Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát cđa d·y sè D·y tun tÝnh víi hƯ sè h»ng sè 1.1 Bµi tËp thĨ u0 = 1;  → CSC un = un −1 − 2, ∀n ≥ u0 = 2;  → CSN un = 2un −1 , ∀n ≥ u0 = −2 3;  → −1 = − + 2 un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ u0 = 4;  → 3n = − [3n + 6] + 3 ( n − 1) +    un = 2un −1 + 3n, n khác hệ số nên ta giữ nguyên bậc: 3n = g ( n ) g ( n − 1) , g ( n ) = an + b u0 = 2 → 2n + =  n + 2n  − ( n − 1) + ( n − 1)  5;      un = un −1 + 2n + 1, ∀n ≥ cïng hệ số nên phải nâng bậc: 2n + = g ( n ) − g ( n − 1) , g ( n ) = an + bn u0 =  6;  → 2n = −2.2 n + 3.2.2n −1 n un = 3un −1 + , ∀n ≥  2n = a n − 3a n −1 u0 =  7;  n un = 2un −1 + , ∀n ≥  2n = n 2n + ( n − 1) 2n −1 u0 = 1; u1 = 8;  un − 5un −1 + 6un − = 0, ∀n ≥ u = 1; u1 = 9;  un − 4un −1 + 4un − = 0, ∀n ≥ u0 = −1; u1 =  10;  → 2n + 2n + = g ( n ) − g ( n − 1) + g ( n − ) , g ( n ) = an + bn −1 + c un − 5un −1 + 6un − = 2n + 2n + 1, ∀n ≥  u0 = 1; u1 = 11;  un − 3un −1 + 2un − = 2n + 1, ∀n ≥ u0 = 1; u1 = 12;  un − 2un −1 + un − = 2n + 1, ∀n ≥  u0 = −1; u1 = 13;  n un − 5un −1 + 6un − = 2.5 , ∀n ≥  u0 = −1; u1 =  14;  n un − 5un −1 + 6un − = 2.3 , ∀n ≥  u0 = 1; u1 =  15;  n un − 4un −1 + 4un − = , ∀n ≥  Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân 1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai ph©n)  x1 , x2 , , x k  1.2.1 Loại nhất: (1) a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = 0, n Đầu tiên giải phơng trình đặc tr−ng: a0λ k + a1λ k−1 + + ak = 0,(*) Các trờng hợp xảy là: (i) Nếu (*) cã k nghiƯm thùc ph©n biƯt λ1 , λ2 , , k nghiệm (1) xn = c1λ1n + c2λ2n + ckλkn , ∀n = 1,2, ( với c1 , c2 , , ck số ) (ii) Nếu (*) đợc viết lại nh sau s h a0λ k + a1λ k −1 + + ak = a0 (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) (λ − λ3 ) (λ − λq ) = , víi c¸c λ1 , λ2 , , , q khác đôi Tức lµ (*) cã λ1 lµ nghiƯm béi s, vµ λ2 lµ nghiƯm béi h, vµ λ3 , , λq lµ nghiệm đơn, s + h + (q 2) = k , (1) có nghiệm n xn = c3λ3n + + cqλq + (c11 + c12 n + + c1s n s−1 )λ1n + + (c21 + c22 n + + c2 h n h−1 )λ2n , ∀n = 1, 2, ( víi c11 , c12 , , c1s , c21 , c22 , , c2 h , c3 , , cq số) (iii) Nếu (*) có k-2 nghiệm phân biƯt λ1 , λ2 , , λk−2 vµ λk = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (víi r = λk = a + b , ϕ = Argλk ) lµ nghiƯm phøc số phức liên hợp k = a bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) còng nghiệm (*) Khi (1) có nghiệm lµ xn = c1λ1n + c2λ2n + ck−2λkn−2 + r n ( A cos nϕ + B sin nϕ) , ∀n = 1,2, ( víi c1 , c2 , , ck2 , A, B số ) (4i) NÕu (*) cã s nghiƯm thùc ph©n biƯt λ1 , λ2 , , λs vµ λq = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (víi r = λq = a + b , ϕ = Argλq ) lµ nghiƯm phøc béi h, số phức liên hợp q = a bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) còng nghiệm phức bội h (*) Khi (1) có nghiệm tổng quát xn = c11n + c2λ2n + csλsn + +r n ( A1 + A2 n + + Ah n h−1 ) cos nϕ + ( B1 + B2 n + + Bh n h−1 ) sin nϕ  , ∀n = 1, 2,   ( víi c1 , c2 , , ck−1 , A1 , A2 , , Ah , B1 , B2 , , Bh số ) Tức cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức công thức nghiệm (1) VD: Giải lại tập phần trớc x1 , x2 , , x k 1.2.2 Loại không nhất: (2)   a0 xn+k + a1 x n+k−1 + + ak xn = fn , ∀n ≥ B1: Tìm nghiệm loại tơng ứng Gs: xn = c1λ1n + c2λ2n + ckλkn , ∀n = 1,2, B2: Ta thay xn* = c1 (n)λ1n + c2 (n)λ2n + ck (n)λkn , ∀n = 1,2, vào (2) để xđ hàm ci ( n ) Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân B3: Nghiệm (2) là: xn = xn + xn* theo Để không sử dụng kiến thức chơng trình ta nên làm theo hớng: Làm nháp phơng pháp sai phân ®Ĩ t×m nghiƯm råi ta sÏ chøng minh b»ng qui nạp VD: Tìm { xn }n =1 cho x1 = 0, xn +1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2, Nháp: Giải phơng trình đặc trng = tìm đợc = * Vậy số hạng tổng quát dÃy số ®· cho cã d¹ng xn = xn + xn Trong ®ã xn = cλ n = c, ∀n = 1, 2, ( c lµ h»ng sè +∞ * tìm sau), xn đợc tìm nh sau: * * Ta xem c lµ mét hµm theo n vµ tìm xn = cn Thay xn = cn vào xn +1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2, , ta đợc cn +1 = cn + sin nx, ∀n = 1, 2, ⇔ cn +1 − cn = sin nx, ∀n = 1, 2, Suy c2 − c1 = sin x , c3 − c2 = sin x , cn − cn −1 = sin(n − 1) x Céng l¹i ta đợc cn c1 = sin x + sin x + + sin(n − 1) x VËy x = cn = [ c1 + sin x + sin x + + sin(n − 1) x ] , ∀n = 1, 2, * n V× x = cn thâa xn +1 = xn + sin nx, ∀n = 1, 2, nªn c1 = x1 = VËy * n NÕu sin * xn = [sin x + sin x + + sin(n − 1) x ] , ∀n = 1, 2, x x * = th× xn = ⇒ xn = 0, ∀n = 1, 2, Còn sin với n = 1, 2, , ta cã 2  x x x  * xn = sin sin x + sin sin x + + sin sin(n − 1) x  = x  sin  x 3x   3x 5x   (n − 2) x (n − 1) x   − cos  cos − cos  +  cos − cos  +  cos  2   2   2   = x 2sin nx (n − 2) x sin sin  x (n − 1) x  4 =  cos − cos = x x 2  2sin sin 2 VËy xn = c + sin nx (n − 2) x sin 4 , ∀n = 1, 2, x sin x x x − sin sin sin 4 =c− ⇒ c = tan x Bëi vËy Vì x1 = nên = c + x x sin cos Trang Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát cña d·y sè nx (n − 2) x sin 4 , ∀n = 1, 2, x sin Lêi gi¶i: Ta sÏ chøng minh víi mäi n = 1, 2, th× nx (n − 2) x sin sin x 4 xn = tan + x sin phơng pháp quy nạp Theo gi¶ thiÕt ta cã x x x x sin sin sin sin x 4 = tan x − 4 x1 = = tan − x x x sin cos sin 4 (1) n=1 Giả sử (1) n=k, tức kx (k 2) x sin sin x 4 xk = tan + x sin ®ã kx (k − 2) x sin sin x 4 xk +1 = xk + sin kx = tan + + sin kx = x sin kx (k − 2) x x sin sin + sin sin kx x 4 = tan + = x sin (k + 1) x (k − 1) x sin sin x 4 = tan + x sin Bài toán đợc giải xong Giải lại phần trớc 1.3 Ta giải số dÃy đặc biệt gọi dÃy số tuần hoàn + Định nghĩa DÃy số { xn }n =1 đợc gọi dÃy số tuần hoàn tồn t¹i sè k ∈ N cho x xn = tan + sin xn + k = xn , ∀n = 1,2, (1) Sè k bé thỏa mÃn (1) đợc gọi chu kỳ dÃy số tuần hoàn { xn }n =1 Sử dụng phơng trình sai phân ta xác định đợc dÃy số tuần hoàn Bài toán (dÃy số tuần hoàn chu kỳ 2) x = , x2 = β +∞  T×m d·y sè { x n } biÕt  n =1  xn + = xn , ∀n = 1,2,  Lời giải + Trang (1) www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Phơng trình đặc trng dÃy số đà cho = ⇔ λ ∈ {−1,1} Do ®ã xn = A.1n + B(−1)n , ∀n = 1,2, Bëi vËy tõ gi¶ thiÕt x1 = α , x2 = β , ta cã  α +β A = A − B = α  ⇔  A + B = β B = β − α   Do ®ã xn = α + β β −α + (−1)n , ∀n = 1,2, 2 Bài toán (dÃy số tuần hoàn chu kú 3) T×m d·y sè { x n } +∞ n =1 biÕt xn+ = xn , ∀n = 1,2, vµ x1 , x2 , x3 cho tr−íc Lời giải Phơng trình đặc trng = dÃy số đà cho có nghiệm i −1 + i 2π 2π 2π 2π 1, , ( hay 1, cos − i sin , cos + i sin ) 2 3 3 Do ®ã n2π n2 π + C sin , ∀n = 1,2, , 3 ®ã số A, B, C đợc xác định biÕt x1 , x2 , x3 Ta còng trình bày nh sau: Phơng trình đặc trng λ = cđa d·y sè ®· cho cã nghiệm h h + i sin cos , víi h = 0,1, 3 Hay viÕt thĨ lµ 2π 2π 4π 4π 1, cos + i sin , cos + i sin 3 3 Do ®ã  2nπ 2nπ   4nπ 4nπ      xn = c1 +  A1 cos + B1 sin + B2 sin  +  A2 cos     , ∀n = 1, 2,   3   3  2nπ 4nπ 2nπ 4nπ Mµ cos = cos ,sin = sin nên ta viết lại nh sau: 3 3 n2π n2 π xn = A + B cos + C sin , ∀n = 1,2, , 3 số A, B, C đợc xác định biết x1 , x2 , x3 Bài toán (dÃy số tuần hoµn chu kú k ∈ ℕ bÊt kú) xn = A + B cos T×m d·y sè { x n } +∞ n =1 biÕt xn+ k = xn , ∀n = 1,2, vµ x1 , x2 , , xk cho trớc Lời giải Phơng trình đặc trng = dÃy số đà cho có nghiệm lµ h 2π h 2π + i sin cos , víi h = 0,1, 2, , k − k k Hay viÕt thĨ lµ 2π 2π 4π 4π 2(k −1)π 2(k −1)π 1, cos + i sin , cos + i sin , ,cos + i sin k k k k k k Do ®ã k Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huúnh Thanh Lu©n  2π 2π   4π 4π  xn = c +  A1 cos + B1 sin  +  A2 cos + B2 sin  +          k k   k k   2(k −1)π 2(k −1)π    + +  Ak−1 cos + Bk−1 sin  , ∀k = 1,2,     k k Mµ cos 2π 2(k −1)π 4π 2(k − 2)π = cos = cos , cos , k k k k sin 2π 2(k −1)π 4π 2(k − 2)π = sin = sin ,sin , k k k k nên ta có thĨ viÕt l¹i nh− sau k−1  h2 π h2π  , ∀n = 1,2, ,  xn = ∑ βh cos + sin     k k h =0 số , , , k1 đợc xác định biÕt x1 , x2 , , xk D·y phân tuyến tính với hệ số số 2.1 Định nghÜa Cho a, b, c, d ∈ ℝ cho ad − bc ≠ vµ c ≠ XÐt d·y sè ( xn ) nh− sau: x1 ∈ R với n = 1, 2, xn +1 = axn + b +∞ , nÕu nã tồn Khi dÃy số ( xn )n =1 gọi dÃy phân tuyến tính cxn + d Chú ý r»ng nÕu cho ( xn )n =1 lµ d·y phân tuyến tính ta hiểu với n=1,2, tồn xn 2.2 Nhận xét x1 = p  a) XÐt d·y ph©n tuyÕn tÝnh { xn } xác định , a, b, c, d, p axn + b  xn +1 = cx + d , ∀n ≥ n  sè cho tr−íc y a n +b y ax + b y zn y ay + bzn ⇔ n +1 = ⇔ n +1 = n Giả sử xn = n Khi đó: xn +1 = n zn cxn + d zn +1 c yn + d zn +1 cyn + dzn zn +∞ Nh− vậy, ta xác định đợc hai dÃy ( yn ) , ( z n )  y1 = p, z1 =  :  yn +1 = ayn + bzn , n coi nh đà xác định z = cy + dz , n n +1 n n đợc số hạng tổng quát dÃy phân tuyến tính y1 = p, z1 =  b)Ta xÐt ( yn ) , ( zn ) :  yn +1 = ayn + bzn , ∀n ≥  z = cy + dz , ∀n ≥  n +1 n n C¸ch 1: yn + = ayn +1 + bzn +1 = ayn +1 + b ( cyn + dzn ) = ayn +1 + bcyn + bdzn = ayn +1 + bcyn + d ( yn +1 − ayn ) = ( a + d ) yn +1 + ( bc − ad ) yn ⇔ yn + = ( a + d ) yn +1 + ( bc ad ) yn Tìm đợc yn zn Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Cách 2: yn +1 = ayn + bzn  yn +1 = ayn + bzn *)  ⇒ ⇒ yn +1 − λ zn +1 = ( a − λ c ) yn + ( b − λ d ) zn  zn +1 = cyn + dzn λ zn +1 = λ cyn + λ dzn b − λd  b − λd  yn +1 − λ zn +1 = ( a − λ c )  yn − zn  → chän λ = λc − a  λc − a   yn +1 = ayn + bzn  yn +1 = ayn + bzn *)  ⇒ ⇒ yn +1 + β zn +1 = ( a + β c ) yn + ( b + β d ) zn  zn +1 = cyn + dzn  β zn +1 = β cyn + β dzn  b + βd  b + βd yn +1 + β zn +1 = ( a + β c )  yn + zn  → chän β = a + βc  a + βc  c) Theo trên, ta xét hội tụ tìm giíi h¹n cđa d·y sè ( xn ) , víi xn = yn , y1 vµ z1 cho tr−íc vµ zn yn +1 = ayn + bzn , zn +1 = cyn + dzn 2.3 Bµi tËp u0 = 2; v0 =  1; un = 2un −1 + −1 , ∀n ≥ v = u + 2v , ∀n ≥  n n −1 n −1 u0 =  2;  2un −1 un = 3u + , ∀n ≥  n −1 u0 =  3;  −9un −1 − 24 un = 5u + 13 , ∀n ≥ n Tuy nhiên ta có cách khác để tìm số hạng tổng quát dÃy phân tuyến tính đơn giản nh sau: u0 = 1;  2un −1 un = 3u + , ∀n ≥ n −1  *) 3un −1 + = = + ⇒ un 2un −1 un −1 un u0 =  2;  −9un −1 − 24 un = 5u + 13 , n n *)Đặt un = xn + t → xn + t = −9 xn −1 − 9t − 24 ( −9 − 5t ) xn −1 − 5t − 22t − 24 ⇔ xn = xn −1 + 5t + 13 xn −1 + 5t + 13 *)Chän t : −5t − 22t − 24 = → t = −2 xn −1 1 ⇒ = +5 xn + xn xn Sau ta xét thêm số tính chất dÃy *) xn = 2.4 TÝnh chÊt Trang www.VNMATH.com X¸c định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Định lí Cho a, b, c, d R cho ad − bc ≠ 0, c ≠ Cho x1 ∈ ℝ vµ víi mäi n = 1, 2, , đặt axn + b = xn +1 , cxn + d nÕu nã tån t¹i XÐt hµm sè f(x) nh− sau: a) Chøng minh f song ánh b) Cho dÃy số ( tn )  −d  a  f : ℝ\  → ℝ\   c  c  ax + b x cx + d d t1 = đợc ®Þnh nghÜa bëi:  c t = f −1 (t ), ∀n = 1, 2,  n +1 n (DÃy không xác định kể từ thứ tự đó.) Chứng minh ( xn )+1 dÃy phân tuyến tính n= x1 ≠ tn , ∀n = 1, 2, Chøng minh d a Víi mäi x, y ∈ ℝ , x ≠ − , y ≠ ta cã c c ax + b b − dy y= ⇔ cyx + dy = ax + b ⇔ x = cx + d cy a Vậy f song ánh b) { xn }n=1 dÃy phân tuyến tính chØ +∞  x1 ≠ t1  ∃x2 ∈ R, x2 ≠ t1  ∃x3 ∈ R, x3 ≠ t1 Điều quy x1 tn với n mà tn xác định Cho (xn) d·y ph©n tuyÕn tÝnh nh− sau xn +1 = axn + b , ∀n = 1, 2, Khi ®ã ta có định lí sau: cxn + d Định lÝ NÕu d·y { xn } héi tơ ®Õn L th× cL2 + (d − a ) L − b = Chøng minh axn + b Tõ xn +1 = , ∀n = 1, 2, cho n + ta đợc cxn + d aL + b L= ⇔ cL2 + (d − a ) L − b = cL + d Định lí Khi ∆ = (d − a ) + 4bc 0 Gäi α , β lµ hai nghiƯm cđa phơng trình (ẩn x) cx + (d a ) x − b = Khi ®ã: a) x1 = α ⇔ xn = α , ∀n = 1, 2, x −β cα + d , ∀n ∈ N * , λ = Khi ®ã: b) Giả thiết x1 , đặt X n = n xn − α cβ + d X n +1 = λ X n , ∀n = 1, 2, c) NÕu λ = cα + d < th× lim xn = β n →∞ cβ + d Trang www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát cđa d·y sè Hnh Thanh Lu©n cα + d > th× lim xn = α n →∞ cβ + d Nếu = x1 = lim xn = β NÕu λ = n →∞ NÕu = x1 dÃy { xn } phân kỳ với giá trị x1 xn xen kẽ Trờng hợp = xảy Chứng minh aL + b nên Vì , nghiệm phơng trình L = cL + d aα + b aβ + b α= ,β = cα + d cβ + d a) Ta chØ cần chứng minh x1 = xn = , n = 1, 2, chiều ngợc lại hiển nhiên Ta dùng phơng pháp quy nạp Giả sử x1 = Khi ax1 + b aα + b = =α cx1 + d cα + d ax + b aα + b Gi¶ sư xn = α Khi ®ã xn +1 = n = = α VËy theo nguyªn lý quy nạp suy x1 = cxn + d cα + d xn = α , ∀n = 1, 2, b)Ta cã x − β  axn + b a β + b   axn + b aα + b  X n +1 = n +1 = − − : , xn +1 − α  cxn + d cβ + d   cxn + d cα + d  cα + d xn − β X n +1 = = λ X n , ∀n = 1, 2, cβ + d xn x2 = c) Theo kết câu (b) suy X n = λ n −1 X , ∀n = 1, 2, NÕu λ < th× lim λ n −1 = Do ®ã lim X n = lim λ n −1 X = Tõ X n = n →∞ n →∞ xn = α Xn − β X n −1 n →∞ ⇒ lim xn = lim n →∞ n →∞ α Xn − β X n −1 xn − β ta cã xn − α =β NÕu λ > th× lim λ n −1 = ∞ Do ®ã lim X n = lim λ n −1 X = ∞ Do ®ã n →∞ n →∞ n →∞ α− lim n →∞ β Xn α − α Xn − β = ⇒ lim xn = lim = lim = =α n →∞ n →∞ X − x →∞ Xn 1− n 1− Xn x1 − β Do ®ã nÕu x1 = β th× X = Theo kết câu (b) suy X n = 0, ∀n = 1, 2, Suy x1 − α lim X n = T−¬ng tù nh− trªn suy lim xn = β Ta cã X = n →∞ n →∞ NÕu λ = x1 X vµ X n +1 = (−1) n X , ∀n = 1, 2, Ta sÏ chøng minh d·y sè yn = (−1) n , víi mäi n=1, 2,, không hội tụ (phân kỳ) Ta có lim y2 n −1 = lim(−1) = −1 ≠ = lim y2 n VËy d·y n →∞ n →∞ n →∞ X n +1 = yn X , ∀n = 1, 2, nªn d·y { X n } cịng kh«ng héi tơ Trang ( yn ) ph©n kú D·y ( yn ) ( yn ) víi không hội tụ mà www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Từ X n = {X n} xn − β v−β suy d·y { xn } không hội tụ ( lim xn = v ∈ ℝ th× lim X n = , nghÜa lµ d·y n →∞ n →∞ xn − v hội tụ, đến ta gặp mâu thuÉn) cα + d = cβ + d cα + d = cβ + d ⇒ cα = cβ = Mà điều xảy đợc = (d b)2 + 4bc >0 ad Định lí Giả thiết = (d − a ) + 4bc = vµ ®Ỉt g = Khi ®ã 2c a) x1 = g vµ chØ xn = g , ∀n = 1, 2, 2c Khi ®ã b) Giả thiết x1 g , đặt X n = , n = 1, 2, , đặt = xn − g a+d X n +1 = X n + , n = 1, 2, Trờng hợp =1 xảy =1 th× Suy c) lim xn = g n Chứng minh a) Vì =0 nên phơng tr×nh cL2 + (d − a ) L − b = ( tức phơng trình L = g= aL + b ) cã nghiƯm kÐp lµ cL + d ad Tiếp theo ta làm tơng tự nh đà làm định lý (4a) 2c b) Với n = 1, 2, , ta cã  ax + b a − d  2c(cxn + d ) X n +1 = = 1:  n − = 2c  c(a + d ) xn + 2bc − ad + d xn +1 − g  cxn + d (d − a) Do ®ã (d − a) 2 2bc − ad + d = − − ad + d = ( −d + 2ad − a − 2ad + 2d ) = 2 1 = (d − a ) = − (a − d )(a + d ) = − gc(a + d ) = −c(a + d ) g 2 V× ∆ = (d − a ) + 4bc =0, nên 2bc = Từ X n +1 = = 2c(cxn + d ) 2(cxn + d ) = c(a + d ) xn − c(a + d ) g (a + d )( xn − g ) 2c( xn − g ) + 2cg + 2d 2c( xn − g ) 2(cg + d ) + = (a + d )( xn − g ) (a + d )( xn − g ) (a + d )( xn − g ) 2c (a + d ) 2c = + = + = µ + Xn a + d (a + d )( xn − g ) a + d xn − g ( 2(cg + d ) = a + d V× ( cg + d ) = 2cg + 2d = a − d + 2d = a + d ) c) Nếu x1 = g theo định lý (5a) suy xn = g , ∀n = 1, 2, ®ã lim xn = g NÕu x1 ≠ g theo định n lý (5b) ta có X n +1 = X n + µ , ∀n = 1, 2, suy { X n } cấp số cộng có công sai số hạng đầu X Do X n = X + (n − 1) µ , ∀n = 1, 2, Trang 10 Huúnh Thanh Lu©n www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số  u1 = 1;  u = 2u − 1, ∀n ≥ n −1  n *)un −1 = cos α ⇒ un = cos 2α π = cos n −1 π *)un = cos , ∀n ≥ Chøng minh b»ng qui n¹p u1 2;  un = 2u n −1 − 1, ∀n ≥ *) u1 ≤ → u1 = cos α → un = cos 2n −1α *)u1 = 1 1  n−1  *) u1 > → u1 =  a +  → un =  a + 2n−1  a 2 2 a  u0 = c  TQ:  , ab = 2 un +1 = au n − b, ∀n ≥  *)un = bvn → +1 = 2v n − Vµ ta cịng biÕt r»ng mäi tam thøc bËc hai bÊt kú ta ®Ịu cã thĨ ®ỉi biÕn vỊ ®Ønh để ta đợc hàm chẵn, tức ®i bËc nhÊt: ax + b Tuy nhiªn, có thỏ tính chất hay không ta cần phải kiểm tra cụ thể u1 3; un = 4u n −1 − 3un −1 , ∀n ≥ *) u1 ≤ → u1 = cos α → un = cos 3n −1α 1 1 1  *) u1 > → u1 =  a +  → un =  a n −1 + n −1  2 2 a a  u1 4;  un = 4u n −1 + 3un −1 , ∀n ≥ 1 1 1  *)u1 =  a −  → un =  a n −1 − n −1  2 2 a a  u1 5;  un = au n −1 + bu n −1 + cun −1 + d , n Đa hai dạng Trang 19 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát d·y sè Huúnh Thanh Lu©n  u1 =  → un −1 = sin α 6;  − − u n −1  , ∀n ≥ un =  a+b  u1 = ; v1 = bu1  7;  ;0 < a < b u = un −1 + −1 ; v = u v n n n −1  n  α α a *) = cos α → u1 = b cos ; v1 = b cos b 2 *)u2 = b cos α cos *)un = = b cos α α 2 ; v2 = b cos cos α 2 α .cos 2 α cos 22 α 2n u1 =   8;  un + − un +1 = + − u , ∀n = 1, 2, n Tìm u2003 ( Đề thi thøc OLYMPIC 30/04/2006 ) ( *)tg HD: π ) = − ⇒ un +1 = un + tan π − un tan , ∀n = 1, 2, π π  *)un = tan α → un +1 = tan  + α  8   u1 =  9;  u +2− un +1 = n , ∀n = 1, 2,  − − un  π π §S: un = tg  + (n − 1)  , ∀n = 1, 2, 12  6 u1  10;  un −1 + b un = − bu , ∀n ≥ n −1  ( ) u1 =  11;  un −1 , ∀n ≥ un = + + u n −1  *)un = un −1 + + u n −1 → 1 = + + → xn = xn −1 + + x n −1 un un −1 u n −1 *) xn −1 = cotα → xn = cotα + + cot 2α = cotα + α cos α + = = cot sin α sin α Trang 20 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân vài DÃy số khác 3.1 DÃy sè cã d¹ng: x1 = α , xn+1 = n(n + 1) (n + k ) ( xn + 1) , ∀n = 1, , (n + k + 1) (n + 2k + 1) Bài toán T×m xn biÕt r»ng n ( xn + 1) , n ∈ N * n +1 Lêi gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã (n + 1)xn +1 = nx n + n Đặt un = nx n , ta cã x1 = , xn+1 = un+1 = un + n, ∀n = 1, , VËy u2 = u1 + u3 = u2 + u4 = u3 + un+1 = un + n Cộng lại rút gọn ta đợc: un+1 = u1 + (1 + + + n ) = n(n + 1) , ∀n = 1, , n(n − 1) n −1 , ∀n = 1, , Suy xn = , n = 1, , 2 Bài toán Tìm xn biết x1 = n(n + 1) (1) xn+1 = ( xn + 1) , n ∈ N * (n + )(n + ) H−íng dÉn gi¶i Tõ gi¶ thiÕt (1), ta cã n(n + 1)2 (n + ) xn+1 = ( xn + 1) , n ∈ N * (n + 1)(n + )2 (n + ) Do ®ã (n + 1)(n + )2 (n + )xn+1 = n(n + 1)2 (n + )xn + n(n + 1)2 (n + ) Vậy un = Đặt n(n + 1)2 (n + )x n = un , thay vào ta đợc un+1 = un + n(n + 1)2 (n + ), ∀n = 1, , (n − 1)( 2n + 1) Tõ ta tìm đợc un , sau ta tìm đợc xn = 10(n + 1) Nhận xét Việc giải toán tổng quát đợc tiến hành tơng tự x1 = a >  3.2 D·y sè d¹ng:  , ®ã g (n) > 0, n ∈ N * , k ∈ R  k   xn+1 = g (n) xn , ∀n ≥  Lêi gi¶i Ta cã ln xn+1 = ln g (n) + k ln xn Đặt ln xn = yn , ®ã: yn+1 − kyn = ln g (n), n = 1, 2, ln g (n) Đặt yn = k n1un , thay vào (1) ta đợc un+1 − un = Suy kn Trang 21 (1) www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy sè Huúnh Thanh Lu©n ln g (1) k ln g (2) u3 = u2 + k2 ln g (n −1) un = un−1 + k n−1 u2 = u1 + Cộng lại ta đợc n1 un = u1 + ∑ i =1 ln g (i ) ki Suy víi mäi n = 1, 2, , th× xn = e yn = e k n−1 un =e n−1   ln g ( i )    k n−1 u1 +    i    k   i=1 ∑ =e n−1   ln g ( i )    k n−1 ln a +       ki   i=1 ∑  x1 = a >    * * 3.3 D·y sè d¹ng:   x = f (n + 1) x k , ∀n ≥ 1, ®ã f (n) > 0, ∀n ∈ ℕ ; k ∈ ℕ  n+1 n k   ( f ( n))   H−íng dÉn gi¶i k xn+1 xn xn k k Ta cã = Đặt = , vn+1 = Vì > , nên từ vn+1 = ta cã k f (n + 1) ( f (n)) f (n + 1) ln vn+1 = k ln Gäi un = ln Khi ®ã un+1 = kun , ∀n = 1, 2, Vậy {un } + n =1 tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 , công bội k, un = u1k n1 , n = 1, 2, Sau ngợc trở lại ta tìm đợc { x n } + n =1  xn − a  xn+1 = 3.4 D¹ng:  xn−1   x1 = b, x = c xn a Cách giải Tõ xn+1 = , ta cã xn−1 xn−1xn +1 = xn + a (1) T−¬ng tù ta cịng cã xn− xn = x n−1 + a (2) Trừ (1) cho (2) theo vế ta đợc 2 2 xn−1xn +1 − xn− xn = xn − xn−1 ⇒ xn −1x n+1 + xn−1 = xn − xn + xn ⇒ x n−1 ( xn−1 + x n+1 ) = xn ( xn− + x n ) ⇒ xn xn−1 = x n−1 + xn +1 x n− + xn Bëi vËy xn xn−1 x2 = = = = xn−1 + x n+1 x n− + xn x1 + x3 c =α c2 + a b+ b Suy xn = α ( xn−1 + xn+1 ) ⇒ α xn+1 + xn + xn1 = Từ ta tìm đợc số hạng tổng quát dÃy số đà cho Trang 22 Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số u1 = ; v1 = β    3.5 D·y sè d¹ng: un = u n−1 + av n−1     vn = 2un−1vn−1  HD:     un = u n−1 + av n−1 un = u n−1 + av n−1   un + avn = un−1 + avn−1  ⇒ ⇒   vn = 2un−1vn−1  av = au v    un − avn = un−1 − avn−1  n n−1 n−1     2n−1   un + avn = u1 + a v1  ⇒ un ; ⇒   un − avn = u1 − av1    u1 = 2; v1 =    VD: un = u n−1 + 2v n−1     vn = 2un−1vn−1   x0 = α    3.6 D·y sè d¹ng:   x2 + a  xn = n−1 , ∀n ≥   xn−1   u HD: Đặt xn = n ta đa dạng 3.5 (Lu ý phơng pháp chuyển hệ nhé, mạnh đấy) u1 = 3.7 D·y sè d¹ng:  , víi a − b =   un = aun−1 + bu n−1 + c , ∀n ≥  HD: ( ( ) ) ( ( ) ) un = aun−1 + bu n−1 + c ⇔ un − aun−1 = bu n−1 + c ⇔ (un − aun−1 ) = bu n−1 + c ⇒ u n − 2aun un−1 + a 2u n−1 = bu n−1 + c ⇔ u n − 2aun un−1 + (a − b) u n−1 − c = ⇔ u n − 2aun un−1 + u n−1 − c = u n − (2aun−1 ) un + u n−1 − c =   u n − 2aun−1un + u n−1 − c =  ⇒ ⇒ ⇒ un , un−2 lµ hai nghiƯm cđa pt:  u n−1 − 2aun−1un−2 + u n−2 − c = u n−2 − (2aun−1 ) un−2 + u n−1 − c =     2 t − (2aun−1 ) t + u n−1 − c = ⇒ un + un−2 = 2aun−1 u1 = α    un−1 3.8 D·y sè d¹ng:  , ®ã: α > 0; a > 1; a − b = u = , ∀n ≥  n   a + cu n−1 + b      1  +c un = ⇒ =a + b  u  un un−1  n−1   a + cu n1 + b HD: Đặt xn = chuyển dạng un un1 u1 ; u2 3.9 D·y sè d¹ng:  un + − ( pn + qn ) un +1 + ( pn −1.qn ) un = f n , ∀n ≥  Trang 23 Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng qu¸t cđa d·y sè HD: *)un + − ( pn + qn ) un +1 + ( pn −1.qn ) un = ( un + − pnun +1 ) − qn ( un +1 − pn −1un ) = +1 − qn Víi v n = un +1 − pn −1un *)v2 − q1v1 = f1 v3 − q2 v2 = f − qn −1vn −1 = f n −1 a a ⇒ ( v2 − q1v1 ) = f1 q1 q1 a a ( v3 − q2v2 ) = f q2 q2 a qn −1 ( − qn −1vn−1 ) = a f n −1 qn −1 n −1  n −1 f  f a − av1 = a ∑ i ⇒ = qn −1  ∑ i + v1  qn −1 i =1 qi  i =1 qi Trờng hợp đặc biệt dạng hay gặp hai hàm hµm h»ng u1 ; u2  , tøc lµ pt trình đặc trng có hai nghiệm là: ; qn  un + − ( λ + qn ) un +1 + ( λ qn ) un = f n , ∀n ≥  u1 = 1; u2 =  VD:  un = ( n − 1)( un −1 + un − ) , ∀n ≥  n −1 −1 − = *)Đặt un = n !vn − n n −1 *) Pt cã hai nghiÖm 1; n *) → ( − −1 ) + ( −1 − − ) = n ⇒ Trang 24 Huúnh Thanh Lu©n www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Luyện tËp: Bài tập : u1 =  un +1 + 3un = 0, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 + 3un = 2, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 − un = 2, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 + 3un = 4n + 5, n ≥ Bài tập : u1 =  un +1 − un = 4n + 5, n ≥ Bài tập : Bài tập : Bài tập : Bài tập : Bài tập 10 : Bài tập 11 : Bài tập 12 : Bài tập 13 : Bài tập 14 : Bài tập 15 : u1 =  n un +1 + 3un = , n ≥ u1 =  n +1 un +1 − 7un = , n ≥ u1 = 2, u2 =  un + − 3un +1 + 2un = 0, n ≥ u1 = −9, u2 = 45  n un + + 2un +1 − 8un = 27.5 , n ≥ u1 = −9, u2 = 45  un + + 2un +1 − 8un = n + 2n, n ≥ u1 = −9, u2 = 45  un + + 2un +1 − 3un = n + 2n, n ≥ u1 = 1, u2 = 2, u3 =  un +3 − 6un + + 11un +1 − 6un = 0, n ≥ u1 = 4, u2 = 26, u3 = 74   un +3 − 6un + + 11un +1 − 6un = 6n − 4n − 8, n ≥  u1 = 1, v1 =  un +1 = un − 6vn  v = u + 6v  n +1 n n u1 =  un +  un +1 = u + n   x1 = T×m d·y sè ( xn ) biÕt   xn +1 = xn + n + 1, n = 1, 2, Lời giải Phơng trình đặc trng = có nghiệm λ = Bài tập 16 : Trang 25 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huúnh Thanh Lu©n * xn = c.3n + xn , VËy * * xn = α n + β n + γ (α ≠ 0) , xn víi lµ nghiệm riêng phơng trình xn +1 = xn + n + Suy α (n + 1) + β (n + 1) + γ = 3(α n + β n + γ ) + n + ⇔ α n + (2α + β )n + α + β + γ = (3α + 1)n + 3β n + 3γ + Đồng hệ số ta đợc α = − α = 3α +    ⇔ β = − 2α + β = 3β α + β + γ = 3γ +   γ = −1   1 n n * VËy xn = − n − n + Do ®ã xn = c3n − − − 1, ∀n = 1, 2, Mà x1 = nên 2 2 1 = c.31 − − − ⇔ c = 2 VËy d·y sè cần tìm ( xn ) với n2 n − 1, ∀n = 1, 2, 2 biÕt x0 = 99, xn +1 = xn − 2n − 1, ∀n = 0,1, 2, xn = 4.3n −1 − Bài tập 17 : T×m d·y sè { xn }n =0 + Đáp số xn = 99 n , ∀n = 0,1, 2,  x1 = T×m d·y sè ( xn ) biÕt  n  xn +1 = xn + , ∀n = 1, 2, Đáp số: xn = 3n 2n , ∀n = 1, 2, Bài tập 18 : T×m d·y sè { xn }n =1 biÕt x1 = 101, xn +1 = xn + n +1 , ∀n = 1, 2, Lêi gi¶i n Tõ gi¶ thiÕt ta cã x1 = 2010, xn +1 = xn + 7.7 , ∀n = 1, 2, Phơng trình đặc trng = có nghiệm = Vậy số hạng tổng quát dÃy số đà cho có dạng * * xn = c7 n + xn , ∀n = 1, 2, , víi xn = an7 n , n = 1, 2, nghiệm riêng bất k× cđa +∞ Bài tập 19 : xn +1 = xn + n +1 , ∀n = 1, 2, Do thay vào ta đợc a (n + 1)7 n +1 = 7an7 n + n +1 ⇒ a (n + 1) = an + ⇒ a = * VËy xn = n7 n , ∀n = 1, 2, Suy xn = c7 n + n7 n , ∀n = 1, 2, Mà x1 = 2010 nên 2010 = c7 + ⇒ c = 2003.7 −1 Do ®ã hạng tổng quát dÃy số đà cho xn = 2003.7 n −1 + n7 n , ∀n = 1, 2, Bài tập 20 : T×m d·y sè { xn }n =1 cho +∞ x0 = 1, xn +1 = Đáp số xn = cos n , ∀n = 0,1, 2, 1 nπ xn − sin , ∀n = 0,1, 2, 2 Trang 26 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Tìm xn biết u1 = 1, un +1 = 2un + n + 2.2n , n N * Lời giải Phơng trình đặc trng = có nghiệm λ = * ** * ** Ta cã un = un + un + un , ®ã un = c.2n , un = an + bn + c, un = A.n.2n Bài tập 21 : * Thay un vµo un +1 = 2un + n , ta đợc a (n + 1) + b(n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n , ∀n = 1, 2, Chọn n=1 ta đợc 4a+2b+c=2a+2b+2c+1 hay 2a-c=1 Cho n=2 ta đợc 9a+3b+c=8a+4b+2c+4 hay a-bc=4 Cho n=3 ta đợc 2a+2b+c=-9 2a − c = a = −1   * ⇔ b = −2 VËy un = −n 2n Ta đợc hệ sau: a − b − c = 2a + 2b + c = −9  c = −3   ** Thay un vào phơng trình un +1 = 2un + 2.2 n ta đợc A(n + 1)2n +1 = An.2n + 2.2n ⇔ A.2n +1 = 2.2n ⇔ A = ** VËy un = n.2n Do ®ã un = c n − n − 2n − + n.2 n , ∀n = 1, 2, Mà u1 = nên 1=2c-1-2-3+2 ⇔ c = n −1 n VËy un = 5.2 − n − 2n − + n.2 , ∀n = 1, 2, Bài tập 22 : T×m xn biÕt x1 = 1, x2 = 0, xn +1 − xn + xn −1 = 0, ∀n = 2,3, Lời giải Phơng trình đặc trng − λ + = cã c¸c nghiƯm phøc λ1,2 = 1± i Ta cã 3 π  π π : = 3, ϕ ∈  − ;  ⇒ ϕ = + = 1, tgϕ = 4 2  2 nπ nπ π π VËy λ = cos + i sin ⇒ xn = A cos + B sin , ∀n = 1, 2, Ta cã: 3 3 π π A B x1 = ⇒ A cos + B sin = ⇒ + =1⇒ A+ B = 3 2 2π 2π −A B x2 = ⇒ A cos + B sin =0⇒ + = ⇒ A− B = 3 2 A =1  A + B = Ta đợc hệ phơng trình A B =  B =   r= λ = nπ nπ + sin , ∀n = 1, 2, 3 Bài tập 23 : T×m xn biÕt x1 = 0, x2 = 1, xn +1 − xn − xn −1 = 0, n = 2,3, 1 Đáp số xn = (−1) n + 2n , ∀n = 1, 2, Bài tập 24 : Cho d·y sè { p (n)} đợc xác định nh sau: p (1) = 1, p (n) = p (n − 1) + p (n − 2) + + (n − 1) p (1) HÃy xác định p(n) với n=1,2,… H−íng dÉn gi¶i VËy xn = cos Trang 27 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Với n=1,2, đặt p (n) = pn Khi p1 = với n=3,4,… ta cã: pn = pn −1 + pn − + + (n − 1) p1 Do với n=3,4, ta có pn = [ pn −1 + pn − + + p1 ] + [1 pn − + pn −3 + + (n − 2) p1 ] = = [ pn −1 + pn − + + p1 ] + pn Vậy với n=3,4, ta cã pn − pn −1 = pn −1 + pn − + + p1 (*) Trong (*) thay n (n+1) ta đợc: pn +1 pn = pn + pn −1 + pn − + + p1 (**) LÊy (**) trõ (*) vÕ theo vế ta đợc: pn +1 pn + pn , n = 2,3, Vậy ta đợc { pn }n =1 lµ d·y sè nh− sau: +∞  p1 = 1, p2 =   pn +1 − pn + pn −1 = 0, ∀n = 2, 3, Xét phơng trình đặc trng + = Phơng trình cã hai nghiƯm lµ λ1 = n 3+ 3− , λ2 = Do ®ã 2 n  3−   3+  pn = A    + B   , víi mäi n=1,2,3,…       Vì p1 = 1, p2 = nên ta tìm đợc A B, từ tìm đợc số hạng tổng quát dÃy số { pn }n =1 +∞ Bài tập 25 : T×m xn biÕt x1 = 1, x2 = 0, xn +1 − xn + xn −1 = 2.2 n , ∀n = 2,3, Đáp số: un = 9n + 2.2 n +1 , ∀n = 1, 2, Bài tập 26 :  x1 = 1, y1 =  T×m xn , yn , biÕt  xn +1 = xn − yn , ∀n ≥  y = x + y , ∀n ≥ n n n +1 Đáp số Với n = 1,2, , th× xn = 2n −1 , yn = n −1 Bài tập 27 : Cho hai d·y sè ( un ) vµ ( ) nh− sau u0 = 0, v0 = cos α , un +1 = un + 2vn sin α , +1 = + 2un cos α ( ∀n ∈ N ) Lêi gi¶i Víi mäi sè λ ta ®Ịu cã un +1 + λ +1 = un + 2vn sin α + λ ( + 2un cos α ) , ∀n = 0,1, 2, un +1 + λ +1 = (1 + 2λ cos α ) un + ( λ + sin α ) , ∀n = 0,1, 2, Ta chän λ cho λ + 2sin α = λ (1 + 2λ cos ) , tức chọn để = tan α sin α = 2λ cos α ⇔ λ = tan α ⇔  λ = − tan α +∞ λ = tan α th× un +1 + λ +1 = (1 + 2λ cos α ) ( un + λ ) , ∀n ∈ N NghÜa lµ d·y sè {( un + λ )}n = lËp VËy víi  λ = − tan α thµnh mét cấp số nhân có số hạng đầu u0 + v0 = cos , công bội q = + 2λ cos α Do ®ã un + λ = λ cos α (1 + 2λ cos α ) , ∀n = 0,1, 2, n Lần lợt lấy = tan , = tan ta đợc Trang 28 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Lu©n un + tan α = sin α (1 + sin 2α )n   n un − tan α = − sin α (1 − sin 2α )  n n    un = sin α (1 + sin 2α ) − (1 − sin 2α )   ⇔ , ∀n = 0,1, 2, v = cos α (1 + sin 2α ) n + (1 − sin 2α )n     n  Bài tập 28 : Cho dÃy số { xn }n =1 đợc xác định nh sau: + xn x1 = , xn +1 = (n = 1, 2, ) 2(2n + 1) xn + H·y tÝnh tỉng cđa 2001 số hạng dÃy số { xn }n =1 ( Đề thi HSG quốc gia năm học 2000-2001, b¶ng B ) Lêi gi¶i xn DƠ thÊy xn > 0, ∀n = 1, 2, ®ã tõ xn +1 = (n = 1, 2, ) ta cã 2(2n + 1) xn + 1 1 xn +1 = ⇔ = 2(2n + 1) + (n = 1, 2, ) xn +1 xn 2(2n + 1) + xn Đặt = un Khi u1 = vµ un +1 = 4(2n + 1) + un , ∀n = 1, 2, (1) xn +∞ Tõ (1) dƠ dµng suy un = ( 2n − 1)( 2n + 1) , ∀n = 1, 2, VËy xn = 2 1 = = − , ∀n = 1, 2, un ( 2n − 1)( 2n + 1) 2n − 2n + Do ®ã  1   1   x1 + x2 + + x2001 =  −  +  −  + +  −  1     4001 4003  Hay x1 + x2 + + x2001 = − 4002 = 4003 4003  u1 = Bài tập 29 :  u = − u , ∀n ≥ n −1  n *)un = − u n −1 → aun = − a 2u n −1 → a = → = − 2v n −1 , un = 2vn Bài tập 30 :  3 u1 =  u = 2.32n u − 32n ( n +1) , ∀n ≥ n +1 n n Đặt un = 32 → +1 = 2v n − Bài tập 31 : u1 =   2n un +1 = u n − 2.6 , ∀n *)Đặt un = 2.e +1 = 2v n − 2n c 2.6 2.e n 2n c → chän c = ln → +1 = 2v n − Trang 29 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy sè Huúnh Thanh Lu©n  x0 = a > c >   1 c  xn +1 =  xn + 2 xn  Bài tập 32 : x − c *) = n   xn +1 + c  xn + c   xn +1 − c   , ∀n ≥  log arit → yn +1 = ( yn )  un +1 = 2un → 2   x1 = ; x2 =  Bài tập 33 :   x − ( n + ) x + ( n + 1)( n + ) x = n ( n + ) , ∀n ≥ n  n + ( n + 1)( n + ) n +1 n ( n + 3) n+3  x x x n+2 *)Chia hai vế cho , ta đợc: n + − n +1 + n = n n+2 n +1 n n+3 n+3 n+2 n +1 → un + − 3un +1 + 2un = n  x0 = 1; x1 = 2; x2 =   −2  xn +3 = x n + x n +1.xn  Chøng minh dÃy số dơng lấy logrit hai vế ®Ĩ tun tÝnh hãa   x0 = a Bài taäp 35 :   xn +1 = xn ( − cxn ) , ∀n ≥  *)c = Bài tập 34 : *)c ≠ → cxn +1 = cxn ( − cxn ) = 1 − (1 − cxn )  1 + (1 − cxn )  = −    ⇔ − cxn +1 = (1 − cxn )  x1 = x2 =  Bài tập 36 : xn xn +1   xn + = x − x , ∀n ≥ n n +1  x x 2x − x 1 xn + = n n +1 → = n n +1 = − → un + = 2un +1 − un xn + xn xn +1 xn +1 xn xn − xn +1  x1 = 1; x2 =    xn + = xn +1.xn , ∀n ≥  Bài tập 37 : LÊy logarit hai vÕ Bài tập 38 : T×m d·y sè { x n } +∞ n =1 biÕt x1 = α, xn+1 = axn + bxn + c, ∀n = 1, 2, Trong ®ã a ≠ vµ c = (1) b − 2b 4a H−íng dÉn gi¶i NhËn xÐt ë trang x, 1, chơng 1, gợi ý cho ta cách đổi biến nh sau: Gọi yn = xn + ta đợc Trang 30 b , thay vào (1) 2a www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huúnh Thanh Lu©n   b b b = a  yn −  + b  yn −  + c, ∀n = 1, 2,           2a 2a  2a   by  b b2  b  ⇔ yn+1 − = a  yn − n +  + b  yn −  + c, ∀n = 1, 2,          2a a 4a  2a   yn+1 − b b2 b b − 2b ⇔ yn+1 − = ayn − byn + + byn − + , ∀n = 1, 2, 2a 4a 2a 4a ⇔ yn+1 = ayn , ∀n = 1, 2, Suy 3 2 2 yn = ayn−1 = a (ayn−2 ) = a yn−2 = a (ayn−3 ) = a −1 yn−3 = = a 2n−1 VËy xn = a Baøi taäp 39 : 2n−1 −1 2n−1 y   n−1 b b − = a −1 α +      2a 2a  T×m d·y sè { x n } +∞ n =1 − n−1 −1 y12 b , ∀n = 1, 2, Thử lại phơng pháp quy nạp thấy 2a biÕt x1 = α, xn+1 = axn + b, ∀n ∈ ℕ* , ab = −2 H−íng dÉn gi¶i α b 2 −byn+1 = ab yn + b ⇒ yn+1 = −abyn −1 ⇒ yn+1 = yn Đặt xn = byn , y1 = − +) NÕu y1 = (hay α = −b) th× y2 = y3 = = yn = 1, ∀n Suy xn = −b, ∀n = 1, 2, +) NÕu y1 = −1 th× yn = 1, ∀n = 2, 3, Suy x1 = b vµ xn = −b, ∀n = 2,3, +) NÕu y1 < , hay α < b tồn cho cos = y1 Khi ®ã y2 = cos ϕ −1 = cos 2ϕ, y3 = cos 22 ϕ, , yn = cos 2n−1ϕ VËy xn = −b cos 2n−1ϕ, ∀n = 1, 2, +) NÕu y1 > , hay > b tồn ϕ cho chϕ = y1 Khi ®ã y2 = c h 2ϕ −1 = c h2ϕ, y3 = c h22 ϕ, , yn = c h2n−1 ϕ VËy xn = −b.c h 2n−1ϕ, ∀n = 1, 2, Tõ chϕ = y1 , ta cã eϕ + e−ϕ −α y1 >1 ϕ −α = ⇔ e = + b b α      +1 b   Do ®ã xn = −b Bài tập 40 : T×m d·y sè { x n }    −α +    b  +∞ n =1    α    b  n−1 2n−1     + 1       −α + +    b 2    α    b  −2n−1     + 1    biÕt x1 = α, xn+1 = axn + b, ∀n * , ab = Hớng dẫn giải Đặt xn = byn , lu ý đến công thức ch 2ϕ = sh 2ϕ + Trang 31 , n = 1, 2, www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân Baứi taọp 41 : Tìm { x n } Đặt xn = 2a Bài tập 42 : n 2n−1 n =1 n biÕt x1 = α, xn+1 = xn − 2a , ∀n ∈ ℕ* , a > 0, a Hớng dẫn giải yn , yn+1 = y −1, ∀n = 1, 2, Sau làm tơng tự nh tập x n Tìm { x n } Đặt xn = a Bài tập 43 : 2n−1 +∞ +∞ n =1 n n biÕt x1 = α, xn+1 = 2a xn − a ( n+1)2 , ∀n ∈ ℕ* , a > H−íng dÉn gi¶i yn , ®ã yn+1 = y −1, ∀n = 1, 2, Sau làm tơng tự nh tập x n T×m { x n } +∞ n =1 , biÕt x0 = α, xn+1 = axn − xn , a > H−íng dÉn gi¶i Ta cố gắng vận dụng công thức lợng giác cos x = cos3 x − 3cos x Giả sử xn = byn + c , byn+1 + c = a (byn + c) − 3(byn + c) ⇔ byn+1 + c = a (b3 yn + 3b cyn + 3bc yn + c3 ) − 3(byn + c) ⇔ yn+1 = ab yn + 3abcyn + 3(ac −1) yn + b−1 (ac3 − 4c)   ab = c =   3abc =    VËy ta cho  ⇒ yn Khi ®ã VËy ta ®Ỉt xn =  3(ac −1) = −3 b = a    −1  a    b (ac − 4c) =   yn+1 = yn − yn , ∀n = 0,1, 2,    +) NÕu y1 hay tồn ϕ cho cos ϕ = y1 Khi ®ã     a y1 = cos3 ϕ − 3cos ϕ = cos 3ϕ, , yn = cos 3n ϕ Suy xn = cos 3n ϕ, ∀n ∈ N a    +) NÕu y1 > hay > tồn ϕ cho chϕ = y1 Khi ®ã     a y1 = c h3ϕ − 3c hϕ = c h3ϕ, , yn = c h3n ϕ Suy xn = Bài tập 44 : {x } T×m +∞ n n =1 c h3n ϕ, ∀n ∈ N a n , biÕt x0 = α, xn+1 = xn − 3a xn , a > 0, n ∈ ℕ H−íng dÉn gi¶i Ta cần đặt xn = ? yn , để đa yn+1 = yn − yn , ∀n = 0,1, 2, n n 3 Tõ xn+1 = xn − 3a , ta cã xn+1 = (4 xn ) − 3a Tr−íc hÕt ta t×m un tháa m·n un+1 = un , ∀n = 0,1, 2, Ta có Trang 32 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát cđa d·y sè Hnh Thanh Lu©n 32 3 1  32 1  un = un−1 =  un−2  = 1+3 un−2 = 1+3  un−3  =           44 4 4 = n 41+3+3 u 33 n−3 = = n n−1 41+3+3 + +3 n n u0 3n u = u0 = n 1−3 1−3 n −1 n n = 21−3 u0 n 3 VËy đặt xn = 213 u0 yn , thay vào xn+1 = xn 3a xn , ta đợc n+1 ( n+1 n n ) n+1 n n+1 n n n 3 3 21−3 u0 yn+1 = 21−3 u0 yn − 3a xn = 23−3 u0 yn − 3a 21−3 u0 yn n n+1 n n n+1 3 ⇒ yn+1 = 22 yn − 3a 2−3 +3 u0 −3 yn n n n − ⇒ yn+1 = yn − 3a 22.3 u0 2.3 yn Ta chän u0 cho n n n n n n − 2.3 3a 22.3 u0 2.3 = ⇒ u0 = a 22.3 ⇒ u0 = a n ( Tóm lại, ta đặt xn = 213 a 3n ) yn = 3n ( a) yn Khi ®ã yn+1 = yn − yn , ∀n = 0,1, 2, Trang 33 ... cotα + α cos α + = = cot sin α sin Trang 20 www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát dÃy số Huỳnh Thanh Luân vài DÃy số khác 3.1 DÃy số có dạng: x1 = α , xn+1 = n(n + 1) (n + k ) ( xn + 1) ,... + xn+1 ) ⇒ α xn+1 + xn + α xn−1 = Từ ta tìm đợc số hạng tổng quát dÃy số đà cho Trang 22 Huỳnh Thanh Luân www.VNMATH.com Xác định số hạng tổng quát d·y sè u1 = α; v1 = β    3.5 D·y sè d¹ng:... + HÃy tìm giới hạn dÃy số { yn } trờng hợp Hớng dẫn giải Cách 1: Tơng tự nh tập 4, tập 6, ta tìm đợc số hạng tổng quát dÃy số ( xn ) Từ tìm đợc số hạng tổng quát dÃy số { yn } Tuy nhiên,