Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Lập trình TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- TRẦN THỊ LỆ CHI NGHIÊN CỨU VỀ EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Quảng Nam, tháng 05 năm 2016 Họ tên tác giả Trần Thị Lệ Chi ii LỜI CẢM ƠN Để được làm khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Quảng Nam, Ban chủ nhiệm khoa Lý – Hóa – Sinh, cùng toàn thể quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp Đại học Sư phạm Vật Lý K12 đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt 4 năm học vừa qua. Và để hoàn thành khóa luận này, tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến TS. VÕ THỊ HOA, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và sửa chữa những sai sót mà tôi mắc phải trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân và bạn bè trong lớp Đại học Sư phạm Vật Lý K12 đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Mặc dù đã đầu tư công sức, cố gắng và cẩn thận, nhưng do điều kiện về thời gian và đây là lần đầu tiên đi sâu nghiên cứu một đề tài khóa luận nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp chân tình của quý thầy cô và các bạn để đề tài khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ 0D (Zero dimension) Không chiều 1D (One dimension) Một chiều 2D (Two dimensions) Hai chiều. 3D (Three dimensions) Ba chiều. GS (Ground state) Trạng thái cơ bản QD (Quantum dots) Chấm lượng tử QW (Quantum well) Giếng lượng tử QWs (Quantum wires) Dây lượng tử CB (Conduction band) Vùng dẫn VB (Valence band) Vùng hoá trị iv DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1.Hình ảnh giếng lượng tử GaAs, ống nanô Cacbon và chấm lượng tử PbSe........................................................................................................................ 6 Hình 1.2. Một gói sóng bên ngoài di chuyển với vận tốc nhóm vg , bên trong di chuyển với vận tốc pha vph. .................................................................................... 9 Hình 1.3. Mật độ trạng thái theo năng lượng trong các hệ lượng tử với số chiều khác nhau:a. Hệ ba chiều (bán dẫn khối); b. Hệ hai chiều (giếng lượng tử);c. Hệ một chiều (dây lượng tử); d. Hệ không chiều (chấm lượng tử). .......................... 22 Hình 2.1. Hình ảnh về chấm lượng tử (Quantum Dot) ........................................ 24 Hình 2.2. Sơ đồ dải năng lượng của chấm lượng tử. ........................................... 26 Hình 2.3. Hiệu ứng thông hầm lượng tử ................................................................ 29 Hình 2.4. Hiệu ứng khóa Coulomb........................................................................ 29 Hình 2.5: Các mức năng lượng của exciton. ........................................................ 35 Hình 2.6: Exciton Mott-Wannier ......................................................................... 36 Hình 2.7: Exciton Prenkel .................................................................................... 36 Hình 3.1. Mô hình exciton loại I trong chấm lượng tử (a) và cấu trúc thế giam nhốt (b). ................................................................................................................ 41 Hình 3.2. Hệ exciton trong chấm lượng tử cầu. ................................................... 41 Hình 3.3. Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a (ߛ =ܽ 0ܽ ). .................................................. 45 Hình 3.4. Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào hằng số điện môi߳ . ........................................................................................................................... 46 v MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................... iii DANH MỤC CÁC HÌNH ..................................................................................... iv MỤC LỤC .............................................................................................................. v A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 5 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU ............................................ 5 1.1. KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU..................................................................... 5 1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU ....................................................... 7 1.2.1. Phương trình Schrodinger ............................................................................ 7 1.2.2. Hạt tự do ....................................................................................................... 8 1.2.3. Hạt chuyển động trong giếng thế ............................................................... 10 1.2.4. Điện tử và mật độ dòng .............................................................................. 11 1.2.5. Toán tử và các phép đo .............................................................................. 13 1.2.6. Các đặc tính toán học của trạng thái riêng ................................................. 14 1.3. MÔ TẢ CÁC HỆ THẤP CHIỀU .................................................................. 16 1.3.1. Hệ ba chiều (vật liệu khối) ......................................................................... 16 1.3.2. Hệ hai chiều (giếng lượng tử) .................................................................... 17 1.3.3. Hệ một chiều (sợi hoặc dây lượng tử) ........................................................ 19 1.3.4. Hệ không chiều (chấm lượng tử) ............................................................... 20 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1..................................................................................... 23 Chương 2. TỔNG QUAN VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ ........................................... 24 2.1. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ ......................................... 24 2.2. CÁC HIỆU ỨNG CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ .............................. 26 2.2.1.Hiệu ứng bề mặt .......................................................................................... 26 2.2.2. Hiệu ứng giam giữ lượng tử ....................................................................... 27 2.2.3. Hiệu ứng thông hầm lượng tử .................................................................... 28 2.2.4. Hiệu ứng khóa Coulomb (Coulomb blockade) .......................................... 29 2.3. CẤU TRÚC ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ ..................... 30 vi 2.3.1. Chế độ giam giữ mạnh ............................................................................... 31 2.3.2. Chế độ giam giữ trung gian ........................................................................ 33 2.3.3. Chế độ giam giữ yếu .................................................................................. 33 2.4. ĐẠI CƯƠNG VỀ EXCITON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ...................... 35 2.4.1.Khái niệm .................................................................................................... 35 2.4.2. Phân loại ..................................................................................................... 36 2.4.3. Tính chất..................................................................................................... 36 2.5. ỨNG DỤNG CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ ..................................................... 37 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2..................................................................................... 40 CHƯƠNG 3. EXCITON LOẠI 1 TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ....................... 41 3.1. MÔ HÌNH EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ .................... 41 3.2. BÀI TOÁN EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ................... 41 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3..................................................................................... 47 C. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 50 1 A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đã và đang bước những bước đầu tiên của thế kỉ XXI – thế kỉ của hội nhập và hợp tác toàn cầu. Trước xu thế toàn cầu hóa, cùng với sự phát triển vũ bão của khoa học kĩ thuật, vấn đề đặt ra cho các quốc gia trên thế giới đó là không ngừng phát triển đất nước, phát triển kĩ thuật để không bị tụt hậu so với thế giới. Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, nhiều ngành khoa học công nghệ đã ra đời, trong đó có ngành công nghệ nano. Tuy mới xuất hiện nhưng ngành công nghệ nano đã có những thành tựu hết sức to lớn trên hầu hết các lĩnh vực: điện tử, y học, công nghiệp, môi trường…và đang có rất nhiều triển vọng. Chính vì những ứng dụng kì diệu như vậy đã thúc đẩy các nhà khoa học nói chung và các nhà vật lý nói riêng tập trung nghiên cứu nhiều về ngành công nghệ này. Đối tượng nghiên cứu của ngành công nghệ nano là các vật liệu có kích thước cỡ nanomet. Thành tựu của khoa học vật lý cuối những năm 80 của thế kỉ 20 được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Vật liệu hệ thấp chiều gần đây đã trở thành một mũi nhọn nghiên cứu trên thế giới, mặc dù ý tưởng về các hệ thấp chiều đã được manh nha ngay từ những năm đầu của thập kỷ 70. Đến những năm 90 của thế kỷ trước, những ứng dụng đầu tiên của nó đã gây chấn động trong giới khoa học và kinh doanh. Những ứng dụng đó đều xuất phát từ những tı́nh chất vật lý thú vị của hệ thấp chiều, trong đó biểu hiện rõ nhất là “hành vi” của điện tử khi cho số chiều hiệu dụng giảm dần. Đó là các bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng,…); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu). Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các hạt tải (điện tử, lỗ trống,…) bị giới hạn mạnh theo một, hai, hoặc cả ba chiều 2 trong không gian mạng tinh thể. Hạt tải điện chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc một chiều (hệ một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều, 0D). Các hệ thấp chiều (hay các hệ có cấu trúc nanô) là các hệ thống có kích cỡ thuộc thang nanô (khoảng từ 1nm đến 100nm) gồm các nguyên tử, phân tử được sắp đặt vị trí sao cho cả hệ thống thực hiện được các chức năng định trước. Việc chuyển từ hệ vật liệu có cấu trúc ba chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất vật lý của vật liệu. Việc nghiên cứu và tạo ra các bán dẫn có cấu trúc thấp chiều, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện nay. Nghiên cứu hệ thấp chiều chính là tìm hiểu bức tranh vùng năng lượng của nó, hay nói cách khác chính là đi tìm hiểu về các giả hạt exciton, biexciton trong các hệ trên. Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp Đại học, chúng tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu về exciton loại I trong chấm lượng tử”. 2. Mục tiêu của đề tài - Khái quát các kiến thức vật lý về chấm lượng tử. - Nghiên cứu về exciton trong chấm lượng tử. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Cơ sở lý thuyết của vật lý hệ thấp chiều. - Exciton loại 1 trong chấm lượng tử. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về hệ thấp chiều. - Tổng quan về chấm lượng tử. - Mô phỏng exciton. 5. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành các nội dung nghiên cứu đã nêu ở trên, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: 5.1. Phương pháp lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu và một số công trình khoa học đã công bố có liên 3 quan đến các nội dung trong đề tài. - Nghiên cứu các tài liệu về: Vật lý chất rắn, cơ học lượng tử…Tham khảo ý kiến của các nhà khoa học giáo dục trên các tạp chí giáo dục và các luận văn có liên quan đến exciton trong chấm lượng tử. - Sưu tầm và dịch các tài liệu nước ngoài liên quan. 5.2. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Tìm hiểu các tài liệu (sách và tạp chí chuyên ngành) trong và ngoài nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài. 5.3. Phương pháp phân tích tổng hợp - Trên cơ sở phương pháp nghiên cứu lý luận phân tích khái quát tổng hợp thành cơ sở lý luận làm công cụ nghiên cứu đề tài. 5.4. Phương pháp tính số. - Phương pháp sử dụng trong việc giải các bài toán của luận án là phương pháp tính số minh họa trên máy tính sử dụng phần mềm Mathematica. 6. Giả thuyết nghiên cứu - Nếu nghiên cứu thành công đề tài này thì chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về hệ bán dẫn thấp chiều, cụ thể là exciton loại 1 trong chấm lượng tử để áp dụng vào ngành khoa học kỹ thuật của nước ta hiện nay. 7. Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm có 3 phần chính: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần mở đầu : chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu và giả thuyết nghiên cứu trong luận văn. Phần nội dung : phần này gồm 3 chương. Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản về cơ sở lí thuyết và mô tả về hệ thấp chiều. Chương 2: Trình bày tổng quan giới thiệu chung về chấm lượng tử, đặc điểm, các hiệu ứng cơ bản, các điện tử cơ bản và ứng dụng của chấm lượng tử. Chương 3: Trình bày khái niệm về exciton, phân loại và tính chất của 4 exciton. Mô hình, năng lượng của exciton loại 1 và một số bài toán về exciton loại 1 trong chấm lượng tử. Phần kết luận : chúng tôi trình bày tóm lược lại những kết quả đạt được, kết luận và đồng thời đưa ra hướng nghiên cứu tiếp theo. Tài liệu tham khảo 5 B. NỘI DUNG Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU 1.1. KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế không gian thành một mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là ta hạn chế chuyển động của các điện tử theo ít nhất là một hướng trong phạm vi khoảng cách cỡ bước sóng de Broglie của nó (cỡ nm). Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của vật rắn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều, các tính chất vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang có thể thay đổi một cách đột ngột. Các tính chất của nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích thước cỡ nanomét của chúng. Sự giảm kích thước xuống cỡ nanomét xảy ra hiệu ứng giam giữ lượng tử mà ở đó các trạng thái điện tử cũng như các trạng thái dao động trong hạt nano bị lượng tử hoá. Các trạng thái bị lượng tử hoá trong cấu trúc nano sẽ quyết định tính chất điện và quang nói riêng, tính chất hoá học nói chung của cấu trúc đó. Trong những thập kỷ qua, bước tiến nổi bật trong việc xây dựng cấu trúc hệ thấp chiều là tạo ra khả năng hạn chế số chiều hiệu dụng của các vật liệu khối. Từ vật liệu khối ba chiều thành vật liệu có cấu trúc hai chiều như giếng lượng tử (quantum well (QW)), người ta tạo một lớp bán dẫn mỏng, phẳng, nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn. Các điện tử bị giam trong lớp mỏng ở giữa (cỡ vài lớp đơn tinh thể) và như vậy, chuyển động của chúng là chuyển động tự do trên mặt phẳng hai chiều, còn sự chuyển động theo chiều thứ ba đã bị lượng tử hóa mạnh. Tiếp tục giảm số chiều như vậy, ta có thể thu được cấu trúc một chiều như dây lượng tử (quantum wires (QWs)) và thậm chí là cấu trúc không chiều như chấm lượng tử (quantum dots (QD)) 4. 6 Hình 1.1.Hình ảnh giếng lượng tử GaAs, ống nanô Cacbon và chấm lượng tử PbSe. Để đặc trưng cho các hệ thấp chiều, người ta đưa ra các thông số như: Bước sóng Fecmi ߣሺ ி ሻ: ߣி= ଶగ ಷ = const (1.1) Trong đó݇ ி : vectơ sóng Fecmi. Hệ thức giữa vectơ sóng Fecmi݇ ி và mật độ điện tử n: ଶ ሺଶగሻ య ସ ଷ ݇ߨ ி ଷ khi d = 3, n = ଶ ሺଶగሻ మ ݇ߨ ி ଶ khi d = 2, (1.2) ଶ ݇ଶగ ி khi d = 1, Với d là số chiều khả dĩ của hệ, hệ số 2 chính là số trạng khả dĩ của spin. Quãng đường tự do trung bình (݈ ): Quãng đường tự do trung bình là khoảng cách trung bình mà điện tử dịch chuyển trước khi trạng thái ban đầu bị thay đổi. Khi ở nhiệt độ thấp, các điện tử có vectơ sóng gần với vectơ sóng Fecmi, do đó quãng đường tự do trung bình sẽ là:݈ = ߥி ܶ. (1.3) trong đó: ߥி = ಷ là vận tốc Fecmi ܶ là thời gian hồi chuyển năng lượng. Độ dài kết hợp pha (݈ ఝ ሻ : Thời gian kết hợp pha (ܶ ఝ ሻlà thời gian điện tử còn lưu ký ức về pha. 7 + Khiܶ ఝ ≫T m : thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động thấp hay các đa tinh thể, độ dài kết hợp pha được xác định bởi công thức: ݈ ఝ ଶ = D.ܶ ఝ (1.4) với D là hệ số khuyếch tán. + Khiܶ ఝ T m : thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động cao. Độ dài kết hợp pha (݈ ఝ) được xác định bởi công thức sau: ݈ ఝ = ߥி ܶ. ఝ (1.5) Một hệ có kích thước nhỏ hơn một hoặc cả ba độ dài đặc trưng này được gọi là hệ thấp chiều (mesoscopic). Tỷ đối giữa ߣ ி,݈ ,݈ ఝ là phụ thuộc vào loại vật liệu, các kích thước này cỡ nanomet (ở giữa kích thước microcopic và marcoscopic). Năng lượng đặc trưng của hệ tính theo đơn vị mili-electron Volt (meV), thời gian đặc trưng tính theo đơn vị picro-giây (ps). 1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU 1.2.1. Phương trình Schrodinger Xét chuyển động của hạt, ví dụ như electron, chuyển động trong một chiều đơn giản. Theo định luật Newton ta có phương trình sóng chi phối sự tiến triển của ψ(x,t). Trong một chiều, phương trình sóng có dạng: െ మ ଶ డ మ డ௫ మ ψሺx, tሻ Vሺxሻ. ψሺx, tሻ ൌ i. డ డ௧ ψሺx, tሻ (1.6) Đó là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian. Phương trình này mô tả một hạt chuyển động trong một khu vực có năng lượng tiềm tàng V(x) khác nhau. Năng lượng tiềm tàng có thể phát sinh từ một điện trường được thể hiện như một thế vô hướng, nhưng với từ trường phức tạp hơn. Đơn giản hóa phương trình ψ(x,t), tách phương trình thành hai phần, phụ thuộc độc lập vào x và t. Suy ra phương trình: ψ(x,t) = ψ(x).T(t). Sử dụng ψ độc lập với thời gian. Thay các giá trị vào (1.6) và chia cho ψ(x).T(t) ta được: ଵ ሺ୲ሻ iୢ ሺ୲ሻୢ ୲ ൌ ଵ ψሺ୶ሻ ቂെ ଶ୫ୢ మψ ሺ୶ሻୢ ୶ మ Vሺxሻ ψሺxሻቃ (1.7) Vế trái của phương trình (1.7) là hàm theo t, vế phải là hàm theo x. Hai vế bằng nhau và bằng E với E liên tục. Vế trái của phương trình (1.7) là: 8 ଵ ሺ୲ሻi ୢ ሺ୲ሻୢ ୲ = E ⇔ୢ ሺ୲ሻ ሺ୲ሻ ൌ ି ୧ dt ⇔lnT(t) = ି ୧୲ ⇔T(t) = exp(െ ா௧ ) = exp(-i߱ሻݐ (1.8) với E = ߱ . Đây là phương trình biến thiên điều hòa theo thời gian. Chúng ta không thể lựa chọn theo hàm mũ phức tạp. Nó không thể thay thế bởi sin hoặc cosin, cũng không thể chấp nhận là exp(i߱ݐ ). Dạng của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là exp(-i߱ሻݐ và được quy ước trong cơ học lượng tử. Nó độc lập với các phạm vi khác của vật lý, nơi mà exp(+i߱ ሻݐ có thể sử dụng trong các dao động phụ thuộc thời gian hoặc kỹ thuật, nơi mà exp(+i߱ ሻݐ là bình thường. Sự lựa chọn này có ảnh hưởng sâu rộng. Vế phải của phương trình (1.7) là: ଵ நሺ୶ሻ ቂെ మ ଶ୫ୢ మ நሺ୶ሻୢ ୶ మ Vሺxሻ ψሺxሻቃ = E ⇔െ మ ଶ୫ୢ మψ ሺ୶ሻୢ ୶ మ Vሺxሻ. ψሺxሻ ൌ E. ψሺxሻ (1.9) Đây là phương trình Schrodinger độc lập thời gian trong một chiều. Phương trình có dạng trong ba chiều với ப మ ப୶మ thay thế bởi 2 = ப మ ப୶మ + ப మ ப୷మ + ப మ ப మ . (1.10) Do đó, nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian có dạng: ψ(x,t) = ψ(x) exp(െ ா௧ ሻ (1.11) Vậy, nghiệm của phương trinh Schrodinger độc lập thời gian mô tả trạng thái của hạt với năng lượng xác định, liên tục. 1.2.2. Hạt tự do Xét một hạt tự do trong không gian V(x) = 0 với mọi x. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là: െ మ ଶ୫ ப మ நሺ୶ሻ ப୶మ = E ψ(x) (1.12) 9 Đây là phương trình sóng tiêu chuẩn đơn giản và chúng ta có thể đoán được phương pháp giải. Lựa chọn hàm sóng phẳng ψ(x) = exp(- ikx) thay vào (1.12) ta được: െ మ ଶ୫ ப మ ப୶మexp(-ikx) = E.exp(-ikx) ⇔െ మ ଶ୫ i 2k 2exp(-ikx) = E.exp(-ikx) ⇔ E = మ ୩ మ ଶ୫ = ε(k) (1.13) E 0 nếu k là một số thực. E < 0 nếu k → ik là một số ảo. Theo cơ học cổ điển động năng là: E = ୮ మ ଶ୫ . Vì vậy, xung lượng p = k. Kết hợp điều này với các mối quan hệ giữa năng lượng và tần số mang lại hai mối quan hệ trung tâm của lý thuyết cũ: E = ߱ = ν (Einstein) (1.14) Và p = k = ୦ (De Broglie) (1.15) Chia năng lượng bởi h cung cấp cho các mối quan hệ phân tán giữa tần số và số sóng là ω = ଶ୫k2 , điều này là phi tuyến tính, có nghĩa rằng vận tốc của sóng hạt là một hàm của tần số và phải được xác định kỹ lưỡng. Hai định nghĩa tiêu chuẩn là: Vận tốc pha: vph = ன ୩ = ୩ ଶ୫ (1.16) Vận tốc nhóm: vg = ୢ னୢ ୩ = ୩ ୫ = ୮ ୫ = vcl (1.17) Với vcl là vận tốc cổ điển. Hình 1.2. Một gói sóng bên ngoài di chuyển với vận tốc nhóm vg , bên trong di chuyển với vận tốc pha v ph. Hình 1.2 cho thấy tầm quan trọng của hai vận tốc. Các sóng bên trong di chuyển dọc theo với vận tốc pha vph trong khi các vận tốc nhóm vg di chuyển bao quanh. 10 Nếu sóng này đại diện cho một hạt như electron chúng ta thường quan tâm đến hành vi của hàm sóng như một toàn bộ chứ không phải chuyển động nội bộ của chúng. Vận tốc nhóm là kết quả thích hợp và gần giống với kết quả của vận tốc cổ điển. Ngay cả khi nếu chúng ta sử dụng sóng để đại diện cho một electron, nó vẫn lan truyền trong không gian chứ không cô lập giới hạn như trong cơ học cổ điển. Điều này không thể tránh khỏi trong hình ảnh dựa trên sóng, nghĩa là không thể cung cấp vị trí các hạt một cách chính xác. 1.2.3. Hạt chuyển động trong giếng thế Xét hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn một chiều. Thế năng của hệ là: V(x) =ቄ 0, 0 ݔܽ ∞, ݔ൏ 0 ݒàܽ ݔ (1.18) Phương trình Schrodinger dừng một chiều: ப మ நሺ୶ሻ ப୶మ + ଶ୫ మ E ψ(x) = 0 (1.19) Đặt k2 = ଶ୫ మ (1.20) Phương trình (1.19) trở thành: ψ''''''''(x) + k 2 ψ(x) = 0 (1.21) Nghiệm tổng quát ψ(x) có dạng: ψ(x) = C1 cos kx + C2 sin kx (1.22) Điều kiện biên: ൜ ψሺ0ሻ ൌ 0 ψሺaሻ ൌ 0 (1.23) ⇒൜ ܥଵ ൌ 0 ܥଶ sin ܽ݇ൌ 0 (1.24) Để nghiệm không tầm thường, ψ(x) ് 0→ C 2് 0 ⇒sin ka = 0 ⇒ k = ୬ ୟ (1.25) ⇒ψ(x) = C 2 sin kx Chuẩn hóa hàm sóng ψ(x) = C2 sin kx, ta được: ψ(x) = ට ଶ ୟ sin kx 11 Từ (1.20) và (1.25), suy ra năng lượng của hạt: E = మ మ ଶ୫ୟమ n2 (1.26) Với n = 1,2,3,…; m là khối lượng của hạt; a là độ rộng của giếng thế. 1.2.4. Điện tử và mật độ dòng Phương trình Schrodinger mang hàm sóng ψ(x,t) . Xác định vị trí của hạt, ta có phương trình modulus của hàm sóng: ψሺx, tሻ 2 mật độ xác suất tìm thấy hạt tại x (1.27) Nếu hạt có điện tích q thì mật độ điện tử của hạt là: qψሺx, tሻ 2 (1.28) Hay điện tử trong khu vực dx xung quanh x là: qψሺx, tሻ 2 dx (1.29) Nếu điện tích được giới hạn trong một số thể tích, với tổng số điện tích là q thì ta có phương trình mật độ điện tích của hạt là: qψሺx, tሻ 2 =ρሺxሻ (1.30) Với ρሺxሻ là mật độ điện tích. Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.30) theo dx ta được: ρሺxሻdx = q ψሺx, tሻ 2 dx = q (1.31) Loại bỏ các điện tích q từ phương trình trên ta được: ψሺx, tሻ 2 dx=1 (1.32) Đây là điều kiện tiêu chuẩn để chuẩn hóa hàm sóng. Không phải tất cả các hàm sóng đều được chuẩn hóa theo cách này. Ví dụ đối với các điện tử tự do, tích phân trên mọi không gian sẽ phân kỳ. Trong trường hợp này, người ta chỉ nói đến xác suất tương đối. Trong thực tế, chúng ta có thể bắt đầu với các điện tử trong một không gian hữu hạn và cho phép không gian đi đến vô cực ở cuối của phép tính. Chuẩn hóa cho kích thước vật lý của hàm sóng. Hàm sóng ϕn (x) = Ansinሺ ୬୶ ୟ ሻ và điều kiện chuẩn hóa là: A ୬ ୟ 2 sin2 ୬୶ ୟ dx = 1 ⇔ ଵ ଶ A ୬ ୟ 2 ቀ1 െ cos ଶ୬୶ ୟ ቁ dx = 1 ⇔ ଵ ଶ A ୬ 2x ୟ = 1 12 ⇔An = ට ଶ ୟ (1.33) Do đó, hàm sóng chuẩn hóa, nếu A n có giá trị thực thì: ϕn (x) = ට ଶ ୟ sinሺ ୬୶ ୟ ሻ (1.34) Chuẩn hóa cho kích thước hàm sóng (chiều dài)-12 trong một chiều. Điều này là hữu ích để kiểm tra. Một hàm sóng phẳng như ϕk (x) = Ae ikx trong một thể tích vô hạn có thể được chuẩn hóa theo cách khác. Mật độ ϕ୩ ሺxሻ 2 = A2 , có thể được thiết lập mật độ của các hạt. Bây giờ chúng ta có một mật độ điện tích, cần có mật độ dòng J (hay chỉ là dòng một chiều) liên kết với nó. Phương trình liên tục với mật độ dòng một chiều là: ப ப୶+ ப ப୶= 0 (1.35) Trong không gian ba chiều ப ப୶ trở thành divJ. Để xây dựng mật độ dòng điện, bắt đầu với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: െ మ ଶ୫ ப మ ப୶మ ψሺx, tሻ Vሺx, tሻ. ψሺx, tሻ ൌ i. ப ப୲ ψሺx, tሻ (1.36) Nhân về bên trái cả hai vế của phương trình (1.36) với liên hợp phức của hàm sóng ψ , ta được: െ మ ଶ୫ ψ ∗ ப మ ப୶మ ψ ψ∗ V. ψ ൌ iψ ∗ . ப ப୲ ψ (1.37) Có được một phương trình thứ hai sẽ trở lại phương trình Schrodinger, lấy liên hợp phức của nó rồi nhân về bên trái cả hai vế với ψ, ta được: െ మ ଶ୫ ψ ப మ ப୶మ ψ ∗ ψV ∗ . ψ∗ ൌ െiψ. ப ப୲ ψ ∗ (1.38) Lấy phương trình (1.37) trừ phương trình (1.38) ta được: െ మ ଶ୫ ሺψ ∗ ப మ ப୶మ ψ െ ψ ப మ ப୶మ ψ ∗ ሻ ൌ i. ப ப୲ ψ2 (1.39) Ta có: ப ப୶ (ψ ப ப୶ ψ) =( பந∗ ப୶ ) ሺ பந ப୶ ሻ + ψ ப మ ப୶ మ ψ (1.40) ப ப୶ (ψ ப ப୶ ψ ) =( பந∗ ப୶ ) ሺ பந ப୶ ሻ + ψ ப మ ப୶మψ (1.41) 13 Thay (1.40) và (1.41) vào (1.39), ta được: െ మ ଶ୫ ப ப୶ ሺψ ∗ ப ப୶ ψ െ ψ ப ப୶ ψ ∗ ሻ ൌ i. ப ப୲ ψ2 (1.42) Cuối cùng di chuyển các yếu tố của i bên trái và nhân với q lần lượt mật độ xác suất vào mật độ điện tử cho: - ப ப୶ ቂ ୯ ଶ୧୫ ሺψ∗ ப ப୶ ψ െ ψ ப ப୶ ψ ∗ ሻቃ= ப ப୲(qψሺx, tሻ2 ) = ப ப୲ (1.43) So sánh điều này với phương trình liên tục (1.35) cho thấy mật độ dòng điện được cho bởi: J(x,t) = ୯ ଶ୧୫ ሺψ ∗ ப ப୶ ψ െ ψ ப ப୶ ψ ∗ ሻ (1.44) 1.2.5. Toán tử và các phép đo Theo tiên đề về hàm sóng của cơ học lượng tử: “Trạng thái của một hạt (hoặc một hệ hạt) ở tại một thời điểm t được biểu diễn bởi một hàm sóng ψ(ݎԦ ,t)”. Trong không gian một chiều, vị trí, xung lượng và năng lượng toàn phần có thể được biểu diễn bằng các toán tử trên ψ(x,t): x → xො = x (1.45) p → pො = - i ப ப୲ (1.46) E → E = i ப ப୲ (1.47) Một tính năng quan trọng là xung lượng ̂ xuất hiện như một đạo hàm không gian. Những toán tử phức tạp hơn có thể được xây dựng từ các thành phần này. Ví dụ, hàm Hamiltonian H = ୮ మ ଶ୫ + V(x) cho năng lượng toàn phần của hạt cổ điển, năng lượng đã từng được nghiên cứu. Nó trở thành một toán tử Hamiltonian ܪ trong cơ học lượng tử được cho bởi: H = H(xො, pො) = - మ ଶ୫ ப మ ப୶ మ + V(x) (1.48) Đặt thành phương trình tác dụng của toán tử này với toán tử năng lượng cho Hψ = Eψ, hay: ቂെ మ ଶ୫ ப మ ப୶మ Vሺxሻቃψ(x,t) = i ப ப୲ ψ(x,t) (1.49) Chúng ta trở lại phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian (1.6). 14 Vậy, phương trình Schrodinger được viết ngắn gọn H ψ = Eψ, với E là một số, không phải toán tử. Tương tự như phương trình ma trận có một giá trị riêng: có một toán tử tác dụng lên một hàm sóng trên một mặt và nhân với một hằng số khác. Những ý tưởng để xây dựng vecto riêng và giá trị riêng cho các toán tử khác nhau như đối với ma trận, và cách sử dụng các thuật ngữ tương tự. Với ψ được gọi là hàm riêng hay trạng thái riêng và E là giá trị riêng tương ứng của H . Mật độ dòng điện có thể được viết lại dưới dạng toán tử xung lượng, cho J(x,t) = ୯ ଶ ቂψ ∗ ቀ ୮ ෝ ୫ ψቁ ቀ ୮ ෝ ୫ ψቁ ∗ ψቃ (1.50) Điều này cho thấy dòng điện có liên quan đến vận tốc ୮ ୫ . Tác dụng của toán tử xung lượng lên hàm sóng phẳng ψ(x) = Aexp(ikx), ta được: pොψ = (- i ୢୢ ୶ ) (Ae ikx ) = kAe ikx = (k)ψ (1.51) Phương trình trên trở thành phương trình giá trị riêng. Nghĩa là xung lượng có giá trị xác định p = k, tương tự kết quả được suy ra từ cơ học cổ điển. Cần thêm một tiên đề của cơ học lượng tử là trạng thái mà các giá trị duy nhất có thể quan sát của đại lượng vật lý là những giá trị riêng của toán tử tương ứng của nó. Nếu hàm sóng là một hàm riêng của toán tử này, như một sóng phẳng và động lượng có thể có một giá trị xác định. Nói chung đây không phải là một trường hợp. Xét tác dụng của toán tử xung lượng lên một hạt trong một không gian hữu hạn: pොɸ୬(x) = - i ୢୢ ୶ A nsin ୬୶ ୟ = ି ୧୬ ୟ cos ୬୶ ୟ (1.52) Các hàm sóng này không phải là hàm riêng của ̂ , do đó không có giá trị xung lượng nhất định. Các phép đo của xung lượng sẽ mạng lại một loạt các giá trị mà chúng ta có thể mô tả về một giá trị trung bình (không có ở đây) và phổ biến. Lấy một đạo hàm khác ta thấy rằng ɸ(x) là hàm riêng của pො ଶ . Do đó, nó có một giá trị xác định năng lượng động lực, có toán tử T= ୮ෝ మ ଶ୫. 1.2.6. Các đặc tính toán học của trạng thái riêng Các hàm sóng trong các giếng thế vô hạn cũng có thể được chuẩn hóa. Giả 15 sử giếng thế hữu hạn, chúng ta có thể bỏ qua những vấn đề đặt ra bởi sóng phẳng và các sóng tương tự. Trạng thái riêng (hàm sóng) của Hamiltonian là ɸ (x) tương ứng giá trị riêng (năng lượng) và chuẫn hóa mỗi trạng thái như sau: ɸ୬ ሺxሻ 2 dx = 1 (1.53) Trong đó, hạt di chuyển trong không gian 0 < x < a. Trạng thái riêng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao, nghĩa là: ɸ ୫ ∗ ሺxሻɸ୬ ሺxሻdx = 0 nếu εm് ε n (1.54) Các trạng thái khác nhau với một giá trị riêng được cho là suy biến. Trong trường hợp này có thể lựa chọn trạng thái riêng để chúng là trực giao khi m ് n dù εm= εn ɸ ୫ ∗ ሺxሻɸ୬ ሺxሻdx = δm,n (1.55) Delta Kronecker được định nghĩa δm,n = 1 nếu m = n và δm,n = 0 nếu m ് n. Giả sử ɸ trực giao, giống như trạng thái giếng lượng tử (1.29). Nó có thể biểu diễn các trạng thái riêng thành một tập hợp hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là: ψ(x) = ∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻ (1.56) Với a n là hệ số chuẩn hóa hàm sóng. Nhân cả hai vế phương trình (1.56) với ɸ ୫ ∗ ሺxሻ sau đó lấy tích phân, ta được: ɸ ୫ ∗ ሺxሻψ(x)dx = ɸ ୫ ∗ ሺxሻ ∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻdx ɸ ⇔ ୫ ∗ ሺxሻψ(x)dx = ∑ a ஶ ୬ୀଵ n ɸ ୫ ∗ ሺxሻ ɸ୬ ሺxሻdx (1.57) Từ điều kiện chuẩn hóa (1.55) tất cả các điều kiện đều bằng 0, trừ trường hợp m = n, ta được: a m =ɸ ୫ ∗ ሺxሻψ(x)dx (1.58) Thay thế hệ số từ phương trình (1.58) vào (1.56), ta được: ∑ ɸ୬ ሺxሻɸ ୬ ∗ ሺx′ሻ ஶ ୬ୀଵ = δ(x – x’) (1.59) Việc tìm hàm sóng ψ(x, t) bao giờ cũng được suy ra từ trạng thái ban đầu ψ(x, t=0). Với ψ(x, t=0) dựa vào trạng thái riêng của phương trình Schrodinger độc lập thời gian ɸ ሺxሻ : 16 ψ(x, t=0) =∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻ (1.60) Chúng ta biết rằng mỗi trạng thái riêng là ɸ ሺxሻexp(- ୧க ୲ ) và do đó, trạng thái ψ(x, t) là: ψ(x, t) =∑ a ஶ ୬ୀଵ nɸ୬ ሺxሻ exp(- ୧க ୲ ) (1.61) Với εn là năng lượng riêng tương ứng. 1.3. MÔ TẢ CÁC HỆ THẤP CHIỀU 1.3.1. Hệ ba chiều (vật liệu khối) Xét một vật rắn ba chiều có kích thước Lx , L y , L z chứa N electron tự do. “Tự do” ở đây được hiểu là các electron này không định xứ, nghĩa là không liên kết với một nguyên tử riêng biệt. Ta giả thuyết, trong gần đúng bậc một, tương tác giữa các electron, cũng như tương tác giữa electron với trường thế tinh thể có thể bỏ qua. Hệ hạt electron như vậy được gọi là “khí electron tự do”. Trong mô hình này, chuyển động của các electron được mô tả bằng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng có bước sóng ߣ rất nhỏ hơn kích thước của vật rắn. Phép tính trạng thái năng lượng đối với tinh thể khối dựa trên giả thuyết về điều kiện biên tuần hoàn. (Điều kiện biên tuần hoàn là một thủ thuật toán học để mô tả vật rắn vô hạn (L → ∞ )). Theo giả thuyết này, các điều kiện tại các mặt biên đối diện nhau của vật rắn là hoàn toàn giống nhau. Như vậy, các electron ở gần mặt biên sẽ không “cảm nhận” thấy mặt biên. Nói cách khác, các electron ở gần mặt biên sẽ không chịu ảnh hưởng của mặt này, do đó, các electron ở trên mặt biên sẽ thể hiện tính chất giống hệt như khi chúng ở trong lòng khối vật rắn, nghĩa là hàm sóng của electron phải thỏa mãn điều kiện 6: ψ(x, y,z) = ψ(x +Lx , y, z) ψ(x, y, z) = ψ(x, y + Ly , z) (1.62) ψ(x, y,z) = ψ(x , y, z + L z ) Nghiệm của phương trình Schrodinger với điều kiện biên như thế sẽ là tích của ba hàm sóng độc lập: ψ(x, y,z) = ψ(x) ψ(y) ψ(z) = A.exp(ik x x). exp(ik y y). exp(ikzz) (1.63) Mỗi hàm sóng mô tả một electron tự do chuyển động dọc theo một trục 17 tọa độ Decac, với các thành phần của vecto sóng kx,y,z = േn∆k = േn2πL x,y,z trong đó n là số nguyên. Các nghiệm này là các sóng truyền theo hướng dương và hướng âm, tương ứng kx,y,z > 0 và kx,y,z < 0. Như vậy, mỗi trạng thái electron với các vecto sóng (k x, ky , kz )có thể được biểu diễn bằng một điểm trong không gian đảo k; các điểm này cũng được phân bố một cách tuần hoàn trong không gian k. Một hệ quả quan trọng của điều kiện biên tuần hoàn là tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k đều được phân bố (electron) như nhau, nghĩa là mỗi trạng thái (k x , ky , kz ) = (േnx∆k, േny∆k, േnz∆k) với nx,y,z là các số nguyên, đều có thể bị chiếm bởi hai electron (ms = േ ଵ ଶ ). Ở nhiệt độ 0K, tất cả các trạng thái có năng lượng E EF (EF là mức Ferme) đều bị chiếm, trong khi đó, tất cả các trạng thái có năng lượng E > EF đều trống. Trong không gian݇ ሬԦ, mặt Fermi là mặt cầu bán kính kF . Vì vecto sóng của hai trạng thái liền kề khác nhau một lượng ∆k = 2π Lx,y,z nên trong vật rắn khối có kích thước Lx,y,z lớn, ∆ k rất nhỏ. Khi đó, các trạng thái bên trong mặt cầu được phân bố gần như liên tục, như vậy, số các trạng thái bên trong mặt cầu sẽ tỉ lệ với k3 . Mặt khác, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào k theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục. Đối với khí electron tự do trong vật rắn ba chiều, mật độ trạng thái tỷ lệ với căn bậc hai của năng lượng: g3d (E) ~√E (1.64) 1.3.2. Hệ hai chiều (giếng lượng tử) Ta khảo sát một vật rắn có kích thước rất lớn theo các phương x và y, nhưng kích thước (chiều dày) của nó theo phương z (Lz ) chỉ vào cỡ vài nanomet. Như vậy, các electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng x-y, nhưng chuyển động của chúng theo phương z sẽ bị giới hạn. Hệ như thế tạo thành hệ electron hai chiều. Khi kích thước của vật rắn theo phương z giảm xuống vào vỡ nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với bước sóng De Broglie của hạt tải điện), thì hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế V(z), với V(z) = 0 bên trong giếng và 18 V(z) = ∞ tại các mặt biên z = േ ଶ . Vì không một electron nào có thể ra khỏi vật rắn theo phương z, nên có thể nói electron bị giam trong giếng thế. Nghiệm của phương trình Schrodinger đối với electron trong giếng thế V(z) là các sóng dừng bị giam trong giếng thế. Như vậy, năng lượng ứng với hai hàm sóng riêng biệt, nói chung, là khác nhau và không liên tuc. Điều đó có nghĩa là năng lượng của hạt không thể nhận năng lượng tùy ý, mà chỉ nhận các giá trị gián đoạn. Năng lượng của hạt là: E nz = మ ୩ మ ଶ୫ = ୦మ ୩ మ଼ మ ୫ (1.65) Nếu thay kz = nz ∆kz với ∆kz = , ta được: Enz = ୦మ ୬ మ଼ ୫ మ (1.66) với nz = 1, 2, 3, … Như đã nêu ở trên, các electron vẫn có thể chuyển động tự do dọc theo các phương x và y, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào kx , ky theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục. Trong khi đó, chuyển động của các electron theo phương z bị giới hạn, các electron bị giam giữ trong “hộp”. Chỉ có một số nhất định các trạng thái lượng tử hóa theo phương z (nz = 1, 2,…) là được phép. Như vậy, trong không gian k ba chiều, phân bố các trạng thái được mô tả như một dãy các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa các trục kx và ky , khoảng cách gilữa hai mặt phẳng là ∆kz . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ứng với hai giá trị kz liên tiếp là rất lớn (vì Lz rất nhỏ nên ∆kz = ≫ 0). Vì trong không gian k số trạng thái trong một mặt phẳng tỉ lệ với diện tích của mặt phẳng, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk bằng số trạng thái của một hình vành khăn có bán kính k và chiều rộng dk sẽ tỉ lệ với k.dk: g2d(k)dk ~ kdk (1.67) với g2d (k) là mật độ trạng thái trong không gian k. Từ (1.67) suy ra: g2d(k) ~ k (1.68) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E 19 và E + dE. g2d(E)dE = g2d(k)dk = k ୢ ୩ୢ dE (1.69) g2d(E) = k ୢ ୩ୢ (1.70) Vì E(k) ~ k2 nên k ~ E 12 và ୢ ୩ୢ ~ E 12 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng có dạng: g2d(E) = k ୢ ୩ୢ ~ E 12 .E-12~ 1 (1.71) Như vậy, mật độ trạng thái trong vật rắn hai chiều rất khác nhau với trường hợp ba chiều, trong vật rắn hai chiều mật độ trạng thái đối với một trạng thái kz cho trước không phụ thuộc vào năng lượng và có dạng hàm bậc thang. 1.3.3. Hệ một chiều (sợi hoặc dây lượng tử) Xét trường hợp kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại còn vài nanomet. Khi đó, electron chỉ chuyển động tự do theo phương x, còn chuyển động của chúng theo phương y và z bị giới hạn bởi các mặt biên của vật. Một hệ như thế gọi là dây lượng tử hay hệ electron một chiều (nếu hạt tải điện là electron). Trong hệ này, các hạt tải điện có thể chuyển động chỉ theo một chiều và chiếm các trạng thái lượng tử hóa ở hai chiều còn lại. Trong hệ này, phân bố các trạng thái cũng như phân bố các mức năng lượng tương ứng, theo phương song song với trục kx và liên tục (∆kx→ 0). Trong khi đó, chuyển động của các electron dọc theo phương còn lại (phương y và z) bị giới hạn và các trạng thái của chúng có thể tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger sử dụng mô hình “hạt trong hộp thế”. Kết quả là các trạng thái ky, k z bị lượng tử hóa, nhận các giá trị gián đoạn. Có thể hình dung tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k được phân bố trên các đường thẳng song song với trục kx . Các đường thẳng này cách nhau những khoảng gián đoạn tỷ lệ với ∆ky và ∆kz. Vì trên mỗi đường thẳng phân bố các trạng thái kx là liên tục, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk sẽ tỉ lệ với chiều dài dk trên đường thẳng: g1d (k)dk ~ dk (1.72) với g1d(k) là mật độ trạng thái trong không gian k . Từ (1.72) suy ra: 20 g1d (k) ~ 1 (1.73) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E và E + dE: g1d (E)dE = g1d (k)dk ~ୢ ୩ୢ dE (1.74) g1d (E) ~ୢ ୩ୢ (1.75) Vì E(k) ~ k2 nên k ~ E 12 và ୢ ୩ୢ ~ E -12 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng g1d (E) có dạng: g1d (E) ~ୢ ୩ୢ ~ E -12 (1.76) Từ biểu thức (1.76), ta nhận thấy rằng mật độ trạng thái trong một đường thẳng dọc theo trục kx phụ thuộc vào năng lượng theo hàm E -12 . 1.3.4. Hệ không chiều (chấm lượng tử) Giả sử ta có chấm lượng tử có kích thước Lx , L y , L z . Hàm sóng của hạt ψ(x, y,z) là nghiệm của phương trình Schrodinger 1. - మ ଶ୫ ∆ψ(x, y,z) + V(x, y, z) ψ(x, y,z) = E ψ(x, y,z) (1.77) Hàm sóng ψ(x, y,z) được phân ly thành: ψ(x, y,z) =ܺ ೣ (x).ܻ (y).ܼ (z) Có nghĩa là phương trình (1.77) phụ thuộc độc lập vào từng biến x, y, z và có nghiệm: ψ(x, y,z) = ට ଶ ౮ . sin ୬ ౮ ୶ ౮ ൨.ቈට ଶ ౯ . sin ୬౯ ୷ ౯ .ට ଶ . sin ୬ ൨ (1.78) Với ݊ ௫ ൌ 1, 2, 3, …݊ ௬ ൌ 1, 2, 3, …݊ ௭ ൌ 1, 2, 3, … m: khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn theo phương x, y, z. Khi các hạt tải điện và các trạng thái kích thích bị giam giữ trong cả ba chiều thì hệ này được gọi là một “chấm lượng tử ”. Trong một chấm lượng tử, chuyển động của các electron bị giới hạn trong cả ba chiều, vì thế trong không gian k chỉ tồn tại các trạng thái gián đoạn (k x, ky, kz ). Mỗi một trạng thái trong không gian k có thể được biểu diễn bằng một điểm. Như vậy, chỉ có các mức 21 năng lượng gián đoạn là được cho phép. Các mức năng lượng này có thể được biểu diễn như ở đỉnh ߜ (delta) trong hàm phân bố một chiều đối với mật độ trạng thái g0d (E) 6. Như chúng ta đã thấy, các vùng năng lượng hội tụ về các mức năng lượng giống như trong nguyên tử. Sự biến đổi này đặc biệt lớn tại các bờ vùng năng lượng, do đó ảnh hưởng đến các chất bán dẫn nhiều hơn đến các kim loại. Trong các chất bán dẫn, các tính chất electron trên thực tế liên quan mật thiết với các chuyển dời giữa bờ vùng hóa trị với bờ vùng dẫn điện. Ngoài tính chất gián đoạn của các mức năng lượng, còn cần phải nhấn mạnh đến sự tồn tại của mức nă ng lượng điểm không (zero – point energy). Trong chấm lượng tử, ngay cả trong trạng thái cơ bản, các electron cũng có năng lượng lớn hơn năng lượng của các electron tại bờ vùng dẫn trong vật liệu khối. Khi một electron từ vùng hóa trị bị kích thích lên vùng dẫn, thì tập hợp các electron trong vùng hóa trị với một trạng thái electron bị trống được coi tương đương với một hạt tải điện dương gọi là lỗ trống. Khoảng cách giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được gọi là vùng cấm. Trong chấm lượng tử, các hạt tải điện bị giam giữ trong cả ba chiều và hệ này có thể được mô tả như một biến thế ba chiều vô hạn, thế năng bằng 0 tại mọi nơi bên trong giếng thế, nhưng bằng vô cùng tại các thành của giếng. Chúng ta gọi giếng thế này là “hộp thế”. Dạng đơn giản nhất của hộp thế ba chiều có thể là một hình cầu hay một hình lập phương. Nếu hộp thế có dạng hình lập phương cạnh L, thì phương trình Schrodinger đối với một trong ba bậc tự do tịnh tiến có thể giải một cách độc lập với nhau và khi đó năng lượng điểm không toàn phần sẽ đơn giản bằng tổng năng lượng điểm không ứng với từng bậc tự do 6: Ew,3d(c) = 3Ew,1d = ଷ୦ మ଼ ୫ మ (1.79) Nếu hộp thế có dạng hình cầu đường kính L, thì phương trình Schrodinger có thể giải bằng cách sử dụng tọa độ cầu và tách phương trình thành hai phần, đó là phần xuyên tâm và phần chứa xung lượng. Khi đó, mức năng lượng thấp nhất (ứng với xung lượng bằng 0) bằng 6: Ew,3d(s) = ୦ మ ଶ୫మ (1.80) 22 Một cặp điện tử - lỗ trống liên kết (exciton) có thể được tạo ra trong lượng tử bằng quá trình kích thích quang học hoặc quá trình tiêm hạt tải điện. Năng lượng tối thiểu E g cần thiết để tạo ra một cặp electron – lỗ trống trong một chấm lượng tử hình thành từ một số đóng góp. Đóng góp thứ nhất là năng lượng cần thiết để vượt qua vùng cấm của vật liệu khối Eg (b). Đóng góp quan trọng khác là năng lượng giam giữ các hạt tải điện (electron và lỗ trống): Ew = Ew (e- ) + E w (h+ ) Năng lượng giam giữ toàn phần đối với một exciton trong một chấm lượng tử hình cầu – năng lượng thấp nhất hay là năng lượng điểm không trong giếng thế: Ew = ୦ మ ଶ୫ మ (1.81) Trong đó m là khối lượng rút gọn của exciton, được tính bằng biểu thức: ଵ ୫ = ଵ ୫ + ଵ ୫ Với me, mh là khối lượng hiệu dụng của electron và lỗ trống. Các cấu trúc thấp chiều có nhiều tích chất mới lạ so với cấu trúc thông thường, cả về tính chất quang, điện cũng như mật độ trạng thái. Hình 1.3. Mật độ trạng thái theo năng lượng trong các hệ lượng tử với số chiều khác nhau: a. Hệ ba chiều (bán dẫn khối); b. Hệ hai chiều (giếng lượng tử);c. Hệ một chiều (dây lượng tử); d. Hệ không chiều (chấm lượng tử). 23 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Chương này trình bày về cơ sở vật lý hệ th...
Trang 1KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Quảng Nam, tháng 5 năm 2016
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác
Quảng Nam, tháng 05 năm 2016
Họ tên tác giả
Trần Thị Lệ Chi
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Để được làm khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Quảng Nam, Ban chủ nhiệm khoa Lý – Hóa – Sinh, cùng toàn thể quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp Đại học Sư phạm Vật Lý K12 đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt 4 năm học vừa qua
Và để hoàn thành khóa luận này, tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến TS VÕ THỊ HOA, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và sửa chữa những sai sót mà tôi mắc phải trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân và bạn bè trong lớp Đại học Sư phạm Vật Lý K12 đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này
Mặc dù đã đầu tư công sức, cố gắng và cẩn thận, nhưng do điều kiện về thời gian và đây là lần đầu tiên đi sâu nghiên cứu một đề tài khóa luận nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp chân tình của quý thầy cô và các bạn để đề tài khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Trang 4
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt Viết đầy đủ
0D (Zero dimension) Không chiều 1D (One dimension) Một chiều 2D (Two dimensions) Hai chiều 3D (Three dimensions) Ba chiều
GS (Ground state) Trạng thái cơ bản QD (Quantum dots) Chấm lượng tử QW (Quantum well) Giếng lượng tử QWs (Quantum wires) Dây lượng tử CB (Conduction band) Vùng dẫn VB (Valence band) Vùng hoá trị
Trang 5Hình 2.1 Hình ảnh về chấm lượng tử (Quantum Dot) 24
Hình 2.2 Sơ đồ dải năng lượng của chấm lượng tử 26
Hình 2.3 Hiệu ứng thông hầm lượng tử 29
Hình 2.4 Hiệu ứng khóa Coulomb 29
Hình 2.5: Các mức năng lượng của exciton 35
Hình 2.6: Exciton Mott-Wannier 36
Hình 2.7: Exciton Prenkel 36
Hình 3.1 Mô hình exciton loại I trong chấm lượng tử (a) và cấu trúc thế giam nhốt (b) 41
Hình 3.2 Hệ exciton trong chấm lượng tử cầu 41
Hình 3.3 Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào bán kính hiệu dụng của chuyển động tương đối a ( = / 0) 45
Hình 3.4 Năng lượng liên kết của exciton loại I phụ thuộc vào hằng số điện môi 46
Trang 6Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU 5
1.1. KHÁI NIỆM HỆ THẤP CHIỀU 5
1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU 7
1.3.1 Hệ ba chiều (vật liệu khối) 16
1.3.2 Hệ hai chiều (giếng lượng tử) 17
1.3.3 Hệ một chiều (sợi hoặc dây lượng tử) 19
1.3.4 Hệ không chiều (chấm lượng tử) 20
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 23
Chương 2 TỔNG QUAN VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ 24
2.1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CHẤM LƯỢNG TỬ 24
2.2 CÁC HIỆU ỨNG CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ 26
2.2.1.Hiệu ứng bề mặt 26
2.2.2 Hiệu ứng giam giữ lượng tử 27
2.2.3 Hiệu ứng thông hầm lượng tử 28
2.2.4 Hiệu ứng khóa Coulomb (Coulomb blockade) 29
2.3 CẤU TRÚC ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA CHẤM LƯỢNG TỬ 30
Trang 72.3.1 Chế độ giam giữ mạnh 31
2.3.2 Chế độ giam giữ trung gian 33
2.3.3 Chế độ giam giữ yếu 33
2.4 ĐẠI CƯƠNG VỀ EXCITON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 35
CHƯƠNG 3 EXCITON LOẠI 1 TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 41
3.1 MÔ HÌNH EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 41
3.2 BÀI TOÁN EXCITON LOẠI I TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ 41
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 47
C KẾT LUẬN 48
D TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
Trang 8Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, nhiều ngành khoa học công nghệ đã ra đời, trong đó có ngành công nghệ nano Tuy mới xuất hiện nhưng ngành công nghệ nano đã có những thành tựu hết sức to lớn trên hầu hết các lĩnh vực: điện tử, y học, công nghiệp, môi trường…và đang có rất nhiều triển vọng Chính vì những ứng dụng kì diệu như vậy đã thúc đẩy các nhà khoa học nói chung và các nhà vật lý nói riêng tập trung nghiên cứu nhiều về ngành công nghệ này
Đối tượng nghiên cứu của ngành công nghệ nano là các vật liệu có kích thước cỡ nanomet Thành tựu của khoa học vật lý cuối những năm 80 của thế kỉ 20 được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều Vâ ̣t liê ̣u hê ̣ thấp chiều gần đây đã trở thành mô ̣t mũi nho ̣n nghiên cứu trên thế giới, mă ̣c dù ý tưởng về các hê ̣ thấp chiều đã được manh nha ngay từ những năm đầu của thâ ̣p kỷ 70 Đến những năm 90 của thế kỷ trước, những ứng du ̣ng đầu tiên của nó đã gây chấn đô ̣ng trong giới khoa ho ̣c và kinh doanh Những ứng du ̣ng đó đều xuất phát từ những tı́nh chất vâ ̣t lý thú vi ̣ của hê ̣ thấp chiều, trong đó biểu hiê ̣n rõ nhất là “hành vi” của điê ̣n tử khi cho số chiều hiê ̣u du ̣ng giảm dần Đó là các bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng,…); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu) Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các hạt tải (điện tử, lỗ trống,…) bị giới hạn mạnh theo một, hai, hoặc cả ba chiều
Trang 9trong không gian mạng tinh thể Hạt tải điện chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc một chiều (hệ một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều, 0D) Các hệ thấp chiều (hay các hệ có cấu trúc nanô) là các hệ thống có kích cỡ thuộc thang nanô (khoảng từ 1nm đến 100nm) gồm các nguyên tử, phân tử được sắp đặt vị trí sao cho cả hệ thống thực hiện được các chức năng định trước
Việc chuyển từ hệ vật liệu có cấu trúc ba chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính chất vật lý của vật liệu Việc nghiên cứu và tạo ra các bán dẫn có cấu trúc thấp chiều, chính là cơ sở của sự phát triển mạnh mẽ máy tính, các thiết bị điện tử hiện đại thế hệ mới siêu nhỏ, thông minh và đa năng như hiện nay Nghiên cứu hệ thấp chiều chính là tìm hiểu bức tranh vùng năng lượng của nó, hay nói cách khác chính là đi tìm hiểu về các giả hạt exciton, biexciton trong các hệ trên Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp Đại học, chúng tôi chọn đề tài: “Nghiên cứu về exciton loại I trong chấm lượng tử”
2 Mục tiêu của đề tài
- Khái quát các kiến thức vật lý về chấm lượng tử - Nghiên cứu về exciton trong chấm lượng tử
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Cơ sở lý thuyết của vật lý hệ thấp chiều - Exciton loại 1 trong chấm lượng tử
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về hệ thấp chiều - Tổng quan về chấm lượng tử
- Mô phỏng exciton
5 Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành các nội dung nghiên cứu đã nêu ở trên, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
5.1 Phương pháp lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và một số công trình khoa học đã công bố có liên
Trang 10quan đến các nội dung trong đề tài
- Nghiên cứu các tài liệu về: Vật lý chất rắn, cơ học lượng tử…Tham khảo ý kiến của các nhà khoa học giáo dục trên các tạp chí giáo dục và các luận văn có liên quan đến exciton trong chấm lượng tử
- Sưu tầm và dịch các tài liệu nước ngoài liên quan
5.2 Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu các tài liệu (sách và tạp chí chuyên ngành) trong và ngoài nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài
6 Giả thuyết nghiên cứu
- Nếu nghiên cứu thành công đề tài này thì chúng ta sẽ hiểu rõ hơn về hệ bán dẫn thấp chiều, cụ thể là exciton loại 1 trong chấm lượng tử để áp dụng vào ngành khoa học kỹ thuật của nước ta hiện nay
7 Cấu trúc khóa luận
Luận văn gồm có 3 phần chính: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận
Phần mở đầu: chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài,
đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu và giả thuyết nghiên cứu trong luận văn
Phần nội dung: phần này gồm 3 chương
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản về cơ sở lí thuyết và mô tả về hệ thấp chiều
Chương 2: Trình bày tổng quan giới thiệu chung về chấm lượng tử, đặc điểm, các hiệu ứng cơ bản, các điện tử cơ bản và ứng dụng của chấm lượng tử
Chương 3: Trình bày khái niệm về exciton, phân loại và tính chất của
Trang 11exciton Mô hình, năng lượng của exciton loại 1 và một số bài toán về exciton loại 1 trong chấm lượng tử
Phần kết luận: chúng tôi trình bày tóm lược lại những kết quả đạt được,
kết luận và đồng thời đưa ra hướng nghiên cứu tiếp theo
Tài liệu tham khảo
Trang 12
Các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của vật rắn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều, các tính chất vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang có thể thay đổi một cách đột ngột Các tính chất của nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích thước cỡ nanomét của chúng Sự giảm kích thước xuống cỡ nanomét xảy ra hiệu ứng giam giữ lượng tử mà ở đó các trạng thái điện tử cũng như các trạng thái dao động trong hạt nano bị lượng tử hoá Các trạng thái bị lượng tử hoá trong cấu trúc nano sẽ quyết định tính chất điện và quang nói riêng, tính chất hoá học nói chung của cấu trúc đó
Trong những thập kỷ qua, bước tiến nổi bật trong việc xây dựng cấu trúc hệ thấp chiều là tạo ra khả năng hạn chế số chiều hiệu dụng của các vật liệu khối Từ vật liệu khối ba chiều thành vật liệu có cấu trúc hai chiều như giếng lượng tử (quantum well (QW)), người ta tạo một lớp bán dẫn mỏng, phẳng, nằm kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn Các điện tử bị giam trong lớp mỏng ở giữa (cỡ vài lớp đơn tinh thể) và như vậy, chuyển động của chúng là chuyển động tự do trên mặt phẳng hai chiều, còn sự chuyển động theo chiều thứ ba đã bị lượng tử hóa mạnh Tiếp tục giảm số chiều như vậy, ta có thể thu được cấu trúc một chiều như dây lượng tử (quantum wires (QWs)) và thậm chí là cấu trúc không chiều như chấm lượng tử (quantum dots (QD)) [4]
Trang 13Hình 1.1.Hình ảnh giếng lượng tử GaAs, ống nanô Cacbon và chấm lượng tử PbSe
Để đặc trưng cho các hệ thấp chiều, người ta đưa ra các thông số như: Bước sóng Fecmi :
Trong đó : vectơ sóng Fecmi
Hệ thức giữa vectơ sóng Fecmi và mật độ điện tử n: khi d = 3,
Trang 14+ Khi ≫Tm: thường gặp ở các bán dẫn có độ linh động thấp hay các đa tinh thể, độ dài kết hợp pha được xác định bởi công thức:
1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HỆ THẤP CHIỀU
1.2.1 Phương trình Schrodinger
Xét chuyển động của hạt, ví dụ như electron, chuyển động trong một chiều đơn giản Theo định luật Newton ta có phương trình sóng chi phối sự tiến triển của ψ(x,t) Trong một chiều, phương trình sóng có dạng:
ψ x, t V x ψ x, t i ψ x, t (1.6) Đó là phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian Phương trình này mô tả một hạt chuyển động trong một khu vực có năng lượng tiềm tàng V(x) khác nhau Năng lượng tiềm tàng có thể phát sinh từ một điện trường được thể hiện như một thế vô hướng, nhưng với từ trường phức tạp hơn Đơn giản hóa phương trình ψ(x,t), tách phương trình thành hai phần, phụ thuộc độc lập vào x và t Suy ra phương trình: ψ(x,t) = ψ(x).T(t) Sử dụng ψ độc lập với thời gian Thay các giá trị vào (1.6) và chia cho ψ(x).T(t) ta được:
V x ψ x (1.7) Vế trái của phương trình (1.7) là hàm theo t, vế phải là hàm theo x Hai vế bằng nhau và bằng E với E liên tục Vế trái của phương trình (1.7) là:
Trang 15i = E
⇔ln[T(t)] =
⇔T(t) = exp( ) = exp(-i (1.8) với E =
Đây là phương trình biến thiên điều hòa theo thời gian
Chúng ta không thể lựa chọn theo hàm mũ phức tạp Nó không thể thay thế bởi sin hoặc cosin, cũng không thể chấp nhận là exp(i ) Dạng của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là exp(-i và được quy ước trong cơ học lượng tử Nó độc lập với các phạm vi khác của vật lý, nơi mà exp(+i có thể sử dụng trong các dao động phụ thuộc thời gian hoặc kỹ thuật, nơi mà exp(+ilà bình thường Sự lựa chọn này có ảnh hưởng sâu rộng
Vế phải của phương trình (1.7) là:
V x ψ x = E
⇔ ψ V x ψ x E ψ x (1.9) Đây là phương trình Schrodinger độc lập thời gian trong một chiều Phương trình có dạng trong ba chiều với thay thế bởi
2= + + (1.10) Do đó, nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian có dạng:
ψ(x,t) = ψ(x) exp( (1.11) Vậy, nghiệm của phương trinh Schrodinger độc lập thời gian mô tả trạng thái của hạt với năng lượng xác định, liên tục
1.2.2 Hạt tự do
Xét một hạt tự do trong không gian V(x) = 0 với mọi x Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là:
= E ψ(x) (1.12)
Trang 16Đây là phương trình sóng tiêu chuẩn đơn giản và chúng ta có thể đoán được phương pháp giải Lựa chọn hàm sóng phẳng ψ(x) = exp(- ikx) thay vào (1.12) ta được:
[exp(-ikx)] = E.exp(-ikx) ⇔ i2k2exp(-ikx) = E.exp(-ikx)
* E 0 nếu k là một số thực * E < 0 nếu k → ik là một số ảo
Theo cơ học cổ điển động năng là: E = Vì vậy, xung lượng p = k Kết hợp điều này với các mối quan hệ giữa năng lượng và tần số mang lại hai mối quan hệ trung tâm của lý thuyết cũ:
E = = ν (Einstein) (1.14) Và p = k = (De Broglie) (1.15) Chia năng lượng bởi h cung cấp cho các mối quan hệ phân tán giữa tần số và số sóng là ω = k2, điều này là phi tuyến tính, có nghĩa rằng vận tốc của sóng hạt là một hàm của tần số và phải được xác định kỹ lưỡng Hai định nghĩa tiêu chuẩn là:
Vận tốc pha: vph = = (1.16) Vận tốc nhóm: vg = = = = vcl (1.17) Với vcl là vận tốc cổ điển
Hình 1.2 Một gói sóng bên ngoài di chuyển với vận tốc nhóm vg, bên trong di chuyển với vận tốc pha vph.
Hình 1.2 cho thấy tầm quan trọng của hai vận tốc Các sóng bên trong di chuyển dọc theo với vận tốc pha vph trong khi các vận tốc nhóm vg di chuyển bao quanh
Trang 17Nếu sóng này đại diện cho một hạt như electron chúng ta thường quan tâm đến hành vi của hàm sóng như một toàn bộ chứ không phải chuyển động nội bộ của chúng Vận tốc nhóm là kết quả thích hợp và gần giống với kết quả của vận tốc cổ điển Ngay cả khi nếu chúng ta sử dụng sóng để đại diện cho một electron, nó vẫn lan truyền trong không gian chứ không cô lập giới hạn như trong cơ học cổ điển Điều này không thể tránh khỏi trong hình ảnh dựa trên sóng, nghĩa là không thể cung cấp vị trí các hạt một cách chính xác
1.2.3 Hạt chuyển động trong giếng thế
Xét hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn một chiều Thế năng của hệ là:
V(x) = 0, 0
∞, 0 à (1.18)
Phương trình Schrodinger dừng một chiều:
+ E ψ(x) = 0 (1.19) Đặt k2 = (1.20) Phương trình (1.19) trở thành:
ψ''(x) + k2 ψ(x) = 0 (1.21) Nghiệm tổng quát ψ(x) có dạng:
ψ(x) = C1 cos kx + C2 sin kx (1.22) Điều kiện biên: ψ 0 0
ψ a 0 (1.23)
sin 0 (1.24) Để nghiệm không tầm thường, ψ(x) 0→ C2 0
⇒sin ka = 0
⇒ k = (1.25) ⇒ψ(x) = C2 sin kx
Chuẩn hóa hàm sóng ψ(x) = C2 sin kx, ta được: ψ(x) = sin kx
Trang 18Từ (1.20) và (1.25), suy ra năng lượng của hạt:
E = n2 (1.26) Với n = 1,2,3,…; m là khối lượng của hạt; a là độ rộng của giếng thế
1.2.4 Điện tử và mật độ dòng
Phương trình Schrodinger mang hàm sóng ψ(x,t)
Xác định vị trí của hạt, ta có phương trình modulus của hàm sóng:
|ψ x, t |2 mật độ xác suất tìm thấy hạt tại x (1.27) Nếu hạt có điện tích q thì mật độ điện tử của hạt là: q|ψ x, t |2 (1.28) Hay điện tử trong khu vực dx xung quanh x là: q|ψ x, t |2dx (1.29) Nếu điện tích được giới hạn trong một số thể tích, với tổng số điện tích là q thì ta có phương trình mật độ điện tích của hạt là:
q|ψ x, t |2=ρ x (1.30) Với ρ x là mật độ điện tích
Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.30) theo dx ta được:
ρ x dx = q |ψ x, t |2dx = q (1.31) Loại bỏ các điện tích q từ phương trình trên ta được:
|ψ x, t |2dx=1 (1.32) Đây là điều kiện tiêu chuẩn để chuẩn hóa hàm sóng
Không phải tất cả các hàm sóng đều được chuẩn hóa theo cách này Ví dụ đối với các điện tử tự do, tích phân trên mọi không gian sẽ phân kỳ Trong trường hợp này, người ta chỉ nói đến xác suất tương đối Trong thực tế, chúng ta có thể bắt đầu với các điện tử trong một không gian hữu hạn và cho phép không gian đi đến vô cực ở cuối của phép tính
Chuẩn hóa cho kích thước vật lý của hàm sóng Hàm sóng ϕn(x) = Ansin và điều kiện chuẩn hóa là:
|A |2 sin2 dx = 1
⇔ |A |2 1 cos dx = 1 ⇔ |A |2x| = 1
Trang 19⇔An = (1.33) Do đó, hàm sóng chuẩn hóa, nếu Ancó giá trị thực thì:
ϕn(x) = sin (1.34) Chuẩn hóa cho kích thước hàm sóng (chiều dài)-1/2 trong một chiều Điều này là hữu ích để kiểm tra
Một hàm sóng phẳng như ϕk(x) = Aeikx trong một thể tích vô hạn có thể được chuẩn hóa theo cách khác Mật độ |ϕ x |2 = |A|2, có thể được thiết lập mật độ của các hạt
Bây giờ chúng ta có một mật độ điện tích, cần có mật độ dòng J (hay chỉ là dòng một chiều) liên kết với nó Phương trình liên tục với mật độ dòng một chiều là:
+ = 0 (1.35) Trong không gian ba chiều trở thành divJ
Để xây dựng mật độ dòng điện, bắt đầu với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:
ψ x, t V x, t ψ x, t i ψ x, t (1.36)Nhân về bên trái cả hai vế của phương trình (1.36) với liên hợp phức của hàm sóng ψ*, ta được:
ψ∗ ψ ψ∗V ψ i ψ∗ ψ (1.37) Có được một phương trình thứ hai sẽ trở lại phương trình Schrodinger, lấy liên hợp phức của nó rồi nhân về bên trái cả hai vế với ψ, ta được:
ψ ψ∗ ψV∗ ψ∗ i ψ ψ∗ (1.38) Lấy phương trình (1.37) trừ phương trình (1.38) ta được:
ψ∗ ψ ψ ψ∗ i |ψ|2 (1.39) Ta có: (ψ* ψ) =( ∗) + ψ* ψ (1.40) (ψ ψ*) =( ∗) + ψ ψ* (1.41)
Trang 20Thay (1.40) và (1.41) vào (1.39), ta được:
ψ∗ ψ ψ ψ∗ i |ψ|2 (1.42) Cuối cùng di chuyển các yếu tố của i bên trái và nhân với q lần lượt mật độ xác suất vào mật độ điện tử cho:
- ψ∗ ψ ψ ψ∗ = (q|ψ x, t |2) = (1.43) So sánh điều này với phương trình liên tục (1.35) cho thấy mật độ dòng điện được cho bởi:
J(x,t) = ψ∗ ψ ψ ψ∗ (1.44)
1.2.5 Toán tử và các phép đo
Theo tiên đề về hàm sóng của cơ học lượng tử: “Trạng thái của một hạt (hoặc một hệ hạt) ở tại một thời điểm t được biểu diễn bởi một hàm sóng ψ( ,t)” Trong không gian một chiều, vị trí, xung lượng và năng lượng toàn phần có thể được biểu diễn bằng các toán tử trên ψ(x,t):
trong cơ học lượng tử được cho bởi:
H = H(x, p) = - + V(x) (1.48) Đặt thành phương trình tác dụng của toán tử này với toán tử năng lượng cho Hψ = Eψ, hay:
V x ψ(x,t) = i ψ(x,t) (1.49) Chúng ta trở lại phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian (1.6)
Trang 21Vậy, phương trình Schrodinger được viết ngắn gọn Hψ = Eψ, với E là một số, không phải toán tử Tương tự như phương trình ma trận có một giá trị riêng: có một toán tử tác dụng lên một hàm sóng trên một mặt và nhân với một hằng số khác Những ý tưởng để xây dựng vecto riêng và giá trị riêng cho các toán tử khác nhau như đối với ma trận, và cách sử dụng các thuật ngữ tương tự Với ψ được gọi là hàm riêng hay trạng thái riêng và E là giá trị riêng tương ứng của H Mật độ dòng điện có thể được viết lại dưới dạng toán tử xung lượng, cho
J(x,t) = ψ∗ ψ ψ ∗ψ (1.50) Điều này cho thấy dòng điện có liên quan đến vận tốc
Tác dụng của toán tử xung lượng lên hàm sóng phẳng ψ(x) = Aexp(ikx), ta được:
pψ = (- i ) (Aeikx) = kAeikx = ( k)ψ (1.51) Phương trình trên trở thành phương trình giá trị riêng Nghĩa là xung lượng có giá trị xác định p = k, tương tự kết quả được suy ra từ cơ học cổ điển
Cần thêm một tiên đề của cơ học lượng tử là trạng thái mà các giá trị duy nhất có thể quan sát của đại lượng vật lý là những giá trị riêng của toán tử tương ứng của nó Nếu hàm sóng là một hàm riêng của toán tử này, như một sóng phẳng và động lượng có thể có một giá trị xác định Nói chung đây không phải là một trường hợp Xét tác dụng của toán tử xung lượng lên một hạt trong một không gian hữu hạn:
pɸ (x) = - i Ansin = cos (1.52) Các hàm sóng này không phải là hàm riêng của ̂, do đó không có giá trị xung lượng nhất định Các phép đo của xung lượng sẽ mạng lại một loạt các giá trị mà chúng ta có thể mô tả về một giá trị trung bình (không có ở đây) và phổ biến Lấy một đạo hàm khác ta thấy rằng ɸ (x) là hàm riêng của p Do đó, nó có một giá trị xác định năng lượng động lực, có toán tử T=
1.2.6 Các đặc tính toán học của trạng thái riêng
Các hàm sóng trong các giếng thế vô hạn cũng có thể được chuẩn hóa Giả
Trang 22sử giếng thế hữu hạn, chúng ta có thể bỏ qua những vấn đề đặt ra bởi sóng phẳng và các sóng tương tự Trạng thái riêng (hàm sóng) của Hamiltonian là ɸ (x) tương ứng giá trị riêng (năng lượng) và chuẫn hóa mỗi trạng thái như sau:
Trong đó, hạt di chuyển trong không gian 0 < x < a Trạng thái riêng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao, nghĩa là:
ɸ∗ x ɸ x dx = 0 nếu εm εn (1.54) Các trạng thái khác nhau với một giá trị riêng được cho là suy biến Trong trường hợp này có thể lựa chọn trạng thái riêng để chúng là trực giao khi m n dù εm= εn
ɸ∗ x ɸ x dx = δm,n (1.55) Delta Kronecker được định nghĩa δm,n = 1 nếu m = n và δm,n = 0 nếu m n
Giả sử ɸ trực giao, giống như trạng thái giếng lượng tử (1.29)
Nó có thể biểu diễn các trạng thái riêng thành một tập hợp hoàn chỉnh Điều này có nghĩa là:
ψ(x) = ∑ anɸ x (1.56) Với an là hệ số chuẩn hóa hàm sóng
Nhân cả hai vế phương trình (1.56) với ɸ∗ x sau đó lấy tích phân, ta được:
ɸ∗ x ψ(x)dx = ɸ∗ x ∑ anɸ x dx
⇔ ɸ∗ x ψ(x)dx = ∑ an ɸ∗ x ɸ x dx (1.57) Từ điều kiện chuẩn hóa (1.55) tất cả các điều kiện đều bằng 0, trừ trường hợp m = n, ta được:
am = ɸ∗ x ψ(x)dx (1.58) Thay thế hệ số từ phương trình (1.58) vào (1.56), ta được:
∑ ɸ x ɸ∗ x′ = δ(x – x’) (1.59) Việc tìm hàm sóng ψ(x, t) bao giờ cũng được suy ra từ trạng thái ban đầu ψ(x, t=0) Với ψ(x, t=0) dựa vào trạng thái riêng của phương trình Schrodinger độc lập thời gian ɸ x :
Trang 23ψ(x, t=0) =∑ anɸ x (1.60) Chúng ta biết rằng mỗi trạng thái riêng là ɸ x exp(- ) và do đó, trạng thái ψ(x, t) là:
ψ(x, t) =∑ anɸ x exp(- ) (1.61) Với εn là năng lượng riêng tương ứng
1.3 MÔ TẢ CÁC HỆ THẤP CHIỀU
1.3.1 Hệ ba chiều (vật liệu khối)
Xét một vật rắn ba chiều có kích thước Lx, Ly, Lz chứa N electron tự do “Tự do” ở đây được hiểu là các electron này không định xứ, nghĩa là không liên kết với một nguyên tử riêng biệt Ta giả thuyết, trong gần đúng bậc một, tương tác giữa các electron, cũng như tương tác giữa electron với trường thế tinh thể có thể bỏ qua Hệ hạt electron như vậy được gọi là “khí electron tự do” Trong mô hình này, chuyển động của các electron được mô tả bằng tổ hợp tuyến tính của các sóng phẳng có bước sóng rất nhỏ hơn kích thước của vật rắn Phép tính trạng thái năng lượng đối với tinh thể khối dựa trên giả thuyết về điều kiện biên tuần hoàn (Điều kiện biên tuần hoàn là một thủ thuật toán học để mô tả vật rắn vô hạn (L → ∞)) Theo giả thuyết này, các điều kiện tại các mặt biên đối diện nhau của vật rắn là hoàn toàn giống nhau Như vậy, các electron ở gần mặt biên sẽ không “cảm nhận” thấy mặt biên Nói cách khác, các electron ở gần mặt biên sẽ không chịu ảnh hưởng của mặt này, do đó, các electron ở trên mặt biên sẽ thể hiện tính chất giống hệt như khi chúng ở trong lòng khối vật rắn, nghĩa là hàm sóng của electron phải thỏa mãn điều kiện [6]:
ψ(x, y,z) = ψ(x +Lx, y, z)
ψ(x, y, z) = ψ(x, y + Ly, z) (1.62) ψ(x, y,z) = ψ(x , y, z + Lz)
Nghiệm của phương trình Schrodinger với điều kiện biên như thế sẽ là tích của ba hàm sóng độc lập:
ψ(x, y,z) = ψ(x) ψ(y) ψ(z) = A.exp(ikxx) exp(ikyy) exp(ikzz) (1.63) Mỗi hàm sóng mô tả một electron tự do chuyển động dọc theo một trục
Trang 24tọa độ Decac, với các thành phần của vecto sóng kx,y,z = n∆k = n2π/Lx,y,z
trong đó n là số nguyên Các nghiệm này là các sóng truyền theo hướng dương và hướng âm, tương ứng kx,y,z> 0 và kx,y,z< 0
Như vậy, mỗi trạng thái electron với các vecto sóng (kx, ky, kz)có thể được biểu diễn bằng một điểm trong không gian đảo k; các điểm này cũng được phân bố một cách tuần hoàn trong không gian k Một hệ quả quan trọng của điều kiện biên tuần hoàn là tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k đều được phân bố (electron) như nhau, nghĩa là mỗi trạng thái (kx, ky, kz) = ( nx∆k, ny∆k, nz∆k) với nx,y,z là các số nguyên, đều có thể bị chiếm bởi hai electron (ms = ) Ở nhiệt độ 0K, tất cả các trạng thái có năng lượng E EF (EF là mức Ferme) đều bị chiếm, trong khi đó, tất cả các trạng thái có năng lượng E > EF đều trống
Trong không gian , mặt Fermi là mặt cầu bán kính kF Vì vecto sóng của hai trạng thái liền kề khác nhau một lượng ∆k = 2π/ Lx,y,z nên trong vật rắn khối có kích thước Lx,y,z lớn, ∆k rất nhỏ Khi đó, các trạng thái bên trong mặt cầu được phân bố gần như liên tục, như vậy, số các trạng thái bên trong mặt cầu sẽ tỉ lệ với k3 Mặt khác, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào k theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục
Đối với khí electron tự do trong vật rắn ba chiều, mật độ trạng thái tỷ lệ với căn bậc hai của năng lượng:
g3d(E) ~√E (1.64)
1.3.2 Hệ hai chiều (giếng lượng tử)
Ta khảo sát một vật rắn có kích thước rất lớn theo các phương x và y, nhưng kích thước (chiều dày) của nó theo phương z (Lz) chỉ vào cỡ vài nanomet Như vậy, các electron có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng x-y, nhưng chuyển động của chúng theo phương z sẽ bị giới hạn Hệ như thế tạo
thành hệ electron hai chiều Khi kích thước của vật rắn theo phương z giảm
xuống vào vỡ nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với bước sóng De Broglie của hạt tải điện), thì hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế V(z), với V(z) = 0 bên trong giếng và
Trang 25V(z) = ∞ tại các mặt biên z = Vì không một electron nào có thể ra khỏi vật rắn theo phương z, nên có thể nói electron bị giam trong giếng thế
Nghiệm của phương trình Schrodinger đối với electron trong giếng thế V(z) là các sóng dừng bị giam trong giếng thế Như vậy, năng lượng ứng với hai hàm sóng riêng biệt, nói chung, là khác nhau và không liên tuc Điều đó có nghĩa là năng lượng của hạt không thể nhận năng lượng tùy ý, mà chỉ nhận các giá trị gián đoạn Năng lượng của hạt là:
Enz = = (1.65) Nếu thay kz = nz ∆kz với ∆kz = , ta được:
Enz = (1.66) với nz = 1, 2, 3, …
Như đã nêu ở trên, các electron vẫn có thể chuyển động tự do dọc theo các phương x và y, năng lượng của electron tự do phụ thuộc vào kx, ky theo hàm parabol; các trạng thái phân bố gần như liên tục Trong khi đó, chuyển động của các electron theo phương z bị giới hạn, các electron bị giam giữ trong “hộp” Chỉ có một số nhất định các trạng thái lượng tử hóa theo phương z (nz = 1, 2,…) là được phép Như vậy, trong không gian k ba chiều, phân bố các trạng thái được mô tả như một dãy các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa các trục kx và ky, khoảng cách gilữa hai mặt phẳng là ∆kz Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ứng với hai giá trị kz liên tiếp là rất lớn (vì Lz rất nhỏ nên ∆kz = ≫ 0)
Vì trong không gian k số trạng thái trong một mặt phẳng tỉ lệ với diện tích của mặt phẳng, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk bằng số trạng thái của một hình vành khăn có bán kính k và chiều rộng dk sẽ tỉ lệ với k.dk:
g2d(k)dk ~ kdk (1.67) với g2d(k) là mật độ trạng thái trong không gian k Từ (1.67) suy ra:
g2d(k) ~ k (1.68) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E
Trang 26và E + dE
g2d(E)dE = g2d(k)dk = k dE (1.69) g2d(E) = k (1.70) Vì E(k) ~ k2 nên k ~ E1/2 và ~ E1/2 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng có dạng:
g2d(E) = k ~ E1/2.E-1/2~ 1 (1.71) Như vậy, mật độ trạng thái trong vật rắn hai chiều rất khác nhau với trường hợp ba chiều, trong vật rắn hai chiều mật độ trạng thái đối với một trạng thái kz cho trước không phụ thuộc vào năng lượng và có dạng hàm bậc thang
1.3.3 Hệ một chiều (sợi hoặc dây lượng tử)
Xét trường hợp kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại còn vài nanomet Khi đó, electron chỉ chuyển động tự do theo phương x, còn chuyển động của chúng theo phương y và z bị giới hạn bởi các mặt biên của vật Một hệ
như thế gọi là dây lượng tử hay hệ electron một chiều (nếu hạt tải điện là
electron) Trong hệ này, các hạt tải điện có thể chuyển động chỉ theo một chiều và chiếm các trạng thái lượng tử hóa ở hai chiều còn lại
Trong hệ này, phân bố các trạng thái cũng như phân bố các mức năng lượng tương ứng, theo phương song song với trục kx và liên tục (∆kx→ 0) Trong khi đó, chuyển động của các electron dọc theo phương còn lại (phương y và z) bị giới hạn và các trạng thái của chúng có thể tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger sử dụng mô hình “hạt trong hộp thế” Kết quả là các trạng thái ky, kz
bị lượng tử hóa, nhận các giá trị gián đoạn Có thể hình dung tất cả các trạng thái có thể có trong không gian k được phân bố trên các đường thẳng song song với trục kx Các đường thẳng này cách nhau những khoảng gián đoạn tỷ lệ với ∆ky và ∆kz Vì trên mỗi đường thẳng phân bố các trạng thái kx là liên tục, nên số trạng thái có vecto sóng có giá trị nằm trong khoảng k và k + dk sẽ tỉ lệ với chiều dài dk trên đường thẳng:
g1d(k)dk ~ dk (1.72) với g1d(k) là mật độ trạng thái trong không gian k Từ (1.72) suy ra:
Trang 27g1d(k) ~ 1 (1.73) Bây giờ, chúng ta hãy tìm số trạng thái có năng lượng nằm trong khoảng E và E + dE:
g1d(E)dE = g1d(k)dk ~ dE (1.74) g1d(E) ~ (1.75) Vì E(k) ~ k2 nên k ~ E1/2 và ~ E-1/2 do đó mật độ trạng thái theo năng lượng g1d(E) có dạng:
g1d(E) ~ ~ E-1/2 (1.76) Từ biểu thức (1.76), ta nhận thấy rằng mật độ trạng thái trong một đường thẳng dọc theo trục kx phụ thuộc vào năng lượng theo hàm E-1/2
1.3.4 Hệ không chiều (chấm lượng tử)
Giả sử ta có chấm lượng tử có kích thước Lx, Ly, Lz Hàm sóng của hạt ψ(x, y,z) là nghiệm của phương trình Schrodinger [1]
- ∆ψ(x, y,z) + V(x, y, z) ψ(x, y,z) = E ψ(x, y,z) (1.77) Hàm sóng ψ(x, y,z) được phân ly thành:
m: khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn theo phương x, y, z
Khi các hạt tải điện và các trạng thái kích thích bị giam giữ trong cả ba
chiều thì hệ này được gọi là một “chấm lượng tử” Trong một chấm lượng tử,
chuyển động của các electron bị giới hạn trong cả ba chiều, vì thế trong không gian k chỉ tồn tại các trạng thái gián đoạn (kx, ky, kz) Mỗi một trạng thái trong không gian k có thể được biểu diễn bằng một điểm Như vậy, chỉ có các mức
Trang 28năng lượng gián đoạn là được cho phép Các mức năng lượng này có thể được biểu diễn như ở đỉnh (delta) trong hàm phân bố một chiều đối với mật độ trạng thái g0d(E) [6]
Như chúng ta đã thấy, các vùng năng lượng hội tụ về các mức năng lượng giống như trong nguyên tử Sự biến đổi này đặc biệt lớn tại các bờ vùng năng lượng, do đó ảnh hưởng đến các chất bán dẫn nhiều hơn đến các kim loại Trong các chất bán dẫn, các tính chất electron trên thực tế liên quan mật thiết với các chuyển dời giữa bờ vùng hóa trị với bờ vùng dẫn điện Ngoài tính chất gián đoạn
của các mức năng lượng, còn cần phải nhấn mạnh đến sự tồn tại của mức năng lượng điểm không (zero – point energy) Trong chấm lượng tử, ngay cả trong
trạng thái cơ bản, các electron cũng có năng lượng lớn hơn năng lượng của các electron tại bờ vùng dẫn trong vật liệu khối
Khi một electron từ vùng hóa trị bị kích thích lên vùng dẫn, thì tập hợp các electron trong vùng hóa trị với một trạng thái electron bị trống được coi tương đương với một hạt tải điện dương gọi là lỗ trống Khoảng cách giữa vùng dẫn và vùng hóa trị được gọi là vùng cấm
Trong chấm lượng tử, các hạt tải điện bị giam giữ trong cả ba chiều và hệ này có thể được mô tả như một biến thế ba chiều vô hạn, thế năng bằng 0 tại mọi nơi bên trong giếng thế, nhưng bằng vô cùng tại các thành của giếng Chúng ta gọi giếng thế này là “hộp thế” Dạng đơn giản nhất của hộp thế ba chiều có thể là một hình cầu hay một hình lập phương Nếu hộp thế có dạng hình lập phương cạnh L, thì phương trình Schrodinger đối với một trong ba bậc tự do tịnh tiến có thể giải một cách độc lập với nhau và khi đó năng lượng điểm không toàn phần sẽ đơn giản bằng tổng năng lượng điểm không ứng với từng bậc tự do [6]:
Nếu hộp thế có dạng hình cầu đường kính L, thì phương trình Schrodinger có thể giải bằng cách sử dụng tọa độ cầu và tách phương trình thành hai phần, đó là phần xuyên tâm và phần chứa xung lượng Khi đó, mức năng lượng thấp nhất (ứng với xung lượng bằng 0) bằng [6]: