ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Soạn: Lưu Hải Vĩnh – GV Toán Trường THPT NG I/ Lý thuyết 1/Tọa độ: Hệ tọa độ Oxy hay (O, ,i j r r ) * Tọa độ của điểm; véc tơ: M(x;y) ( ; ) . .OM x y OM x i y j⇔ = ⇔ = + uuuur uuuur r r * Độ dài của một véc tơ; đoạn thẳng: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B B A B A AB AB x x y y x x y y= = − + − = − + − uuur * Hai véc tơ bằng nhau: 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ; ) ( ; ) x x a x y b x y y y =  = ⇔  =  r r * Các phép toán về véc tơ: Cho 1 1 2 2 ( ; ), ( ; )a x y b x y r r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 / ( ; ) / ( ; ) / . ( . ; . ) / . . . . / cung phuong ; 0 : . / . . 0 . . . / os( ; ) . . a b x x y y a b x x y y k a k x k y a b x x y y x t x a b b t y t y a b x x y y a b x x y y c a b a b x x y y + + = + + + − = − − + = + = + =  + ≠ ⇔ ∃ ∈  =  + ⊥ ⇔ + = + + = = + + r r r r r r r r r r r ¡ r r r r r r r r * Các công thức liên quan đến tọa độ điểm: +/ M là trung điểm AB 2 0 2 A B M A B M x x x MA MB y y y +  =   ⇔ + = ⇔  +  =   uuur uuur r (hay với mọi điểm O; 1 ( ) 2 OM OA OB= + uuuur uuur uuur ) +/ M chia đoạn AB theo tỉ số k ( A;B phân biệt; k 1≠ ) .MA k MB⇔ = uuur uuur . 1 . 1 A B M A B M x k x x k y k y y k −  =   − ⇔  −  =  −  ( hay với mọi điểm O; 1 ( . ) 1 OM OA k OB k = − − uuuur uuur uuur ) +/ M là trọng tâm tam giác ABC 3 0 3 A B C M A B C M x x x x MA MB MC y y y y + +  =   ⇔ + + = ⇔  + +  =   uuur uuur uuuur r (hay với mọi điểm O; 1 ( ) 3 OM OA OB OC= + + uuuur uuur uuur uuur ) * Một số tính chất của tam giác ABC: +/ Tam giác ABC vuông tại C 2 2 2 . 0 (hay )CACB CA CB AB⇔ = ⇔ + = ⇔ uuur uuur +/ Tam giác ABC cân tại B BA BC⇔ = ⇔ uuur uuur +/ Tam giác ABC vuông cân tại A . 0AB AC AB AC  =  ⇔  =   uuur uuur uuur uuur + Tam giác ABC đều BA BC AC⇔ = = uuur uuur uuur 2/ Liên hệ tọa độ và bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với hai véc tơ ( ; )u a b r và ( ; )v x y r ; ta có 2 2 2 2 . ax+by os( ; ) . . u v c u v u v a b x y = = + + r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax+by Do os( ; ) 1 1 ax+by . . (ax+by) ( ).( ) c u v a b x y a b x y a b x y ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ + + + + ⇒ ≤ + + r r Dấu bằng xảy ra os(u; ) 1c v = ± r r ;u v⇔ r r cùng phương ax=by⇔ 3/ Đường thẳng a/ Đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ) và nhận véc tơ 2 2 ( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠ r làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số là : 0 0 ( ) x x at t R y y bt = +  ∈  = +  * Nếu 0a ≠ thì hệ số góc của đường thẳng là k = b/a. b/ Đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ) và nhận véc tơ ( ; ) ( ; 0)u a b a b ≠ r làm véc tơ chỉ phương có phương trình chính tắc là : 0 0 x x y y a b − − = . c/ Đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ) và có hệ số góc k ; phương trình là : y = k(x-x 0 ) + y 0 d/ Đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ) và nhận véc tơ ( ; ) ( ; 0)n a b a b ≠ r làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là : a(x-x 0 ) + b(y-y 0 ) =0 e/ Đường thẳng đi qua A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) có phương trình là : • Nếu x 1 = x 2 : Phương trình là x = x 1 • Nếu y 1 = y 2 : Phương trình là y = y 1 • Nếu 1 2 1 2 x x y y ≠   ≠  : Phương trình là 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y − − = − − f/ Chú ý : • Nếu 2 2 ( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠ r là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k. ( ; ) 0u ka kb k= ∀ ≠ r cũng là một véc tơ chỉ phương của (d). • Nếu 2 2 ( ; ) ( 0)n a b a b+ ≠ r là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì k. ( ; ) 0n ka kb k= ∀ ≠ r cũng là một véc tơ chỉ phương của (d). • Nếu 2 2 ( ; ) ( 0)u a b a b+ ≠ r là 1 véc tơ chỉ phương của (d) thì ( ; )n b a= − r là một véc tơ pháp tuyến của (d). 4/ Góc giữa hai đường thẳng Giả sử α là góc giữa hai đường thẳng có véc tơ pháp tuyến theo thứ tự là 1 2 ;n n ur uur 1 2 1 2 1 2 n . os = cos(n ; ) n . n n c n α ⇒ = uur uur uur uur uur uur (có thể tính theo véc tơ chỉ phương) 5/ Khoảng cách từ điểm M đến (d) : ax + by +c = 0 M 2 2 ax ( ;( )) M by c d M d a b + + = + 6/ Đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng Cho (d 1 ) : a 1 x + b 1 y +c 1 = 0 và (d 2 ) : a 2 x + b 2 y +c 2 = 0 Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi (d 1 ) ; (d 2 ) là : 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = + + II/ Bài tập Bài 1 : A-2010 Cho tam giác ABC cân tại A(6;6), đường thẳng đi qua trung điểm canh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B và C biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua C của tam giác đã cho. Bài 2: B-2010 Cho tam giác ABC vuông tại A; đỉnh C(-4;1); phân giác trong góc A có phương trình x + y -5 = 0. Viết phương trình BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Bài 3: D-2010 • Câu VIa: Cho tam giác ABC; A(3;-7); trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0). Xác định tọa độ C biết hoành độ C dương. • Câu VIb: Cho A(0;2); ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ . Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. Bài 4: D-2009 • Câu VIa: Cho tam giác ABC; M(2;0) là trung điểm của AB. Đường trung tuyến và đường cao đi qua A lần lượt có phương trình là: 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Viết phương trình AC. • Câu VIb: Cho đường tròn (C): (x-1) 2 +y 2 =1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho · 0 30IMO = . Bài 5 : B-2009 • Câu VIb: Cho tam giác ABC cân tại A(-1;4). Các đỉnh B;C thuộc ∆ : x-y-4=0. Xác định tọa độ B ; C biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Bài 6: A-2009 • Câu VIa: Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc ∆ : x+y-5=0. Viết phương trình AB. • Câu VIb: Cho đường tròn (C): x 2 +y 2 +4x+4y+6 =0 và ∆ :x+my-2m+3=0. Gọi I là tâm của (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho diện tích tam giác IAB max. Bài 7: D-2008 Trong Oxy; cho (P) có phương trình 2 16y x= ; A(1;4). Hai điểm phân biệt B; C không trùng với A di động trên (P) sao cho 0 90BAC∠ = . CMR đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Bài 8: B-2008 Trong Oxy; cho tam giác ABC; hình chiếu vuông góc của C lên AB là H(-1;-1); đường phân giác trong của góc A: x-y+2=0; đường cao kẻ từ B: 4x+3y-1=0; Tìm tọa độ C? Bài 9: B-2007 Cho A(2;2); (d 1 ): x+y-2=0; (d 2 ): x+y-8=0. Tìm tọa độ B thuộc (d 1 ) ; C thuộc (d 2 ) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 10: B-2006 Cho đường tròn (C): x 2 +y 2 -2x-6y+6 =0 và M(-3 ;1). Gọi T 1 ; T 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T 1 T 2 . Bài 11: A-2006 Cho (d 1 ) : x+y+3=0 ; (d 2 ) : x-y-4=0 ; (d 3 ) : x-2y=0. Tìm tọa độ M thuộc (d 3 ) sao cho khoảng cách từ M đến d 1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d 2 . Bài 12: A-2005 Cho (d 1 ) : x-y=0 ; (d 2 ) : 2x+y-1=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d 1 ; C thuộc d 2 và B ; D thuộc trục hoành. Bài 13: D-2004 Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;0); B(4;0); C(0;m). Tìm tọa độ trọng tâm G theo m; m 0≠ . Tìm m để tam giác GAB vuông tại G. Bài 14: B-2004 Cho A(1;1); B(4;-3). Tìm C thuộc đương thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6. Bài 15: A-2004 Cho A(0;2); B(- 3 ;-1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Bài 16: B-2003 Cho tam giác ABC có AB=AC; · 0 90BAC = . Điểm M(1;-1) là trung điểm BC và G( 2 3 ;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ A;B;C. Bài 17: B-2002 Trong Oxy; cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0); đường thẳng AB có pt: x-2y+2 = 0 và AB =2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết hoành độ A âm. Bài 18: 2002 Trong Oxy; cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng BC có phương trình: 3 3 0x y− − = ; A và B thuộc Ox. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. Bài 19: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-5;6); B(-4;-1); C(4;3). a/ Tìm toạ độ D để ABCD là hình bình hành. b/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 20: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(0;2); B(-2;-2); C(4;-2). H là chân đường cao hạ từ B; M và N lần lượt là trung điểm AB và BC. Lập phương trình đường tròn qua H; M; N. Bài 21: Trong Oxy; cho đường tròn (C): 2 2 ( 2) ( 3) 2x y− + − = ; đường thẳng (d): x-y-2=0. Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến (d): a/ max? b/ min? Bài 22: Trong Oxy; cho tam giác ABC; C(-2;3). Đường cao kẻ từ A có phương trình: 3x-2y-25=0; đường phân giác trong góc B có phương trình: x-y=0. Lập phương trình AC? Bài 23: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thộc BC; N(1;1) thuộc AB. Viết phương trình các cạnh còn lại. Bài 24: Trong Oxy; cho parabol (P): 2 4y x= . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A trùng đỉnh O; hai điểm B; C thuộc (P); trực tâm trùng với tiêu điểm của (P). Bài 25: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(5;2); đường trung trực của BC có phương trình x+y-6=0; đường trung tuyến CM có phương trình 2x-y+3=0. Tìm tọa độ A; B; C. Bài 26: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A thuộc (d): x-4y-2=0; BC song song với (d); đường cao BH có phương trình: x+y+3=0; M(1;1) là trung điểm của AC. Tìm tọa độ A; B; C. Bài 27: Trong Oxy; Lập phương trình qua A(1;1) cách đều B(-2;3) và C(0;4). Bài 28: Trong Oxy; cho tam giác ABC; B(1;0); hai đường cao có phương trình lần lượt là: x- 2y+1=0; 3x+y-1=0. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 29: Trong Oxy; cho tam giác ABC cân tại A; G( 4 1 ; 3 3 ) là trọng tâm; đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là: x-2y-4=0; đường BG có pt: 7x-4y-8=0. Tìm tọa độ A; B; C. Bài 30: Lập phương trình đường thẳng qua I(-2;0); cắt (d 1 ): 2x-y+5=0 và cắt (d 2 ): x+y-3=0 lần lượt tại A và B sao cho: 2IA IB= uur uur Bài 31: Cho đường thẳng (d 1 ): x+y+5=0 và (d 2 ): x+2y-7=0. A(2;3); Tìm B thuộc (d 1 ); C thuộc (d 2 ) sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0). Bài 32: Llập phương trình đường thẳng qua M( 5 ;2 2 ); cắt (d 1 ): x-2y=0 và cắt (d 2 ): 2x-y=0 lần lượt tại A và B sao cho: M là trung điểm AB. Bài 33: Trong Oxy; cho đường thẳng (d): 2x-y-5=0 và A(1;2); B(4;1). Tìm M thuộc (d) sao cho MA MB− max. Bài 34: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0; M(2;3) thuộc BC; N(1;1) thuộc AB. Lập phương trình AD. Bài 35: Trong Oxy; lập phương trình (d 1 ); (d 2 ) lần lượt đi qua A(4;0); B(0;5) và nhận (d): 2x-2y- 1=0 là phân giác. Bài 36: Cho tam giác ABC cân tại A; đường thẳng AB: 2x-y+5=0; đường thẳng AC:3x+6y-1=0; M(2;-1) thuộc BC. Lập phương trình cạnh BC. Bài 37: Trong Oxy; cho tam giác ABC; A(-1;2); B(2;0); C(-3;1). a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b/ Tìm M thuộc BC sao cho 1 3 AMB ABC S S ∆ ∆ = . Bài 38: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0); B(2;0); giao điểm hai đường chéo I thuộc đường thẳng y =x. Tìm tọa độ C; D? Bài 39: Cho (d 1 ): x-2y=0; (d 2 ): 2x-y=0; M( 5 ;2 2 ). Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d 1 ); (d 2 ) tại A và B sao cho: a/ M là trung điểm AB b/ MB=2MA. Bài 40: Cho hình thoi có một đường chéo: x+2y-7=0; một cạnh: x+3y-3=0; một đỉnh (0;1). Lập phương trình các cạnh. Bài 41: Cho tam giác ABC; A(-6;3); B(-4;3); C(9;2). a/ Lập phương trình đường phân giác trong góc A. b/ Tìm M trên AB; điểm N trên AC sao cho MN//BC và AM=CN. Bài 42: Cho tam giác ABC; A(-6;3); B(-4;3); C(9;2). Tìm P thuộc đường phân giác trong góc A sao cho ABPC là hình thang. Bài 43: Cho tam giác ABC; A(-2;3); trực tâm H trùng với trung điểm của đường cao AK. Đường cao BM có hệ số góc bằng 2. Tìm tọa độ B; C. Bài 44: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1); AB: 4x+y+15=0; AC: 2x+5y+3=0. Tìm trên đường cao AH của tam giác điểm M sao cho tam giác BMC vuông tại M. Bài 45: Cho A(1;0); B(3;-1); (d):x-2y-1=0. Tìm C thuộc (d) sao cho 6 ABC S ∆ = . Bài 46: Cho tam giác ABC; cạnh AB: y=2x; cạnh AC: y= 1 1 4 4 x− + ; trọng tâm G( 8 7 ; 3 3 ). Tính diện tích tam giác ABC. Bài 47: Tìm toạ độ điểm M trên (d): x-2y-2=0 sao cho 2 2 2MA MB+ nhỏ nhất; A(0;1); B(3;4). Bài 48: Cho A(2;-1); B(1;-2); trọng tâm G thuộc (d):x+y-2=0. Tìm C biết diện tích tam giác ABC bằng 3/2. Bài 49: Tìm M nằm phía trên Ox sao cho góc MAB=30 0 ; góc AMB = 90 0 ; A(-2;0); B(2;0). Bài 50: Cho tam giác ABC vuông tại A; A(-1;4); B(1;-4); M( 1 2; 2 ) thuộc BC. Tìm tọa độ C? . C(-2;3). Đường cao kẻ từ A có phương trình: 3x-2y-25=0; đường phân giác trong góc B có phương trình: x-y=0. Lập phương trình AC? Bài 23: Trong Oxy; cho hình vuông ABCD; CD có phương trình: 4x-3y+4=0;. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Soạn: Lưu Hải Vĩnh – GV Toán Trường THPT NG I/ Lý thuyết 1/Tọa độ:. có phương trình tổng quát là : a(x-x 0 ) + b(y-y 0 ) =0 e/ Đường thẳng đi qua A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ) có phương trình là : • Nếu x 1 = x 2 : Phương trình là x = x 1 • Nếu y 1 = y 2 : Phương