Luận văn Tối ưu hàm E -lồi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… 1 Lời nói đầu…………………………………………………………. 2 Chương I. Tập   12 ,,EE  -lồi…………………………………… 4 1.1. Tập   12 ,,EE  -lồi……………………………………………… 4 1.2 Các ví dụ 8 1.3 Các tính chất của tập   12 ,,EE  -lồi…………………………… 12 Chương II. Hàm   13 ,,EE  -lồi………………………………… 30 2.1 Hàm   13 ,,EE  -lồi…………………………………………… 30 2.1.1 Định nghĩa hàm   13 ,,EE  -lồi……………………………… 30 2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33 2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm   12 ,,EE  -lồi……… 36 2.2. Hàm   13 ,,EE  -tựa lồi……………………………………… 49 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi…………………………………… 58 3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E -lồi…………………… 58 3.2 Một số kết quả cho bài toán   E P ………………… … 59 3.3 Một số kết quả cho bài toán   E P ………………… … 63 Kết luận…………………………………………………………… 69 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 LỜI NÓI ĐẦU Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh điển như Convex Analysis của R. T. Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming của O. L. Mangasarian (1967), Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy, ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế. Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E -lồi do Ebrahim A. Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm E -lồi là mở rộng khá tự nhiên của lớp hàm lồi. Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là lớp hàm   13 ,,EE  -lồi trên tập   12 ,,EE  -lồi. Khái niệm   12 ,,EE  -lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E -lồi (tập E -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi,…). Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Tập   12 ,,EE  -lồi. Chương 2: Hàm   13 ,,EE  -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi. Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại một số nghiên cứu về lớp hàm E -lồi, vì vậy khái niệm   12 ,,EE  -lồi có lẽ cũng đáng được quan tâm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy. Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình. Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 19.8.2010 Ngô Thị Thu Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương I. TẬP   12 ,,EE  – LỒI 1.1. Tập   12 ,,EE  -lồi Ta đã biết, một tập n M   được gọi là lồi nếu (1 )x y M     với mọi ,x y M và   0,1   . Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi và hàm lồi với mục đích áp dụng giải bài toán tối ưu, Youness lần đầu tiên (1999, [14]) đã đưa ra khái niệm tập E -lồi. Ta có Định nghĩa 1.1 Cho tập n M   và ánh xạ : nn E  . Tập M được gọi là E -lồi trên tập E -lồi M (tương ứng với ánh xạ E ) nếu với mọi ,x y M và   0,1   ta có ( ) (1 ) ( )E x E y M     . (1.1) Rõ ràng, tập lồi là tập E -lồi với EI là ánh xạ đồng nhất ( ()I x x với mọi n x ). Do đó, khái niệm E -lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2) Nếu M là tập E -lồi thì ()E M M . Ta có một số nhận xét sau. Nhận xét 1.1 Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ E nào đó. Nói cách khác, ánh xạ E có thể làm biến dạng tập M (làm mất những tính chất đẹp của tập E ). Ví dụ 1.1 Tập M là hình vuông ABCD được cho bởi:     1 2 1 2 , : 1 1; 1 1M x x x x x        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Ánh xạ : nn E  được cho bởi công thức     1 2 1 2 1 ,, 2 E x E x x x x     . Khi ấy   EM là hợp của hai tam giác AOB và COD nên không là tập lồi (Hình 1.1). Tuy nhiên, vì M là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi ,x y M và   0,1   . Do đó M là tập E -lồi. Hình 1.1 Nhận xét 1.2 Tập M và ánh xạ E có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn. Nói cách khác, M không phải là E -lồi. Ví dụ 1.2 Tập M là hình tròn đơn vị (0,1)B tâm tại gốc     22 1 2 1 2 , : 1M x x x x x    Ánh xạ : nn E  được cho bởi công thức       1 2 1 2 , 2 ,2E x E x x x x . Khi ấy   EM là hình tròn (0,2)B tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2). Do   E M M nên M không phải là E -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Hình 1.2 E. A. Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập E -lồi mạnh như sau. Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17]) Tập n M   được gọi là E -lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ : nn E  ) nếu với mọi ,x y M ,   0;1   và   0,1   ta có     ( ) (1 ) ( )x E x y E y M          . (1.2) Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm E -lồi và E -lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E -lồi và hàm E -lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi đưa ra khái niệm tập   12 ,,EE  -lồi sau đây. Định nghĩa 1.3 ([9]) Cho trước tập n M   , hai ánh xạ 1,2 : nn E  và số   . Tập M được gọi là   12 ,,EE  -lồi nếu với mọi ,x y M và   0,1   ta có       1 1 2 ( ) (1 ) ( )x E x y E y E M          . (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi   0;1   thì ta nói M là tập   12 ,EE - lồi mạnh. Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với 0   thì ta nói M là tập   12 ,EE -lồi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Nhận xét 1.3 Nếu 12 E E I và 0   thì (1.3) có dạng (1 )x y M     với mọi ,x y M và   0,1   . Vậy tập M là lồi theo nghĩa thông thường khi và chỉ khi nó là   0, ,II -lồi. Nói cách khác, khái niệm tập   12 ,,EE  -lồi là một sự mở rộng của khái niệm tập lồi thông thường. Nhận xét 1.4 Nếu 2 EI , 1 EE với : nn E  là một ánh xạ nào đó và 0   thì (1.3) có dạng ( ) (1 ) ( )E x E y M     với mọi ,x y M và   0,1   . Khi đó M là tập   0, ,EI -lồi khi và chỉ khi nó là tập E -lồi theo Định nghĩa 1.1. Như vậy, khái niệm tập   12 ,,EE  -lồi là mở rộng của khái niệm E -lồi của Youness trong [14]. Nhận xét 1.5 Mọi tập bất kỳ đều là   00 12 0, ,EE -lồi với     00 1 2 0 E x E x x với mọi xM , trong đó 0 x là một điểm bất kỳ nào đó của M . Nhận xét 1.6 Youness trong [14] đã định nghĩa tập E -lồi như sau. Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14]) A set n M   is said to be E -convex iff there is a map : nn E  such that   1 ( ) ( )E x E y M     , for each ,x y M and 01   . Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ : nn E  (   0 E x x với mọi xM , trong đó 0 x là một điểm bất kỳ nào đó của M ), để ta có   1 ( ) ( )E x E y M     với mọi ,x y M và 01   . Do đó, theo Nhận xét 1.5 thì mọi tập M đều là E -lồi (với 0 EE ) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy, Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Nhận xét 1.7 Nếu tập n M   là   12 ,EE -lồi mạnh (   12 ,,EE  -lồi với mọi 01   ), với 1 EE và 2 EI thì M là E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Như vậy, tập   12 ,EE -lồi mạnh M là tập E -lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2) khi 2 EI . 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3 Cho     2 1 2 1 2 ; :1 4;1 4M x x x x      là một hình vuông trong 2  . Cho 22 1,2 :E  được xác định theo công thức     12 0,E x x ;     2 1 2 2,E x x x với mọi   2 12 ,x x x ; nghĩa là 1 E là phép chiếu (vuông góc) từ 2  xuống trục tung, còn 2 E là một ánh xạ tuyến tính giữ nguyên tọa độ 2 x , tọa độ 1 x được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị (     2 1 2 ,E x z z với 1 1 2 2 2;z x z x   ). Ta có       2 1 1 2 1 2 ; : 0;1 4E M x x x x     và       2 2 1 2 1 2 ; : 1 2;1 4E M x x x x       . Vậy   1 EM và   2 EM là các tập lồi theo nghĩa thông thường và     12 E M E M hay   1 1 2 ( ) (1 ) ( )E x E y E M     với mọi ,x y M và   0,1   . Vậy M là tập   12 0, ,EE -lồi. Tuy nhiên, M không phải là tập   12 1, ,EE -lồi. Thật vậy, ta chọn   4,1xM và   4,4yM . Khi ấy     1 0,1Ex ;     1 0,4Ey . Chọn 1 2   (và 1   đã chọn) ta được               1 1 2 1 4,5x E x y E y E M           . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chứng tỏ M không phải là tập   12 1, ,EE -lồi. Chọn 1 2   và 0   ,   4,1xM và   4,4yM ta được           11 5 1 0, 2 x E x y E y M              . Chứng tỏ M cũng không phải là tập   1 0, ,EI -lồi, tức là M không phải là tập 1 E -lồi (khái niệm   1 0, ,EI -lồi trùng với khái niệm 1 E -lồi). Do đó M cũng không phải là tập 1 E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Ví dụ 1.4 Cho                     3 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 , , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0, 1 , , 0,0 0, 3 2, 1 , , , 0; 1 . i i i i M x y x y x y x y                                           Khi ấy tập M là hợp của hai miền tam giác AOB và COD vậy M không phải là tập lồi (Hình 1.3), nhưng là   1 0, ,EI -lồi (hay M là 1 E -lồi). Cho 22 1 :E  ,     12 0,E x x với   12 ,x x x hay 1 E là phép chiếu (vuông góc) từ 2  xuống trục tung, 2 EI với   I x x mọi 2 x . Thật vậy, ta có       2 1 , , 0, 3 3E M x y x y M       là một tập lồi. Với mọi ,x y M ta có     11 E x E M và     11 E y E M . Chứng tỏ với mọi   0,1   thì     1 1 1 0 ( ) (1 ) 0 ( ) ( )x E x y E y E M M        hay M là tập   1 0, ,EI -lồi (hay 1 E -lồi). [...]... và E2  E3  I thì tập  , E1 , E2  -lồi M là tập E -lồi và với mọi x, y  M và  0,1 ta có (2.5) Như vậy, hàm  , E1 , E3  -lồi là hàm semi E -lồi với   0 , E1  E và E2  E3  I Khái niệm hàm  , E1 , E3  -lồi là mở rộng của khái niệm hàm semi E -lồi Lớp hàm  E1 , E3  -lồi mạnh là mở rộng của lớp hàm E -lồi mạnh và lớp hàm semi E -lồi mạnh Ta có Định nghĩa 2.4 (Youness-Emam, 2005, [17]) Hàm. .. ta nói hàm f là  E1 , E3  -lồi mạnh trên tập  E1 , E2  -lồi mạnh M Hiển nhiên hàm  E1 , E3  -lồi mạnh là hàm  E1 , E3  -lồi với mỗi  0;1 Để ngắn gọn, nếu f là hàm  0, E1 , E3  -lồi thì ta nói nó là hàm  E1 , E3  -lồi, tức là f   E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)    f ( E3 ( x))  (1   ) f ( E3 ( y)) Nhận xét 2.1 Khi   0 và E1  E2  E3  I thì tập  , E1 , E2  -lồi M là tập lồi theo nghĩa...  E1  E1 , E2  -lồi và  E1  E1 , E2  -lồi Chứng minh Vì M là  E1 , E2  - lồi và  E1 , E2  -lồi nên theo Mệnh đề 1.2 thì  E1  M   E2  M  và E1  M   E2  M   Giả sử M không phải là  E1  E1 , E2  -lồi, tức là theo định nghĩa, phải tồn tại số  0;1 và tồn tại các điểm x, y  M sao cho   E1  E1   x   1    E1  E1   y   E2  M  hay  E1  E1   x    1    E1 ... http://www.lrc-tnu.edu.vn f   x  (1   ) y    f ( x)  (1   ) f ( y) (2.4) Vậy hàm lồi là hàm  , E1 , E3  -lồi với   0 và E1  E2  E3  I là các ánh xạ đồng nhất Khi   0 , E1  E3  E và E2  I thì tập  , E1 , E2  -lồi M là tập E -lồi, tức là  E  x   1    E  y   M với mọi x, y  M và  0,1 và bất đẳng thức (2.3) trở thành bất đẳng thức (2.2) Vậy hàm E -lồi ( E -lồi chặt) là hàm  , E1 ,... E1 , E3  -lồi (  , E1 , E3  -lồi chặt) với   0 , E1  E3  E và E2  I Trong [3], Xiusu Chen đã đưa ra khái niệm hàm semi E -lồi như sau Định nghĩa 2.3 (Xiusu Chen, 2002, [3]) Hàm f :  n   được gọi là semi E -lồi tương ứng với ánh xạ E trên tập E lồi M nếu M là tập E -lồi và với mọi x, y  M và  0,1 ta có f   E( x)  (1   ) E( y)    f ( x)  (1   ) f ( y) (2.5) Khi   0 , E1  E. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 2 E1  x   E  y   E2  M  1   2 1   2 1 Vậy ta có  1E1  x   2 E1  y   1  2  E2  M  hay E1  1E1  x    2 E1  y    E1  1   2  E2  M   (1.6) Vì E1 là ánh xạ chiếu nên E1  1E1  x    2 E1  y     1E1 2  x    2 E1 2  y    1E1  x    2 E1  y  Theo giả thiết  E1  E2  M   E1  M  nên E1  1   2  E2  M    1   2  E1 ... là  E1  E1 , E2  -lồi Nếu E2  I và E1  E thì ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ quả 1.7 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.1) Nếu M   n là tập E -lồi và E  -lồi thì M cũng là E  E  -lồi và E   E -lồi Mệnh đề 1.9  Cho E1 ,2 :  n   n và E1 ,2 :  m   m là các ánh xạ bất kì, A :  n   m là   ánh xạ affine sao cho E1  A  A  E1 và E2 ... E1 , E2  -lồi nên  E1 ( x1 )  (1   ) E1 ( y1 )  E2 (M1 ) Do M 2   n là tập  E1 , E2  -lồi nên  E1 ( x2 )  (1   ) E1 ( y2 )  E2 (M 2 ) Vì E2 có tính chất E2  M1   E2  M 2   E2  M1  M 2  nên ta có  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y )    E1  x1   E1  x2    (1   )  E1  y1   E1  y2       E1  x1   (1   ) E1  y1      E1  x2   (1   ) E1  y2    E2 ... mọi  0,1 ta có:  E1   x   1    E1   y     E1  x   1    E1  y     Vì M là tập  E1 , E2  -lồi nên  E1  x   1    E1  y   E2  M  Vậy   E1  x   1    E1  y     E2  M    Do  E2  M   E2   M  nên ta có  E1   x   1    E1   y    E2  M   E2   M  Vậy  M là tập  E1 , E2  -lồi Nếu E2  I , E1  E thì ta có Số hóa bởi...  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E1  M  Mặt khác, E1 (M )  E2  M  nên  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E1  M   E2  M  với mọi  0,1 Vậy M là tập  E1 , E2  -lồi Trường hợp 2: E2 (M ) là tập lồi Vì theo giả thiết E1 (M )  E2  M  nên với mọi điểm x, y bất kỳ thuộc M ta luôn có E1 ( x)  E1  M   E2  M  và E1 ( y)  E1  M   E2  M  Vì E2 (M ) là tập lồi nên  E1 ( x)  (1   ) E1 . lớp hàm   13 ,,EE  -lồi trên tập   12 ,,EE  -lồi. Khái niệm   12 ,,EE  -lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E -lồi (tập E -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, . hàm   12 ,,EE  -lồi …… 36 2.2. Hàm   13 ,,EE  -tựa lồi……………………………………… 49 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi ………………………………… 58 3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E -lồi ………………… 58. E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi, …). Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Tập   12 ,,EE  -lồi. Chương 2: Hàm   13 ,,EE  -lồi. Số