Giáo trình Cơ học lý thuyết Bách Khoa Online Giao lưu - Học hỏi - Chia sẻ kinh nghiệm hệ sinh viên Bách Khoa hutonline.net -1- Tìm kim & download ebook: bookilook.com phần mở đầu Cơ học nghiên cứu quy luật cân chuyển động vật thể dới tác dụng lực Cân hay chuyển động học trạng thái đứng yên hay dời chỗ vật thể không gian theo thời gian so với vật thể khác đợc làm chuẩn gọi hệ quy chiếu Không gian thời gian độc lập với Vật thể học xây dựng dới dạng mô hình chất điểm, hệ vật rắn Cơ học đợc xây dựng sở hệ tiên đề Niu tơn đa tác phẩm tiếng " Cơ sở toán học triết học tự nhiên" năm 1687 - học đợc gọi học Niu tơn Cơ học khảo sát vật thể có kích thớc hữu hạn chuyển động với vận tốc nhỏ vận tốc ánh sáng Các vật thể có kích thớc vĩ mô, chuyển động có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng đợc khảo sát giáo trình học tơng đối Anhxtanh Trong trờng đại học kỹ thuật, học làm tảng cho môn học kỹ thuật sở kỹ thuật chuyên ngành nh sức bền vật liệu, nguyên lý máy, động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, lý thuyết ô tô máy kéo v.v Cơ học đà có lịch sử lâu đời với trình phát triển khoa học tự nhiên, thời kỳ phục hng sau đợc phát triển hoàn thiện dần Các khảo sát có tầm quan trọng đặc biệt làm tảng cho phát triển học công trình nhà bác học ngời ý Galilê (1564- 1642) Galilê đà đa định luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực, đặc biệt định luật quán tính Đến thời kỳ Niutơn (1643- 1727) ông đà hoàn tất sở thống mở rộng học Galilê, xây dựng hệ thống định luật mang tên ông - định luật Niutơn Tiếp theo Niutơn Đalămbe (1717- 1783), ¬le ( 1707 - 1783) ®· cã nhiỊu ®ãng gãp cho học đại ngày Bỏch Khoa Online: hutonline.net -2- Tỡm kim & download ebook: bookilook.com ơle ngời đặt móng cho việc hình thành môn học giải tích mà sau Lagơrăng, Hamintơn, Jaccobi, Gaoxơ đà hoàn thiện thêm Căn vào nội dung đặc điểm toán khảo sát, chơng trình học giảng cho trờng đại học kỹ thuật chia thành phần: Tĩnh học, động học, động lực học nguyên lý học Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật thể dới tác dụng lực Động học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể đơn mặt hình học Động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực Các nguyên lý học nội dung học giải tích Cơ học giải tích phần động lực học hệ đợc trình bày theo hớng giải tích hoá Cơ học khoa học có tính hệ thống đợc trình bày chặt chẽ Khi nghiên cứu môn học đòi hỏi phải nắm vững khái niệm hệ tiên đề, vận dụng thành thạo công cụ toán học nh hình giải tích, phép tính vi phân, tích phân, phơng trình vi phân để thiết lập chứng minh định lý đợc trình bày môn học Ngoài ngời học cần phải thờng xuyên giải tập để củng cố kiến thức đồng thời rèn luyện kỹ áp dụng lý thuyết học giải to¸n kü tht Bách Khoa Online: hutonline.net -3- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com Phần I Tĩnh Học Chơng Các khái niệm hệ tiên đề tĩnh học lý thuyết mô men lực ngẫu lực 1.1 khái niệm Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật rắn tuyệt ®èi d−íi t¸c dơng cđa lùc Trong tÜnh häc cã hai khái niệm vật rắn tuyệt đối lực 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể có hình dạng bất biến nghĩa khoảng cách hai phần tử luôn không đổi Vật thể có hình dạng biến đổi gọi vật biến dạng Trong tĩnh học khảo sát vật thể rắn tuyệt đối thờng gọi tắt vật rắn Thực tế cho thấy hầu hết vật thể vật biến dạng Song tính chất biến dạng không ảnh hởng đến độ xác cần có toán xem nh vật rắn tuyệt đối mô hình tính toán 1.1.2 Lực định nghĩa lực Lực đại lợng đo tác dụng học vật thể với Lực đợc biểu diễn đại lợng véc tơ có ba yếu tố đặc trng: độ lớn (còn gọi cờng độ), phơng chiều điểm đặt Thiếu ba yếu tố tác dụng lực không đợc xác định Ta thờng dùng chữ có dấu véc tơ để ký hiệu r r r véc tơ lực Thí dơ c¸c lùc P , F1 , N Víi ký hiệu phải hiểu chữ dấu véc tơ ký hiƯu ®é lín cđa nã ThÝ dơ ®é lín r r r cđa c¸c lùc P , F N P, F, N Độ lớn lực có thứ nguyên Niu tơn hay bội số Kilô Niu tơn viết tắt (N hay kN) Sau giới thiệu số định nghĩa: Bỏch Khoa Online: hutonline.net -4- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com HƯ lùc: HƯ lùc tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật rắn Lực tơng đơng: Hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng hai lực hay hai hệ lực có tác động học nh Để biểu diễn hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng ta dùng dấu tơng đơng nh toán häc r r r r r r r r ThÝ dụ hai lực F P tơng đơng ta viết F ∼ P Hai hÖ lùc ( F1 , F2 , Fn ) vµ ( P1 , r r r r r r r r P2 , Pm ) tơng đơng ta viết ( F1 , F2 Fn ) ∼ ( P1 , P2 , Pm ) Hỵp lùc: Hợp lực hệ lực lực tơng đơng víi hƯ lùc ®· cho ThÝ r r r r r r r r dô nÕu cã R ∼ ( F1 , F2 , Fn ) R đợc gọi hợp lực hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) HƯ lùc c©n b»ng: HƯ lùc c©n hệ lực tơng đơng với không (hợp r r r lùc cđa nã b»ng kh«ng) ThÝ dơ: hƯ lực ( F1 , F2 Fn ) cân r r r ( F1 , F2 Fn ) 1.2 Hệ tiên đề tĩnh học Tĩnh học đợc xây dựng sở sáu tiền đề sau đây: Tiên đề 1: (Hệ hai lực cân bằng) Điều kiện cần đủ để hai lực cân hai lực có độ lớn, r r r r phơng, ngợc chiều đặt lên mét vËt r¾n Ta cã ( F1 , F2 ) F1 = - F2 Tiên đề : ( Thêm bớt hệ lực cân bằng) Tác dụng hệ lực lên vật rắn không đổi ta thêm vào bớt hệ lực cân Tiên đề 3: ( Hợp lực theo nguyên tắc hình r F2 r R bình hành) Hai lực đặt vào điểm vật rắn có hợp lực đợc biểu diễn đờng chéo hình bình hành mà hai cạnh hai lực đà cho Bách Khoa Online: hutonline.net r F1 H×nh 1.1 -5- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com r r H×nh vÏ 1.1 BiĨu diƠn hỵp lùc cđa hai lùc F1 , F2 VỊ ph−¬ng diƯn vÐc t¬ cã thĨ viÕt: r r r R = F1 + F2 Tiªn đề 4: ( Lực tác dụng tơng hỗ) Lực tác dụng tơng hỗ hai vật rắn có độ lớn, phơng nhng ngợc chiều Tiên đề 5: (Tiên đề hoá rắn) Một vật không tuyệt đối rắn trạng thái cân hoá rắn giữ nguyên trạng thái cân ban đầu Tiên đề 6: ( Giải phóng liên kết) Trớc phát biểu tiên đề cần đa số khái niệm về: Vật rắn tự do, vật rắn không tự do, liên kết phản lực liên kết Vật rắn tự vật rắn có khả di chuyển theo phía quanh vị trí xét Nếu vật rắn bị ngăn cản hay nhiều chiều di chuyển đợc gọi vật rắn không tự Những điều kiện ràng buộc di chuyển vật rắn khảo sát gọi liên kết Trong tĩnh học xét liên kết tiếp xúc vật rắn với (liên kết hình học) Theo tiên đề vật khảo sát vật liên kết xuất lực tác dụng tơng hỗ Ngời ta gọi lực tác dụng tơng hỗ vật liên kết lên vật khảo sát phản lực liên kết Để khảo sát vật rắn không tự ta phải dựa vào tiên đề giải phóng liên kết sau đây: Tiên đề:Vật rắn không tự xem nh vật rắn tự giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết tơng ứng Xác định phản lực liên kết lên vật rắn nội dung toán tĩnh học Sau giới thiệu số liên kết phẳng thờng gặp tính chất phản lực Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết): Trong dạng phản Bỏch Khoa Online: hutonline.net -6- Tìm kiếm & download ebook: bookilook.com lùc liên kết có phơng theo pháp tuyến chung hai mặt tiếp xúc Trờng hợp đặc biệt tiếp xúc điểm nhọn tựa lên mặt hay ngợc lại phản lực liên kết có phơng pháp tuyến với mặt điểm tiếp xúc ( Hình vẽ 1.2, 1.3, 1.4) r NC N r N C r NB r NA A B H×nh 1.2 H×nh 1.3 H×nh 1.4 Liên kết khớp lề: Khớp lề di động ( hình 1.5) hạn chế chuyển động vật khảo sát theo chiều vuồng góc với mặt phẳng trợt phản lực liên kết có phơng vuông góc với mặt trợt Khớp lề cố định ( hình 1.6) cho phép vật khảo sát quay quanh trục lề hạn chế chuyển động vuông góc với trục quay lề Trong trờng hợp phản lực có hai thành phần vuông góc với trục lề ( hình 1.6) r R r N Y Yo X H×nh 1.5 O Xo H×nh 1.6 Liên kết dây mềm hay cứng: (hình 1.7 hình 1.8) Các liên kết dạng hạn chế chuyển động vật thể theo chiều dây Phơng phản lực liên kết phơng dọc theo dây Bỏch Khoa Online: hutonline.net -7- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com r sA r T1 r T r T2 A r s r sB B H×nh 1.7 Hình 1.8 Liên kết ngàm (hình 1.9) Vật khảo sát bị hạn chế di chuyển theo phơng mà hạn chế chuyển động quay Trong trờng hợp phản lực liên kết có lực mô men phản lực ( Khái niệm mô men lực đợc nói tới phần sau) Liên kết gót trục: ( hình 1.10) Vật khảo sát bị hạn chế chiều chuyển động theo phơng ngang, phơng thẳng đứng chuyển động quay quanh trục X Y phản lực liên kết có thành phần nh hình vẽ z YA ZA mA A XA mX mY YA y XA x H×nh 1.9 H×nh 1.10 Các hệ suy từ hệ tiên đề tĩnh học Hệ 1: ( Định lý trợt lực) Tác dụng lực lên vật rắn A không đổi ta trợt lực dọc theo r FA r F 'B B r FB đờng tác dụng đến đặt điểm khác r Thật vậy: Cho lực F đặt A r vật rắn ( FA ) Ta đặt vào điểm B r đờng r r Hình 1.11 tác dụng F cặp lực cân ( FB , FB ) (hình 1.11) Theo tiên đề hai có Bỏch Khoa Online: hutonline.net -8- Tỡm kiếm & download ebook: bookilook.com thÓ viÕt: r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB′ ) số A, B theo lực để điểm đặt lực đó, lực có độ lớn phơng r r Mặt khác theo tiên đề hai lực ( FA , FB ) cặp lực cân theo tiên đề hai bớt cặp lực vật, nghĩa là: r r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB′ ) FB r Nh ta đà trợt lực F ban đầu đặt A dọc theo đờng tác dụng đặt B mà tác dụng học lên vật rắn không đổi Hệ 2: Hệ lực cân lực hệ lấy theo chiều ngợc lại hợp lực cđa c¸c lùc r r r Chøng minh: Cho hƯ lùc c©n b»ng ( F1 , F2 , Fn ) Gi¶ sư ta lÊy ë hƯ r lực Fi đổi chiều sau cho tác dụng lên vật rắn Xét vật rắn chịu tác dung r lực - Fi Theo tiên đề thêm vào vật rắn hệ lực cân đà cho, tác dụng lên vật rắn không đổi, nghĩa lµ: r r r r r r - Fi ∼ (- Fi , F1 , F2 Fi Fn ) r r Trong hƯ (n+1) lùc ë vÕ ph¶i có hai lực cân ( Fi , - Fi ) theo tiên đề r r ta bớt Fi , - Fi nghĩa là: r r r r r r - Fi ∼ ( F1 , F2 , Fi −1 Fi +1 Fn ) r r BiĨu thøc nµy chøng tá - Fi hợp lực hệ lực đà cho kh«ng cã Fi 1.3 Lý thut vỊ m« men lực ngẫu lực 1.3.1 Mô men lực tâm trục 1.3.1.1 Mô men lực tâm r r r Mô men lực F tâm O đại lợng véc tơ, ký hiệu m o (F) có: Bỏch Khoa Online: hutonline.net -222- r tơ R qt mô men chính, Mcqt Sau trình bày kết thu gọn hệ lực quán tính số trờng hợp đặc biệt 15.2.2 Thu gọn hệ lực quán tÝnh 15.2.2.1 Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh cđa vËt rắn chuyển động tịnh tiến Các chất điểm vật cã gia tèc nh− vµ b»ng gia tèc khèi t©m : r r Wk = Wc (k = n ) Khi thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh khối tâm C ta đợc : r r r R qt = ∑ − m k Wc = − MWc ; c r r r r r r M qt = −∑ m c m k Wk = −∑ rk xm kWc = M rcc xWc = c r V× rcc = ta chän C làm tâm thu gọn ( ) Nh trờng hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực lực r r quán tính véc tơ R qt = MWc qua khối tâm C c 15.2.2.2 Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh cđa vËt rắn chuyển động quay quanh trục cố định qua khối tâm C Gọi vận tốc gia tốc cđa vËt lµ ω vµ ε ta cã : r r r r R qt = ∑ − m k Wk = − MWc = v× Wc = c ( ) ( ) ( ) N N N r r qt r qt M qt = ∑ m cz F qt = ∑ m cz Fτ + ∑ m cz Fn k k =1 k =1 k =1 Các lực quán tính pháp tuyến luôn ®i qua trôc quay ®ã : ∑ ( ) r m cz F nqt = Ta cã : k ( ) N r M qt = ∑ m cz Fτqt = − ∑ d k m k d k ε = − J oz ε cz k =1 Mczqt = - Joz Với Joz mô men quán tính vật trục quay Kết thu gọn hệ lực quán tính hệ chuyển động quay quanh trục qua khối tâm : r R qt = vµ Mczqt = - Jozε c -22315.2.2.3 Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh cđa vật rắn chuyển động song phẳng Theo động học chuyển động song phẳng vật phân tích thành hai chuyển động tĩnh tiến theo khối tâm chuyển động quay quanh trục z qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng sở Thu gọn hệ lực quán tính với chuyển động đà đợc trình bày hai trờng hợp Dễ dàng nhận thấy thu gọn lực quán tính hệ chuyển động song phẳng có kÕt qu¶ sau : r r R qt = − MWc Mczqt = - Joz C M Joz khối lợng mô men quán tính hệ trục quay cz Wc gia tốc khối tâm gia tốc góc hệ Sau giải số toán có vận dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho hệ Thí dụ 15-3: Hai vật A B có trọng lợng P1 P2 liên kết với sợi dây không dÃn trọng lợng không đáng kể Hai vật chuyển động mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phơng ngang ( hình 15-5 ) Xác định gia tốc hai vật lực căng sợi dây Bài giải : Xét hệ gồm hai vật Các lực tác dụng lên hệ gồm trọng lợng r r r r r r P1 , P2 , ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N1 , N , lùc ma sát trợt F1 , F2 lực kéo Q N2 qt F F2 N1 qt B F P2 F1 A Q P1 N2 qt F F2 T P2 b) a) Hình 15.5 r r Gọi lực quán tính đặt lên vật A B F qt1 , F2qt ta cã : r P r r P r F1qt = − W1 ; F2qt = − W2 g g -224- r r r víi W1 = W2 = W Theo nguyên lý Đa Lăm Be ta cã : r r r r r r r r r qt P1 , P2 , N , N , F1 , F2 , Q, F1qt , F2 = ( ) Các lực đợc biểu diễn hình (15-5a) Phơng trình cân theo phơng trục ox nằm ngang viết đợc: r r r r Q − F1qt − F2qt − F1 − F1 = , hay Q = − P2 + P1 r W − (P2 + P1 )f = g Suy gia tèc hai vËt : ⎞ ⎛ Q W =⎜ − f ⎟.g ⎟ ⎜P +P ⎠ Từ kết tìm đợc nhận thấy vËt chun ®éng : ⎛ Q ⎞ f