Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A Kiến thức cần nhớ Các đẳng thức b) tan x = a) sin x + cos x = sin x cos x c) cot x = cos x sin x 1 e) + cot x = f) tan x cot x = cos x sin x Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác π cos(− x) = cos x sin(π − x) = sin x sin( x + 2π ) = sin x sin( − x) = − sin x cos(π − x) = − cos x cos( x + 2π ) = cos x tan(− x ) = − tan x tan(π − x ) = − tan x tan( x + 2π ) = tan x cot(− x) = − cot x cot(π − x) = − cot x cot( x + 2π ) = cot x d) Hai cung khác π e) Hai cung phụ sin(π + x) = − sin x π  π  sin  − x  = cos x ; cos − x  = sin x cos(π + x) = − cos x 2  2  tan(π + x) = tan x π  π  tan − x  = cot x ; cot  − x  = tan x cot(π + x ) = cot x 2  2  B Bài tập Tìm giá trị α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 1 A= ; B= + sin α − cos α Xét dấu biểu thức sau: a) sin 123o − sin 132 o b) cot 304 o − cot 316 o Rút gọn biểu thức sau: a) tan 540 o + cos1170 o + sin 990 o − cos 540 o 25π 13π 19π − tan + cos b) sin o o o c) sin 15 + sin 35 + sin 55 + sin 75 o d) cos 15 o + cos 35 o + cos 55 o + cos 75 o 3π 5π 7π 9π 11π π + sin + sin + sin + sin + sin e) sin 12 12 12 12 12 12 π 3π 5π 7π 9π 11π + cos + cos + cos + cos + cos f) cos 12 12 12 12 12 12 π   3π  + a g) sin(π + a ) − cos + a  + cot(2π − a) + tan 2    2 h) A = sin a + cos a + sin a cos a a a   sin + cos  − 2 i) B =  a a a tan − sin cos 2 2 o cos 696 + tan(−260 o ) tan 530 o − cos 156 j) C = tan 252 o + cot 342 o d) + tan x =  17π  7π   13π  k)  tan + tan − b  + cot + cot ( 7π − b )  4      Bai tap luong giac -1- Bài tập lượng giác (đủ loại)  − sin x + sin x  − cos x + cos x    − − l)   + sin x − sin x  + cos x − cos x     3 m) sin a (1 + cot a) + cos a(1 + tan a ) tan b n) tan b + cot b − cos a − sin a o) cos a sin( x − π ) cos( x − 2π ) sin( 2π − x) π   3π  p) sin  − x  cot(π − x) cot  + x 2    www.VNMATH.com  π    3π    q) sin  − x  + sin(π − x ) + cos − x  + cos(2π − x)     2     π   2π   5π   3π  + a  cos + a  + tan(π + a ) tan − a r) sin  − a  tan 3        cot(5,5π − a) + tan(b − 4π ) s) cot(a − 6π ) − tan(b − 3,5π ) t) tan 50 o tan 190 o tan 250 o tan 260 o tan 400 o tan 700 o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh: a) sin( A + B ) = sin C ; cos(B + C) = -cosA c) tan( A + C ) = − tan B; cot(A + B) = -cotC A+B C B+C A A+C B A+B C = cos ; cos = sin = cot ; cot = tan b) sin d) tan 2 2 2 2 + cos x Tìm giá trị lớn hàm số: y = sin x + cos x − cos x + sin x + Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng − π < x < π : y = cos x − sin x + Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC a) Cho sin B + sin C = sin A Chứng minh A ≤ 60 o b) 2(a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c ⇒ ∆ABC c) Chứng minh: < sin A + sin B + sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA < Phần 2: Các công thức lượng giác I Công thức cộng A Kiến thức cần nhớ 1) sin( a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a tan a ± tan b 3) tan(a ± b) = 2) cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b tan a tan b B Bài tập Chứng minh công thức sau: π  π  a) cos a + sin a = cos − a  = sin  + a  4  4  π π     b) cos a − sin a = cos + a  = sin  − a  4  4  Rút gọn biểu thức: π  cos a − cos + a  4  a) π   − sin a + sin  + a  4  Bai tap luong giac -2- Bài tập lượng giác (đủ loại) b) cos10 o + cos11o cos 21o + cos 69 o cos 79 o c) (tan a − tan b).cot(a − b) − tan a tan b Chứng minh tam giác ABC ta có: www.VNMATH.com A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 A B C A B C c) cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = d) cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 π + tan b − tan a = tan a = − tan b a) Cho a − b = , chứng minh: − tan b + tan a π b) Cho a + b = , chứng minh: (1 + tan a)(1 + tan b) = (1 − cot a )(1 − cot b) = tan( x + a ) = m a−b c) Cho Chứngminh: tan( x + y ) = tan(a − y ) = n + ab d) Cho tan a = , tan b = (0 < a, b < 1v ) Tìm a + b π π e) Cho tan a = − ( < a < π ) tan b = (0 < b < ) Tìm a + b 2 2 f) Cho tan a = , tan b = (0 < a, b < 1v ) Tìm a - b g) Cho tan a = , tan b = , tan b = Chứng minh a + b + c = 45o 12 π 5π Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o 75o 12 12 π Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α + β + γ = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = + tan α tan β + + tan β tan γ + + tan γ tan α Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân: sin B cos A + cos B = cos A a) b) = (cot A + cot B ) sin C sin A + sin B A c) a + b = tan (a tan A + b tan B ) d) tan A + tan B = tan A tan B II Công thức nhân đôi nhân ba A Lý thuyết cần nhớ sin 2a = sin a cos a a) tan A + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC b) tan cos 2a = cos a − sin a = − sin a = cos a − tan a tan 2a = − tan a sin 3a = sin a − sin a cos 3a = cos a − cos a B Bài tập Rút gọn biểu thức sau: π  π  sin  − a .sin  + a  a) 4  4  sin 3a cos a − cos 3a sin a c) cos 20 o cos 40 o cos 80 o Bai tap luong giac π −1 b) tan π tan d) sin a cos a(cos a − sin a ) -3- Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com a a cos 2 o o h) cos10 cos 20 cos 40 o j) sin 4a + sin 2a 2 f) cos a − sin e) cos a − sin a cos a + sin a g) 1− sin a cos a i) sin a cos 3a + cos a sin 3a π 2π k) cos cos l) cos 20 o cos 40 o cos 60 o cos 80 o 5 m) tan a + tan 2a + tan 4a + tan 8a + 16 tan 16a + 32 tan 32a cos a − cos 3a sin a + sin 3a n) o) sin a + sin 3a cos a − cos 3a Chứng minh: π π  π  a) sin a sin  − a  sin  + a  = sin 3a Áp dụng với a = 3  3  b) sin 18 + sin 18 = π π π π c) + tan + tan + tan = cot 16 32 32 o o d) tan 36 tan 72 = π 5π 7π π  π  e) cos a cos − a  cos + a  = cos 3a Tính: cos cos cos 18 18 18 3  3  3 tan a − tan a f) tan 3a = − tan a −1 π  π  o o o g) tan a tan − a  tan + a  = tan 3a Chứng minh: tan tan 54 tan 66 = 3  3  10 + ab (a, b > 0) Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α a+b 2a b) Cho cos α = Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α 1+ a2 c) Cho sin α + cosα = Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α 4 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau: π  π  a) y = sin  x +  sin  x −  b) y = cos x − sin x 4  4  a) Cho sin α = c) y = 1− sin x cos x III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t = tan A Lý thuyết cần nhớ + cos 2a = cos a sin a = − cos 2a = sin a B Bài tập Chứng minh biểu thức sau: sin a − sin 2a a = tan a) sin a + sin 2a 2t 1+ t 2 2 c) (sin a + sin b) + (cos a + cos b) = cos e) cos a = 1− t2 1+ t2 2t 1− t tan a = − sin 2a + cos 2a π  = tan − a  + sin 2a + cos 2a 4  a a d) tan = cot − cot a 2 b) a+b + sin a π a  = cot  −  − sin a  2 g) sin a (sin a + sin b) + cos a(cos a + cos b) = cos Bai tap luong giac a f) tan o 30' = ( 3− )( ) −1 a −b -4- Bài tập lượng giác (đủ loại) 2 h) (sin a − sin b) + (cos a − cos b) = sin π a  π a  sin  +  sin  −  i)   −   (0 < a < π ) − sin a + sin a a −b www.VNMATH.com Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 b) + + cos α (0 < α ≤ π ) − + cos α (0 < α ≤ π ) 2 2 2 2 a a a cot cot − tan 2 c) d) a a a + cot cot + tan 4 a a 1 tan tan − + a a e) f) a a − tan + tan + tan − tan 2 2 − cos α + cos 2α sin 2α cos α g) h) sin 2α − sin α + cos 2α + cos α Tìm giá trị biểu thức sin a a tan a + sin a a a) biết tan = b) Biết tan = − cos a tan a − sin a 15 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y = cos x + sin x b) y = sin x − cos x  2 π c) y = sin  − x  + (sin x − cos x) 4  IV Công thức biến đổi tổng tích A Lý thuyết cần nhớ Cơng thức biến đổi tích thành tổng sin a cos b = [ sin( a + b) + sin( a − b)] cos a cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b)] sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] 2 Công thức biến đổi tổng thành tích sin(a + b) a+b a−b tan a + tan b = sin a + sin b = sin cos cos a cos b 2 sin(a − b) a+b a−b tan a − tan b = sin a − sin b = cos sin cos a cos b 2 a+b a −b sin(a + b) cos a + cos b = cos cos cot a + cot b = 2 sin a sin b a+b a −b sin( a − b) cos a − cos b = −2 sin sin cot a − cot b = − 2 sin a sin b a) B Bài tập Rút gọn biếu thức Bai tap luong giac -5- Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com a) cos a + cos(a + b) + cos(a + 2b) + + cos(a + nb) (n ∈ N) cos a − cos 3a + cos 5a − cos a cos a + cos 2a + cos 3a b) c) sin a + sin 3a + sin 5a + sin a sin a + sin 2a + sin 3a π π   π π cos a +  + cos a −    cos 2a −  − cos 2a +  3 3   d) e) 6 6   cos a − a cot a − cot cos a 1 f) cos 2a cos a − cos 4a − cos 2a g) cos + cos − cos cos sin 1o + sin 91o + sin 203o (sin 112 o + sin 158 o ) h) i) cos 35o + cos125 o + sin 185o (sin 130 o + sin 140 o ) j) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o k) tan 20 o tan 40 o tan 60 o tan 80 o Chứng minh: o o o o a) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 = 16 sin a + sin 3a + sin 5a + + sin(2n − 1)a = tan na b) cos a + cos 3a + cos 5a + + cos(2n − 1) a na (n + 1) a sin sin 2 c) sin a + sin 2a + sin 3a + + sin na = a sin na (n + 1)a sin cos 2 d) cos a + cos 2a + cos 3a + + cos na = a sin Chứng minh tam giác ABC ta có: A B C a) sin A + sin B + sin C = cos cos cos 2 A B C b) cos A + cos B + cos C = + sin sin sin 2 2 2 c) sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) d) cos A + cos B + cos C = − cos A cos B cos C A B C e) sin A + sin B − sin C = sin sin cos 2 A B C f) cos A + cos B − cos C = cos cos sin − 2 g) sin A + sin B + sin 2C = sin A sin B sin C h) cos A + cos B + cos 2C = −1 − cos A cos B cos C i) sin A + sin B − sin C = sin A sin B cos C x+ y ≥ (sin x + sin y ) với < x, y < π Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 Tính giá trị biểu thức sau: 3π 5π 7π π + sin + sin + sin a) sin 16 16 16 16 o o o b) tan 67 5'− cot 67 5'+ cot 5'− tan o 5' c) cos o cos 55 o cos 65o Bai tap luong giac -6- Bài tập lượng giác (đủ loại) π 3π 5π 7π 9π + cos + cos + cos d) cos + cos 11 11 11 11 11 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: x 3π 2π a) sin x + sin x + cos  −  với π < x <  2 2 b) cos x + cos x − cos x cos x   2π 2π c) cos x + cos  + x  + cos  − x  3  3    2π  2  2π + x  + sin  − x d) sin x + sin      www.VNMATH.com sin B + sin C cos A + cos B Chứng minh góc ∆ABC thoả mãn: cos A + cos B + cos C = tam giác b+c Chứng minh cạnh góc ∆ABC thoả mãn hệ thức: cos A + cos B = a tam giác tam giác vuông A B 10 Cho tam giác ABC tan tan = Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) 2 Phần 3: Phương trình lượng giác I Phương trình lượng giác A Lý thuyết cần nhớ x = α + k 2π Phương trình: sin x = sin α ⇔ Phương trình: cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π x = π − α + k 2π Phương trình: tan x = tan α ⇔ α + kπ Phương trình: cot x = cot α ⇔ α + kπ B Bài tập Giải phương trình sau: π  π  a) sin  x −  = b) sin(3x - 2) = -1 c) cos x −  = 5 6   π d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tan f) cot(45o - x) = 3 2π  5π  π     = cos x  + cos x +  = g) sin3x - cos2x = h) sin  x + i) sin  x −   4    π x π   o j) cos = − cos(2 x − 30 ) k) cos2x = cosx l) sin  + x  = sin  x −  4 4   π  π   π  m) sin  x −  = n) sin 12 x +  = o) cos x +  = 6 2  12    p) cos(π − x) = −1 q) tan(3π − x) = r) tan ( x − 6π ) = Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sin A = π  s) tan − x  = 4   5π  + 12 x  = t) cot     12π  − 5x  = u) cot    w) cos( x − a ) = sin x x) sin(3 x − b) = cos x π   5π   7π  + x + 7x y) tan − x  = cot  z) cot ( 3π − x ) = tan 4     12  II Phương trình bậc hàm số lượng giác A Lý thuyết cần nhớ Bai tap luong giac v) sin (12π − 3x ) = -7- Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com Là phương trình bậc hay bậc hai hàm sinx, cosx, tanx hay cotx Phương pháp: Đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hay bậc với t B Bài tập Giải phương trình sau: a) sin 2 x + cos x − = b) cos x + sin x − = c) cos x − sin x − = d) cos x + cos x + = e) sin 3x + cos12 x = 14 f) sin x + 12 cos x = g) sin x − cos x = Giải phương trình lượng giác: π π 2 2 a) cot  x +  = b) tan  x −  = 5 4   c) tan x − cot x = 12 d) cot x + ( − 1) cot x − = III Phương trình bậc sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c Điều kiện để phương trình có nghiệm: a + b ≤ c a b Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a + b đặt: cos α = ; sin α = 2 a +b a + b2 Đưa phương trình dạng: cos α sin x + sin α cos x = sin β ⇔ sin( x + α ) = sin β Giải tìm x B Bài tập Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = (2 − ) sin x + cos x b) y = (sin x − cos x) + cos x + sin x cos x cos x + sin x + c) y = (sin x − cos x)(2 sin x + cos x) − d) y = cos x − sin x + Giải phương trình sau: a) sin x − cos x = b) cos x + sin x = sin x + cos x = c) d) sin x + cos x = 13 sin 14 x e) sin x − cos x = f) sin x − cos x =  3π  ; π  thoả mãn phương trình sau với m: Tìm giá trị x ∈  −   2 m sin x − m sin x − m cos x + m cos x = cos x − sin x Tìm giá trị α để phương trình: a) (cos α + sin α − ) x + ( cos α − sin α − 2) x + sin α − cos α + = có nghiệm x = b) (2 sin α − cos α + 1) x − ( sin α ) x + cos α − (3 − ) sin α = có nghiệm x = Giải phương trình: +8 = a) 12 cos x + sin x + 12 cos x + sin x + 14 b) (4 sin x − cos x) − 13(4 sin x − cos x) + 42 = =6 c) cos x + sin x + cos x + sin x + IV Phương trình sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a sin x + b sin x cos x + c cos x = d - Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm - Nếu cos x ≠ Chia vế phương trình cho cos x tiến hành giải phương trình bậc hai tanx: (a − d ) tan x + b tan x + c − d = B Bài tập Bai tap luong giac -8- Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com Giải phương trình sau: a) sin x − sin x cos x − cos x = b) sin x + sin x cos x − cos x = c) sin x − sin x = cos x d) sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x = π   3π  − x  cos(π + x) = e) sin x cos x −  + sin(π + x) cos x + sin  2    2 f) sin x − sin x cos x + cos x = 2 Giải phương trình sau: a) sin x + cos x = sin x x x x x  3π x  x π x +  + sin cos = sin cos + sin  +  b) sin cos 2 2  2 2 2 Số đo độ góc tam giác vng ABC nghiệm phương trình: sin x + sin x sin x − cos x = Chứng minh tam giác ABC vng cân V Phương trình đối xứng sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x cos x = c Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x , ta có: | t |≤ → t = ± sin x cos x = ± sin x Thay vào phương trình giải t B Bài tập Giải phương trình sau: a) cot x − tan x = sin x + cos x b) sin x + cot x = sin x + 3 c) cos x − sin x = −1 d) | sin x − cos x | +4 sin x = 3 e) + sin x + cos x = sin x f) (1 + cos x )(1 + sin x) = 2 VI Một số dạng phương trình lượng giác khác Giải phương trình lượng giác sau: 3x sin x + cos x a) cos x + cos − = b) = (tan x + cot x) sin x 2 c) cos x + tan x − cos x + tan x + = d) + sin x + − sin x = cos x x 2π + =0 e) sin x cos x − sin x = sin  −  − f) tan x − cos x  2 g) (4 − 6m) sin x + 3(2m − 1) sin x + 2(m − 2) sin x cos x − (4m − 3) cos x = (Biện luận theo m) h) − tan x = tan x tan x i) sin x = cos x − x j) cos x − cos x = k) + cos x + sin x = cos 2 l) sin x + sin x = m) tan x + tan x = sin x cos x n) tan x − cot x = 4(sin x + cos x) o) sin x + cos x = cos x p) sin x = tan x q) sin x − sin x − (cos x − cos x) = r) 3(cot x − cos x ) − 5(tan x − sin x ) = s) cos x − sin x = − t) tan x − 2 sin x = v) tan x = + cos x − sin x Bai tap luong giac u) cos x = sin x 6 4 w) sin x + cos x = (sin x + cos x) -9- Bài tập lượng giác (đủ loại) sin x + cos x = cos 4 x π π x)     tan − x  tan + x  4  4  z) cos x + sin x + cos x + = Giải phương trình lượng giác sau: − tan x = + sin x a) + tan x c) sin x + cos x − sin x + cos x = sin x =1 e) sin x www.VNMATH.com sin x + cos x =− y) π  π  tan − x  tan + x  4  4  6 1 π  + b) 2 sin  + x  = 4  cos x sin x d) (cos x − cos x) = + sin x x 3x x 3x = f) cos x cos cos − sin x sin sin 2 2  π g) sin x − cos x = sin(10,5π + 10 x) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;   2 8 10 10 h) sin x + cos x = 2(sin x + cos x) + cos x i) sin x − cos x = 2 + cos x 2 j) sin x + sin x + sin x = k) sin x + cos x = cos x x x x +1 l) cot = tan + tan m) cos x + sin 10 x = + cos 28 x sin x n) sin x + cos x = + sin x − cos x o) sin x + tan x = 1 (cos x − sin x) p) ( − cos x + cos x ) cos x = sin x q) = tan x + cot x cot x −  3 π r) sin  + x  = sin x s) cos x + 2 sin x sin x − cos x − = 4  t) cos x + sin x = sin x + sin x + cos x u) − cos x = sin x(2 sin x + 1) v) sin x cos x cos x = sin x w) tan x cot 2 x cot x = tan x − cot 2 x + cot 3x 4x cos − cos x π  π  x) y) sin  3x −  = sin x sin  + x  =0 4  4  − tan x z) sin x + cos x = cos x Giải phương trình lượng giác sau: a) cot x + 3cot x − = b) cos x + sin x + = c) sin x + cos x − = d) sin x − sin x + sin x = e) cos x + cos x + = f) cos x − cos x = g) + cos x + cos x = cos 3x + sin x sin x h) tan x + tan x = − sin x cos x + cos x 3 i) tan x = j) + sin x + cos x = sin x cos x k) tan x + cot x = 2(sin x + cos x) l) 2 (sin x + cos x) cos x = + cos x π π sin x 4 + cos x = m) sin x + sin ( x − ) + sin ( x + ) = n) 4 + sin x o) cos x + sin x − sin x cos x = p) sin x + cos x = sin x q) − cos x − + cos x = r) sin x cos x + sin x + cos x = s) cos x cos x cos x cos x = t) sin x + sin x = cos 2 x + cos x 16 u) sin x(cos x − sin x) + cos x(1 + sin x − cos x) = 3(1 + sin x) π x  − cos  −  = v) tan x − tan x + cos x  2 Bai tap luong giac - 10 - Bài tập lượng giác (đủ loại) w) cos x = sin x www.VNMATH.com x) cos x − sin x − sin x − cos x + = z) cot x + 2 sin x = (2 + ) cos x y) cos x = cos x + tan x Giải phương trình sau:   =0 a) tan x − sin x − cos x + 2 cos x − b) 4(sin x − cos x) = 5(sin x − 1) cos x   c) cos x + sin x cos x + sin x cos x = 2(sin x + cos x) d) tan x sin x − sin x = 3(cos x + sin x cos x) e) sin x(cot x + tan x ) = cos x − (1 + cot x cot x) = f) 48 − g) sin x + cos x = cos x cos x sin x x h) cos x + cos x + sin x − = i) + cos x = tan 2 j) cos x + − cos 3x = 2(1 + sin x) k) sin x + sin x + sin 3x = l) cot x − tan x = sin x + cos x m) sin x + cos x = + sin x cos x 1 3 n) cos x − cos x + = o) cos x cos x − sin x sin x = cos x + cos x 3 p) sin x + cos x − sin x + cos x = q) sin x cos 3x + cos x sin x = sin x r) sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x sin 2 x + cos x − =0 s) sin x − sin x cos x − cos x = −1 t) sin x cos x u) sin x − cos x + cos x = v) + cos x − sin x = sin x w) + cos x + cos x + cos x = x) cos x + cos x + cos x + cos x = y) cos x + sin x + cos x = z) cos x sin x + | cos x + sin x |= Giải phương trình sau: a) + cos x = −5 sin x b) sin x + cos x = 2(sin x + cos x) π 3 c) sin x = cos 2 x + cos x d) cos  x +  = cos 3x 3  e) | sin x − cos x | + | sin x + cos x |= f) sin x + cot x = sin x + 13 6 g) cos x − sin x = cos x h) + tan x = sin x 2 i) sin x = cos x cos x(tan x + tan x) j) sin x + cos x = 10 x2 k) cos x + sin x = cos x l) − = cos x π sin x sin x 3 = m) sin  x +  = sin x n) 4  VII Hệ phương trình lượng giác Giải hệ phương trình lượng giác sau: x+ y+ z =π tan x tan y = sin x cos y = a) b) c) tan x tan y = π tan x = tan y x+ y = tan y tan z = tan y − tan x − tan x tan y = sin x + sin y = sin x = cos x cos y d) e) f) cos y + cos x = −1 cos x = sin x sin y cos x + cos y = Bai tap luong giac - 11 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com π  tan x + cot x = sin  + y  sin x + cos y =   g) h) π  tan y + cot y = sin  x −  cos x + sin y = 4  VIII Các dạng tập khác Tìm tất nghiệm phương trình − sin x + cos x = thoả mãn cos x ≥ Tìm giá trị lớn hàm số y = sin x cos x + cos x sin x Chứng minh tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin A + sin B + sin C = m Nếu m = tam giác ABC vng, m > ba góc A, B, C nhọn m < tam giác có góc tù A B C Cho góc tam giác ABC thoả mãn: sin A + sin B + sin C − sin sin = sin Chứng minh 2 o số đo góc C 120 A B C Hai góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan + tan = Chứng minh rằng: ≤ tan < 2 Biện luận theo tham số a số nghiệm PT: − x sin x + + x cos x =| a + | + | a − | Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC có hệ thức: 1 + + − (cot A + cot B + cot C ) = sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos A + cos B + cos 2C + = tam giác tam giác vng Chứng minh tam giác có: (b + c ) sin(C − B) = (c − b ) sin(C + B ) tam giác vng cân  π π 10 Tìm giá trị lớn hàm số: y = cos x − cos x − ;   4 m sin x − m cos x − = 11 Cho phương trình: m − cos x m − sin x a) Giải phương trình m = b) Khi m ≠ m ≠ ± , phương trình có nghiệm nằm đoạn [20π ,30π ] A C 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2b = a + c ⇔ cot cot = 2 A B 13 Cho tam giác ABC có: tan tan = Chứng minh rằng: 3c = 2( a + b) 2 14 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: f ( x) = sin x + sin x cos x + 15 Tìm giá trị x ∈ (0,2π ) cho cos x − sin x − cos x > sin x + =t 16 Tìm t để phương trình sau có nghiệm x ∈ [0, π ] : sin x + a2 + b2 + c2 17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cot A + cot B + cot C = 4S π 18 Chứng minh với < x < thì: 2 sin x + tan x > 2 x +1 a cos A + b cos B + c cos C = Chứng minh tam giác ABC 19 Cho tam giác ABC thoả mãn: a+b+c 20 Tìm giá trị lớn hàm số: y = 2(1 + sin x cos x) − (cos x − cos x) cot x cot x 21 Giải phương trình sau: + − = Bai tap luong giac - 12 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com b c a + = Chứng minh tam giác ABC vuông cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta ln ln có: cos A + cos B + cos C > 24 Chứng minh tam giác ABC vuông cân a cos B − b cos A = a sin A − b sin B C 25 Chứng minh tam giác ABC có: tan A + tan B = cot tam giác ABC cân 2 26 Tìm giá trị lớn bé hàm số đoạn: y = sin x − cos x + y = sin x Tính y (n ) 27 Cho sin x 28 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y = + + cos x 2x 4x + cos + 29 Tìm giá trị lớn bé hàm số: y = sin 1+ x 1+ x2  π 30 Xác định m để phương trình sau có nghiệm  0;  : m cos 2 x − sin x cos x + m − =  4 31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = cot a + cot b + tan a tan b + 32 Với giá trị a phương trình: + sin na = cos x có nghiệm  π 33 Tìm m để bất phương trình: sin x − m cos x − ≤ nghiệm ∀x ∈  0;   2 34 Tính góc tam giác ABC góc thoả mãn: cos A + (cos B + cos 2C ) + = A+B 35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A + btanB = (a + b)tan Chứng minh tam giác ABC cân 36 Chứng minh tam giác ABC tù cos A + cos B + cos C > b+c 37 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn cos B + cos C = tam giác ABC vng a 38 Cho phương trình: cos x + sin x = k sin x cos x a) Giải phương trình với k = b) Với giá trị k phương trình có nghiệm 39 Giải biện luận phương trình: 2m(cos x + sin x) = 2m + cos x − sin x + 2 40 Cho phương trình: cos x = m(cos x) + tan x a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm đoạn π 1 + >6 41 Chứng minh ∀x ∈ (0; ) ta có: cos x + sin x + tan x + cot x + sin x cos x 42 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y = sin 20 x + cos 20 x A B C A C 43 Chứng minh cot , cot , cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng cot cot = 2 2 1  π + 44 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = với x ∈  0;  sin x cos x  2 C 45 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn a + b = tan ( a tan A + b tan B ) cân 46 Tìm m để hàm số sau xác định với x: f ( x) = sin x + cos x − 2m sin x cos x 22 Cho tam giác ABC thoả mãn: Bai tap luong giac - 13 - ...  Rút gọn biểu thức: π  cos a − cos + a  4  a) π   − sin a + sin  + a  4  Bai tap luong giac -2- Bài tập lượng giác (đủ loại) b) cos10 o + cos11o cos 21o + cos 69 o cos 79 o c) (tan... a .sin  + a  a) 4  4  sin 3a cos a − cos 3a sin a c) cos 20 o cos 40 o cos 80 o Bai tap luong giac π −1 b) tan π tan d) sin a cos a(cos a − sin a ) -3- Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com... π a  = cot  −  − sin a  2 g) sin a (sin a + sin b) + cos a(cos a + cos b) = cos Bai tap luong giac a f) tan o 30'' = ( 3− )( ) −1 a −b -4- Bài tập lượng giác (đủ loại) 2 h) (sin a − sin