Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUY ˆ E ˜ N THUY ’ THANH B ` AI T ˆ A . P TO ´ AN CAO C ˆ A ´ P Tˆa . p1 D a . isˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh v`a H`ınh ho . c gia ’ it´ıch NH ` AXU ˆ A ´ TBA ’ NDA . IHO . CQU ˆ O ´ C GIA H ` AN ˆ O . I H`a Nˆo . i – 2006 Mu . clu . c L`o . in´oidˆa ` u 4 1Sˆo ´ ph´u . c6 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 6 1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 8 1.3 Biˆe ’ udiˆe ˜ n h`ınh ho . c. Mˆod un v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . cdu . ´o . ida . ng lu . o . . ng gi´ac . . . . . . . . 23 2D - ath´u . c v`a h`am h˜u . uty ’ 44 2.1 D - ath´u . c 44 2.1.1 D - ath´u . c trˆen tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c C 45 2.1.2 D - ath´u . c trˆen tru . `o . ng sˆo ´ thu . . c R 46 2.2 Phˆan th´u . ch˜u . uty ’ 55 3 Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c66 3.1 Ma trˆa . n 67 3.1.1 D - i . nh ngh˜ıa ma trˆa . n 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe ´ n t´ınh trˆen ma trˆa . n 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa . n 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe ’ nvi . ma trˆa . n 72 3.2 D - i . nh th ´u . c 85 3.2.1 Nghi . ch thˆe ´ 85 3.2.2 D - i . nh th ´u . c 85 3.2.3 T´ınh chˆa ´ tcu ’ ad i . nh th ´u . c 88 2MU . CLU . C 3.2.4 Phu . o . ng ph´ap t´ınh d i . nh th ´u . c 89 3.3 Ha . ng cu ’ a ma trˆa . n 109 3.3.1 D - i . nhngh˜ıa 109 3.3.2 Phu . o . ng ph´ap t`ım ha . ng cu ’ a ma trˆa . n 109 3.4 Ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o 118 3.4.1 D - i . nhngh˜ıa 118 3.4.2 Phu . o . ng ph´ap t`ım ma trˆa . n nghi . ch da ’ o 119 4Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 132 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´odi . nh th´u . c kh´ac 0 . . . . 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t 165 5 Khˆong gian Euclide R n 177 5.1 D - i . nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe ` u v`a mˆo . tsˆo ´ kh´ai niˆe . mco . ba ’ nvˆe ` vecto . 177 5.2 Co . so . ’ .D - ˆo ’ ico . so . ’ 188 5.3 Khˆong gian vecto . Euclid. Co . so . ’ tru . . cchuˆa ’ n 201 5.4 Ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i tuyˆe ´ nt´ınh 213 5.4.1 D - i . nhngh˜ıa 213 5.4.2 Ma trˆa . ncu ’ a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto . riˆeng v`a gi´a tri . riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng d ˆe ’ nhˆa . nda . ng du . `o . ng v`a m˘a . tbˆa . c hai 236 6.1 Da . ng to`an phu . o . ng 236 6.1.1 Phu . o . ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu . o . ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241 MU . CLU . C3 6.1.3 Phu . o . ng ph´ap biˆe ´ nd ˆo ’ i tru . . c giao . . . . . . . . . 244 6.2 D - u . aphu . o . ng tr`ınh tˆo ’ ng qu´at cu ’ ad u . `o . ng bˆa . c hai v`a m˘a . t bˆa . c hai vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c 263 L`o . i n´oi d ˆa ` u Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p to´an cao cˆa ´ p n`ay du . o . . c biˆen soa . n theo Chu . o . ng tr`ınh To´an cao cˆa ´ p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . cTu . . nhiˆen cu ’ a D a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . iv`ad˜a d u . o . . cD a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu . cd ´ıch cu ’ a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o . sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . c Tu . . nhiˆen n˘a ´ mv˜u . ng v`a vˆa . ndu . ng du . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an cao cˆa ´ p. Mu . c tiˆeu n`ay quyˆe ´ tdi . nh to`an bˆo . cˆa ´ utr´uc cu ’ a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo ˜ imu . c, d ˆa ` u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a ´ tnh˜u . ng co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t v`a liˆe . tkˆenh˜u . ng cˆong th´u . ccˆa ` n thiˆe ´ t. Tiˆe ´ pd´o, trong phˆa ` n C´ac v´ı du . ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a . cbiˆe . tt´o . iviˆe . c gia ’ i c´ac b`ai to´an mˆa ˜ ub˘a ` ng c´ach vˆa . ndu . ng c´ac kiˆe ´ nth´u . cl´y thuyˆe ´ td˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa ` n B`ai tˆa . p.O . ’ d ˆay, c´ac b`ai tˆa . pdu . o . . cgˆo . p th`anh t`u . ng nh´om theo t`u . ng chu ’ d ˆe ` v`a d u . o . . cs˘a ´ pxˆe ´ p theo th´u . tu . . t˘ang dˆa ` nvˆe ` dˆo . kh´o v`a mˆo ˜ i nh´om dˆe ` u c´o nh˜u . ng chı ’ dˆa ˜ nvˆe ` phu . o . ng ph´ap gia ’ i. Ch´ung tˆoi hy vo . ng r˘a ` ng viˆe . c l`am quen v´o . il`o . i gia ’ i chi tiˆe ´ t trong phˆa ` n C´ac v´ı du . s˜e gi´up ngu . `o . iho . c n˘a ´ md u . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an co . ba ’ n. Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p n`ay c´o thˆe ’ su . ’ du . ng du . ´o . isu . . hu . ´o . ng dˆa ˜ ncu ’ a gi´ao viˆen ho˘a . ctu . . m`ınh nghiˆen c´u . u v`ı c´ac b`ai tˆa . pdˆe ` uc´od´ap sˆo ´ ,mˆo . t sˆo ´ c´o chı ’ dˆa ˜ n v`a tru . ´o . c khi gia ’ i c´ac b`ai tˆa . pn`ayd˜a c´o phˆa ` n C´ac v´ı du . tr`ınh b`ay nh ˜u . ng chı ’ dˆa ˜ nvˆe ` m˘a . tphu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an. T´ac gia ’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca ’ mo . n c´ac thˆa ` y gi´ao: TS. Lˆe D `ınh Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe ˜ n Minh Tuˆa ´ nd˜ado . ck˜yba ’ n tha ’ ov`ad´ong Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t h`am biˆe ´ nph´u . c5 g´op nhiˆe ` u´ykiˆe ´ n qu´y b´au vˆe ` cˆa ´ utr´uc v`a nˆo . i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac gia ’ vˆe ` nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot cu ’ aba ’ n tha ’ o gi´ao tr`ınh. M´o . i xuˆa ´ tba ’ nlˆa ` ndˆa ` u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho ’ i sai s´ot. Ch´ung tˆoi rˆa ´ t chˆan th`anh mong du . o . . cba . ndo . c vui l`ong chı ’ ba ’ o cho nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot cu ’ a cuˆo ´ n s´ach dˆe ’ gi´ao tr`ınh ng`ay du . o . . c ho`an thiˆe . nho . n. H`a Nˆo . i, M `ua thu 2004 T´ac gia ’ Chu . o . ng 1 Sˆo ´ ph´u . c 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 6 1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 8 1.3 Biˆe ’ udiˆe ˜ n h`ınh ho . c. Mˆod un v`a acgumen . 13 1.4 Biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . cdu . ´o . ida . ng lu . o . . ng gi´ac . 23 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c Mˆo ˜ ic˘a . psˆo ´ thu . . c c´o th ´u . tu . . (a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R du . o . . cgo . i l`a mˆo . tsˆo ´ ph´u . cnˆe ´ u trˆen tˆa . pho . . p c´ac c˘a . pd´o quan hˆe . b˘a ` ng nhau, ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan du . o . . cdu . a v`ao theo c´ac di . nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe . b˘a ` ng nhau (a 1 ,b 1 )=(a 2 ,b 2 ) ⇐⇒    a 1 = a 2 , b 1 = b 2 . (I I) Ph´ep cˆo . ng 1.1. D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 7 (a 1 ,b 1 )+(a 2 ,b 2 ) def =(a 1 + a 2 ,b 1 + b 2 ). 1 (I II) Ph´ep nhˆan (a 1 ,b 1 )(a 2 ,b 2 ) def =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ,a 1 b 2 + a 2 b 1 ). Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . cdu . o . . ck´yhiˆe . ul`aC. Ph´ep cˆo . ng (II) v`a ph´ep nhˆan (I II) trong C c´o t´ınh chˆa ´ t giao ho´an, kˆe ´ tho . . p, liˆen hˆe . v´o . i nhau bo . ’ i luˆa . t phˆan bˆo ´ v`a mo . i phˆa ` ntu . ’ =(0, 0) dˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ nghi . ch d a ’ o. Tˆa . pho . . p C lˆa . p th`anh mˆo . t tru . `o . ng (go . i l`a tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c) v´o . i phˆa ` n tu . ’ khˆong l`a c˘a . p (0; 0) v`a phˆa ` ntu . ’ d o . nvi . l`a c˘a . p (1; 0). ´ Ap du . ng quy t˘a ´ c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe ´ uk´yhiˆe . u i =(0,1) th`ı i 2 = −1 Dˆo ´ iv´o . i c´ac c˘a . pda . ng d ˘a . cbiˆe . t(a, 0), ∀a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`u . d´ovˆe ` m˘a . tda . isˆo ´ c´ac c˘a . pda . ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe . t v´o . isˆo ´ thu . . c R:v`ıch´ung du . o . . ccˆo . ng v`a nhˆan nhu . nh˜u . ng sˆo ´ thu . . c. Do vˆa . y ta c´o thˆe ’ dˆo ` ng nhˆa ´ t c´ac c˘a . pda . ng (a; 0) v´o . isˆo ´ thu . . c a: (a;0)≡ a ∀a ∈ R. D ˘a . cbiˆe . t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. Dˆo ´ iv´o . isˆo ´ ph´u . c z =(a, b): 1 + Sˆo ´ thu . . c a d u . o . . cgo . i l`a phˆa ` n thu . . c a =Rez,sˆo ´ thu . . c b go . i l`a phˆa ` n a ’ ov`ak´yhiˆe . ul`ab =Imz. 2 + Sˆo ´ ph´u . c z =(a, −b)go . il`asˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . pv´o . isˆo ´ ph´u . c z 1 def. l`a c´ach viˆe ´ tt˘a ´ tcu ’ at`u . tiˆe ´ ng Anh definition (di . nh ngh˜ıa) 8Chu . o . ng 1. Sˆo ´ ph´u . c 1.2 Da . ng da . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c Mo . isˆo ´ ph´u . c z =(a; b) ∈ C d ˆe ` u c´o thˆe ’ viˆe ´ tdu . ´o . ida . ng z = a + ib. (1.1) Thˆa . tvˆa . y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Biˆe ’ uth´u . c (1.1) go . i l`a da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c z =(a, b). T`u . (1.1) v`a d i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . p ta c´o z = a −ib. Du . ´o . ida . ng d a . isˆo ´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . cd u . o . . c thu . . c hiˆe . n theo c´ac quy t˘a ´ c sau. Gia ’ su . ’ z 1 = a 1 + ib 1 , z 2 = a 2 + ib 2 . Khi d´o (I) Ph´ep cˆo . ng: z 1 ± z 2 =(a 1 ± a 2 )+i(b 1 ±b 2 ). (I I) Ph´ep nhˆan: z 1 z 2 =(a 1 a 2 − b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ). (I II) Ph´ep chia: z 2 z 1 = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 1 + b 2 1 + i a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 1 + b 2 1 · C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. 1 + T´ınh i n .T`u . d´och´u . ng minh r˘a ` ng a) i n + i n+1 + i n+2 + i n+3 =0; b) i ·i 2 ···i 99 · i 100 = −1. 2 + T`ım sˆo ´ nguyˆen n nˆe ´ u: a) (1 + i) n =(1−i) n ; b)  1+i √ 2  n +  1 − i √ 2  n =0. Gia ’ i. 1 + Ta c´o i 0 =1,i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 =1,i 5 = i v`a gi´a tri . l˜uy th`u . ab˘a ´ td ˆa ` ul˘a . pla . i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia ’ su . ’ n ∈ Z v`a n =4k + r, r ∈ Z,0 r  3. Khi d ´o i n = i 4k+r = i 4k · i r =(i 4 ) k i r = i r [...]... b2 − 1 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1 (a + 1) 2 + b2 ` ˆ BAI TAP T´ ınh (1 + i)8 − 1 1 · (1 − i)8 + 1 (DS 15 ) 17 2 (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 · (2 − i)2 − (2 + i)2 3 (3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i) − · 2+i 2−i 1 i 4 1+ √ 2 (DS 0) 1 i 1+ √ 2 (DS − 2 11 i) 4 (DS − 1 i 1+ √ 2 22 14 ) 5 1 i ··· 1 + √ 2 ’ ˜ ´ ’ ı Chı dˆ n Ap dung c´ch giai v´ du 3 a a ` a 5 Ch´.ng minh r˘ng u a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z... r˘ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆu c´: ı u (i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2 ’ Giai (i) Ta c´ o |z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ) V` −|z1z2 | ı Re(z1 z 2) |z1 + z2|2 |z1z2| nˆn e |z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2 | e (ii) V` |z2 | = | − z2| nˆn ı |z1 − z2 | = |z1 + (−z2)|... 3 m 1 − 3i 3 + 9 + 3i 3 = + 8 8 m m = 1 + 1 = 2 m ´ Chu.o.ng 1 Sˆ ph´.c o u 10 ´ 2+ Nˆu n = 3m + 1 th` e ı √ √ 1 + i 3 3 m 1 + i 3 S= + 2 2 √ √ 1 + i 3 1 − i 3 + = 1 = 2 2 √ 1 − i 3 2 3 m √ 1 i 3 2 ´ Tu.o.ng tu nˆu n = 3m + 2 ta c˜ng c´ S = 1 u o e ’ V´ du 3 T´ biˆu th´.c ı ınh e u 1+ i σ = 1+ 2 1+ i 1+ 2 1+ i 1+ 2 2 22 1+ i ··· 1 + 2 2n 1+ i ’ ’ Giai Nhˆn v` chia biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 − a... biˆu th´.c d˜ cho v´.i 1 − a a e u a ta c´ o o 2 1 σ= 1 + i 2n 2 1+ i 1 2 2 1 + i 2n +1 2 · 1+ i 1 2 1 = ` ınh Ta cˆn t´ a 1+ i 2 2n +1 = 1+ i 2 2 2n i = 2 2n n i2 1 = 2n = 2n · 2 2 Do d´ o 1 1 2 1 − 2n 1+ i 2n 2 2 × σ= = 1+ i 1 i 1+ i 1 2 1 = 1 − 2n (1 + i) 2 √ ’ ˜ o u ´ o V´ du 4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c 4 − 3i du.´.i dang dai sˆ ı e e ´ o ` ım o u ´ ’ ı a Giai Theo dinh ngh˜a ta cˆn t` sˆ ph´.c w sao cho... cua hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh ıch ´ ıa ı ’ e u a u z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 Khi d´ ’ ’ ’ Giai Gia su o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ), |z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 T` d´ thu du.o.c u o 2 |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 + y1 )2 + 2(x2 + y2 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2) 1 2 ˜ ’ ` a o ı ı a o a T` hˆ th´.c d˜ ch´.ng minh suy... ´ ´ u ’ o u u o o (1. 11) du.o.c goi l` dang m˜ cua sˆ ph´.c C˜ng nhu dˆi v´.i dang lu.o.ng a gi´c ta c´: a o ´ 1/ nˆu z1 = r1 ei 1 , z2 = r2 eiϕ2 th` e ı z1z2 = r1 r2 ei( 1+ ϕ2 ) , r1 z1/z2 = ei( 1 −ϕ2 ) , r2 (1. 12) (1. 13) ´ 2/ nˆu z = reiϕ th` e ı z n = rn einϕ , √ √ ϕ+2kπ n z = n rei n , (1. 14) k = 0, n − 1 ´ CAC V´ DU I c sau dˆy du.´.i dang lu.o.ng gi´c ’ ˜ a o u ´ V´ du 1 Biˆu diˆn c´c sˆ... ınh Giai 1) Giai phu + o.ng tr` cho (x − 1) n ta du.o.c ´ ınh e ’ 1 Chia hai vˆ cua phu x +1 x 1 n =1 √ 2kπ x +1 2kπ n = 1 = cos + i sin = εk , x 1 n n k = 0, 1, , n − 1 ’ ˜ o u 1. 4 Biˆu diˆn sˆ ph´.c du.´.i dang lu.o.ng gi´c e e ´ o a ` T` d´ suy r˘ng u o a x + 1 = εk (x − 1) ⇒ x(εk − 1) = 1 + εk o o ı o e o Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1 Do d´ v´.i k = 0 phu.o.ng tr`nh vˆ nghiˆm V´.i o k = 1, n − 1 ta... e a a e o o Giai Theo gia thiˆt, ba diˆm z1, z2 v` z3 n˘m trˆn du.`.ng tr`n e n vi Ta t`m dˆ d`i cua c´c canh tam gi´c ı o a ’ a a do + ım o a o 1 T` dˆ d`i |z1 − z2| Ta c´ |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 2 2 = x2 + y1 + x2 + y2 − (2x1 x2 + 2y1 y2) 1 2 2 2 = 2(x2 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2] 1 2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2 Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v` |z1 + z2| = |z3|... ı 1 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi ´ ´ 1. 2 Dang d ai sˆ cua sˆ ph´.c o ’ o u 11 T` d´ u o a2 − b2 = 4, (1. 3) 2ab = −3 (1. 4) 3 ´ T` (1. 4) ta c´ b = − Thˆ v`o (1. 3) ta thu du.o.c u e a o 2a 4u2 − 16 u − 9 = 0, u = a2 √ 8 + 10 18 9 8 + 10 0 = = = , u1 = 4 4 4 2 ⇐⇒ √ 8 − 10 1 8 − 10 0 u2 = = =− · 4 4 2 V` a ∈ R nˆn u ı e 0⇒u= 9 v` do vˆy a a 2 3 a = ±√ ⇒ b = 2 1 √ · 2 T` d´ ta thu du.o.c u o 1. .. (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2| ´ a (iii) Ap dung (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v` thu du.o.c |z1| |z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2| ´ Chu.o.ng 1 Sˆ ph´.c o u 16 (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2| ’ ´ ´ ’ a o o e e o u Nhˆn x´t C´c bˆt d˘ng th´.c (iii) v` (iv) c`n c´ thˆ viˆt du.´.i a e a a a dang (iii)∗ |z1 + z2 | |z1| − |z2| ; (iv)∗ |z1 − z2 | |z1| − |z2| . Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức,. =  1+ 1+ i 2  1+  1+ i 2  2  1+  1+ i 2  2 2  ···  1+  1+ i 2  2 n  . Gia ’ i. Nhˆan v`a chia biˆe ’ uth´u . cd˜achov´o . i1− 1+ i 2 ta c´o σ = 1 −  1+ i 2  2 n  2 1 − 1+ i 2 = 1 −  1+ i 2  2 n +1 1 − 1+ i 2 · Ta. cˆa ` n t´ınh  1+ i 2  2 n +1 =  1+ i 2  2  2 n =  i 2  2 n = i 2 n 2 2 n = 1 2 2 n · Do d ´o σ = 1 − 1 2 2 n 1 − 1+ i 2 = 2  1 − 1 2 2 n  1 −i × 1+ i 1+ i =  1 − 1 2 2 n  (1 + i)  V´ı d