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tiêu chuẩn metric cho tính s- chuẩn tắc 21 2.2. Tính chuẩn tắc và. ý đến mối liên hệ mật thiết về tính hyperbolic của không gian phức và tính chuẩn tắc của các ánh xạ thuộc họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Nội dung của luận văn gồm có hai chƣơng. Trong. của họ s -chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, mối liên hệ giữa lý thuyết họ ánh xạ s -chuẩn tắc với tính hyperbolic của các không gian phức. Việc chứng minh chủ yếu dựa trên kiểu của

Ngày đăng: 28/06/2014, 11:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan