Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Trường Đại học Nông nghiệp I PGS TS NGUYỄN HẢI THANH Tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học Công nghệ thông tin Nhà xuất Bách khoa – Hà Nội Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Mã số: 920 − 2006 / CBX / 01 − 130 / BKHN Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔNG QUÁT VÀ PHÂN LOẠI 1.1 Bài toán tối ưu tổng quát 1.2 Phân loại toán tối ưu 7 ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TỐI ƯU GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ 2.1 Phương pháp mơ hình hóa toán học 2.2 Một số ứng dụng toán tối ưu CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 9 10 MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Phát biểu mơ hình 1.2 Phương pháp đồ thị 16 16 17 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Tìm hiểu quy trình tính tốn 2.2 Khung thuật tốn đơn hình 19 19 23 CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 3.1 Phát biểu tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 3.2 Công thức số gia hàm mục tiêu 3.3 Tiêu chuẩn tối ưu 3.4 Thuật tốn đơn hình cho tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 23 23 25 26 27 BỔ SUNG THÊM VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 4.1 Đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 4.2 Phương pháp đơn hình mở rộng 4.3 Phương pháp đơn hình hai pha 4.4 Phương pháp đơn hình cải biên BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 29 29 31 33 35 41 44 PHÁT BIỂU BÀI TỐN ĐỐI NGẪU 1.1 Phát biểu tốn 1.2 Ý nghĩa toán đối ngẫu 1.3 Quy tắc viết tốn đối ngẫu 1.4 Các tính chất ý nghĩa kinh tế cặp toán đối ngẫu 44 44 45 46 48 CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CẶP BÀI TỐN ĐỐI NGẪU 2.1 Định lý đối ngẫu yếu 2.2 Định lý đối ngẫu mạnh 2.3 Định lý độ lệch bù 53 54 54 56 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 57 16 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 3.1 Quy trình tính tốn phát biểu thuật tốn 3.2 Cơ sở phương pháp đơn hình đối ngẫu BÀI TỐN VẬN TẢI 4.1 Phát biểu tốn vận tải 4.2 Các tính chất tốn vận tải 4.3 Phương pháp phân phối giải toán vận tải 4.4 Phương pháp vị giải toán vận tải 4.5 Cơ sở phương pháp phân phối phương pháp vị BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV QUY HOẠCH NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP CẮT GOMORY GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUN 1.1 Phát biểu tốn quy hoạch tuyến tính ngun 1.2 Minh họa phương pháp Gomory đồ thị 1.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính ngun bảng 1.4 Khung thuật tốn cắt Gomory PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN LAND – DOIG GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUN 2.1 Minh họa phương pháp nhánh cận đồ thị 2.2 Nội dung phương pháp nhánh cận 2.3 Khung thuật toán nhánh cận Land – Doig GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUN BẰNG QUY HOẠCH ĐỘNG 3.1 Bài tốn người du lịch 3.2 Quy trình tính toán tổng quát 3.3 Áp dụng quy hoạch động giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun 3.4 Bài tốn túi 3.5 Hợp hóa ràng buộc tốn quy hoạch tuyến tính ngun BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNG V MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH PHI TUYẾN CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU PHI TUYẾN 1.1 Phát biểu toán tối ưu phi tuyến 1.2 Phân loại toán tối ưu phi tuyến tồn cục 1.3 Bài tốn quy hoạch lồi 1.4 Hàm nhiều biến khả vi cấp cấp hai MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN KHÔNG RÀNG BUỘC 2.1 Phương pháp đường dốc 2.2 Phương pháp Newton 2.3 Phương pháp hướng liên hợp THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KUHN – TUCKER CHO CÁC BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN CÓ RÀNG BUỘC 3.1 Hàm Lagrange 3.2 Thiết lập điều kiện Kuhn – Tucker MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG 4.1 Bài tốn quy hoạch toàn phương 4.2 Phát biểu điều kiện Kuhn – Tucker cho tốn quy hoạch tồn phương 57 61 62 62 66 68 72 74 78 81 81 81 82 84 86 87 87 88 88 90 90 91 93 95 100 103 105 105 105 106 107 108 109 109 111 113 116 116 117 120 120 121 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 4.3 Phương pháp Wolfe giải tốn quy hoạch tồn phương 4.4 Giải tốn quy hoạch tồn phương tốn bù QUY HOẠCH TÁCH VÀ QUY HOẠCH HÌNH HỌC 5.1 Quy hoạch tách 5.2 Quy hoạch hình học BÀI TẬP CHƯƠNG V CHƯƠNG VI MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT QUY HOẠCH LỒI VÀ QUY HOẠCH PHI TUYẾN TẬP HỢP LỒI 1.1 Bao lồi 1.2 Bao đóng miền tập lồi 1.3 Siêu phẳng tách siêu phẳng tựa tập lồi 1.4 Nón lồi nón đối cực ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH LỒI VÀO BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 Điểm cực biên hướng cực biên 2.2 Biểu diễn tập lồi đa diện qua điểm cực biên hướng cực biên 2.3 Điều kiện tối ưu phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI 3.1 Các định nghĩa tính chất 3.2 Dưới vi phân hàm lồi 3.3 Hàm lồi khả vi 3.4 Cực đại cực tiểu hàm lồi CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER 4.1 Bài tốn tối ưu khơng ràng buộc 4.2 Bài tốn tối ưu có ràng buộc 4.3 Điều kiện tối ưu Fritz – John 4.4 Điều kiện tối ưu Kuhn – Tucker MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG CHẤP NHẬN GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN 5.1 Phương pháp hướng chấp nhận 5.2 Thuật toán Frank – Wolfe giải tốn quy hoạch lồi có miền ràng buộc tập lồi đa diện 5.3 Phương pháp gradient rút gọn 5.4 Phương pháp đơn hình lồi Zangwill GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 6.1 Bài tốn ellipsoid xấp xỉ 6.2 Một số thuật toán điểm BÀI TẬP CHƯƠNG VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 121 123 126 126 129 133 136 136 136 138 139 144 145 145 148 150 152 152 153 155 158 162 162 164 166 166 170 170 172 172 174 177 177 181 183 186 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Mở đầu Tối ưu hóa, khởi nguồn ngành Tốn học, có nhiều ứng dụng hiệu rộng rãi quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, việc tạo nên hệ hỗ trợ định quản lý phát triển hệ thống lớn Chính vậy, lĩnh vực Tối ưu hóa ngày trở nên đa dạng, mang nhiều tên gọi khác Quy hoạch toán học, Điều khiển tối ưu, Vận trù học, Lý thuyết trị chơi… Hiện nay, mơn học Tối ưu hóa đưa vào giảng dạy nhiều chương trình đào tạo đại học cho ngành khoa học bản, kỹ thuật – công nghệ, kinh tế – quản lý, sinh học – nông nghiệp, xã hội – nhân văn, sinh thái – môi trường … với thời lượng thông thường từ ba sáu học trình Đối với sinh viên ngành Tin học, Cơng nghệ thơng tin Tốn – Tin ứng dụng, mơn học Tối ưu hóa mơn học sở khơng thể thiếu Giáo trình “Tối ưu hóa” biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên năm thứ hai ngành Tin học Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Nông nghiệp I, số kiến thức lĩnh vực quan trọng Tối ưu hóa Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm sở lý thuyết mức độ định, nắm thuật toán tối ưu để áp dụng việc xây dựng phần mềm tối ưu tính tốn giải tốn kinh tế, cơng nghệ, kỹ thuật quản lý Chương I giới thiệu tổng quan ngắn gọn toán tối ưu tổng quát phân loại toán tối ưu bản, giới thiệu số ví dụ mơ hình tối ưu phát sinh thực tế Phần đầu trình bày Quy hoạch tuyến tính bao gồm chương II, III IV Phần nhấn mạnh vào việc trình bày phương pháp thuật tốn cổ điển Quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình (bao gồm phương pháp hai pha phương pháp đơn hình cải biên dạng ma trận nghịch đảo), phương pháp đơn hình đối ngẫu, phương pháp vị giải toán vận tải, phương pháp cắt Gomory nhánh cận Land – Doig phương pháp quy hoạch động giải toán quy hoạch tuyến tính ngun Phần sau giáo trình bao gồm hai chương Quy hoạch phi tuyến Chương V trình bày số phương pháp thuật tốn tối ưu phi tuyến khơng có ràng buộc có ràng buộc, bao gồm phương pháp đường dốc nhất, phương pháp Newton, phương pháp hướng liên hợp, phương pháp giải quy hoạch tồn phương thơng dụng, phương pháp quy hoạch tách quy hoạch hình học Chương VI giới thiệu sở lý thuyết quy hoạch lồi quy hoạch phi tuyến Phần giới thiệu lớp phương pháp điểm giải toán quy hoạch tuyến tính cuối giáo trình mang tính chất tham khảo, dành cho sinh viên nghiên cứu theo nhóm thảo luận Việc chứng minh số định lý khó nên để sinh viên tự nghiên cứu, khơng có tính bắt buộc Khi biên soạn, chúng tơi ln có nguyện vọng việc trình bày phương pháp tối ưu đề cập tới giáo trình phải đáp ứng “tiêu chuẩn tối ưu”, sinh viên phải hiểu làm Chính vậy, phương pháp ln trình bày cách cụ thể thơng qua ví dụ mẫu từ dễ tới khó, mà ví dụ sử dụng nhiều lần để tiết kiệm thời gian Một số tài liệu người học tham khảo thêm Quy hoạch tuyến tính là: Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa, Nxb Giáo dục, 2002; Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính, Nxb Giáo dục, 2003 Về Quy hoạch phi tuyến đọc thêm số chương liên quan sách tham khảo sau: Bazaraa M.S, Shetty C.M, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990; Horst R, Hoàng Tụy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer Verlag, Berlin, 1993; Bùi Thế Tâm – Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thơng vận tải, 1998 Người đọc sử dụng Internet để tìm kiếm tạp chí tài liệu liên quan Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương I Bài toán tối ưu tổng quát ứng dụng Bài toán tối ưu tổng quát phân loại 1.1 Bài tốn tối ưu tổng qt Tối ưu hóa lĩnh vực kinh điển tốn học có ảnh hưởng đến hầu hết lĩnh vực khoa học – công nghệ kinh tế – xã hội Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho vấn đề chiếm vai trị quan trọng Phương án tối ưu phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu cao Ví dụ Tìm x ∈ D = [ −2,2, 1,8] ⊂ R1 cho f(x) = x3 – 3x + → Max Bài tốn tối ưu có dạng cực đại hoá giải sau: Cho f’(x) = 3x2 – = 0, ta có điểm tới hạn x = –1 x = +1 Xét giá trị hàm số f(x) điểm tới hạn vừa tìm giá trị x = –2,2 x = 1,8 (các điểm đầu mút đoạn [–2,2, 1,8]), ta có f(–2,2) = –3,048 , f(– 1) = 3, f(1) = –1, f(1,8) = 1,432 Vậy giá trị x cần tìm x = –1 Kết tốn minh hoạ hình I.1 y 1,432 x –2,2 –1 1,18 –1 –3,048 Hình I.1 Đồ thị hàm f(x) Cho hàm số f: D ⊂ Rn → R Bài toán tối ưu tổng quát có dạng: Max (Min) f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Như vậy, cần tìm điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D ⊂ Rn cho hàm mục tiêu f(x) đạt giá trị lớn toán Max – cực đại hoá (giá trị bé toán Min – cực tiểu hoá) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ D ⊂ Rn gọi phương án khả thi (hay phương án chấp nhận phương án, nói vắn tắt) toán tối ưu: Max (Min) f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Miền D gọi miền ràng buộc Các toạ độ thành phần điểm x gọi biến định, x gọi véc tơ định ( ) ∗ Xét toán cực đại hoá: Max f(x), với x ∈ D ⊂ Rn Điểm x* = x1 , x ∗ , , x ∗ ∈ Rn n gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục x* ∈ D f(x*) ≥ f(x), ∀x ∈ D Điểm x ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương x ∈ D tồn lân cận Nε đủ nhỏ điểm x cho f( x ) ≥ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D Đối với toán cực tiểu hoá Min f(x), với x ∈ D ⊂ Rn, điểm x* ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) toàn cục x* ∈ D f(x*) ≤ f(x), ∀x ∈ D Điểm x ∈ Rn gọi điểm tối ưu (hay phương án tối ưu) địa phương x ∈ D tồn lân cận Nε đủ nhỏ điểm x cho f( x ) ≤ f(x), ∀x ∈ Nε ∩ D Dễ thấy, phương án tối ưu toàn cục phương án tối ưu địa phương, phương án tối ưu địa phương không thiết phương án tối ưu tồn cục Trên hình I.1, điểm x = phương án tối ưu địa phương xét tốn cực tiểu hố Ví dụ Xét toán tối ưu sau: Max f (x) = 8x1 + 6x , với điều kiện ràng buộc x ∈ D = { (x1, x2) ∈ R2: 4x1 + 2x2 ≤ 60; 2x1 + 4x2 ≤ 48, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Bài toán tối ưu cịn gọi tốn quy hoạch tuyến tính Người ta chứng minh phương án tối ưu địa phương toán quy hoạch tuyến tính đồng thời phương án tối ưu tồn cục 1.2 Phân loại tốn tối ưu Các tốn tối ưu, cịn gọi toán quy hoạch toán học, chia thành lớp sau: – Bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), – Bài tốn tối ưu phi tuyến hay cịn gọi tốn quy hoạch phi tuyến (BTQHPT), bao gồm toán quy hoạch lồi (BTQHL) tốn quy hoạch tồn phương (BTQHTP), – Bài tốn tối ưu rời rạc, toán tối ưu nguyên hỗn hợp nguyên – Bài toán quy hoạch động, – Bài toán quy hoạch đa mục tiêu, – Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên / mờ Các phương pháp toán học giải lớp toán tối ưu tổng quát nêu gọi phương pháp tối ưu toán học (hay phương pháp quy hoạch tốn học) Trong giáo trình này, trước hết nghiên cứu phương pháp giải BTQHTT, bao gồm BTQHTT nguyên hỗn hợp nguyên Sau đó, xem xét phương pháp giải số dạng đặc biệt BTQHPT Các phương pháp xem xét chủ yếu khía cạnh thủ tục tính tốn thơng qua ví dụ đơn giản, nhằm giúp cho sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin học giáo trình vào năm học thứ hai làm quen với tư lập trình tính tốn Phần cuối giáo trình đề cập tới số sở lý thuyết giải tích lồi quy hoạch phi tuyến, vấn đề có Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com tính chất tảng sinh viên quan tâm có hướng tiếp tục nghiên cứu lĩnh vực Tối ưu hóa Ứng dụng tốn tối ưu giải vấn đề thực tế 2.1 Phương pháp mơ hình hố tốn học Nhiều vấn đề phát sinh thực tế giải cách áp dụng phương pháp tối ưu toán học Tuy nhiên, điểm mấu chốt từ toán thực tế cần xây dựng mơ hình tối ưu thích hợp dựa vào dạng tốn tối ưu biết Sau cần áp dụng phương pháp tối ưu tốn học quy trình tính tốn thích hợp để tìm lời giải cho mơ hình đặt Các bước cần thiết tiến hành áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học phát biểu cách khái quát sau: – Trước hết phải khảo sát toán thực tế phát vấn đề cần giải – Phát biểu điều kiện ràng buộc mục tiêu toán dạng định tính Sau lựa chọn biến định / ẩn số xây dựng mô hình định lượng cịn gọi mơ hình tốn học – Thu thập liệu lựa chọn phương pháp tốn học thích hợp để giải mơ hình Trong trường hợp mơ hình tốn học mơ hình tối ưu, cần lựa chọn phương pháp tối ưu thích hợp để giải mơ hình – Xác định quy trình giải / thuật tốn Có thể giải mơ hình cách tính tốn thơng thường giấy Đối với mơ hình lớn, bao gồm nhiều biến nhiều điều kiện ràng buộc cần tiến hành lập trình giải mơ hình máy tính để tìm phương án thỏa mãn mơ hình – Đánh giá kết tính tốn Trong trường hợp phát thấy có kết bất thường, cần xem xét nguyên nhân, kiểm tra chỉnh sửa lại mơ hình liệu đầu vào quy trình giải / thuật tốn / chương trình máy tính – Kiểm chứng kết tính tốn thực tế Nếu kết thu được coi hợp lý, phù hợp với thực tế hay chuyên gia đánh giá có hiệu so với phương án trước cần tìm cách triển khai phương án tìm thực tế Rõ ràng để giải vấn đề phát sinh từ tốn thực tế cần có hợp tác chặt chẽ chuyên gia lĩnh vực chun mơn, chun gia Tốn, Tốn ứng dụng chuyên gia Tin học, kỹ sư lập trình Điều đặc biệt cần thiết giải toán cho hệ thống lớn Việc thiết lập mơ hình hợp lý, phản ánh chất toán thực tế đồng thời khả thi phương diện tính tốn ln vừa mang tính khoa học túy, vừa có tính nghệ thuật Các thuật ngữ sau thường gặp áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học: – Tốn ứng dụng (Applied Mathematics) – Vận trù học (Operations Research viết tắt OR) – Khoa học quản lý (Management Science viết tắt MS) – Ứng dụng máy tính (Computer Applications) – Mơ hình tối ưu (Optimization Models)… Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2.2 Một số ứng dụng toán tối ưu Những năm gần đây, nhiều toán thực tế giải phương pháp mơ hình hóa tốn học thành cơng Trong số mơ hình tốn học áp dụng có nhiều mơ hình tối ưu, giải thơng qua tốn tối ưu kinh điển Trong trường hợp hàm mục tiêu tất ràng buộc hàm tuyến tính, tốn tối ưu BTQHTT BTQHTT giải số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên hay phương pháp điểm trong) BTQHTT sử dụng rộng rãi quy hoạch tài nguyên, quản lý sử dụng đất nhiều lĩnh vực quản lý, kinh tế quản trị kinh doanh Trong trường hợp hàm mục tiêu số ràng buộc phi tuyến, có BTQHPT Trong mơ hình tối ưu dựa BTQHPT nói chung, mơ hình tối ưu lĩnh vực nơng nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu tồn cục có ý nghĩa quan trọng Chẳng hạn thiết kế máy nông nghiệp, sau dùng phương pháp phân tích hồi quy nhiều chiều, ta thường thu hàm mục tiêu có dạng phi tuyến Các tốn tối ưu tồn cục nảy sinh quy hoạch kinh tế – sinh thái vùng, hay xác định cấu đất canh tác – trồng Bài tốn đặt phải tìm lời giải tối ưu tồn cục Có nhiều phương pháp giải lớp toán tối ưu phi tuyến riêng biệt, chưa có phương pháp tỏ hữu hiệu cho toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt cho toán với số hay tất biến định nhận giá trị nguyên Sau ví dụ minh hoạ số ứng dụng tốn tối ưu Ví dụ Bài tốn quy hoạch sử dụng đất (Mơ hình tối ưu tuyến tính giải tốn quy hoạch sử dụng đất địa bàn xã Đông Dư, huyện Gia Lâm, tỉnh Hà Nội) Chúng ta xét mơ hình tối ưu với mục tiêu cần cực đại hoá hiệu kinh tế Để thiết lập mơ hình, trước hết chọn biến định Dựa vào kết liệu thu được, ta chọn biến định sau: xj với j = 1, 2, …, 18 diện tích loại trồng, đơn vị tính (theo thứ tự là: lúa xuân, lúa mùa, ngô xuân, ngô đông, ngô bao tử đông, lạc xuân, đậu xanh xuân, đậu tương đông đất chuyên màu, đậu tương đông đất ba vụ, dưa chuột xuân, dưa chuột bao tử, mướp đắng xuân, rau mùi tàu, rau gia vị, đậu cô ve đông, ớt xuân, cà chua xn, cà chua đơng), x19 diện tích ao hồ thả cá, xj với j = 20, …, 23 số đầu vật ni năm (trâu, bị, lợn, gia cầm) Cịn x24 số cơng lao động th ngồi, x25 lượng tiền vốn vay ngân hàng, đơn vị tính nghìn đồng Lúc có BTQHTT sau với 33 ràng buộc (chưa kể điều kiện không âm biến) Hiệu kinh tế cần cực đại hóa là: f(x) = 4306,14x1 + 4168,73x2 + 3115,21x3 + 3013,11x4 + 4158,68x5 + 4860,91x6 + 4295,31x7 + 3706,11x8 + 3788,25x9 + 12747,31x10 + 12752,96x11 + 12064,81x12 + 79228,88x13 + 35961,31x14 + 10823,91x15 + 7950,16x16 + 7928,06x17 + 5738,46x18 + 11129,50x19 + 429,00x20 + 674,00x21 + 219,50x22 + 11,10x23 – 15,50x24 – 0,12x25 → Max Các ràng buộc hay điều kiện hạn chế định lượng sau: x1 ≤ 80,88; x2 ≤ 75,78; x3 ≤ 64,89; x4 ≤ 64,89; x5 ≤ 10,50; x6 ≤ 64,89; x7 ≤ 64,89; x8 ≤ 16,50; x9 ≤ 45,30; x10 ≤ 5,50; x11 ≤ 8,50; x12 ≤ 6,80; x13 ≤ 13,70; x14 ≤ 14,50; x15 ≤ 4,80; x16 ≤ 4,50; x17 ≤ 4,20; x18 ≤ 10,20; x19 ≤ 33,11; x20 ≤ 40,00; x21 ≤ 180,00; x22 ≤ 4280; x23 ≤ 18800; 10 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com T ∇f (x)T d = ∇ N f (x)T d N + ∇ B f (x)T d B = [ ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N ]d N = rN d N (6.33) T Để xây dựng hướng cải thiện d, cần chọn dN cho rN d N < dj ≥ xj = 0, sau chọn dB = – B–1NdN Vậy có quy tắc xây dựng hướng cải thiện sau: “với tọa độ j ứng với biến xj sở chọn dj = – rj rj ≤ 0, chọn dj = – xjrj rj > 0” Quy tắc đảm bảo dj ≥ xj = ∇f (x)T d ≤ (nếu dN ≠ dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt) Nhận xét Nếu d ≠ d hướng cải thiện hàm mục tiêu Còn d = x điểm thỏa mãn điều kiện Kuhn – Tucker Thật vậy, x điểm Kuhn – Tucker tồn véc tơ u v cho: T T ⎧u T = (u B ,u N ) ≥ (0,0) ⎪ T T T T T ⎨[ ∇ B f (x) , ∇ N f (x) ] + v (B,N ) − (u B ,u N ) = (0,0) ⎪ T T ⎩u B x B = 0,u N x N = (6.34) T T T Do xB > 0, u B ≥ nên u B x B = u B = Từ (6.34) suy T v T = −∇ B f (x)T B −1 u N = ∇ N f (x)T + v T N = ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N Do uN = rN Vậy T điều kiện Kuhn – Tucker trở thành rN ≥ rN x N = Như vậy, x điểm Kuhn – Tucker d = Sau trình bày thuật tốn gradient rút gọn Việc chứng minh tính hội tụ thuật toán tới điểm Kuhn – Tucker khơng dễ dàng khơng q khó, xin dành cho bạn đọc tự tìm hiểu Thuật tốn gradient rút gọn Bước khởi tạo Chọn điểm x1 thỏa mãn Ax1 = b, x1 ≥ Đặt k := Các bước lặp (bước lặp thứ k) Bước 1: Đặt Ik tập m tọa độ lớn xk, B = {aj: j ∈ Ik} N = {aj: j ∉ Ik}, r T = ∇f (x k )T − ∇ B f (x k )T B −1 A , k ⎧ −r j , ∀j ∉ I ,r j ≤ ⎪ dj = ⎨ k ⎪ −x j r j , ∀j ∉ I ,r j > ⎩ Nếu ∀j ∉ Ik, dj = dừng T T Nếu trái lại, đặt (d k )T = [d N ,d B ] , với dN xác định dB = – B–1NdN 173 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bước 2: Giải tốn tìm kiếm hướng Min f(xk + λdk) với ≤ λ ≤ λmax, λ max ⎧ ⎧ −x k ⎫ ⎪ j ⎪ ⎪M in ⎨ k : d k < ⎬ j =⎨ ⎪ dj ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎩∞ d k ≥ d k ≥ Đặt xk+1 = xk + λkxk với λk phương án tối ưu toán k := k+1, sau chuyển bước Ví dụ 14 Giải toán sau phương pháp gradient rút gọn 2 Min f(x) = 2x1 + 2x − 2x1 x − 4x1 − 6x , với điều kiện ràng buộc ⎧x1 + x + x = ⎪ ⎨x1 + 5x + x = ⎪x , x , x , x ≥ ⎩ Quá trình giải tóm tắt bảng VI.1 Bảng VI.1 Tóm tắt bước lặp phương pháp gradient rút gọn Bước lặp k xk f(xk) Ik (0,0,2,5) (10/17, 15/17, 9/17,0) (35/31, 24/31,3/31,0) Hướng tìm kiếm k d {3, 4} (–4,–6,0,0) –6,436 {1, 2} (0,0,57/17, 4/17) –7,16 {1, 2} (0,0,0,1) (4,6,–10, –34) (2565/1156, –513/1156, –513/289,0) (0,0,0,0) r k Tìm kiếm hướng λk xk+1 5/34 (10/17, 15/17, 9/17,0) (35/31, 24/31,3/31,0) 68/279 Phương pháp gradient rút gọn Wolfe đề xuất Sau này, Abadie Carpentier đưa phương pháp gradient tổng quát để giải BTQHPT với ràng buộc phi tuyến 5.4 Phương pháp đơn hình lồi Zangwill Phương pháp sau Zangwill đề xuất, ban đầu để giải BTQHPT với hàm mục tiêu lồi ràng buộc tuyến tính Phương pháp giống với phương pháp gradient rút gọn, khác điểm: bước lặp có biến sở thay đổi giá trị, biến sở khác giữ nguyên giá trị Các giá trị biến sở thay đổi tương tự phương pháp đơn hình Tên phương pháp “phương pháp đơn hình lồi” Giả sử x phương án cực biên toán Min f(x) với x ∈ D = {x ∈ Rn: Ax = b, x≥ 0}, A ma trận cấp m×n, f(x) hàm khả vi liên tục Ngoài ra, phương pháp gradient rút gọn, giả sử điều kiện không suy biến đúng, tức m véc tơ cột A độc lập tuyến tính điểm cực biên D có m tọa độ dương (do đó, 174 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com phương án x tốn có m tọa độ dương) Bằng cách phân rã ma trận A x cách thích hợp, nhận T [ ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N ]d N = rN d N = được: ∑r d j∉I j j ∇f (x)T d = ∇N f (x)T d N + ∇ B f (x)T d B = với I tập số biến sở (I ≡ T JB) Để xây dựng hướng cải thiện d, cần chọn rN dN cho rN d N < dj ≥ xj = 0, sau chọn dB = – B–1NdN Vậy có quy tắc xây dựng hướng cải thiện sau: “Trước hết tính α = Max {–rj: rj ≤ 0} β = Max {xjrj: rj ≥ 0} Nếu α = β = x điểm Kuhn – Tucker Nếu trái lại, tức có hai số α , β dương cho α = – rv, dv = dj = 0, ∀j ∉I j ≠ v, α ≥ β, cho β = xvrv, dv = –1 dj = ∀j ∉I j ≠ v, α < β Lúc hướng d hướng cải thiện” Nhận xét Trong trường hợp α ≥ β có biến ngồi sở xv có giá trị tăng lên, biến ngồi sở khác khơng thay đổi giá trị Cịn α < β có biến ngồi sở xv có giá trị giảm đi, biến ngồi sở khác khơng thay đổi giá trị Trong hai trường hợp, biến sở có giá trị thay đổi hướng dB= – B–1NdN Như α ≥ β, dv = dj = 0, ∀j ∉I j ≠ v, nên dB= – B–1av với av véc tơ cột A tương ứng với xv Còn α < β dB = B–1av dv = –1 dj = 0, ∀j ∉I j ≠ v Ta chứng minh α = β = x điểm Kuhn – Tucker Thật vậy, x điểm Kuhn – Tucker tồn véc tơ u v cho: T T ⎧u T = (u B ,u N ) ≥ (0,0) ⎪ T T T T T ⎨[ ∇ B f (x) , ∇ N f (x) ] + v (B,N ) − (u B ,u N ) = (0,0) ⎪ T T ⎩u B x B = 0,u N x N = T T Đây điều kiện (6.34) biết mục 5.3 Do xB > 0, u B ≥ nên u B x B = T uB = Từ (6.34) suy v T = −∇ B f (x)T B −1 T u N = ∇N f (x)T + v T N = ∇ N f (x)T − ∇ B f (x)T B −1N Do uN = rN Vậy điều kiện Kuhn – Tucker trở thành rN ≥ T rN x N = Điều α = β = Sau trình bày thuật tốn đơn hình lồi Zangwill Việc chứng minh tính hội tụ thuật tốn tới điểm Kuhn – Tucker khơng dễ dàng khơng q khó, xin dành cho bạn đọc tự tìm hiểu Thuật giải phương pháp đơn hình lồi Bước khởi tạo Chọn điểm x1 thỏa mãn Ax1 = b, x1 ≥ Đặt k := Các bước lặp (bước lặp thứ k) 175 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bước 1: Đặt Ik tập m tọa độ lớn xk, B = {aj: j ∈ Ik} N = {aj: j ∉ Ik}, r T = ∇f (x k )T − ∇ B f (x k )T B −1 A Tính α = Max {–rj: rj ≤ 0} β = Max {xjrj: rj ≥ 0}: – Nếu α = β = 0, dừng – Nếu α ≥ β, α = – rv đặt dv = dj = 0, ∀j ∉ Ik j ≠ v, – Còn α < β, β = xvrv đặt dv = –1 dj = 0, ∀j ∉ Ik j ≠ v (trong Ik tập số biến ngồi sở) T T Đặt (d k )T = [d N ,d B ] , với dN xác định dB = – B–1NdN Bước 2: Giải tốn tìm kiếm hướng Min f(xk + λdk) với ≤ λ ≤ λmax, λ max ⎧ ⎧ −x k ⎫ ⎪ j ⎪ k ⎪M in ⎨ k : d j < ⎬ =⎨ dj ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎩∞ d k ≥ d k ≥ Đặt xk+1 = xk + λkxk với λk phương án tối ưu tốn trên, thay k := k+1, sau chuyển bước Ví dụ 15 Giải tốn sau phương pháp đơn hình lồi Min f(x) = 2x + 2x − 2x x − 4x − 6x , với điều kiện ràng buộc ⎧x1 + x + x = ⎪ ⎨x1 + 5x + x = ⎪x , x , x , x ≥ ⎩ Quá trình giải tóm tắt bảng VI.2 Bảng VI.2 Tóm tắt bước lặp phương pháp đơn hình lồi Hướng tìm kiếm Tìm kiếm hướng rk dk λk xk+1 {3, 4} (–4,–6,0,0) (0,1,–1,–5) (0,1,1,0) {2, 3} (–28/5,0,0, (1,–1/5, 35/31 2/5) –4/5,0) (35/31 24/31,3/31,0) Bước lặp k xk f(xk) Ik (0,0,2,5) (0,1,1,0) –4,0 176 (35/31,24/31, 3/31,0) –7,16 {1, 2} (0,0,0,1) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giới thiệu phương pháp điểm giải tốn quy hoạch tuyến tính Phương pháp đơn nghiên cứu chương II coi đời vào năm 1947, Dantzig cơng bố phương pháp đơn hình giải tốn lập kế hoạch cho khơng qn Mỹ Trước đó, vào năm 1939, nhà toán học người Nga Kantorovich (được giải thưởng Nobel khoa học kinh tế năm 1975), đề cập tới thuật toán giải BTQHTT “Các phương pháp toán học tổ chức kế hoạch hóa sản xuất” in Nhà xuất Đại học quốc gia Leningrad Tuy công cụ tuyệt vời việc giải toán thực tế nhiều lĩnh vực, thuật tốn đơn hình lại khơng thuật tốn đa thức Năm 1984, Karmarkar cơng bố phương pháp điểm giải BTQHTT có độ phức tạp đa thức Khác hẳn phương pháp đơn hình, xây dựng dãy điểm biên tốt dần lên giá trị hàm mục tiêu, phương pháp điểm xây dựng dãy điểm hội tụ điểm biên phương án tối ưu Đây phương pháp có sở tốn học tương đối phức tạp Để trình bày vấn đề cách dễ hiểu, tóm lược phương pháp điểm theo kiểu phương pháp hướng chấp nhận minh họa ví dụ cụ thể 6.1 Bài tốn ellipsoid xấp xỉ Định nghĩa 12 Xét BTQHTT (gốc): Min f(x) = cTx, với x ∈ D ⊂ Rn, D xác định điều kiện ràng buộc ⎧ Ax = b ⎨ ⎩x ≥ (6.35) (6.36) ( ) k k k Một phương án khả thi x k = x1 , x , , x n ∈ D gọi nghiệm BTQHTT xk > 0, tức x k > 0, ∀i = 1,n i Để cho đơn giản, ta gọi nghiệm xk điểm tương đối, hay ngắn gọn hơn, điểm D (do xk nằm đa tạp tuyến tính {x ∈ Rn: Ax = b}) Nếu thay điều kiện (6.36) BTQHTT điều kiện sau đây: n ⎧ ⎫ ⎛ xi − xik ⎞ ⎪ ⎪ n x ∈ E = ⎨x ∈ R : ∑⎜ ≤ ρ2 , víi 0 0, cịn ρ ≤ ∀x ∈ E1 ta ln có x ≥ Nhìn hình VI.14, ta thấy miền ràng buộc toán xấp xỉ miền Sk = D ∩ Ek miền miền D Ta giải toán xấp xỉ (bài toán xấp xỉ bước 1) để nhận điểm x2 tốt điểm x1 Theo phương pháp hướng chấp nhận biết, để xây dựng x2 = x1 + λd1 vậy, trước hết cần xác định hướng cải thiện (tốt có thể) d1 sau cần xác định bước dịch chuyển λ 178 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Xác định hướng cải thiện bước dịch chuyển Trường hợp 1: Trước hết, ta tìm hướng cải thiện cho trường hợp E1 có dạng cầu có tâm x1 với tất tọa độ (như trường hợp xét ví dụ 16) Theo kết biết đại số tuyến tính, A = [aij]m×n có hạng r khơng gian nhân Ker A khơng gian (n – r) chiều, cịn khơng gian hàng R(AT) = {x ∈Rn: x = ATy, y ∈Rm} khơng gian r chiều Ngồi ra, Ker A R(AT) phần bù trực giao Sau xét trường hợp r = m Ta chứng minh phép chiếu phần tử x ∈ Rn lên Ker A xác định bởi: P(x) = (I– AT(AAT)–1A)x Thật vậy, xét phép chiếu Q lên R(AT): Q(x) = hàm Ar g x − A T u , Arg hiểu “điểm đạt …” u∈Rm Vậy cần giải toán M in(x − A T u )T (x − A T u ) sau: hay toán M in(x x − 2x A u + u AA u ) với u ∈R Nghiệm tốn điểm dừng u* = (AAT)– T T T T m T Ax Vậy Q(x) = ATu* (bạn đọc chọn ví dụ đơn giản kiểm nghiệm kết luận cách cụ thể) Do P(x) = x – Q(x) = (I – AT(AAT)–1A)x (xem minh họa hình VI.15) P = I– AT(AAT)–1A gọi ma trận chiếu lên KerA Ker A P(x) x Q(x) T R(A ) Hình VI.15 Minh họa phép chiếu P Q Do x2 = x1 + λd1 nên Ax2 =Ax1 + λAd1 Do d1 ∈ Ker A nên d1 có dạng Pv, với v ∈ Rn Ta giả sử d1 = Để hàm mục tiêu z = cTx = cT(x1 + λd1) = cTx1 + λcTd1 giảm nhanh hướng d1 dịch chuyển từ x1 tới Pc P( −c) Pc =− d1 = Lúc cTd1 = – cT Pc P( −c) Pc x2, phải chọn hướng cải thiện số âm với trị tuyệt đối lớn đạt Trên hình VI.16, cTd1 = – OB, với OB lớn đạt (do AB ngắn nhất) A R(AT) c O Ker A –d1 Pc B Hình VI.16 Xác định hướng cải thiện 179 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vậy ta có x2 = x1 – λ Min f( x1 – λ A(x1 – λ n Pc Cần chọn ∑ (x − 1)2 ≤ ρ2 λ cho đạt i Pc i =1 Pc Pc ) = cT (x1 – λ ), với ràng buộc Pc Pc Pc )=b Pc x2 = x1 – λ Pc ∈ E1 = Pc (6.38) n n ⎧ ⎫ ⎛ x −1⎞ ⎪ ⎪ x ∈ Rn : ∑ ⎜ i ≤ ρ2 ⇔ ∑ (x i − 1)2 ≤ ρ2 ⎬ ⎨ ⎟ ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (6.39) Ràng buộc (6.38) thỏa mãn cách chọn d1 Để thỏa mãn (6.39) phải có n ( ) 2 ∑ xi − ≤ ρ i =1 Pc Pc Do x1 = 1, ∀i = 1,n , nên có λ2 i ≤ ρ2, hay λ ≤ ρ Vậy chọn λ = ρ Bằng cách làm trên, xây dựng điểm là: x2 = x1 – ρ Pc với ρ 0} Dễ i thấy, γ(u) ≤ u ∞ ≤ u Lúc đó, thay cơng thức (6.46) thuật tốn tỷ lệ affine bước ngắn hai công thức (6.47) (6.48) sau ta có thuật toán tỷ lệ affine bước dài loại loại 2: xk+1 = xk – ρ (X k )2 sk , X k sk (6.47) (X k )2 sk γ(X k sk ) (6.48) ∞ xk+1 = xk – ρ Các thuật tốn bước dài nhìn chung có tốc độ hội tụ nhanh thuật tốn bước ngắn Hơn nữa, với điều kiện hạn chế ρ ∈ (0, 2/3), thuật toán bước dài loại hội tụ điều kiện “tất phương án cực biên BTQHTT không suy biến” không thỏa mãn Cần ý rằng, ba thuật toán điểm đây, hướng cải thiện hướng giảm nhanh hàm mục tiêu, xác định thông qua phép chiếu lên Ker A Trong thuật toán bước ngắn dừng lại điểm nằm ellipsoid xấp xỉ, thuật toán bước dài, để xây dựng điểm xk+1 tiếp biên ellipsoid nằm phần góc tọa độ dương Bài tập chương VI Bài Chứng minh tập hợp sau tập lồi, sau mơ tả bao đóng, miền biên chúng: a S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + x2 = 3, x1 + x2 + x3 ≤ 6}, b S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12+ x22 + x32 ≤ 4, x1 + x2 =1} Bài Cho S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x12 + x22 + x32 ≤ 1, x12 – x2 ≤ 0} y = (1, 0, 2)T Tìm khoảng cách từ y đến S điểm cực tiểu tương ứng x* ∈ S ứng với khoảng cách Viết phương trình siêu phẳng tách Bài Cho S1 S2 tập lồi rời Rn Chứng minh tồn véc tơ p1 p2 khác véc tơ cho p1Tx1 + p2Tx2 ≥ với x1 ∈ S1 x2 ∈ S2 Hãy suy kết tổng quát cho trường hợp nhiều tập lồi rời Bài Tìm điểm cực biên hướng cực biên tập lồi đa diện sau: a S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + x2 + x3 ≤ 10, –x1 + 2x2 = 4, x1, x2, x3 ≥ 0} b S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: x1 + 2x2 ≥ 2, –x1 + x2 = 4, x1, x2 ≥ 0} 183 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com c S = {x = (x1, x2, x3)∈ R3: –x1 + 2x2 ≤ 3, x1 + x2 ≤ 2, x2 ≤ 1, x1, x2 ≥ 0}, sau biểu thị điểm (1, 1/2) thành tổ hợp lồi điểm cực biên hướng cực biên Bài Nếu f: Rn → R hàm khả vi cấp ta gọi xấp xỉ tuyến tính biểu thức f (x) + ∇f (x)T (x − x) Tương tự, f hàm khả vi cấp hai ta gọi xấp xỉ tồn phương (x − x)T H(x)(x − x) Cho f(x) = exp(x12 + x22) – 5x1 + 10x2, tìm biểu thức xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ toàn phương f(x) cho biết chúng hàm lồi hay hàm lõm hay không lồi không lõm, sao? Bài Xét toán tối ưu: f (x) = f (x) + ∇f (x)T (x − x) + Max f(x) = 3x1 – x2 + x32, với ràng buộc x1 + x2 + x3 ≤ – x1 + 2x2 + x32 = Hãy phát biểu điều kiện Kuhn – Tucker cho tốn dựa vào tìm phương án tối ưu Bài Xét tốn tối ưu: Min f(x) = (x1 – 9/4)2 + (x2 – 2)2, với ràng buộc – x12 + x2 ≥ x1 + x2 ≤ x1, x2 ≥ Hãy phát biểu điều kiện Kuhn – Tucker cho toán chứng tỏ điều kiện thỏa mãn x = (3/2, 9/4)T a Minh họa điều kiện Kuhn – Tucker x đồ thị b Chứng tỏ x điểm tối ưu toàn cục Bài Dùng phương pháp Frank – Wolfe giải toán quy hoạch lồi sau: a Min f(x) = –2x1 – 6x2 + x12 + x22, với ràng buộc x1 + 2x2 ≤ x + x2 ≤ x1, x2 ≥ b Min f(x) = (x1 – 5/3)2 + x22 + (x3 –1/3)2, với ràng buộc x1 + x2 – x3 ≤ x1 + x2 ≤ 12 2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ x1, x2, x3 ≥ 184 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bài Hãy tìm hiểu sở lý thuyết phát biểu chi tiết thuật tốn Frank – Wolfe Sau lập chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal C chạy kiểm thử cho tập Bài 10 Xét toán tối ưu a Min f(x) = – 6x1 – 2x2 – 12x3 + x12 + 2x22 + x1x2, với ràng buộc x1 + x2 + x3 = – x1 + 2x2 ≤3 x1, x2, x3 ≥ b Min f(x) = x1 – 2x2 – x12 + x13 + 2x23, với ràng buộc x1 + 2x2 ≤ – x1 + 2x2 ≤ x1 , x2 ≥ Hãy giải toán phương pháp gradient rút gọn phương pháp đơn hình lồi Zangwill Bài 11 Hãy sửa chỉnh phương pháp đơn hình lồi Zangwill để giải trực tiếp toán Min f(x) với điều kiện ràng buộc Ax = b a ≤ x ≤ b Sau áp dụng để giải tốn: Min f(x) = 4x1 – 6x2 + x12 – x1x2 – 3x22 + exp (–x1) với ràng buộc 2x1 + x2 ≤ – x1 + x2 ≤ ≤ x1, x2 ≤ Bài 12 Hãy lập chương trình máy tính cho thuật tốn gradient rút gọn đơn hình lồi Zangwill (có chỉnh sửa), sau chạy kiểm thử cho tập Bài 13 Thực ba bước lặp thuật toán tỷ lệ affine gốc bước ngắn cho BTQHTT sau: Max f(x) = –4x1 + 0x2 + x3 – x4, với ràng buộc –2x1 + 2x2 + x3 – x4 = x1 + x2 + x3 + x4 = x1, x2, x3, x4 ≥ Bài 14 Sử dụng ngôn ngữ Pascal hay C lập trình máy tính thuật tốn affine gốc bước ngắn bước dài, sau chạy kiểm thử BTQHTT giải phương pháp đơn hình 185 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tài liệu tham khảo С А Ашманов, Линейное программирование, Наука, Москва, 1981 M S Bazaraa, C M Shetty, Nonlinear programming: Theory and algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1990 D P Bertsekas, Dynamic programming: Deterministic and stochastic models, Prentice Hall, London, 1987 B E Gillett, Introduction to operations research: A computer–oriented algorithmic approach, McGraw–Hill, New York, 1990 R Horst, Hoàng Tụy, Global optimization: Deterministic approaches, Springer, Berlin, 1993 Hồng Xn Huấn, Giáo trình phương pháp số, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 В Г Карманов, Нелинейное программирование, Наука, Москва, 1986 N Karmarkar, “A new polynomial time algorithm for linear programming”, Combinatorica, Vol 4, 373–395, 1984 Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính, Nxb Giáo dục, 2003 10 C Mohan and Nguyen Hai Thanh, “A controlled random search technique incorporating the simulated annealing concept for solving integer and mixed integer global optimization problems”, Computational Optimization and Applications, Vol 14, 103–132, 1999 11 Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa, Nxb Giáo dục, 2002 12 A Osyczka, Multicriterion Optimization in Engineering with Fortran Programs, Ellis Horwood Limited, New York, 1984 13 H A Taha, Operations research, MacMillan, New York, 1989 14 Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thơng vận tải, 1998 15 Nguyễn Hải Thanh, Lý thuyết định mờ hệ chuyên gia, Bài giảng cho Cao học, ngành Toán – Tin ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa, Hà Nội, 2005 16 Nguyễn Hải Thanh (chủ biên) tác giả khác, Tin học ứng dụng ngành nông nghiệp, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 2005 17 Nguyễn Hải Thanh, Toán ứng dụng, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội, 2005 18 Bùi Minh Trí, Quy hoạch tốn học, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 1999 19 Hoàng Tụy, “Lý thuyết tối ưu phi tuyến”, Tạp chí Vận trù học Nghiên cứu hệ thống, Viện Toán học, Viện khoa học Việt Nam, Số 39, 1–63, 1985 20 Ф П Васильев, Численные методы решения экстремальных задач, Наука, Москва, 1980 186 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tối ưu hóa Giáo trình cho ngành Tin học Công nghệ thông tin Số xác nhận đăng ký KHXB CXB là: 547-2006/CXB/01-68/BKHN, ngày 14/7/2006 Quyết định XB GĐ số: 134/QĐ-NXBBKHN, ngày 11/12/2006 In xong nộp lưu chiểu tháng 12/2006 187 ... MỞ ĐẦU CHƯƠNG I B? ?I TOÁN T? ?I ƯU TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG B? ?I TOÁN T? ?I ƯU TỔNG QUÁT VÀ PHÂN LO? ?I 1.1 B? ?i toán t? ?i ưu tổng quát 1.2 Phân lo? ?i toán t? ?i ưu 7 ỨNG DỤNG B? ?I TOÁN T? ?I ƯU GI? ?I QUYẾT CÁC VẤN... hàm l? ?i CÁC ? ?I? ??U KIỆN T? ?I ƯU FRITZ – JOHN VÀ KUHN – TUCKER 4.1 B? ?i toán t? ?i ưu khơng ràng buộc 4.2 B? ?i tốn t? ?i ưu có ràng buộc 4.3 ? ?i? ??u kiện t? ?i ưu Fritz – John 4.4 ? ?i? ??u kiện t? ?i ưu Kuhn – Tucker... Tốn – Tin ứng dụng, mơn học T? ?i ưu hóa mơn học sở khơng thể thiếu Giáo trình ? ?T? ?i ưu hóa” biên soạn v? ?i mục đích cung cấp cho sinh viên năm thứ hai ngành Tin học Khoa Công nghệ thông tin, Trường