1 Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Khoa Toán Hệ : Tổng hợp Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan 2 Chương I: TÍCH PHÂN BỘI $1 TÍCH PHÂN 2-LỚP 1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được: Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng. Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó. Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn. {S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó ( ) { } PsupSQ + ⇒∃= . {S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó ( ) { } PinfSQ' − ⇒∃= . P,P +− lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D. Ta có ( ) ( ) Q,Q':SQPPSQ' +− ∀≤≤≤ . 1. Định nghĩa. Nếu ( ) PPSD +− == thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D. Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau: a) D đo được 0 ε ⇔∀> bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác QD,Q'D ⊂⊃ sao cho ( ) ( ) SQ'SQ ε −< . b) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đa giác { } { } nn Q,Q' ; nn QD,Q'D,n ⊂⊃∀ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) nn nn limSQ'limSQSD →∞→∞ == . c) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đo được { } { } nn D,D' ; n DD ⊂ , n D'D ⊃ , n ∀ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) nn nn limSD'limSDSD →∞→∞ == . 2. Tính chất của miền đo được. Giả sử 121212 DD,DD, D = DD;D,D ⊂⊂∪ không có điểm trong chung. Nếu 12 D,D đo được thì D đo được và ( ) ( ) ( ) 12 SD= SDSD + . 3. Ví dụ về miền đo được. Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường cong đo được) nếu 0 ε ∀> bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho ( ) SQ ε < . 3 Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được ⇔ biên D ∂ của nó có diện tích – không. Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong có diện tích - không. a) y = f(x), [ ] xa;b ∈ , trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]. b) x = g(y), [ ] yc;d ∈ , trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]. c) x = x(t), y = y(t), [ ] ta;b ∈ , trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a ; b] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) [ ] 22 x'ty't0,ta;b +≠∀∈ . Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là miền đo được. 4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền 3 T ⊂ R dựa vào thể tích khối đa diện. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), ( ) x,yD ∈ trong đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đo được. 1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D. ( ) ( ) M,M'D dDsupdistM,M' ∈ = Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được 12n D,D, ,D được gọi là một phép phân hoạch π của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) n ii i1 DD,DD,i1,n = =⊂∀= U . b) Với ij ij,Dvà D ∀≠ không có điểm trong chung. Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung. 1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện một phép phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung 12n D,D, ,D . Gọi i D ∆ là diện tích của mỗi miền con ( ) i Di1,n = , ( ) i dD là đường kính của i D , ( ) ( ) i 1in dmaxdD π ≤≤ = là đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con i D chọn một cách tùy ý điểm ( ) iii N, ξη . Lập tổng tích phân: () () nn iiiii i1i1 fNDf,D π σξη == =∆=∆ ∑∑ . Ta thấy π σ phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( ) iii N, ξη . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn () d0 Ilim π π σ → = 4 mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn ( ) iii N, ξη thì I được gọi là tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là ( ) D fx,ydxdy ∫∫ . Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D. Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần để nó khả tích. 1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung 12n D,D, ,D . Đặt ( ) ( ) nn iiii i1i1 smD;SMD ππ == =∆=∆ ∑∑ và ( ) ( ) ( ) n ii i1 SsD = =−=∆ ∑ ωπππω trong đó () ( ) ( ) ( ) i i ii x,yD x,yD minffx,y;Msupfx,y,i1,n ∈ ∈ === iii Mm,i1,n ω =−= và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong miền i D . Các tổng ( ) ( ) s,S ππ lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của f(x,y) ứng với phân hoạch π . Tập hợp các tổng dưới ( ) { } s π và tổng trên ( ) { } S π Darboux là các tập khác rỗng và bị chặn trên và dưới. Định nghĩa. Đại lượng ( ) { } * Isups π = được gọi là tích phân dưới Darboux. Đại lượng ( ) { } * IinfS π = được gọi là tích phân trên Darboux. Định lý. Nếu * * III == thì f(x,y) khả tích trong miền D. 1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích. Định lý 1. Giả sử 2 D ⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu () () () n ii d0d0 i1 limlimD0 →→ = =∆= ∑ ππ ωπω . Chứng minh. ( ) ⇒ Vì f(x,y) khả tích nên * * III == ⇔ 0 ε ∀> bé tùy ý đều 0: δπ ∃>∀ mà ( ) d πδ < thì ( ) SI 2 ε π <+ và ( ) sI 2 ε π >− (tính chất của infimum và supremum) Vậy ( ) ( ) ( ) () ( ) d0 Sslim0 π ωπππεωπ → =−<⇒= . 5 ( ) ⇐ Giả sử có ( ) ( ) d0 lim0 π ωπ → = . Khi đó từ các bất đẳng thức ( ) ( ) * * sIIS, πππ ≤≤≤∀ mà ( ) d πδ < ( ) ( ) * * IISs ππε ⇒−≤−< với mọi ( ) d πδ < . Vậy * * III == và f(x,y) khả tích trong D. W 1.2.5 Các lớp hàm khả tích. Định lý 2. Giả sử 2 D ⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích. Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và liên tục đều trong D ( ) 0,0 εδδε ⇔∀>∃=> sao cho trong miền con bất kỳ của D có đường kính bé hơn δ thì dao độ ( ) i SD ε ω < , trong đó S(D) là diện tích của D. Khi đó với mỗi phân hoạch π mà ( ) d πδ < ta có () () () nn iii i1i1 DDSD SDSD εε ωε == ∆<∆== ∑∑ ⇒ ( ) ( ) d0 lim π ωπ → = ( ) n ii d0 i1 limD0 π ω → = ∆= ∑ . Vậy f(x,y) khả tích trong D. W Định lý 3. Giả sử 2 D ⊂ R là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D, chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích. Lấy 0 ε > bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên K0:f(x,y)K, ∃>≤ ( ) x,yD ∀∈ . Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C) bởi hình đa giác Q có diện tích ( ) SQ 4K ε < . Đặt ° ° DD\intQD =⇒là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục đều trong ° D . Chọn 0 δ > đủ bé sao cho với mỗi miền con ° i DD ⊂ có đường kính ( ) i dD δ < thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là ° ( ) ° ( ) i ,SD 2SD < ε ω là diện tích của ° D . Xét phân hoạch π sao cho 1 DQ ≡ , các miền con ° 23n D,D, DD ⊂ có đường kính ( ) i dD δ < , i2,n = . Khi đó () ( )( ) ° ( ) nn 11ii11i i2i2 DDMmSQD 2SD ε ωπωω == =∆+∆<−+∆ ∑∑ 6 ° ( ) ° ( ) 2KSD 4K 2SD εε ε <+= . Vậy f(x,y) khả tích trong miền D. W Ví dụ. Dùng định nghĩa tính tích phân ( ) { } D Ixydxdy,Dx,y:0x1,0y1 ==≤≤≤≤ ∫∫ . 1.2.6 Các tính chất của tích phân 2-lớp. (tích phân 2-lớp có các tính chất tương tự như tích phân xác định). Giả sử các hàm dưới dấu tích phân khả tích trong miền lấy tích phân. 1. ( ) D dxdySD = ∫∫ , trong đó S(D) là diện tích miền D. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) DDD fx,ygx,ydxdyfx,ydxdygx,ydxdy;,const αβαβαβ±=±=  ∫∫∫∫∫∫ . 3. Giả sử 121212 DD,DD, D = DD;D,D ⊂⊂∪ không có điểm trong chung, f(x,y) khả tích trong các miền 12 D,D khi đó f(x,y) khả tích trong D và 12 DDD f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy =+ ∫∫∫∫∫∫ . 4. Nếu f(x,y) khả tích trong D thì ( ) fx,y cũng khả tích trong D và DD f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy ≤ ∫∫∫∫ . 5. Nếu ( ) ( ) D fx,y0,x,yDf(x,y)dxdy0 ≥∀∈⇒≥ ∫∫ . Nếu ( ) ( ) ( ) DD fx,ygx,y,x,yDf(x,y)dxdyg(x,y)dxdy ≤∀∈⇒≤ ∫∫∫∫ . 6. (Định lý giá trị trung bình) Nếu f(x,y) liên tục trong D thì ( ) ( ) ( ) D ,D:f(x,y)dxdyf,.SD ξηξη∃∈= ∫∫ . $2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP 2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các. Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp. 2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp. 1. ( ) () ( ) () bddb acca dxfx,ydy12.dyfx,ydx2 ∫∫∫∫ 3. ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () 22 11 yxxy bd ayxcxy dxfx,ydy34.dyfx,ydx4 ∫∫∫∫ 7 trong đó các hàm ( ) ( ) 12 yx,yx liên tục trên [a;b], các hàm ( ) ( ) 12 xy,xy liên tục trên [c;d]. Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại: - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) { } Dx,y:axb,cyd =≤≤≤≤ thì các tích phân (1) và (2) tồn tại và ( ) ( ) bddb acca dxfx,ydydyfx,ydx = ∫∫∫∫ . - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ) { } 12 Dx,y:axb,yxyyx =≤≤≤≤ thì tích phân (3) tồn tại. - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ) { } 12 Dx,y:cyd,xyxxy =≤≤≤≤ thì tích phân (4) tồn tại. 2.1.2 Định lý Fubini. (1870 – 1943 nhà toán học Ý) Định lý 1. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ) { } 12 Dx,y:axb,yxyyx =≤≤≤≤ và nếu các hàm ( ) ( ) 12 yx,yx liên tục trên [a;b] thì tồn tại tích phân ( ) D fx,ydxdy ∫∫ và ( ) ( ) () ( ) 2 1 yx b Dayx fx,ydxdydxfx,ydy = ∫∫∫∫ . Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau. Bổ đề. Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 2 1 yx b ayx mfx,yM,x,yDthìm.SDdxfx,ydyM.SD ≤≤∀∈≤≤ ∫∫ , trong đó S(D) là diện tích của D. Chứng minh Định lý1. Đặt ( ) () ( ) 2 1 yx b ayx Idxfx,ydy = ∫∫ , I tồn tại. Vì f (x,y) liên tục trong D nên tích phân ( ) D fx,ydxdy ∫∫ cũng tồn tại. Ta cần chứng minh I = ( ) D fx,ydxdy ∫∫ . Chọn phân hoạch π xác định bởi các phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 01n01n01n xx,xx, ,xxaxx xbvàyx,yx, ,yx ϕϕϕ ====<<<==== trong đó () () () () () () 011121 1 xyx,xyxyxyx, , n ϕϕ==+−   () () () () () n1212 n xyxyxyxyx n ϕ =+−=  . Xét ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) j 22 kk 1k11k1j1 x yxyx xx b nnn k1k1j1 ayxxyxxx Idxfx,ydydxfx,ydydxfx,ydy ϕ ϕ −−− === === ∑∑∑ ∫∫∫∫∫∫ . 8 Vì f(x,y) liên tục trong các miền con ( ) ( ) ( ) { } kjk1kj1j Dx,y:xxx,xyx −− =≤≤≤≤ϕϕ nên nó đạt giá trị lớn nhất kj M và bé nhất kj m trong miền đó ( ) ( ) kjkjkj mfx,yM,x,yD ⇒≤≤∀∈ . Từ bổ đề () () ( ) j k k1j1 x x kjkjkjkjkj xx mDdxfx,ydyMD,(D ϕ ϕ −− ⇒∆≤≤∆∆ ∫∫ là diện tích của kj D) . Vậy ( ) ( ) nnnn kjkjkjkj k1j1k1j1 mDIMDsIS ππ ==== ∆≤≤∆⇔≤≤ ∑∑∑∑ . (*) Mặt khác vì f(x,y) khả tích trong D nên ( ) ( ) () ( ) ( ) d0d0 D limslimSfx,y ππ ππ →→ == ∫∫ . Vậy từ (*) ta có () () ( ) ( ) 2 1 yx b ayxD Idxfx,ydyfx,ydxdy == ∫∫∫∫ . W Nhận xét. Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có 1. Định lý 1’. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong ( ) ( ) ( ) { } 12 Dx,y:cyd,xyxxy =≤≤≤≤ và nếu các hàm ( ) ( ) 12 xy,xy liên tục trên [c;d] thì tồn tại tích phân ( ) D fx,ydxdy ∫∫ và ( ) ( ) () ( ) 2 1 xy d Dcxy fx,ydxdydyfx,ydx = ∫∫∫∫ . 2. Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện của định lý. 3. Nếu D là hình chữ nhật ( ) { } Dx,y:axb,cyd =≤≤≤≤ và hàm f(x,y) liên tục trong D thì ( ) ( ) ( ) bddb Dacca fx,ydxdydxfx,ydydyfx,ydx == ∫∫∫∫∫∫ . Đặc biệt nếu ( ) ( ) ( ) 12 fx,yfx.fy = và D là hình chữ nhật thì () () () bd 12 Dac fx,ydxdyfxdx.fydy = ∫∫∫∫ . 2.1.3 Các ví dụ. Ví dụ 1. Đưa tích phân 2-lớp I = ( ) D fx,ydxdy ∫∫ về tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1). 9 b) D giới hạn bởi: 1 x2,yx,y x === . Ví dụ 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau : a) ( ) 2 24x 10 Idxfx,ydy − = ∫∫ , b) ( ) 2 y 0 12y1 Idyfx,ydx −−− = ∫∫ . Ví dụ 3. Tính tích phân sau: ( ) 22 D xydxdy + ∫∫ , D giới hạn bởi: y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3. 2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp. 2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp. Giả sử D Oxy ⊂ là miền đóng, bị chặn và đo được. Xét tích phân I = ( ) D fx,ydxdy ∫∫ , trong đó f(x,y) liên tục trong D. Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), ( ) * u,vD ∈ (5) thỏa mãn các điều kiện sau : 1. Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được * DO'uv ⊂ . 2. Các công thức (5) xác định một song ánh từ miền * D lên miền D. 3. Định thức hàm Jacobi ( ) ( ) ( ) uu * vv x'y' Dx,y J0,u,vD x'y' Du,v ==≠∀∈ (có thể trừ một số điểm). Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp ( ) ( ) ( ) * D D fx,ydxdyfxu,v,yu,vJdudv =  ∫∫∫∫ . (6) Ví dụ. Tính các tích phân a) ( ) D 2x3ydxdy + ∫∫ , D giới hạn bởi: y = -x +1, y = -x + 3, y = 2x-1, y =2x-3. b) xy xy D edxdy,D:x0,y0,xy1 − + ≥≥+≤ ∫∫ . 2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực. Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực ( ) r, ϕ là xrcos,yrsin,r0,02 ==≥≤≤ ϕϕϕπ . Nếu r0,02 ϕπ >≤< thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có ( ) ( ) ( ) rr * x'y' cossin Dx,y Jr0,r,D x'y' rsinrcos Dr, ϕϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ====≠∀∈ − (trừ tại gốc O(0,0)). 10 Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực ( ) ( ) * D D fx,ydxdyfrcos,rsinrdrd ϕϕϕ = ∫∫∫∫ (7) Chú ý. - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ. - Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 02 ϕπ ≤≤ . - Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức 22 xy + . Ví dụ 1. Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp: 2 11x 01x Idxf(x,y)dy − − = ∫∫ . Ví dụ 2. Tính các tích phân : a) 22 22 D dxdy ,D:1xy4,x0,y0 1xy ≤+≤≥≥ ++ ∫∫ , b) ( ) 2222 D xydxdy,D:xy2x ++≤ ∫∫ . c) 222222 D xydxdy,D:xy2y,xy1,x0,y0 ++≥+≤≥≥ ∫∫ . 2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng. - Trong trường hợp D là hình elip 22 22 xy 1 ab +≤ , vành elip hoặc một phần của hình elip, vành elip có thể đổi biến số xarcos,ybrsin ϕϕ == . - Trong trường hợp D là hình tròn tâm I(a,b) bán kính R, có thể đổi biến số xarcos,ybrsin ϕϕ =+=+ . Ví dụ 4. Tính tích phân: 2222 2222 D xyxy 1dxdy,D:1,x0,y0;a,b0 abab −−+≤≥≥> ∫∫ . $3 TÍCH PHÂN 3-LỚP 3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp. Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được 3 T ⊂ R . Thực hiện một phép phân hoạch π chia T thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung 12n T,T, ,T . Gọi i T ∆ là thể tích của mỗi miền con ( ) i Ti1,n =, ( ) i dT là đường kính của i T , ( ) ( ) i 1in dmaxdT π ≤≤ = là đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con i T chọn một cách tùy ý điểm ( ) iiii Nx,y,z . Lập tổng tích phân [...]... I là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x, y, z) lấy trong miền T và ký hiệu là ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz T Khi đó hàm số f(x, y, z) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền T Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân 2-lớp 3.2 Cách tính tích phân 3-lớp Tương tự như tích phân 2-lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân 3-lớp là đưa tích phân 3-lớp về tích. .. cầu Ví dụ : Tính các tích phân a) ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) dxdydz,T : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;R > 0 , T b) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 dxdydz,T : x 2 + y 2 + z 2 ≤ z T $4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2-LỚP, 3-LỚP 4. 1 Ứng dụng trong hình học 4. 1.1 Tính diện tích của hình phẳng Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo được D được tính theo công thức S ( D ) = ∫∫ dxdy D 13 Ví dụ Tính diện tích của hình... mặt loại hai tổng quát chính là: ∫∫ ( P cosα + Qcos β + R cos γ ) dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy (S) (4) (S) (4) chính là công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai 4. 2 Cách tính tích phân mặt loại hai: Từ định nghĩa có thể tính tích phân mặt loại hai theo công thức của tích phân mặt loại một Xét ∫∫ R ( x, y, z )dxdy = ∫∫ R ( x, y, z ) cosγ dS , trong đó R(x,y,z) liên tục... 7) Cho tích phân I = i ( ) ∫ x 2 + y2 C) ( có hướng dương, không đi qua gốc tọa độ Hãy tính tích phân I nếu: a) (C) là đường tròn x 2 + y 2 = R 2 , R > 0 b) (C) là biên của tam giác với các đỉnh A(1,1) , B(5,0) , C(3 ,4) 8) Cho tích phân đường: ∫ i y dx − x dy, (C ) 2 2 (C ) x2 y 2 là đường elip 2 + 2 = 1 có hướng a b dương a) Tính trực tiếp tích phân I b) Tính I theo công thức Green 9) Tính các tích. .. a > 0 ) , y = x, y = S = ∫∫ 1 + p 2 + q 2 dxdy , trong đó p = z 'x ,q = z 'y ,dS = 1 + p 2 + q 2 dxdy D Ví dụ Tính diện tích của phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2x 4. 1.3 Tính thể tích của vật thể 1 Thể tích của vật thể đóng, bị chặn và đo được T ⊂ R 3 được tính theo công thức V ( T ) = ∫∫∫ dxdydz T 2 Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt... ( y − 3) 2 ≤ 4 2 Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp: 2 a) ∫ dx 16 − x 2 ∫ 1 f ( x, y ) dy 0 1− x 2 −1 − 1− x 0 8 x− x2 1 d) ∫ dx ∫ b) ∫ dy 2 f ( x, y ) dy 2 e) ∫ dy 0 2− y f ( x, y ) dx ∫ 2 y− y2 2y ∫ 2 y− y 1 c) ∫ dy 0 f ( x, y )dx 2 f) ∫ f ( x, y ) dx y 2− x ∫ dx ∫ −6 2 3− 2 y f ( x, y ) dy 2 x −1 4 3 Tính các tích phân 2- lớp sau trong tọa độ Đề các: a) ∫∫ xydxdy , D : 4 x 2 +... D Ví dụ 1: Tính các tích phân a) ∫∫ ( 2x + y + z ) dS, (S) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 thuộc góc phần tám thứ (S) nhất b) ∫∫ z 2 ( x 2 + y 2 ) dS, (S) là phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x ≥ 0, y ≥ 0 ( a > 0 ) (S) Ví dụ 2: Tính diện tích mặt (S) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = bϕ ;0 ≤ r ≤ a,0 ≤ ϕ ≤ 2π $4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 4. 1 Tích phân mặt... + Rdxdy = ∫∫∫  dxdydz + + ∫∫ ∂x ∂y ∂z   T  (S) trong đó tích phân mặt ở vế trái được lấy theo phía ngoài Chứng minh: tương tự như định lý1, 2 .4 Hệ quả: Thể tích của miền T đóng, bị chặn được tính theo công thức: 1 V ( T ) = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy 3 ( S) trong đó (S) là biên của T và tích phân mặt được lấy theo phía ngoài Ví dụ: Tính tích phân I = ∫∫ xzdydz + x 2 ydzdx + y 2zdxdy, (S) là phía... đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D thì thể tích của T được tính theo công thức V ( T ) = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫  z 2 ( x, y ) − z1 ( x, y )dxdy   T D 2 Ví dụ Tính thể tích của phần hình trụ x + y 2 = 2ax , a > 0 nằm giữa paraboloid x 2 + y 2 = 2az và mặt phẳng Oxy 4. 1 Ứng dụng trong vật lý 4. 1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý Cho bản phẳng D không đồng chất có khối... 0 4 y 2 a ∫ f) ∫ dy x 2 + y 2 dx 2 y− y2 0 ay − y 2 ∫ (1 − x 2 − y 2 ) dx , a > 0 0 5 Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: a) ∫∫ xy 2 dxdy , D : y ≤ x 2 ≤ 3 y,1 ≤ xy ≤ 2 D b) ∫∫ e ( − x 2 + xy + y 2 )dxdy, D : x 2 + xy + y 2 ≤ 1 D c) ∫∫ xdxdy , D : x ≤ y ≤ x + 1, − 2 x + 1 ≤ y ≤ −2 x + 5 D d) ∫∫ xdxdy, D : x 2 + y 2 ≤ 4 x − 2 y + 4 D x2 y 2 x2 y 2 4 − 2 − 2 dxdy, D : 1 ≤ 2 + 2 ≤ 4, . ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Khoa Toán Hệ : Tổng hợp Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương. $2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP 2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các. Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp. 2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới. quả và tính chất tương tự như tích phân 2-lớp. 3.2 Cách tính tích phân 3-lớp. Tương tự như tích phân 2-lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân 3-lớp là đưa tích phân 3-lớp về tích phân