Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lu = f, x ∈ Ω L Ω d (d = 2, 3) ∂Ω f L 2 (Ω) Ω Ω 1 , Ω 2 Γ = Ω 1 ∩Ω 2 Γ (d−1) λ Ω 1 Ω 2 λ Ω 1 Ω 2 u (0) 2 Ω 2 Ω 1 , Ω 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ω 1 Ω 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn C k ( ¯ Ω) Ω n R n ¯ Ω Ω C k ( ¯ Ω)(k = 0, 1, 2, ) k k Ω ¯ Ω C k ( ¯ Ω) u C k ( ¯ Ω) =  |α|=k max x∈ ¯ Ω |D α u(x)|, α = (α 1 , . . . , α n ) |α| = α 1 + · · · + α n , D α u = ∂ α 1 +···+α n u ∂x 1 α 1 ∂x n α n ¯ Ω k k C k ( ¯ Ω) (1.1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn L P (Ω) Ω R n p L P (Ω) f Ω  Ω |f(x)| p dx < ∞ L P (Ω) Ω L P (Ω) Ω |f(x) + g(x)| p  (|f(x)| + |g(x)|) p  2 p (|f(x)| p + |g(x)| p ) L P (Ω) L P (Ω) ||.|| p ||u|| p =     Ω |u(x)| p dx    1/p 1 < p < ∞ u ∈ L P (Ω), v ∈ L P (Ω) uv ∈ L P (Ω)  Ω |u(x)v(x)|dx  ||u|| p ||v|| p , p , = p/(p − 1) 1 p + 1 p , = 1 p , p 1 < p < ∞ ||f + g|| p  ||f|| p + ||g|| p L P (Ω) 1  p  ∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn W 1,p (Ω) Ω R n u(x) Ω u(x) Ω x 0 ∈ Ω ω x 0 u(x) ω Ω R n u(x), v(x) Ω  Ω u ∂ k ϕ ∂x 1 k 1 ∂x n k n dx = (−1) k  Ω vϕdx ϕ(x) ∈ C k 0 (Ω), k = k 1 + + k n , k i ≥ 0 (i = 1, 2, , n) v(x) k u(x) v(x) = ∂ k u ∂x 1 k 1 ∂x n k n . p 1 ≤ p < ∞ Ω R n W 1,p (Ω) W 1,p (Ω) =  u | u ∈ L p (Ω), ∂u ∂x i ∈ L p (Ω), i = 1, 2, , n  , p = 2 W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω) H 1 (Ω) =  u | u ∈ L 2 (Ω), ∂u ∂x i ∈ L 2 (Ω), i = 1, 2, , n  . W 1,p (Ω) u W 1,p (Ω) = u L p (Ω) + n  i=1     ∂u ∂x i     L p (Ω) . H 1 (Ω) (u, v) H 1 (Ω) = (u, v) L 2 (Ω) + n  i=1  ∂u ∂x i , ∂v ∂x i  L 2 (Ω) , ∀u, v ∈ H 1 (Ω). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 2 2.1 Giới thiệu về phương pháp chia miền Trong phần này, chúng tôi đưa ra cơ sở toán học của phương pháp chia miền bao gồm giới thiệu khái niệm về các điều kiện chuyển giao qua biên chung, các công thức biến phân, các sơ đồ lặp ở mức vi phân và ứng dụng của toán tử Steklov-Poincare đối với phương pháp chia miền Các kiến thức được... xuất hàng loạt phương pháp lặp giải bài toán 32 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn biên elliptic Phần tiếp theo của luận văn trình bày hai phương pháp khác nhau tiếp cận đến việc giải bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên Dirichlet của 2 nhóm tác giả Nhật Bản và Việt Nam trong những năm gần đây 2.2 Phương pháp chia miền Saito-Fujita Với tư tưởng... v.n H 1/2 (), với không gian H(, div) = v | v L2 (), divv L2 () Hơn nữa, nếu v H(, div) và w H 1 () thì: (divv)wdx = 1.2 1.2.1 v wdx + v.n, w H 1/2 (),H 1/2 () Lý thuyết về phương trình elliptic Khái niệm nghiệm yếu của phương trình Xét phương trình (1.8) u = f Giả sử u C 2 (), f C() và phương trình (1.8) thỏa mãn trong miền Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8) 14... ni trong đó Hi là mở rộng điều hòa của vào i , Si = 1/2 1 H00 () = {v| : v H0 ()} Phương trình (2.6) được gọi là phương trình Steklov-Poincare Ta cũng sử dụng các toán tử Si1 (i = 1, 2) và gọi là các toán tử Poincare-Steklov Xuất phát từ công thức đa miền, phương trình Steklov-Poincare, toán tử Steklov-Poincare, một số nhà toán học trên thế giới đã đề xuất các phương pháp lặp cơ sở để xét một... hội tụ với mỗi < A Kết luận: Nội dung chương 1 đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm Lax-Milgram, các bất đẳng thức Poincare, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử Những kiến thức quan trọng này làm nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn... nghiệm yếu của phương trình (1.8) nếu (1.10) được thỏa mãn Mệnh đề 1.1 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.8) và u C 2 (), f C() thì u là nghiệm cổ điển, tức là u = f Chứng minh Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.8), tức là u H 1 () và ta có (1.10) với mọi hàm D(), kết hợp với điều kiện u C 2 () ta suy ra ( u + f )dx = 0, u D() Vì D() trù mật trong L2 (), u + f trực giao với mọi ... biến thiên qua biên chung và giữa hai miền con 1 2 Như vậy, việc giải bài toán trong miền được đưa về việc giải bài toán trong hai miền con Nghiệm của hai bài toán trong hai miền con phải đảm bảo điều kiện chuyển tiếp qua biên phân chia điểm mấu chốt là phải xác định được điều kiện trên biên phân chia giữa hai miền con Kí hiệu g là giá trị chưa biết của u trên Với i = 1, 2, ta xét hai bài toán biên... phân chia, năm 2001, hai nhà toán học Nhật Bản là Norikazu Saito và Hiroshi Fujita dựa trên cơ sở sơ đồ lặp Dirichlet-Neumann đã đề xuất một phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet Các kiến thức cơ bản được tham khảo từ các tài liệu [20, 21] Cho là miền trong R2 với biên Lipschitz Xét bài toán (2.1) u = f, x , u = , x , trong đó f L2 (), H 1/2 () Cách chia. .. y) A là toán tử đối xứng, xác định dương, f H là vectơ tùy ý Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y0 bất kỳ thuộc H , người ta đưa ra 22 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn cách xác định nghiệm xấp xỉ y1 , y2 , , yk , của phương trình (1.22) Các xấp xỉ như vậy được biết như là các giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2, Bản chất của những phương pháp này là giá... (2.1) trong miền i , ni là hướng pháp tuyến ngoài trên i (i = 1, 2) Khi đó, bài toán (2.1) có thể viết lại dưới dạng đa miền như sau: u1 u1 u1 u2 n2 u2 u2 = f, x 1 , = , x 1 , = u2 , = f, x , u1 = , x , n1 = , x 2 , (2.2) x 2 Các phương trình ba và bốn trong (2.2) là các điều kiện chuyển tiếp trên biên phân chia Về mặt ý nghĩa vật lý, chúng muốn mô tả điều kiện . TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI. ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người